diff --git "a/MATH-\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\346\225\260\347\220\206\351\200\273\350\276\221/\350\256\241\347\256\227\346\234\272\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\351\200\273\350\276\221\350\257\276\347\250\213\344\275\234\344\270\232/6. NKU \347\254\254\345\205\255\346\254\241\344\275\234\344\270\232/index.html" "b/MATH-\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\346\225\260\347\220\206\351\200\273\350\276\221/\350\256\241\347\256\227\346\234\272\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\351\200\273\350\276\221\350\257\276\347\250\213\344\275\234\344\270\232/6. NKU \347\254\254\345\205\255\346\254\241\344\275\234\344\270\232/index.html" index 4af72d3..7d3ade2 100644 --- "a/MATH-\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\346\225\260\347\220\206\351\200\273\350\276\221/\350\256\241\347\256\227\346\234\272\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\351\200\273\350\276\221\350\257\276\347\250\213\344\275\234\344\270\232/6. NKU \347\254\254\345\205\255\346\254\241\344\275\234\344\270\232/index.html" +++ "b/MATH-\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\346\225\260\347\220\206\351\200\273\350\276\221/\350\256\241\347\256\227\346\234\272\351\233\206\345\220\210\350\256\272\344\270\216\351\200\273\350\276\221\350\257\276\347\250\213\344\275\234\344\270\232/6. NKU \347\254\254\345\205\255\346\254\241\344\275\234\344\270\232/index.html" @@ -2627,12 +2627,73 @@

NKU 第六次作业

说明如果 \(\gamma>0\) ，那么 \(\alpha< \beta\) 可推得 \(\gamma\cdot \alpha< \gamma\cdot \beta\) 且 \(\alpha\cdot \gamma \leqslant \beta\cdot \gamma\) ，并给出一个例子说明 \(\leqslant\) 不能替换为 \(<\) ，并证明：
$$ (\alpha \leqslant \beta \land \alpha>0)\to \exists ! \delta, \xi(\xi<\alpha \land \alpha\cdot \delta + \xi = \beta). $$

+

利用超限归纳法，对 \(\beta\) 应用，\(\beta=0\) 时自然成立. 归纳假设为：\(\alpha< \beta\) ，且对任意的 \(\delta< \beta\) ，均有 \(\gamma\cdot \alpha< \gamma\cdot \delta\) .

+

当 \(\beta\) 为后继序数时，\(\beta = \delta+1\) ，有 \(\alpha \leqslant \delta\) ，故

+
\[ +\gamma \cdot \alpha \leqslant \gamma\cdot \delta < \gamma \cdot \delta+ \gamma\cdot 1 = \gamma \cdot ( \delta +1) = \gamma\cdot \beta +\]
+

其中运用了乘法的左分配律.

+

当 \(\beta\) 为极限序数的时候，

+
\[ +\gamma\cdot \alpha < \gamma\cdot \alpha + \gamma \cdot 1 \leqslant \sup\left\lbrace \gamma\cdot \delta ,\delta< \beta \right\rbrace = \gamma\cdot \beta +\]
+

因此由超限归纳法可知成立.

+

对于 \(\alpha \cdot \gamma \leqslant \beta \cdot \gamma\) ，归纳法类似，但是在 \(\gamma\) 充分大的时候，就会出现问题，例如 \(1<2\) ，但是

+
\[ +1\cdot \omega = \omega = 2\cdot \omega +\]
+

从而等号不能去掉.

+

对于最后的语句，\(\alpha=\beta\) 时，取 \(\delta=1,\xi=0\) 即可. 当 \(\alpha< \beta\) 时，考虑 \(\beta\) 为极限序数时，\(\xi=0\) ，当 \(\beta\) 为后继序数时，它是一个极限序数的有限次后继，利用 T1 结论可以得出 \(\xi\) ，因此只需讨论 \(\alpha\cdot \delta = \beta\) ，\(\beta\) 为极限序数的情形. 考虑利用如下的引理：

+
+

对于任意序数 \(\alpha,\beta\) 有
+$$ \alpha\cdot \beta = \left\lbrace \alpha\cdot \xi + \eta \mid \xi< \beta\land \eta < \alpha \right\rbrace $$

+
+
+

引理的证明：
+对 \(\beta\) 使用超限归纳法：\(\beta=0\) 时结论显然成立. \(\beta\) 为后继序数时，设 \(\beta = \gamma+1\) ，从而利用归纳假设有

+
\[ +\begin{aligned} +\alpha\cdot \beta & = \alpha \cdot (\gamma+1) \\ +& = \alpha\cdot \gamma + \alpha \\ +& = \left\lbrace \alpha\cdot \xi+ \eta \mid \xi< \gamma \land \eta < \alpha \right\rbrace \cup \left\lbrace \alpha\cdot \gamma + \delta \mid \delta < \alpha \right\rbrace \\ +& = \left\lbrace \alpha\cdot \xi + \eta\mid \xi < \beta \land \eta < \alpha \right\rbrace +\end{aligned} +\]
+

因此后继序数的情形成立.

+

\(\beta\) 为极限序数时，有

+
\[ +\begin{aligned} +\alpha\cdot \beta & = \bigcup_{\delta < \beta, \gamma < \alpha} (\alpha\cdot \delta + \gamma) \\ +& = \left\lbrace \alpha\cdot \xi + \eta \mid \xi < \beta\land \eta < \alpha \right\rbrace +\end{aligned} +\]
+

极限序数的情形成立.

+
+

根据引理可得存在性，对于唯一性，假设有

+
\[ +\alpha\cdot \xi_1 + \eta_1 = \alpha\cdot \xi_2 + \eta_2 = \beta +\]
+

如果 \(\xi_1=\xi_2\) ，那么根据加法的性质可得 \(\eta_1=\eta_2\) . 如果 \(\xi_1\neq \xi_2\) ，不妨设 \(\xi_1 < \xi_2\) ，那么 \(\xi_1 +1 \leqslant \xi_2\) ，从而

+
\[ +\alpha\cdot (\xi_1+1)+ \eta_2 \leqslant \alpha\cdot \xi_2 +\eta_2 = \beta = \alpha\cdot \xi_1 + \eta_1 +\]
+

故 \(\alpha+\eta_2 \leqslant \eta_1\) ，这和 \(\eta_1 < \alpha\) 是矛盾的. 故唯一性成立. \(\square\)

T3

证明 Cantor 序数正则形式定理：对于每个非 \(0\) 的序数 \(\alpha\) ，它们均可表为如下的形式：
$$ \alpha = \omega^{\beta_1}\cdot l_1+\cdots + \omega^{\beta_n}\cdot l_n $$
其中 \(1 \leqslant n < \omega,\alpha \geqslant \beta_1 > \cdots > \beta_n\) ，且 \(1\leqslant l_i< \omega,i=1,\cdots,n\) ，更进一步，这个表示形式是唯一的.

+

对 \(\alpha\) 使用超限归纳法，当 \(\alpha=1\) 时，有 \(\alpha = \omega^0\) . 对 \(\alpha\) 为后继序数的情形，设

+
\[ +\alpha= \gamma+1 = \omega^{\beta_1}\cdot l_1+\cdots + \omega^{\beta_n}\cdot l_n +1 = \omega^{\beta_1}\cdot l_1+\cdots + \omega^{\beta_n}\cdot l_n+ \omega^0\cdot 1 +\]
+

从而后继序数的情形成立，对于 \(\alpha\) 为极限序数的情形，取最大的 \(\beta\) 使得 \(\omega^\beta \leqslant \alpha\) ，根据 T2 结论，存在唯一的 \(\delta\) 和 \(\eta\) 使得 \(\alpha = \omega^\beta\cdot \delta+ \eta\) .而根据归纳假设，\(\eta\) 可写为 Cantor 正则形式，故 \(\alpha\) 此时可写为 Cantor 正则形式. 因此该形式的存在性成立.

