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二叉树

知识点

二叉树遍历

前序遍历：先访问根节点，再前序遍历左子树，再前序遍历右子树 中序遍历：先中序遍历左子树，再访问根节点，再中序遍历右子树 后序遍历：先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，再访问根节点

注意点

  • 以根访问顺序决定是什么遍历
  • 左子树都是优先右子树

前序递归

func preorderTraversal(root *TreeNode)  {
    if root==nil{
        return
    }
    // 先访问根再访问左右
    fmt.Println(root.Val)
    preorderTraversal(root.Left)
    preorderTraversal(root.Right)
}

前序非递归

// V3：通过非递归遍历
func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    // 非递归
    if root == nil{
        return nil
    }
    result:=make([]int,0)
    stack:=make([]*TreeNode,0)

    for root!=nil || len(stack)!=0{
        for root !=nil{
            // 前序遍历，所以先保存结果
            result=append(result,root.Val)
            stack=append(stack,root)
            root=root.Left
        }
        // pop
        node:=stack[len(stack)-1]
        stack=stack[:len(stack)-1]
        root=node.Right
    }
    return result
}

中序非递归

// 思路：通过stack 保存已经访问的元素，用于原路返回
func inorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    if root == nil {
        return result
    }
    stack := make([]*TreeNode, 0)
    for len(stack) > 0 || root != nil {
        for root != nil {
            stack = append(stack, root)
            root = root.Left // 一直向左
        }
        // 弹出
        val := stack[len(stack)-1]
        stack = stack[:len(stack)-1]
        result = append(result, val.Val)
        root = val.Right
    }
    return result
}

后序非递归

func postorderTraversal(root *TreeNode) []int {
	// 通过lastVisit标识右子节点是否已经弹出
	if root == nil {
		return nil
	}
	result := make([]int, 0)
	stack := make([]*TreeNode, 0)
	var lastVisit *TreeNode
	for root != nil || len(stack) != 0 {
		for root != nil {
			stack = append(stack, root)
			root = root.Left
		}
		// 这里先看看，先不弹出
		node:= stack[len(stack)-1]
		// 根节点必须在右节点弹出之后，再弹出
		if node.Right == nil || node.Right == lastVisit {
			stack = stack[:len(stack)-1] // pop
			result = append(result, node.Val)
			// 标记当前这个节点已经弹出过
			lastVisit = node
		} else {
			root = node.Right
		}
	}
	return result
}

注意点

  • 核心就是：根节点必须在右节点弹出之后，再弹出

DFS 深度搜索-从上到下

type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}

func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    dfs(root, &result)
    return result
}

// V1：深度遍历，结果指针作为参数传入到函数内部
func dfs(root *TreeNode, result *[]int) {
    if root == nil {
        return
    }
    *result = append(*result, root.Val)
    dfs(root.Left, result)
    dfs(root.Right, result)
}

DFS 深度搜索-从下向上（分治法）

// V2：通过分治法遍历
func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := divideAndConquer(root)
    return result
}
func divideAndConquer(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    // 返回条件(null & leaf)
    if root == nil {
        return result
    }
    // 分治(Divide)
    left := divideAndConquer(root.Left)
    right := divideAndConquer(root.Right)
    // 合并结果(Conquer)
    result = append(result, root.Val)
    result = append(result, left...)
    result = append(result, right...)
    return result
}

注意点：

DFS 深度搜索（从上到下） 和分治法区别：前者一般将最终结果通过指针参数传入，后者一般递归返回结果最后合并

BFS 层次遍历

func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
    // 通过上一层的长度确定下一层的元素
    result := make([][]int, 0)
    if root == nil {
        return result
    }
    queue := make([]*TreeNode, 0)
    queue = append(queue, root)
    for len(queue) > 0 {
        list := make([]int, 0)
        // 为什么要取length？
        // 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
        l := len(queue)
        for i := 0; i < l; i++ {
            // 出队列
            level := queue[0]
            queue = queue[1:]
            list = append(list, level.Val)
            if level.Left != nil {
                queue = append(queue, level.Left)
            }
            if level.Right != nil {
                queue = append(queue, level.Right)
            }
        }
        result = append(result, list)
    }
    return result
}

