斯托克斯定理

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@@ -2293,7 +2293,9 @@ $$
 
 对于一个凸集，支撑超平面（Supporting Hyperplane）是与凸集边界切线的超平面，即它“支撑”了凸集，使得所有的凸集内的点都位于支撑超平面的一侧。形式上，若 $S$ 是非空凸集，且 $x_0$ 是 $S$ 的边界上的一点，那么存在一个包含 $x_0$ 的支撑超平面。如果 $x^* \in X^* \backslash \{0\}$（$X^*$ 是 $X$ 的对偶空间，$x^*$ 是一个非零的线性泛函），并且对于所有 $x \in S$ 都有 $x^*\left(x_0\right) \geq x^*(x)$，那么
 $$
-\begin{equation}H = \{x \in X: x^*(x) = x^*\left(x_0\right)\}\end{equation}
+\begin{equation}
+H = \{x \in X: x^*(x) = x^*\left(x_0\right)\}
+\end{equation}
 $$
 定义了一个支撑超平面。
 
@@ -2312,19 +2314,46 @@ $$
 ### 第一部分：积分与导数的关系
 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上是连续的，那么定义一个函数 $F(x)$ 为
 $$
+\begin{equation}
 F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt
+\end{equation}
 $$
 则函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上是可导的，且其导数是 $f(x)$，即
 $$
+\begin{equation}
 F'(x) = f(x)
+\end{equation}
 $$
 这部分的含义是：如果你用积分定义了一个函数，那么这个函数的导数正好等于被积函数。换句话说，积分的结果是一个原函数，取导数可以还原被积函数。
 
 ### 第二部分：定积分与原函数的关系
 如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，那么
 $$
+\begin{equation}
 \int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)
+\end{equation}
 $$
 这部分表示：计算定积分可以通过找到被积函数的原函数，然后将其在积分区间的上下限代入。这简化了定积分的计算过程，只需要知道原函数即可。
 
-这一定理的证明可在任意一本大学高等数学教材中找到，因此在此不再赘述。
+这一定理的证明可在任意一本大学高等数学教材中找到，因此在此不再赘述。
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+## 1.2.30 斯托克斯定理
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+斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是矢量微积分中的一个重要定理，它将曲面上的曲面积分和曲面边界上的线积分联系起来，是高维微积分中的重要结果之一。斯托克斯定理表述为：
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+$$
+\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
+$$
+
+其中：
+- $\oint$ 表示闭合路径上的积分，也就是说积分的路径是一个闭合曲线。
+- $S$ 是一个光滑的曲面，表示积分是在曲面 $S$ 上进行的。
+- $\partial S$ 是曲面 $S$ 的边界，即一个闭合曲线。
+- $d\mathbf{S}$ 是曲面 $S$ 上的微小面积元向量，方向与曲面法线方向一致。
+- $d\mathbf{r}$ 是沿边界曲线 $\partial S$ 的微小位移向量。
+- $\mathbf{F}$ 是定义在空间中的一个向量场。
+- $\nabla \times \mathbf{F}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度（curl）。
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+斯托克斯定理的物理意义可以理解为：曲面上向量场的旋度的流量等于该曲面边界上向量场的环量。