+

对于唯一性，当 \(\alpha = 1\) 时，\(\alpha=\omega^0\) 显然是唯一的，\(\alpha\) 为后继序数的情形，\(\alpha = \gamma+1\) 由归纳假设有 \(\gamma\) 的正则形式唯一，从而 \(\alpha\) 的正则形式唯一地为：

+
\[ +\alpha= \gamma+1 = \omega^{\beta_1}\cdot l_1+\cdots + \omega^{\beta_n}\cdot l_n +1 = \omega^{\beta_1}\cdot l_1+\cdots + \omega^{\beta_n}\cdot l_n+ \omega^0\cdot 1 +\]
+

当 \(\beta_n = 0\) 时，后式还可进一步写为 \(\omega^{\beta_1}\cdot l_1+\cdots + \omega^{\beta_n}\cdot (l_n+1)\) . 因此后继序数的唯一性成立. 最后极限序数的情形，存在性的证明中，利用 T2 的结论可知 \(\delta\) 和 \(\eta\) 是唯一的，而 \(\eta\) 根据归纳假设可知正则形式唯一，于是表示形式唯一. \(\square\)

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dates = pd.date_range('20130101', periods=6) df = pd.DataFrame(np.random.randn(6, 4), index=dates, columns=list('ABCD')) df Out[16]: A B C D 2013-01-01 0.964615 0.499607 0.861751 1.019190 2013-01-02 0.655980 -0.773237 -0.828954 0.853228 2013-01-03 0.664080 -0.521969 2.215162 -0.806104 2013-01-04 -0.621929 1.511482 -0.908521 -3.043326 2013-01-05 -1.114458 -0.385777 2.176734 -0.345221 2013-01-06 0.948003 -2.841823 -0.135223 -0.307160 In\u00a0[17]: Copied! 
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%%script bash echo \"\u200b\u8fd9\u662f\u200b git \u200b\u7684\u200b\u63d0\u4ea4\u200b\u5386\u53f2\u200b\" echo \"\u200b\u8bf7\u200b\u5728\u200bshell\u200b\u6709\u200bbash\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\u6267\u884c\u200b\" git reflog 
\u200b\u8fd9\u662f\u200b git \u200b\u7684\u200b\u63d0\u4ea4\u200b\u5386\u53f2\u200b\n\u200b\u8bf7\u200b\u5728\u200bshell\u200b\u6709\u200bbash\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\u6267\u884c\u200b\n7173168 HEAD@{0}: commit: Fix an error in Logic\n5e352b3 HEAD@{1}: commit: Logic Notes Modification\n0e7750c HEAD@{2}: commit: Logic Notes Update\n7422b7e HEAD@{3}: commit: Real analysis update\n94e51d4 HEAD@{4}: commit: Set theory and logic update\nde3982d HEAD@{5}: commit: Probability Theory Notes Update\nac44f4d HEAD@{6}: clone: from https://github.com/xiong-ZH-zq/xzqbear-blogs.git\n
In\u00a0[18]: Copied! 
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%%script js console.log(\"\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u662f\u200b Javascript \u200b\u6267\u884c\u200b\u5185\u5bb9\u200b\") 
\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u662f\u200b Javascript \u200b\u6267\u884c\u200b\u5185\u5bb9\u200b\n
In\u00a0[19]: Copied! 
import matplotlib.pyplot as plt\nnum_points = 130\ny = np.random.random(num_points)\nplt.plot(y)\n
import matplotlib.pyplot as plt num_points = 130 y = np.random.random(num_points) plt.plot(y) Out[19]: 
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f7bdea7ccd0>]
"},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#jupyter","title":"Jupyter\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u00b6","text":"

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"},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#pandas","title":"pandas\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#shell","title":"shell\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#js","title":"JS\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/","title":"\u542b\u6709\u200b\u56fe\u7247\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/WSL%E7%BC%96%E7%A8%8B%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA/1.1%20%E5%AE%89%E8%A3%85%E4%B8%8E%E7%BB%88%E7%AB%AF%E7%8E%AF%E5%A2%83/","title":"WSL\u200b\u5b89\u88c5\u200b\u4e0e\u200b\u7ec8\u7aef\u200b\u73af\u5883","text":"

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wsl -install -d Debian\n

\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u6211\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b Debian \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6574\u4e2a\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u4f1a\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5728\u200b Debian \u200b\u73af\u5883\u200b\u4e0b\u200b\u662f\u200b\u6b63\u5e38\u200b\u8fd0\u884c\u200b\u7684\u200b\uff0cUbuntu \u200b\u4e5f\u200b\u5dee\u4e0d\u591a\u200b\uff0c\u200b\u6bd5\u7adf\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b Debian \u200b\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u53d1\u884c\u7248\u200b.

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wsl -l -o\n
\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5217\u51fa\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u53ef\u7528\u200b\u53d1\u884c\u7248\u200b\uff1a

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\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u9ed8\u8ba4\u200b\u4e3a\u200b zsh . \u200b\u66f4\u200b\u591a\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u9898\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53c2\u8003\u200b oh-my-zsh \u200b\u7684\u200b\u5b98\u65b9\u200b\u6587\u6863\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u5728\u200b ~/.zshrc \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4fee\u6539\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u592a\u200b\u82b1\u54e8\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b57\u4f53\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4f1a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u9ebb\u70e6\u200b. \uff08\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4f60\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b Windows Terminal \u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u66f4\u200b\u6539\u4e3a\u200b\u652f\u6301\u200b\u56fe\u6807\u200b\u826f\u597d\u200b\u7684\u200b\u5b57\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b Meslo \u200b\u7cfb\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u5f53\u200b\u6211\u200b\u6ca1\u200b\u8bf4\u200b\uff09

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"},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/WSL%E7%BC%96%E7%A8%8B%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA/1.1%20%E5%AE%89%E8%A3%85%E4%B8%8E%E7%BB%88%E7%AB%AF%E7%8E%AF%E5%A2%83/#git","title":"Git \u200b\u914d\u7f6e","text":"

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"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%20Index/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b Index","text":"

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\u200b\u53c2\u8003\u200b\u4e66\u7c4d\u200b\u5305\u62ec\u200b\u4f46\u200b\u4e0d\u200b\u9650\u4e8e\u200b\uff1a

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\u200b\u4e60\u9898\u200b2T2

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\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\begin{aligned} &\\inf\\left\\lbrace m(Q):E \\subset Q, Q\\text{ \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b} \\right\\rbrace = \\\\ &\\inf\\left\\lbrace \\sum\\limits_n \\ell (I_n): \\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace \\text{ \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b}, \\text{ \u200b\u4e14\u200b }E \\subset\\bigcup_n I_n \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u8bbe\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\inf{A}\\) \uff0c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\inf{B}\\) .

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\inf{A}\\geqslant \\inf{B}\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(Q\\) \uff0c\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u53ef\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ E \\subset Q = \\bigcup_{n=1}^\\infty I_n \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b \\(Q\\) \u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u80fd\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(B\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u65cf\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\inf{A}\\geqslant\\inf{B}\\) .

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u90fd\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e0a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\inf{A}\\leqslant\\inf{B}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \\(\\square\\)

\uff08\u200b\u4e60\u9898\u8bfe\u200b\u505a\u6cd5\u200b\uff09 \u200b\u8bbe\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\lambda\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ m^*(E) \\leqslant m^*(Q) = m(Q) \\]

\u200b\u4e24\u4fa7\u200b\u53d6\u4e0b\u200b\u786e\u754c\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b \\(m^*(E) \\leqslant \\lambda\\) .

\u200b\u5f53\u200b \\(m^*(E) < \\infty\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u65cf\u200b \\(\\left\\lbrace I_k \\right\\rbrace\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ E \\subseteq \\bigcup_{k=1}^\\infty I_k \\land \\sum\\limits\\ell(I_k) \\leqslant m^*(E) +\\varepsilon \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(Q = \\bigcup\\limits_{k=1}^\\infty I_k\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\lambda \\leqslant m(Q) \\leqslant m^*(E) + \\varepsilon \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varepsilon\\to 0\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\lambda \\leqslant m^*(E)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b.

\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T4

\u200b\u8bbe\u200b \\(G_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(G_2\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\\(E_1\\subset G_1\\) \uff0c\\(E_2\\subset G_2\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(m^*(E_1\\cup E_2) = m^*(E_1)+ m^*(E_2)\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8986\u76d6\u200b \\(E_1\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n\\) \u200b\u548c\u200b\u8986\u76d6\u200b \\(E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n'\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ E_1\\cup E_2\\subset\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n\\right) \\cup\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n'\\right) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m^*(E_1 \\cup E_2) \\leqslant m^*(E_1)+m^*(E_2)\\) .