分治法应用

先分别处理局部，再合并结果

适用场景

  • 快速排序
  • 归并排序
  • 二叉树相关问题

分治法模板

  • 递归返回条件
  • 分段处理
  • 合并结果
func traversal(root *TreeNode) ResultType  {
    // nil or leaf
    if root == nil {
        // do something and return
    }

    // Divide
    ResultType left = traversal(root.Left)
    ResultType right = traversal(root.Right)

    // Conquer
    ResultType result = Merge from left and right

    return result
}

典型示例

// V2：通过分治法遍历二叉树
func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {
    result := divideAndConquer(root)
    return result
}
func divideAndConquer(root *TreeNode) []int {
    result := make([]int, 0)
    // 返回条件(null & leaf)
    if root == nil {
        return result
    }
    // 分治(Divide)
    left := divideAndConquer(root.Left)
    right := divideAndConquer(root.Right)
    // 合并结果(Conquer)
    result = append(result, root.Val)
    result = append(result, left...)
    result = append(result, right...)
    return result
}

归并排序  

func MergeSort(nums []int) []int {
    return mergeSort(nums)
}
func mergeSort(nums []int) []int {
    if len(nums) <= 1 {
        return nums
    }
    // 分治法：divide 分为两段
    mid := len(nums) / 2
    left := mergeSort(nums[:mid])
    right := mergeSort(nums[mid:])
    // 合并两段数据
    result := merge(left, right)
    return result
}
func merge(left, right []int) (result []int) {
    // 两边数组合并游标
    l := 0
    r := 0
    // 注意不能越界
    for l < len(left) && r < len(right) {
        // 谁小合并谁
        if left[l] > right[r] {
            result = append(result, right[r])
            r++
        } else {
            result = append(result, left[l])
            l++
        }
    }
    // 剩余部分合并
    result = append(result, left[l:]...)
    result = append(result, right[r:]...)
    return
}

注意点

递归需要返回结果用于合并

快速排序  

func QuickSort(nums []int) []int {
	// 思路：把一个数组分为左右两段，左段小于右段，类似分治法没有合并过程
	quickSort(nums, 0, len(nums)-1)
	return nums

}
// 原地交换，所以传入交换索引
func quickSort(nums []int, start, end int) {
	if start < end {
        // 分治法：divide
		pivot := partition(nums, start, end)
		quickSort(nums, 0, pivot-1)
		quickSort(nums, pivot+1, end)
	}
}
// 分区
func partition(nums []int, start, end int) int {
	p := nums[end]
	i := start
	for j := start; j < end; j++ {
		if nums[j] < p {
			swap(nums, i, j)
			i++
		}
	}
    // 把中间的值换为用于比较的基准值
	swap(nums, i, end)
	return i
}
func swap(nums []int, i, j int) {
	t := nums[i]
	nums[i] = nums[j]
	nums[j] = t
}

注意点：

快排由于是原地交换所以没有合并过程 传入的索引是存在的索引（如：0、length-1 等），越界可能导致崩溃

常见题目示例

maximum-depth-of-binary-tree

maximum-depth-of-binary-tree

给定一个二叉树，找出其最大深度。

思路：分治法

func maxDepth(root *TreeNode) int {
    // 返回条件处理
    if root == nil {
        return 0
    }
    // divide：分左右子树分别计算
    left := maxDepth(root.Left)
    right := maxDepth(root.Right)

    // conquer：合并左右子树结果
    if left > right {
        return left + 1
    }
    return right + 1
}

balanced-binary-tree

balanced-binary-tree

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

思路：分治法，左边平衡 && 右边平衡 && 左右两边高度 <= 1， 因为需要返回是否平衡及高度，要么返回两个数据，要么合并两个数据， 所以用-1 表示不平衡，>0 表示树高度（二义性：一个变量有两种含义）。

func isBalanced(root *TreeNode) bool {
    if maxDepth(root) == -1 {
        return false
    }
    return true
}
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    // check
    if root == nil {
        return 0
    }
    left := maxDepth(root.Left)
    right := maxDepth(root.Right)

