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수학에 대한 전반적인 정리 Everything (at least for me...) of Math

1. 자연수 (natural number)

1.1 거듭제곱 (exponentiation)

거듭제곱(exponentiation)은 지수(power)만큼 반복해서 자신을 곱해라는 뜻입니다.
exponentiation is number of self repeat multiply.

예를 들어 2^3은 자신을 3번을 구해라는 의미입니다.
For example, 2^3 means multiply itself 3 times.

2*2를 해서 자신의 값이 4가 되었습니다.
we calculate a 2*2. Now, value of expression is 4.

자신의 현재 값은 4이므로 4*2를 해야 합니다.
current value of expression is 4. so we calculate a 4*2.

그러므로 2^3은 8입니다.
so, 2^3 is 8.

# 자바스크립트를 사용한 생각의 단계의 식
Expression of thinking step using javascript

var x = '2^3'
var number = parseInt(x.substr(0,1))
var power = x.indexOf("^") + 1
var number_of_repeat = x.substr(power)
var result = number;

for(i=1;i<number_of_repeat;i++) {
   result = result * number;
}

console.log(result);

2. 정수와 유리수 (integer and rational number)

3. 일차방정식 (linear equation)

4. 좌표평면, 그래프 (coordinate plane, graph)

5. 도형의 기초 (the basis of a figure)

6. 평면도형 (a plane figure)

7. 입체도형 (a solid figure)

8. 통계 (statistics)

9. 유리수와 근사값 (rational number and approximate value)

10. 식의 계산 (the calculation of an expression)

11. 연립방정식 (system of equations)

12. 부등식 (inequation)

13. 확률 (probability)

14. 도형의 성질 (properties of shapes)

15. 도형의 닮음 (shape resemblance)

16. 다항식 (polynomials)

17. 방정식과 부등식 (equations and inequalities)

18. 도형의 방정식 (equations in shapes)

19. 집합과 명제 (sets and propositions)

20. 함수 (function)

21. 수열 (sequences)

22. 지수함수와 로그함수 (exponential and logarithmic functions)

23. 1차 함수(linear function)

24. 3차 함수 (cubic function)

25. 비선형 함수(Nonlinear function)와 활성화 함수(Activation functions)

26. MFCC(Mel-Frequency Cepstral Coefficient)

27. Fast Fourier Transform

28. Filler determine model, Filler classifier model

29. 이진 분류 (Binary Classification)

30. 로지스틱 회귀 (logistic regression)

31. 로지스틱 회귀 경사 하강법(Logistic Regression Gradient Descent)

32. 하이퍼 매개변수 (Hyper parameter)

33. 순전파 (forward propagation)

34. 역전파 (back propagation)

35. 브로드캐스팅(Broadcating in Python)

36. 벡터화(Vectorization)

37. FF 알고리즘 (forward forward algorithm)

f(x) = x^3

3차 함수인지 판별하는 방법 (다항식이 아닌 경우)

함수의 최고차 항의 차수를 확인하면 된다.
최고차 항의 차수가 n이라고 치면 해당 항은 n항이라고 생각하면 된다.

* 숫자만 있는 항은 상수항이라고 부른다.

1.함수의 계수는 함수의 항의 상수 앞에 있는 숫자이다.
2.x3의 계수는 3이다.
3.차수는 변수가 곱해진 횟수이다
4.x는 3번 곱해졌으므로 (x^3) 차수값은 3이다.
5.^가 없는 상수항의 차수는 1이다 (3x = 3 * x == 1)
6.변수(paramter)가 없다면 차수 값은 0이다.

3차 함수는 3차 다항 함수이다.
따라서 3차 함수의 그래프는 최대 3개의 근을 가질 수 있다.
즉, 최대 3개의 점과 x축 교차할 수 있다.

복소수 근은 항상 쌍(켤레근)으로 발생하므로 3차 함수는 항상 1개 또는 3개의 실수 0을 갖는다.
*  2개의 실제 0을 가질 수 없음

3차 함수는 차수가 3인 다항 함수며 형식(일반형)은 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d과 같다.
a, b, c 및 d는 실수이고 a ≠ 0이다.

기본 3차 함수(parent cubic function)는 f(x) = x 3이다.

3차 함수는 홀수차수 다항식을 포함하므로 적어도 하나의 실근을 갖음

예를 들어 x 3 = 0(x = 0) 을 충족하는 실수는 하나뿐이므로 3차 함수 f(x) = x 3 은 실수 근을 하나만 갖음

* 3차 함수는  모든 대수 함수가 다항 함수 이므로 대수 함수이다.

# 3차 함수의 절편(intercepts)

함수의 절편에는 x 절편과 y 절편의 두 가지 유형이 있다.

함수의 x 절편은 루트 (또는) 0이라고도 한다.
삼차 함수의 차수가 3이므로 최대 3개의 근을 가질 수 있다.

모든 함수의 복소수 근은 항상 쌍으로 발생하므로 함수는 항상 0, 2, 4, ... 복소수 근을 갖음
따라서 함수는 0개 또는 2개의 복소수 근을 가질 수 있다. 그러므로 하나 또는 세 개의 실근 또는 x-절편을 가짐.

3차 함수의 x 절편을 찾으려면 y = 0(또는 f(x) = 0)으로 대체하고 x 값을 구함


f(x) = x3 - 4x2 + x - 4의 절편을 구하려면 f(x) = 0으로 대체해야 한다.
그런 다음 아래와 같은 과정을 거친다.

x3 - 4x2 + x - 4 = 0
x2 (x - 4) + 1 (x - 4) = 0
(x - 4) (x2 + 1) = 0
x - 4 = 0; x2 + 1 = 0
x = 4 ; x2 = -1
x = 4 ; x = ± i

복소수는 x 절편이 될 수 없다.
따라서 f(x)에는 (4, 0)인 하나의 x 절편만 가질 수 있다.

# 3차 함수의 Y 절편

f(x) = x^3는 3개의 근을 가지는 3차 함수(cubic function)이다.
함수의 근을 구하기 위해서는 이차 공식 (-b² ± √(b² - 4ac)) / 2a을 사용하여 구하여야 한다.

1.x = (-0 ± √(0^2 - 4(1)(0))) / 2(1)
2.x = (0 ± √(0)) / 2
3.x = (0 ± 0) / 2
4.x = 0 / 2
5.x = 0

근의 값 중 하나의 값은 0이다

근의 합은 -b/a와 같다, 즉 b = 0이고 a = 1이므로 근의 합은 -0/1 = 0이다. 
따라서 다른 두 근의 합은 0이 되어야 한다.

x = -1을 함수에 대입하면 f(-1) = (-1)^3 = -1
x = 1을 함수에 대입하면 f(1) = (1)^3 = 1

따라서 함수의 세 근은 x = 0, x = -1 및 x = 1이다