\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(E_1\\cup E_2\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u8986\u76d6\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty J_n\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(J_n' = J_n \\cap G_1, J_n'' = J_n \\cap G_2\\) . \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ E_1 \\subset \\bigcup_{n=1}^\\infty J_n', E_2\\subset \\bigcup_{n=1}^\\infty J_n'' \\]

\u200b\u4ec5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u5173\u7cfb\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\exists x\\in E_1\\) \uff0c\\(x\\notin \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty J_n'\\) \uff0c\u200b\u53c8\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty J_n\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(E_1\\cup E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(J_k\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in J_k\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\in J_k\\cap G_1\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01

\u200b\u6545\u200b\u4ece\u200b \\(E_1\\cup E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u8986\u76d6\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m^*(E_1 \\cup E_2) \\geqslant m^*(E_1)+m^*(E_2)\\) . \u200b\u4ece\u800c\u200b\u672c\u9898\u200b\u8bc1\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5927\u4e8e\u200b\u7b49\u4e8e\u200b\u65b9\u5411\u200b\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u505a\u6cd5\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G_1\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6545\u6709\u200b

\\[ m^*(E_1\\cup E_2) \\geqslant m^*(E_1\\cup E_2 \\cap G_1) + m^*(E_1\\cup E_2\\cap G_1^c) \\]

\u200b\u800c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(m^*(E_1)+m^*(E_2)\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T6

\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(A)< \\infty,m^*(B)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ |m^*(A)-m^*(B)|\\leqslant m^*(A \\Delta B). $$

\u200b\u5f53\u200b \\(m^*(A) = m^*(B)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\u663e\u7136\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(A) > m^*(B)\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u9700\u8bc1\u200b\uff1a

\\[ m^*(A) \\leqslant m^*(A \\Delta B) + m^*(B) \\]

\\((A \\Delta B) \\cup B= [(A\\cup B) - (A\\cap B)]\\cup B\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(A \\subset (A \\Delta B)\\cup B\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u5355\u8c03\u200b\u6027\u548c\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A) \\leqslant m^*[(A \\Delta B)\\cup B ] \\leqslant m^*(A \\Delta B) + m^*(B) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T10

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c

  1. \u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a$$ m(\\varliminf_{n\\to \\infty} E_n)\\leqslant \\varliminf_{n\\to \\infty} m(E_n) $$
  2. \u200b\u82e5\u6709\u200b \\(k_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m\\left(\\bigcup\\limits_{k=k_0}^\\infty E_k \\right)< \\infty\\)\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a$$ m\\left(\\varlimsup_{n\\to \\infty}E_n\\right) \\geqslant \\varlimsup_{n\\to \\infty} m(E_n) $$
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(m\\left(\\bigcup\\limits_{k=1}^\\infty E_k \\right)< \\infty\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}E_n\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m\\left(\\lim_{n\\to \\infty}E_n\\right) = \\lim_{n\\to \\infty}m(E_n). $$

(1) \u200b\u5373\u200b

\\[ m\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty\\bigcap_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\leqslant \\varliminf_{n\\to \\infty} m(E_n)\\tag{10.1} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\bigcap\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b\u968f\u7740\u200b \\(n\\) \u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b (10.1) \u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u5b9a\u7406\u200b 2.3.6 \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} m\\left(\\lim_{n\\to \\infty}\\bigcap_{k=n}^\\infty E_k\\right) &= \\lim_{n\\to \\infty} m\\left(\\bigcap_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\\\ \\end{aligned} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\bigcap\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b \\(E_n\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(m\\left(\\bigcap\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\leqslant m(E_n)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b.

(2) \u200b\u5373\u200b

\\[ m\\left(\\bigcap_{n=1}^\\infty\\bigcup_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\geqslant \\varlimsup_{n\\to \\infty} m(E_n)\\tag{10.2} \\]

\u200b\u548c\u200b (1) \u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c(10.2) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\bigcup\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u540c\u6837\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u5b9a\u7406\u200b 2.3.6 \u200b\u8bc1\u660e\u200b.

\\[ \\begin{aligned} m\\left(\\lim_{n\\to \\infty}\\bigcup_{k=n}^\\infty E_k\\right) &= \\lim_{n\\to \\infty} m\\left(\\bigcup_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\\\ \\end{aligned} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\bigcup\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b \\(E_n\\) \u200b\u7684\u200b\u8d85\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(m\\left(\\bigcup\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\geqslant m(E_n)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b.

(3) \u200b\u6839\u636e\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ m\\left(\\varliminf_{n\\to \\infty}E_n\\right)\\leqslant\\varliminf_{n\\to \\infty}m(E_n)\\leqslant\\lim_{n\\to \\infty}m(E_n) \\leqslant \\varlimsup_{n\\to \\infty}m(E_n) \\leqslant m\\left(\\varlimsup_{n\\to \\infty}E_n\\right) \\]

\u200b\u6700\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u548c\u200b\u6700\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E_n\\) \u200b\u5728\u200b \\(n\\to \\infty\\) \u200b\u65f6\u200b\u6781\u9650\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\left(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}E_n\\right)\\) . \u200b\u6545\u200b\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T11

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u800c\u4e14\u200b \\(m(A \\Delta B)= 0\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(B\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ B = A \\Delta (A \\Delta B) \\]

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u201c\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u5dee\u53ef\u6d4b\u200b\u201d.

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5230\u200b \\(A \\Delta C = (A-C)\\cup (C-A)\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e0e\u200b\u5dee\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff08\u200b\u8865\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff09\u200b\u4e0d\u200b\u5f71\u54cd\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\uff08\u200b\u7b49\u200b\u6d4b\u5305\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff09 \u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(F \\subseteq A \\subseteq G\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(G-F)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u8981\u8bc1\u200b\uff1a\\(F' \\subseteq B \\subseteq G'\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(m(G'-F')\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5145\u5206\u200b\u5c0f\u200b.

\u200b\u4ee4\u200b \\(G' = G\\cup (B-A)\\) \uff0c\\(G' \\supseteq B\\) \uff0c\\(F' = F\\cap (A-B)^c\\) \uff0c\\(F' \\subseteq B\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m(G'-F') &= m((G\\cup (B-A)\\cap (F\\cap (A-B)^c)^c ) \\\\ &= m((G\\cup (B-A)\\cap (F^c) ) \\end{aligned} \\]

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T13

\u200b\u8bbe\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2\\) \u200b\u90fd\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m(E_1)+m(E_2) = m(E_1\\cup E_2)+m(E_1\\cap E_2) $$

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(E_1 \\cap E_2 = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6839\u636e\u200b Lebesgue \u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e0d\u200b\u4ea4\u96c6\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2-E_1\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b

\\[ m(E_1) + m(E_2-E_1) = m(E_1\\cup E_2) \\tag{13.1} \\]

\u200b\u800c\u200b \\(E_2-E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_1\\cap E_2\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ m(E_2-E_1)+m(E_1\\cap E_2) = m(E_2)\\tag{13.2} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b (13.1) \u200b\u548c\u200b (13.2) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8be5\u200b\u547d\u9898\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%20-%206/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b - 6","text":"

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT15

  1. \u200b\u82e5\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u4e14\u200b \\(m(F)=1\\) \uff0c\u200b\u8bd5\u95ee\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b \\(F=[0,1]\\) \uff1f
  2. \u200b\u82e5\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b \\((0,1)\\) \u200b\u4e2d\u5f00\u200b\u96c6\u4e14\u200b \\(m(G)=1\\). \u200b\u8bd5\u95ee\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b \\(G=(0,1)\\) \uff1f

(1) \u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6b63\u786e\u200b\uff0c\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\((0,1) \\subset F\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x_0\\in (0,1)\\) \u200b\u4e14\u200b \\(x_0\\not\\in F\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(F^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(B(x_0,\\delta) \\subset F^c\\) \uff0c\u200b\u7136\u800c\u200b \\(m(B(x_0,\\delta)) > 0\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(F)<1\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01

\u200b\u6545\u7531\u200b \\((0,1) \\subset F\\) \u200b\u4e14\u200b \\(F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(F = [0,1]\\) .

(2) \u200b\u8003\u8651\u200b \\(G = \\left(0,\\dfrac{1}{2}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{1}{2},1\\right) = G_1\\cup G_2\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(G_2\\) \u200b\u4e0d\u4ea4\u4e14\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{1}{2}\\). \u200b\u5219\u200b \\(m(G) = \\dfrac{1}{2}+ \\dfrac{1}{2} = 1\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(G\\neq (0,1)\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T20

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_k \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7686\u200b\u4e3a\u200b \\(1\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m\\left(\\bigcap_{k=1}^\\infty E_k\\right)=1. $$

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(m(E_k) = 1\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\displaystyle\\bigcap_{k=1}^\\infty E_k \\subseteq E_k\\) \uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff1a

\\[ m\\left(\\bigcap_{k=1}^\\infty E_k\\right) \\leqslant 1. \\]

\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(m\\left(\\bigcap\\limits_{k=1}^\\infty E_k\\right) < 1\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8bbe\u200b

\\[ D = [0,1]-\\bigcap\\limits_{k=1}^\\infty E_k = \\bigcup_{k=1}^\\infty \\left([0,1]-E_k\\right) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b \\(m(D)>0\\) .