    // 为什么返回-1呢？（变量具有二义性）
    if left == -1 || right == -1 || left-right > 1 || right-left > 1 {
        return -1
    }
    if left > right {
        return left + 1
    }
    return right + 1
}

注意

一般工程中，结果通过两个变量来返回，不建议用一个变量表示两种含义

binary-tree-maximum-path-sum

binary-tree-maximum-path-sum

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

思路：分治法，分为三种情况：左子树最大路径和最大，右子树最大路径和最大，左右子树最大加根节点最大，需要保存两个变量：一个保存子树最大路径和，一个保存左右加根节点和，然后比较这个两个变量选择最大值即可

type ResultType struct {
    SinglePath int // 保存单边最大值
    MaxPath int // 保存最大值（单边或者两个单边+根的值）
}
func maxPathSum(root *TreeNode) int {
    result := helper(root)
    return result.MaxPath
}
func helper(root *TreeNode) ResultType {
    // check
    if root == nil {
        return ResultType{
            SinglePath: 0,
            MaxPath: -(1 << 31),
        }
    }
    // Divide
    left := helper(root.Left)
    right := helper(root.Right)

    // Conquer
    result := ResultType{}
    // 求单边最大值
    if left.SinglePath > right.SinglePath {
        result.SinglePath = max(left.SinglePath + root.Val, 0)
    } else {
        result.SinglePath = max(right.SinglePath + root.Val, 0)
    }
    // 求两边加根最大值
    maxPath := max(right.MaxPath, left.MaxPath)
    result.MaxPath = max(maxPath,left.SinglePath+right.SinglePath+root.Val)
    return result
}
func max(a,b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree

lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

思路：分治法，有左子树的公共祖先或者有右子树的公共祖先，就返回子树的祖先，否则返回根节点

func lowestCommonAncestor(root, p, q *TreeNode) *TreeNode {
    // check
    if root == nil {
        return root
    }
    // 相等 直接返回root节点即可
    if root == p || root == q {
        return root
    }
    // Divide
    left := lowestCommonAncestor(root.Left, p, q)
    right := lowestCommonAncestor(root.Right, p, q)


    // Conquer
    // 左右两边都不为空，则根节点为祖先
    if left != nil && right != nil {
        return root
    }
    if left != nil {
        return left
    }
    if right != nil {
        return right
    }
    return nil
}

BFS 层次应用

binary-tree-level-order-traversal

binary-tree-level-order-traversal

给你一个二叉树，请你返回其按  层序遍历  得到的节点值。 （即逐层地，从左到右访问所有节点）

思路：用一个队列记录一层的元素，然后扫描这一层元素添加下一层元素到队列（一个数进去出来一次，所以复杂度 O(logN)）

func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
	result := make([][]int, 0)
	if root == nil {
		return result
	}
	queue := make([]*TreeNode, 0)
	queue = append(queue, root)
	for len(queue) > 0 {
		list := make([]int, 0)
        // 为什么要取length？
        // 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
		l := len(queue)
		for i := 0; i < l; i++ {
            // 出队列
			level := queue[0]
			queue = queue[1:]
			list = append(list, level.Val)
			if level.Left != nil {
				queue = append(queue, level.Left)
			}
			if level.Right != nil {
				queue = append(queue, level.Right)
			}
		}
		result = append(result, list)
	}
	return result
}

binary-tree-level-order-traversal-ii

binary-tree-level-order-traversal-ii

给定一个二叉树，返回其节点值自底向上的层次遍历。 （即按从叶子节点所在层到根节点所在的层，逐层从左向右遍历）

思路：在层级遍历的基础上，翻转一下结果即可

func levelOrderBottom(root *TreeNode) [][]int {
    result := levelOrder(root)
    // 翻转结果
    reverse(result)
    return result
}
func reverse(nums [][]int) {
	for i, j := 0, len(nums)-1; i < j; i, j = i+1, j-1 {
		nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
	}
}
func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
	result := make([][]int, 0)
	if root == nil {
		return result
	}
	queue := make([]*TreeNode, 0)
	queue = append(queue, root)
	for len(queue) > 0 {
		list := make([]int, 0)
        // 为什么要取length？
        // 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
		l := len(queue)
		for i := 0; i < l; i++ {
            // 出队列
			level := queue[0]
			queue = queue[1:]
			list = append(list, level.Val)
			if level.Left != nil {
				queue = append(queue, level.Left)
			}
			if level.Right != nil {
				queue = append(queue, level.Right)
			}
		}
		result = append(result, list)
	}
	return result
}

