38-tgyuuAn

[tgyuuAn]

🔗 문제 링크

피보나치 수 3

이거 개념 모르면 절대 못 푸는 문제입니다.

이 문제 풀기 위해서 피사노 주기라는 것을 알아야 해요.

문제 한번 읽어만 보시고, PR 읽고 점수 얻어가세요...!

✔️ 소요된 시간

20분

✨ 수도 코드

일반 피보나치 수는 DP를 이용해서 빠르게 구하는 방법을 알 수 있을 테니,

이 부분에 대해서는 설명하지 않겠다.

일단, 문제를 보면 말도 안되는 조건이 있다.

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

수를 말로도 표현 못할 정도로 매우 크다.

이는 DP를 이용한다 한들, $O(n)$의 시간 복잡도로도 풀리지 않을 문제이다.

그냥 이 문제는 처음 보자마자 깨달았다.

'아, 이 문제는 내 지식 밖의 영역이구나.'

'아, 이 문제는 그냥 지식을 얻고 푸는 것이 건강에 이롭겠구나.' 하고 말이다.

그래서 질문 게시판을 살짝 쿵 눌러보았다.

첫 페이지를 누르자마자 "피사노 주기" 라는 딱 봐도 문제를 푸는 데 핵심 키 역할 을 해줄 키워드를 얻었다.

바로 구글링 해보았다.

역시나.

이 문제는 이 키워드를 모르면 풀 수 없는 문제 였다.

피사노 주기란 다음과 같다.

출처

즉, 저렇게 말도 안되는 수가 있다고 하더라도,

아래와 같이 출력을 1,000,000 을 나눈 나머지를 구하는 데에 있어서는

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

피사노 주기 를 이용하여 n을 획기적으로 줄일 수 있다는 뜻이다.

이 때, 피사노 주기의 공식은 다음과 같다.

즉, 위 문제를 예시로 들자면

1,000,000 은 $10^6$ 이므로,

이는 $15 X 10^5$ 의 주기를 갖게 된다는 뜻이다.

즉,

우리가 구해야 할 N이 최대 $1,000,000,000,000,000,000$ 에서 1,000,000,000,000,000,000 % 15 X 10^5 으로 줄일 수 있다는 뜻이 된다.

자, 이제 n 값이 150만 아래로 떨어졌다.

피사노 주기를 사용하여 단번에 문제 난이도는 골드 2에서 실버 대로 떨어졌다.

n값이 150만 밖에 되지 않는 피보나치를 구하면 끝이다.

여기까지 와서,

그대로 제출하면 시간 초과 및 메모리 초과를 경험할 수 있는데,

메모리 초과는 피보나치를 dp로 풀 때 항이 3개만 있어도 된다는 점을 이용하여

배열을 3칸으로 만들고 계속해서 갱신해가는 식으로 해결하면 되고,

시간 초과는 너무 큰 수를 핸들링 하다 보니 생기는 시간 초과 이므로 나머지 연산 공식을 이용하여,

구할 때 마다 나머지 연산을 적용시켜서 풀어주면 되겠다.

추가적으로,

이 녀석이 피보나치 수 대빵 문젠데, 이 문제 풀면 아래 연관 문제 다 풀린다.

점수 얻어가시라요

📚 새롭게 알게된 내용

피사노 주기

피보나치 수열에서 나머지 값을 구할 때,

나누는 수가 $10^K$ 일 때, 주기는 $15 * 10^k-1$과 같다.

출처

[yuna83]

dp문제여서 전체코드 길이가 짧은 게 신기하네요
c언어 배울 때 피보나치 수열 문제 많이 풀었었는데
피사노 주기라는 개념은 난생 처음 듣네요 ㄷㄷ

피사노 주기: 피보나치 수를 어떤 수 k로 나눌 때, 나머지가 가지는 주기
피사노 주기 공식: 15*10^(k-1)

다른 피보나치수 문제들 풀어서 점수 얻어가야겠어요
좋은 풀이 감사합니다!!

[pknujsp]

최대 100경 이라니 피사노 주기 모르면 절대 못푸는 문제가 맞네요
구현 로직 자체는 단순하군요 좋은 개념 잘 먹고갑니다

[Munbin-Lee]

Code

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    const int PERIOD = 1'500'000;

    vector<int> fibo(PERIOD);
    fibo[1] = 1;

    for (int i = 2; i < PERIOD; i++) {
        fibo[i] = fibo[i - 1] + fibo[i - 2];
        fibo[i] %= 1'000'000;
    }

    long long n;
    cin >> n;

    cout << fibo[n % PERIOD];

    return 0;
}

이런 특이한 문제는 어디서 발견하셨나요?

주기성을 발견한다고 해도 주기가 150만이라는 것을 알 수 없어서 절대 못 푸는;;;;

[tgyuuAn]

@Munbin-Lee ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 특이한 문제... 재밌더라고요 ...