\u200b\u4f46\u200b \\(m([0,1]-E_k) = m([0,1])-m(E_k)=0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f15\u51fa\u200b \\(m(D)=0\\) \u200b\u7684\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5e76\u200b\u4ecd\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(D_1,D_2,\\cdots,D_n,\\cdots\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(D_k\\) \uff0c\u200b\u8986\u76d6\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u65cf\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ m^*(D_k) = \\sum\\limits_{n} \\ell(I_n) < \\frac{\\varepsilon}{2^k} \\]

\u200b\u6545\u200b

\\[ m^*\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty D_n\\right) \\leqslant \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m^*(D_n) = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty \\frac{\\varepsilon}{2^k} = \\varepsilon \\]

\u200b\u7531\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u5f97\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5e76\u200b\u4ecd\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(m(D)=0\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T21

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_k \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E_k)\\to 1 (k \\to \\infty)\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(0< \\lambda < 1\\) \uff0c\u200b\u6709\u5b50\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace E_{k_n} \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m\\left(\\bigcap\\limits_{n=1}^\\infty E_{k_n}\\right) > \\lambda\\).

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\[ m\\left([0,1]-\\bigcap_{n=1}^\\infty E_{k_n} \\right) = m\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty ([0,1]-E_{k_n})\\right) < 1- \\lambda \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(m(E_k)\\to 1\\) \uff0c\u200b\u6545\u5bf9\u200b \\([0,1]-E_{k}\\) \uff0c\u200b\u53ef\u200b\u627e\u5230\u200b\u5b50\u5217\u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ m^*([0,1]-E_{k_n}) < (1-\\lambda) \\frac{1}{2^n} \\]

\u200b\u6545\u7531\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty ([0,1]-E_{k_n})\\right) &< \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m^*([0,1]-E_{k_n})\\\\ &= \\sum\\limits_{n=1}^\\infty (1-\\lambda) \\frac{1}{2^n} \\\\ &= 1-\\lambda \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T22

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_k \\right\\rbrace_{1 \\leqslant k \\leqslant n}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\sum\\limits_{k=1}^n m(E_k) > n-1\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m\\left(\\bigcap\\limits_{k=1}^n E_k\\right)>0. $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8865\u96c6\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m\\left([0,1]-\\bigcap_{k=1}^n E_k\\right) &= m\\left[\\bigcup_{k=1}^n ([0,1]-E_k)\\right] \\\\ & < \\sum\\limits_{k=1}^n [m([0,1]) - m(E_k)] \\\\ &= n-\\sum\\limits_{k=1}^n m(E_k) \\\\ &< n-(n-1) = 1 \\end{aligned} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T24

\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u95ed\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u5217\u200b \\(F_n\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(F_n)\\to m^*(E)\\) \uff1b
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E_n)\\to m^*(E)\\).

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b (1) \\(\\Rightarrow\\) (2) \uff1a

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(E\\) \u200b\u672c\u8eab\u200b\u5373\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53d6\u200b \\(F_n = E\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)=0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ F = \\bigcup_{k=1}^\\infty F^{(k)} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(F^{(k)}\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b

\\[ F_n = \\bigcup_{k=1}^n F^{(k)} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(F_n)\\to m(F)\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(E) = m(E-F)+m(F) = m(F)\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(F_n\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b (2) \\(\\Rightarrow\\) (3) : \u200b\u7531\u4e8e\u200b\u95ed\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\u663e\u7136\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\u8bc1\u660e\u200b (3) \\(\\Rightarrow\\) (1) \uff1a\u200b\u6839\u636e\u200b\u6761\u4ef6\u200b \\(m^*(E_n)\\to m^*(E)\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall \\varepsilon >0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(N>0\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(n > N\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(E)-m^*(E_n) < \\varepsilon \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1a

\\[ m^*(E-E_n)+m^*(E_n) < m^*(E)< m^*(E_n)+\\varepsilon \\]

\u200b\u6545\u200b \\(m^*(E-E_n)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(F = \\bigcup E_n\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E_n\\) \u200b\u5747\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E-F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(E = (E-F)\\cup F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T25

\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b \\(H\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(H \\supset E\\) \uff0c\\(m^*(E)=m(H)\\).

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(m^*(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ E \\subset \\bigcup I_n \\text{ and }m^*(E)+ \\varepsilon > \\sum\\limits_n \\ell (I_n) \\]

\u200b\u53d6\u200b \\(\\varepsilon_m = \\dfrac{1}{m}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6bcf\u6b21\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace I_n^{(m)} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ H_m = \\bigcup_n I_n^{(m)} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(E \\subset H_m\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(H_m\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(H = \\bigcap\\limits_{m=1}^\\infty H_m\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(H\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u4e14\u200b \\(E \\subset H\\) \uff0c\u200b\u6613\u77e5\u200b \\(m^*(E)\\leqslant m^*(H) = m(H)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ m(H) \\leqslant m(H_m) = m\\left(\\bigcup_k I_k^{(m)}\\right) \\leqslant \\sum\\limits_n \\ell (I_n) < m^*(E)+\\varepsilon_m \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(m\\) \u200b\u5747\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(H) \\leqslant m^*(E)\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(m(H)=m^*(E)\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%20-%207/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b - 7","text":"

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT37

\u200b\u8bbe\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u6709\u200b \\(0< \\varepsilon < 1\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5bf9\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(m(E)\\geqslant \\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\\(F\\cap E\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon\\in (0,1)\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(m(E) \\geqslant \\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(F\\cap E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ m(A) \\geqslant m(A\\cap F\\cap E)+m[A\\cap (F \\cap E)^c] \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varepsilon_n = 1- \\dfrac{1}{n}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u603b\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(E_n \\subseteq [0,1]\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E_n) \\geqslant 1- \\dfrac{1}{n}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(F\\cap E_n\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b

\\[ E^{n} = \\bigcup_{i=1}^n E_i , E = \\bigcup_{i=1}^\\infty E_i \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(E) = \\lim\\limits_{n\\to \\infty} m(E^n) = 1\\) . \u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(F\\cap E = \\bigcup (F \\cap E_n)\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(F\\cap E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(F\\cap E^c\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ m^*(F\\cap E^c) \\leqslant m(E^c) = 0 \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(F\\cap E^c\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(F = (F\\cap E)\\cup (F\\cap E^c)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e0e\u9898\u200b\u8bbe\u76f8\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT38

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\\(f(E)\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b \\(Z\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(f(Z)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(f(Z)\\) \u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u4fdd\u6301\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(m(f(Z)) >0\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b T36 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(f(Z)\\) \u200b\u6709\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) . \u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u539f\u200b\u50cf\u200b \\(f^{-1}(A) \\subseteq \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(f^{-1}(A)\\cap Z\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ f(f^{-1}(A)\\cap Z) = A \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(f^{-1}(A)\\cap Z\\) \u200b\u53ea\u80fd\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(Z\\) \u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT39

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(f\\) \u200b\u628a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u53d8\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b \\(f\\) \u200b\u628a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u53d8\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\u7531\u200b T38 \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b. \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6709\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(E\\)\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u5c06\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(f(E)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6709\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff1b\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u65e0\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u622a\u65ad\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\bigcup(E\\cap [-n,n])\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f(E)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)=0\\) . \u200b\u5373\u200b \\(E-F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f(E-F)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ f(E) = f(E-F)\\cup f(F) \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f\\) \u200b\u5c06\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u6620\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT42

\u200b\u8bbe\u200b \\(0<\\varepsilon < 1\\) \uff0c\u200b\u8bd5\u200b\u6784\u9020\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u758f\u96c6\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b Cantor \u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5148\u53d6\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{1-\\varepsilon}{3}\\) \uff0c\u200b\u4e2d\u5fc3\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{1}{2}\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(B\\left(\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1-\\varepsilon}{6}\\right)\\) \uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u5728\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(B\\left(\\dfrac{1}{4},\\dfrac{1-\\varepsilon}{18}\\right)\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(B\\left(\\dfrac{3}{4},\\dfrac{1-\\varepsilon}{18}\\right)\\) . \u200b\u5982\u6b64\u200b\u9012\u63a8\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b

\\[ I_{n,k} = B\\left( \\dfrac{2k-1}{2^n}, \\frac{1- \\varepsilon}{2\\times 3^n} \\right),k=1,2,\\cdots,n \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d6\u200b \\(I = \\bigcup\\limits_{n,k} I_{n,k}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5176\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u6709\u200b

\\[ m(I) = \\sum\\limits_{n,k} m (I_{n,k}) = (1-\\varepsilon)\\sum\\limits_{n=1}^\\infty \\dfrac{2^{n-1}}{3^n} = 1- \\varepsilon \\]

\u200b\u6545\u53d6\u200b \\(E = [0,1]-I\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(m(E) = \\varepsilon\\) .