binary-tree-zigzag-level-order-traversal

binary-tree-zigzag-level-order-traversal

给定一个二叉树，返回其节点值的锯齿形层次遍历。Z 字形遍历

func zigzagLevelOrder(root *TreeNode) [][]int {
	result := make([][]int, 0)
	if root == nil {
		return result
	}
	queue := make([]*TreeNode, 0)
	queue = append(queue, root)
	toggle := false
	for len(queue) > 0 {
		list := make([]int, 0)
		// 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
		l := len(queue)
		for i := 0; i < l; i++ {
			// 出队列
			level := queue[0]
			queue = queue[1:]
			list = append(list, level.Val)
			if level.Left != nil {
				queue = append(queue, level.Left)
			}
			if level.Right != nil {
				queue = append(queue, level.Right)
			}
		}
		if toggle {
			reverse(list)
		}
		result = append(result, list)
		toggle = !toggle
	}
	return result
}
func reverse(nums []int) {
	for i := 0; i < len(nums)/2; i++ {
		t := nums[i]
		nums[i] = nums[len(nums)-1-i]
		nums[len(nums)-1-i] = t
	}
}

二叉搜索树应用

validate-binary-search-tree

validate-binary-search-tree

给定一个二叉树，判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

思路 1：中序遍历，检查结果列表是否已经有序

思路 2：分治法，判断左 MAX < 根 < 右 MIN

// v1
func isValidBST(root *TreeNode) bool {
    result := make([]int, 0)
    inOrder(root, &result)
    // check order
    for i := 0; i < len(result) - 1; i++{
        if result[i] >= result[i+1] {
            return false
        }
    }
    return true
}

func inOrder(root *TreeNode, result *[]int)  {
    if root == nil{
        return
    }
    inOrder(root.Left, result)
    *result = append(*result, root.Val)
    inOrder(root.Right, result)
}

// v2分治法
type ResultType struct {
	IsValid bool
    // 记录左右两边最大最小值，和根节点进行比较
	Max     *TreeNode
	Min     *TreeNode
}

func isValidBST2(root *TreeNode) bool {
	result := helper(root)
	return result.IsValid
}
func helper(root *TreeNode) ResultType {
	result := ResultType{}
	// check
	if root == nil {
		result.IsValid = true
		return result
	}

	left := helper(root.Left)
	right := helper(root.Right)

	if !left.IsValid || !right.IsValid {
		result.IsValid = false
		return result
	}
	if left.Max != nil && left.Max.Val >= root.Val {
		result.IsValid = false
		return result
	}
	if right.Min != nil && right.Min.Val <= root.Val {
		result.IsValid = false
		return result
	}

	result.IsValid = true
    // 如果左边还有更小的3，就用更小的节点，不用4
    //  5
    // / \
    // 1   4
    //      / \
    //     3   6
	result.Min = root
	if left.Min != nil {
		result.Min = left.Min
	}
	result.Max = root
	if right.Max != nil {
		result.Max = right.Max
	}
	return result
}

insert-into-a-binary-search-tree

insert-into-a-binary-search-tree

给定二叉搜索树（BST）的根节点和要插入树中的值，将值插入二叉搜索树。 返回插入后二叉搜索树的根节点。

思路：找到最后一个叶子节点满足插入条件即可

// DFS查找插入位置
func insertIntoBST(root *TreeNode, val int) *TreeNode {
    if root == nil {
        root = &TreeNode{Val: val}
        return root
    }
    if root.Val > val {
        root.Left = insertIntoBST(root.Left, val)
    } else {
        root.Right = insertIntoBST(root.Right, val)
    }
    return root
}

总结

  • 掌握二叉树递归与非递归遍历
  • 理解 DFS 前序遍历与分治法
  • 理解 BFS 层次遍历

练习