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u758f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(F \\subset [0,1]\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b \\((a,b)\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u6709\u5b50\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5728\u200b \\(I\\) \u200b\u4e2d\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\((a,b) \\subset I_{n_0,k_0}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u627e\u5230\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4ee4\u200b \\(l=b-a\\) \uff0c

\\[ \\exists m\\in \\mathbb{N}, \\frac{(1-\\varepsilon)}{3^m} < l \\]

\u200b\u5728\u200b\u533a\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u8db3\u591f\u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(I_{m,k} \\subset (a,b)\\) \uff0c\u200b\u6545\u53d6\u200b \\(I_{m,k}\\) \u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\\(I_{m,k}\\cap E = \\varnothing\\) . \u200b\u6545\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u5747\u200b\u53ef\u200b\u627e\u5230\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u4ea4\u4e3a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u758f\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT1

\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(m(\\left\\lbrace f>\\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m(\\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b 10 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m( \\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m\\left(\\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} \\left\\lbrace f >\\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace\\right) \\]

\u200b\u800c\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^+} \\left\\lbrace f> \\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f > \\alpha + \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(\\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u540e\u200b\u4e00\u95ee\u200b\u5373\u8bc1\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^-} m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6362\u200b\u5230\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u5185\u6709\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^-} \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha- \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT4

\u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\([\\alpha,\\beta] \\subset (a,b)\\) \uff0c\\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\([\\alpha,\\beta]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b

\\[ A = \\left\\lbrace x\\in (a,b): f(x) > \\varepsilon \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ A_n = \\left\\lbrace x\\in \\left[a+ \\frac{1}{n},b-\\frac{1}{n}\\right]: f(x) > \\varepsilon \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(A_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ A = \\bigcup_{n=1}^\\infty A_n \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A_n\\) \u200b\u5747\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT5

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(f^2\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b \\(\\left\\lbrace f>0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u7531\u200b \\(f^2\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in D: f^2(x) > \\alpha^2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b. \\(\\alpha=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u7531\u200b\u9898\u610f\u200b\u81ea\u7136\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha>0\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in D: f(x) > \\alpha \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x\\in D : f(x)>0 \\right\\rbrace\\cap \\left\\lbrace x\\in D : f^2(x) > \\alpha^2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5747\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha< 0\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in D: f(x) > \\alpha \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x\\in D : f(x)>0 \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace x\\in D : f^2(x) < \\alpha^2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u540c\u7406\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f>\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%20-%208/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b - 8","text":"

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT1

\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(m(\\left\\lbrace f>\\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m(\\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b 10 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m( \\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m\\left(\\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} \\left\\lbrace f >\\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace\\right) \\]

\u200b\u800c\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^+} \\left\\lbrace f> \\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f > \\alpha + \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(\\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u540e\u200b\u4e00\u95ee\u200b\u5373\u8bc1\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^-} m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6362\u200b\u5230\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u5185\u6709\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^-} \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha- \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT3

\u200b\u82e5\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u6cbf\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b \\(E \\subset \\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(t\\in \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(E_t = \\left\\lbrace x\\in E: f(x)>t \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E_t\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_t\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(E_t = E\\cap G_t\\) .

\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u653e\u5728\u200b\u540e\u9762\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u8be5\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ D_\\alpha = \\left\\lbrace x\\in D: f(x)> \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(D_\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(D_\\alpha = D\\cap G_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x\\in E_t\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(x)>t\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta_x>0\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(y\\in E\\cap B(x,\\delta_x)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(y)>t\\) \uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u4f5c\u5f00\u96c6\u200b\uff1a

\\[ G_t = \\bigcup_{x\\in E_t}B(x,\\delta_x) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(E_t \\subset E\\cap G_t\\) \uff0c\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(B(x,\\delta_x)\\) \u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ E\\cap B(x,\\delta_x) \\subset E_t \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E\\cap G_t \\subset E_t\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\\(E_t = E\\cap G\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT6

\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(r\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f>r \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \uff08\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace f = r \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5982\u4f55\u200b\uff1f\uff09

\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\u7531\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u8bc1\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b\uff1a \u200b\u5373\u8bc1\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\eta \\in \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\eta \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u65f6\u200b\u6839\u636e\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff1b\u200b\u82e5\u200b \\(\\eta\\in \\mathbb{R}-\\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u4e8e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u7684\u200b\u5355\u589e\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace r_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\left\\lbrace f> \\eta \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f > r_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u800c\u200b \\(\\left\\lbrace f> r_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\eta \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace f=r \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(r\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(F \\subset \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b

\\[ f(x) = \\begin{cases} -\\sqrt{2}, & x\\in F \\\\ \\sqrt{2}, & x\\in \\mathbb{R}-F \\end{cases} \\]

\\(\\left\\lbrace f=r \\right\\rbrace\\) \u200b\u5728\u200b \\(r\\in \\mathbb{Q}\\) \u200b\u65f6\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u800c\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\left\\lbrace f= \\sqrt{2} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f\\) \u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT7

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_\\lambda(x) \\right\\rbrace_{\\lambda\\in \\Lambda}\\) \u200b\u662f\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u65cf\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b. \u200b\u8bd5\u95ee\u200b\uff1a\\(f(x) = \\sup\\left\\lbrace f_\\lambda(x): \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u6240\u6709\u200b \\(f_\\lambda(x)\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u53c8\u200b\u5982\u4f55\u200b\uff1f

\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u7684\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in F\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\Lambda = F\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ f_\\lambda(x) = \\begin{cases} 1, & \\lambda = x \\\\ 0, & \\lambda\\neq x \\end{cases} \\]

\\(f_\\lambda (x)\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u200b

\\[ f(x) = \\chi_F(x) \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b.

\u200b\u82e5\u200b\u6240\u6709\u200b \\(f_\\lambda(x)\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\[ V_\\alpha = \\left\\lbrace x\\in [0,1]: f(x)> \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u5747\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b. \u200b\u53d6\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u70b9\u200b\u4e3a\u200b \\(x_0\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u4ec5\u200b\u8003\u8651\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4ec5\u200b\u8003\u8651\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u5f53\u200b \\(f(x_0)> \\alpha\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(f(x_0)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\lambda\\in \\Lambda\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(f_\\lambda(x_0)> \\alpha\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f_\\lambda(x_0)\\) \u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8db3\u591f\u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b \\(\\delta>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\forall y\\in B(x_0,\\delta)\\) \u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(f_\\lambda(y)>\\alpha\\) . \u200b\u6545\u200b \\(f(y)>\\alpha\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x_0\\in V_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(B(x_0,\\delta) \\subset V_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(x_0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5185\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(V_\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT8

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u548c\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\\(f^{-1}(G)\\) \u200b\u548c\u200b \\(f^{-1}(F)\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u53ef\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff1a

\\[ G = \\bigcup_{n=1}^\\infty (a_n,b_n) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\((a_n,b_n)\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(f\\) \u200b\u539f\u50cf\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: a_n < f(x)< b_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ f^{-1}(G) = f^{-1}\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\right) = \\bigcup_{n=1}^\\infty f^{-1}[(a_n,b_n)] \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(f^{-1}(G)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f^{-1}(G)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in f^{-1}\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\right)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(f(x)\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\in (a_1,b_1)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x\\in f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) .

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\\(x\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in f^{-1}[(a_1,b_1)]\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f(x)\\in (a_1,b_1)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f(x)\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\) \uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b \\(x\\in f^{-1}\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\right)\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\\(F^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u6709\u200b \\(F^c\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\\(F\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT9

\u200b\u8bbe\u200b \\(g(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f\\circ g\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u7531\u200b \\(g(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace g_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(g_n(x)\\to g(x)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f\\circ g_n(x)\\to f\\circ g(x)\\) \uff0c\uff08\u200b\u7531\u200b \\(f\\) \u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff09\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(f\\circ g_n\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT10

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(D\\) \u200b\u4e2d\u4f7f\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace\\) \u200b\u6536\u655b\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u5168\u4f53\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e3a\u200b \\(E\\) . \u200b\u5373\u200b

\\[ E = \\left\\lbrace \\lim_{n\\to \\infty} f_n(x) = \\lambda, \\lambda\\in \\mathbb{R} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4f5c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e0d\u200b\u6536\u655b\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(E^c\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(f_n(x)\\) \u200b\u5728\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u95f4\u200b\u6765\u56de\u200b\u632f\u8361\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\exists a,b\\in \\mathbb{Q}(a<b),\\forall n \\in \\mathbb{N}, \\exists k,l \\in \\mathbb{N}(k>n\\land l>n), \\\\ & f_k(x) \\leqslant a < b \\leqslant f_l(x) \\end{aligned} \\]

\u200b\u5373\u200b Cauchy \u200b\u6536\u655b\u200b\u51c6\u5219\u200b\u7684\u200b\u5426\u5b9a\u200b\u5f62\u5f0f\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ E^c = \\bigcup_{\\underset{a<b}{a,b\\in \\mathbb{Q}}} \\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k=n}^\\infty \\bigcup_{l=n}^\\infty ( \\left\\lbrace f_k \\leqslant a \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f_l \\leqslant b \\right\\rbrace ) \\]

\u200b\u6613\u77e5\u200b \\(\\left\\lbrace f \\leqslant a \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f \\leqslant b \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(E^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u53ef\u200b\u6570\u6b21\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(E^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT11

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u5fae\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f'(x)\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\left\\lbrace f' < \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbb{R}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\dfrac{f(x+ \\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} < \\alpha \\]

\u200b\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\forall k \\in \\mathbb{N} ,\\exists l \\in \\mathbb{N} , \\dfrac{f\\left(x+\\dfrac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\dfrac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\text{ and } \\dfrac{f\\left(x-\\dfrac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\dfrac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} & \\left\\lbrace f' < \\alpha \\right\\rbrace = \\\\ & \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{l=1}^\\infty \\left(\\left\\lbrace \\dfrac{f\\left(x+\\frac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\frac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\right\\rbrace \\cap \\left\\lbrace \\dfrac{f\\left(x-\\frac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\frac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\right\\rbrace\\right) \\end{aligned} \\]

\u200b\u800c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u548c\u200b \\(f(x+ \\frac{1}{l})\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(\\left\\lbrace f' < \\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT17

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_k(x) \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(f_k(x)\\to 0, \\mathrm{a.e.}\\) \uff0c\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ m\\left(\\left\\lbrace \\sup_{p \\geqslant k} |f_p(x)| > \\varepsilon \\right\\rbrace\\right)\\to 0(k\\to \\infty) $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1a

\\[ \\lim_{k\\to \\infty}\\left\\lbrace \\sup_{p \\geqslant k}|f_p(x)|> \\varepsilon \\right\\rbrace \\]

\u200b\u7531\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\exists l \\in \\mathbb{N} , \\forall k\\in \\mathbb{N}, \\exists p \\geqslant k , |f_p(x)| > \\frac{1}{l} \\]

\u200b\u6709\u200b

\\[ \\lim_{k\\to \\infty}\\left\\lbrace \\sup_{p \\geqslant k}|f_p(x)|> \\varepsilon \\right\\rbrace = \\bigcup_{l=1}^\\infty \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{p=k}^\\infty \\left\\lbrace |f_p| > \\frac{1}{l} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u800c\u200b \\(f_k(x)\\not\\to 0, \\mathrm{a.e.}\\) \u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{l=1}^\\infty \\bigcap_{k=1}^\\infty\\bigcup_{p=k}^\\infty \\left\\lbrace |f_p(x)|> \\frac{1}{l} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(m(\\left\\lbrace f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b\u8d8b\u4e8e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b. \u200b\u7531\u4e8e\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5145\u5206\u200b\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT19

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_k(x) \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u6709\u200b\u6b63\u200b\u6570\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace a_k \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_k f_k(x)\\to 0 ,\\mathrm{a.e.}\\) .

\u200b\u82e5\u200b\u8981\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_k f_k(x)\\to 0\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace a_k f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\exists l \\in \\mathbb{N}, \\forall k \\in \\mathbb{N} , \\exists p \\geqslant k , |f_p(x)| \\geqslant \\frac{1}{l a_p} \\]

\u200b\u5373\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace a_k f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{l=1}^\\infty \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{p=k}^\\infty \\left\\lbrace |f_p(x)| \\geqslant \\frac{1}{l a_p} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace f_k(x) \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u7d27\u96c6\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b

\\[ a_p = \\frac{1}{2}\\inf_{x\\in[0,1]}\\left\\lbrace \\dfrac{1}{l|f_p(x)|} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u4e2d\u200b \\(a_p>0\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b \\(f_p(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5373\u53ef\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\left\\lbrace |f_p(x)| \\geqslant \\dfrac{1}{l a_p} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fdb\u800c\u200b \\(\\left\\lbrace a_kf_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u6b21\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b\u4e60\u9898","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_1","title":"\u7b26\u53f7\u200b\u7ea6\u5b9a","text":"\u4e66\u672c\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \\(\\mathbf{Q}\\) \\(\\mathbb{Q}\\) \\(\\overline{\\overline{A}}\\) \\(\\| A\\|\\) \u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u53cc\u5c04\u200b \u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u5355\u5c04\u200b \\(a\\) \u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(c\\) \u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_2","title":"\u8bc1\u660e\u200b\u5177\u4f53\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_3","title":"\u6784\u9020\u200b\u53ef\u6570\u200b\u96c6\u5408","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200bT8

\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u6709\u200b \\(M>0\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u7b49\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(x_1,x_2,\\cdots,x_n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\uff1a $$ \\left|\\sum\\limits_{i=1}^n f(x_i)\\right|\\leqslant M $$ \u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(\\left\\lbrace x: f(x)\\neq 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u4e3a\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u8f6c\u5316\u200b\u4e3a\u200b\u66f4\u597d\u200b\u5206\u89e3\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: f(x)\\neq 0 \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x: f(x)>0 \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace x: f(x)<0 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\left\\lbrace x: f(x)>0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: f(x)>0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{i=1}^\\infty \\left\\lbrace x: f(x)> \\frac{1}{n} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5355\u72ec\u200b\u7684\u200b \\(\\left\\lbrace \\displaystyle x: f(x)> \\frac{1}{n} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4ece\u4e2d\u200b\u53d6\u51fa\u200b \\(nM\\) \u200b\u4e2a\u70b9\u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^{nM} f(x_i) > M \\]

\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u539f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_4","title":"\u6784\u9020\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200bT18

\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u5168\u4f53\u200b\u53ca\u200b\u6709\u7406\u200b\u7cfb\u6570\u200b\u591a\u9879\u5f0f\u200b\u5168\u4f53\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u6709\u9650\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u8bbe\u6709\u200b \\(m\\) \u200b\u9879\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &f: \\left\\lbrace a_1, a_2,\\cdots , a_m \\right\\rbrace = \\\\ &(m,a_1,a_2,\\cdots,a_m)\\in \\mathbb{N}\\times \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace\\times \\cdots \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u662f\u200b \\(\\mathbb{N}\\) \u200b\u4e0e\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4ece\u200b \\(m=1\\) \u200b\u5e76\u200b\u5230\u200b \\(\\infty\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u591a\u9879\u5f0f\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6ce8\u610f\u200b

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u4e0d\u8981\u200b\u5f04\u6df7\u200b\u4e86\u200b\u5e76\u200b\u548c\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u5173\u7cfb\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_5","title":"\u5177\u4f53\u200b\u53cc\u5c04\u200b\u6784\u9020","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#hilbert","title":"Hilbert \u200b\u65c5\u9986\u200b\u4e0e\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b T22(i)

\u200b\u5177\u4f53\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff1a

(i) \\([0,1]\\) \u200b\u548c\u200b \\((0,1)\\)

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u200b\u56de\u987e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b Hilbert \u200b\u65c5\u9986\u200b\u7684\u200b\u601d\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u89e3\u200b\uff1a \u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b \\(0,1\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6765\u5ba2\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u627e\u5230\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u632a\u52a8\u200b\u7b56\u7565\u200b\u3002\u200b\u8bbe\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9996\u5148\u200b\u8bbe\u200b \u201c\u200b\u65c5\u9986\u200b\u201d \u200b\u4e3a\u200b

\\[ A = \\left\\lbrace 0,1,\\frac{1}{2},\\frac{1}{3},\\cdots , \\frac{1}{n},\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u200b \\(x\\not\\in A\\) \uff0c\u200b\u7edf\u4e00\u200b \\(f(x) = x\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8ba9\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5ba2\u4eba\u200b\u5f80\u540e\u200b\u632a\u52a8\u200b\u4e24\u4f4d\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ f(x) = \\begin{cases} \\dfrac{1}{2} ,x=0\\\\ \\dfrac{1}{x+2}, x \\in \\mathbb{N}_+ \\\\ \\end{cases} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u9020\u200b\u7684\u200b \\(f\\) \u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b. \\(\\square\\)

HINT

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u662f\u200b\u6784\u9020\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u53cc\u5c04\u200b\u7684\u200b\u901a\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u627e\u5230\u200b\u201c\u200b\u6765\u5ba2\u200b\u201d\u200b\u548c\u200b\u79fb\u52a8\u200b\u7b56\u7565\u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u9009\u7528\u200b\u5df2\u77e5\u200b\u901a\u9879\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4f7f\u7528\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u632a\u52a8\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u62d3\u5c55\u200b

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5c06\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u9650\u5236\u200b\uff1a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u5426\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1f

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_6","title":"\u4e0d\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u53ca\u5176\u200b\u76f4\u79ef\u95f4\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u548c\u200b\u5c0f\u6570\u200b\u8868\u793a\u200b\u7684\u200b\u5e94\u7528\u200b.

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b T22(ii)

\u200b\u5177\u4f53\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff1a

(ii) \\((0,1]\\) \u200b\u4e0e\u200b \\((0,1]\\times (0,1]\\)

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u663e\u7136\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b \u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b \u200b\u4e00\u8282\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u7684\u200b\u5904\u7406\u200b\u662f\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\((0,1]\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9996\u5148\u200b\u5229\u7528\u200b\u5c0f\u6570\u200b\u8868\u793a\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u5168\u4f53\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &x = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty \\frac{x_i}{2^i}, \\\\ &f(x) = (x_1,x_2,\\cdots,x_n,\\cdots) \\end{aligned} \\]

\\(f\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b.

\u200b\u7136\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u518d\u200b\u5c06\u200b \\((0,1]\\times (0,1]\\) \u200b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} x_1^{(1)},x_2^{(1)},\\cdots \\\\ x_1^{(2)},x_2^{(2)},\\cdots \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u6309\u7167\u200b\u6bcf\u5217\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\((x_1,x_2)\\in (0,1]\\times (0,1]\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ g: (x_1,x_2) \\to (x_1^{(1)},x_1^{(2)},x_2^{(1)},\\cdots) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5230\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5c06\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\u590d\u5408\u200b\u6709\u200b \\(fg^{-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_7","title":"\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#bernstein","title":"\u5229\u7528\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b T23

\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\u6709\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(2^c\\) .

HINT

\u200b\u5728\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u6216\u8005\u200b\u8d85\u8d8a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b\u4f1a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{F}\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(|\\mathcal{F}|\\geqslant 2^c\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b \\(\\chi_A\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(A\\subset \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\chi_A\\) \u200b\u4e0e\u5176\u200b\u5bf9\u5e94\u200b.

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(|\\mathcal{F}| \\leqslant 2^c\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace (x,f(x)): x\\in A, A\\subset \\mathbb{R} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(f\\in \\mathcal{F}\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\mathbb{R}^2\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u4e4b\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathbb{R}\\sim \\mathbb{R}^2\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5f97\u8bc1\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/","title":"Intro & \u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#intro_1","title":"Intro","text":"

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u79ef\u5206\u200b\u7684\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a

\\[ \\int_a^{+\\infty}\\mathrm{d}x\\int_c^\\infty f(x,y)\\mathrm{d}y = \\int_c^\\infty \\mathrm{d}y\\int_a ^\\infty f(x,y)\\mathrm{d}x \\]

\u200b\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u9700\u8981\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1f\u200b\u5728\u200b Riemann \u200b\u79ef\u5206\u200b\u7684\u200b\u80cc\u666f\u200b\u4e0b\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u56f0\u96be\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5f15\u5165\u200b Lebesgue \u200b\u79ef\u5206\u200b.

\u200b\u56de\u987e\u200b Riemann \u200b\u79ef\u5206\u200b\uff1a

\\[ \\lim_{\\max(x_k-x_{k-1})\\to 0} \\sum\\limits_{k=1}^n f(\\xi_k)(x_k-x_{k-1}) \\]

\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b \u200b\u65f6\u200b\uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6781\u9650\u200b\u8d8b\u4e8e\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e5f\u200b\u8bf4\u200b\u5b58\u5728\u200b \uff09\u200b\u5c31\u662f\u200b Riemann \u200b\u79ef\u5206\u200b\u7684\u200b\u503c\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b Riemann \u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u79ef\u200b.

\u200b\u800c\u200b Lebesgue \u200b\u79ef\u5206\u200b\u76f8\u5f53\u4e8e\u200b\u201c\u200b\u6a2a\u7740\u200b\u5207\u200b\u201d\uff0c\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{k=1}^n |\\left\\lbrace x: y_{k-1}\\leqslant f(x)< y_k \\right\\rbrace| y_{k-1} \\]

\u200b\u5728\u200b\u6b64\u4ec5\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u611f\u89c9\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u66f4\u200b\u6df1\u5165\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b.

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\u200b\u8be5\u200b\u90e8\u5206\u200b\u5197\u4f59\u200b\u90e8\u5206\u200b\u8f83\u200b\u591a\u200b\uff0c\u200b\u53c2\u8003\u200b\u6559\u6750\u200b\u5373\u53ef\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_3","title":"\u96c6\u65cf","text":"

\u200b\u8bbe\u200b \\(X\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(X\\) \u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e9b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \u200b\u96c6\u65cf\u200b \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathcal{X}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u96c6\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathcal{X}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{X}\\) \u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup \\left\\lbrace A: A\\in \\mathcal{X} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x: \\exists A\\in X, \\text{s.t. } x\\in A\\right\\rbrace \\]

\u200b\u96c6\u65cf\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u57fa\u672c\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u505a\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_4","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_5","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u5355\u8c03\u200b\u6027","text":"

\u200b\u8bbe\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace A_n \\right\\rbrace_{n\\geqslant1}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u82e5\u200b

\\[ A_1\\subset A_2 \\subset \\cdots \\subset A_n\\subset \\cdots \\]

\u200b\u5219\u200b\u8be5\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u5411\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_6","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650","text":"

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace A_n \\right\\rbrace_{n\\geqslant 1}\\) \uff0c\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u4e3a\u200b

\\[ B_n = \\bigcup_{k=n}^\\infty A_k , C_n = \\bigcap_{k=n}^\\infty A_k \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5355\u8c03\u200b\u6027\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u5224\u65ad\u200b \\(\\left\\lbrace B_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\left\\lbrace C_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\u548c\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b \\(\\left\\lbrace B_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace A_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ \\varlimsup_{n\\to \\infty} A_n = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k=n}^\\infty A_k $$ \u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace C_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ \\varliminf_{n\\to \\infty} A_n = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcap_{k=n}^\\infty A_k $$

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8be5\u200b\u5982\u4f55\u200b\u7406\u89e3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff1f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(B_n\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u65ad\u200b\u53bb\u6389\u200b \\(A_n\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5c31\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(A_k\\) \u200b\u90fd\u200b\u5305\u542b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e8e\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(A_k\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b.

\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\uff0c\u200b\u6709\u9650\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(A_k\\) \u200b\u4e0d\u200b\u542b\u6709\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6784\u6210\u200b\u4e86\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4f1a\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8ba8\u8bba\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A_n = \\left\\lbrace \\dfrac{m}{n} : m\\in \\mathbb{Z} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \\(\\displaystyle\\varlimsup_{n\\to \\infty}{A_n} = \\mathbb{Q}\\) \uff0c \\(\\displaystyle\\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n} = \\mathbb{Z}\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b \\(\\mathbb{Z}\\subset A_n \\subset \\mathbb{Q}\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b

\\[ \\mathbb{Z} \\subset \\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n} , \\varlimsup_{n\\to \\infty}{A_n} \\subset \\mathbb{Q} \\]

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\displaystyle\\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n} \\subset \\mathbb{Z}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bbe\u200b \\(\\displaystyle x\\in \\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n}\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in A_n\\cap A_{n+1}\\) \uff08\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in \\displaystyle\\bigcap_{k=n_0}^\\infty A_k\\) \uff09\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b

\\[ x = \\frac{m_{n}}{n} = \\frac{m_{n+1}}{n+1} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(m_n\\) \u200b\u548c\u200b \\(m_{n+1}\\) \u200b\u662f\u200b\u6574\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5dee\u6bd4\u200b\u6027\u8d28\u200b\u6709\u200b \\(x = m_{n+1}-m_n\\in \\mathbb{Z}\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5305\u542b\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u518d\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\mathbb{Q} \\subset \\displaystyle\\varlimsup_{n\\to \\infty}{A_n}\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in \\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b \\(x = \\dfrac{p}{q}, p,q\\in \\mathbb{Z}\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u603b\u6709\u200b

\\[ \\dfrac{p}{q} = \\dfrac{np}{nq} \\in \\displaystyle\\bigcup_{k=n}^\\infty A_k \\]

\u200b\u8fdb\u800c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5305\u542b\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%98%A0%E5%B0%84/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b - \u200b\u6620\u5c04","text":"

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6620\u5c04\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u91cc\u9762\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u900f\u5f7b\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u53ea\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%98%A0%E5%B0%84/#_1","title":"\u7279\u5f81\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\chi_A(x) = \\begin{cases} 1, x\\in A, \\\\ 0, x\\not\\in A. \\end{cases} \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u4e0e\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5305\u542b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a
  2. \u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff1a
  3. \u200b\u8865\u96c6\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a
  4. \u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u5dee\u200b\uff1a
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\u200b\u4e66\u672c\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \\(\\mathbf{Q}\\) \\(\\mathbb{Q}\\) \\(\\overline{\\overline{A}}\\) $ | A | $ \u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u53cc\u5c04\u200b \u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u5355\u5c04"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_3","title":"\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u96c6\u5408\u200b\u95f4\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\sim B\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u91cc\u9762\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u5f88\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u6027\u8d28\u200b

  1. \uff08\u200b\u81ea\u53cd\u6027\u200b\uff09\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u6709\u200b \\(A\\sim A\\) .
  2. \uff08\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u6027\u200b\uff09\u200b\u82e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\sim B\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(B\\sim A\\) .
  3. \uff08\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff09\u200b\u82e5\u200b \\(A\\sim B\\) \u200b\u4e14\u200b \\(B\\sim C\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(A\\sim C\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u200b\u52a0\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5730\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e76\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace A_\\lambda: \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u65cf\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace B_\\lambda: \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\lambda \\in \\Lambda\\) \u200b\u6709\u200b \\(A_\\lambda \\sim B_\\lambda\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ \\bigcup\\left\\lbrace A_\\lambda: \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace \\sim \\bigcup \\left\\lbrace B_\\lambda : \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace$$

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_4","title":"\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\u3001\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\u3001\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u3001\u200b\u65e0\u9650\u200b\u548c\u200b\u53ef\u6570\u200b\uff1a - \u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A \\sim \\left\\lbrace 1,2,\\cdots,n \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff1b - \u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(A\\sim \\mathbb{N}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u76f8\u5173\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28\u200b

  1. \u200b\u4efb\u610f\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u5fc5\u200b\u542b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1b
  2. \u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff1b
  3. \u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff1b

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u53ea\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u76f4\u89c2\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6570\u9635\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{cccc} a_1^{(1)} & a_2^{(1)} & a_3^{(1)} &\\cdots \\\\ a_1^{(2)} & a_2^{(2)} & a_3^{(2)} & \\cdots \\\\ a_1^{(3)} & a_2^{(3)} & a_3^{(3)} & \\cdots \\end{array} \\]

\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8d70\u200b\u201c\u200b\u4e4b\u200b\u201d\u200b\u5b57\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b\u540c\u6837\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b\uff08\u200b\u867d\u7136\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u672c\u8eab\u200b\u5c31\u8981\u200b\u66f4\u5f3a\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\uff09. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b + \u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u201c\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u201d\u200b\u4e0d\u53d8\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\\(B\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\sim A\\cup B\\) .

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(A_1\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ A = (A-A_1)\\cup A_1 \\sim (A-A_1)\\cup (A_1\\cup B) = A\\cup B \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6ce8\u610f\u200b

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u9650\u5236\u200b\u53ef\u6570\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u7ecf\u5e38\u200b\u5e94\u7528\u200b\u5230\u200b.

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\u200b\u65e2\u7136\u200b\u6709\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u5730\u6709\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u770b\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u533a\u95f4\u200b\uff1a

\u200b\u82e5\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace a_1,a_2,\\cdots,a_n,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u53d6\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(I_1\\)\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_1 \\not\\in I_1\\subset [0,1]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u200b \\(I_2\\subset I_1\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_2\\not \\in I_2\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(a_n\\not\\in I_n\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u8981\u6c42\u200b \\(\\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b\uff08\u200b\u66f4\u597d\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5bf9\u534a\u5206\u200b\uff09.

\u200b\u6839\u636e\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5957\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(\\xi\\in \\prod\\limits_{i=1}^\\infty I_i\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\xi \\not \\in I_n\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\xi \\neq a_n\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\xi \\in [0,1]\\) \u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u548c\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u6210\u4e3a\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(A\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(|A| = c\\) .

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u80fd\u5426\u200b\u5bfb\u627e\u200b\u5230\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u7814\u7a76\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#n","title":"\\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u603b\u80fd\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u9650\u5c0f\u6570\u200b\uff1a

\\[ a = 0.a_1a_2a_3\\cdots a_n\\cdots \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b\u672c\u6765\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u52a0\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(0\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ a = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty \\frac{a_k}{10^k} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ f: a\\in [0,1] \\to \\left\\lbrace a_1,a_2,\\cdots,a_n,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7684\u200b \\(a_k\\in \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,9 \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b

\u200b\u82e5\u200b\u6570\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace a_k \\right\\rbrace_{k\\geqslant 1}\\) \u200b\u7684\u200b\u9879\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u7531\u200b \\(0,1,\\cdots,n-1\\) \u200b\u8fd9\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u6570\u200b\u6784\u6210\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u8be5\u6570\u200b\u5217\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u521a\u521a\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b \\(10\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e0e\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n (n\\geqslant 2)\\) \u200b\u5143\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u4e5f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff1f

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5f0f\u5b50\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ a = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty \\dfrac{a_k}{n^k} \\]

\u200b\u4e25\u683c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53c2\u7167\u200b\u4e66\u672c\u200b\uff0c\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u9879\u200b\u5939\u200b\u903c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b\u7b2c\u4e00\u4f4d\u200b\u5f00\u59cb\u200b\u5f97\u5230\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^m \\frac{k_i-1}{n^i} < x \\leqslant \\sum\\limits_{i=1}^{m-1}\\frac{k_i-1}{n^i} +\\frac{k_m}{n^m} \\]

\u200b\u53d6\u200b\u6781\u9650\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u63d0\u793a\u200b\uff1a\u200b\u66f4\u4e3a\u200b\u76f4\u89c2\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\u65b9\u5f0f\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u200b\u76f4\u89c2\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u770b\u4f5c\u200b \\(n\\) \u200b\u8fdb\u5236\u200b\u4e0b\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u6570\u200b\u8868\u793a\u200b. \\(n=10\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6700\u200b\u719f\u6089\u200b\u7684\u200b\u5341\u8fdb\u5236\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u6839\u636e\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\u5e76\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u201c\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u201d\u200b\u4e0d\u53d8\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\([0,1]\\sim (0,1)\\) . \u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5408\u9002\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u53d1\u73b0\u200b \\(\\mathbb{R}\\sim (0,1)\\) \uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u53cc\u5c04\u200b \\(f(x) = \\dfrac{1}{1+ \\mathrm{e}^{-x}}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_7","title":"\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u56e0\u800c\u200b\u6709\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u7684\u200b\u60f3\u6cd5\u200b\uff1a\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u501f\u52a9\u200b\u5148\u524d\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u6765\u200b\u5370\u8bc1\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u70b9\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b\u5230\u200b \\(\\mathbb{R}^2 = \\mathbb{R}\\times \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u66f4\u5f3a\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u4ecd\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b

\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u4e3a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u8d77\u200b\u89c1\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bbe\u200b \\(X_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b

\\[ X = \\prod_{n=1}^\\infty X_n \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(x\\in X\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b

\\[ x = (x_1,x_2,\\cdots,x_n,\\cdots) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(x_i\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b

\\[ x_i = (x_1^{(i)},x_2^{(i)},\\cdots,x_n^{(i)},\\cdots) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u5957\u7528\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{cccc} x_1^{(1)} & x_2^{(1)} & x_3^{(1)} &\\cdots \\\\ x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & x_3^{(2)} & \\cdots \\\\ x_1^{(3)} & x_2^{(3)} & x_3^{(3)} & \\cdots \\end{array} \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u8d70\u200b\u201c\u200b\u4e4b\u200b\u201d\u200b\u5b57\u5f62\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ f(x) = \\left\\lbrace x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_1^{(2)},x_1^{(3)},x^{(2)}_2,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u6cbf\u200b\u4e4b\u5b57\u5f62\u200b\u6392\u200b\u597d\u200b\uff0c\u200b\u540c\u6837\u200b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5224\u65ad\u200b\uff1a

\u200b\u89e3\u9898\u200b\u63d0\u793a\u200b

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u63d0\u4f9b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6784\u9020\u200b\u6620\u5c04\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b \u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b T22 (ii) \u200b\u7684\u200b\u7075\u611f\u200b\u6765\u6e90\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_8","title":"\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_9","title":"\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u5939\u200b\u903c","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5939\u200b\u903c\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A_0,A_1,A_2\\) \u200b\u662f\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ A_2 \\subset A_1 \\subset A_0 $$ \u200b\u82e5\u200b \\(A_0 \\sim A_2\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A_0\\sim A_1\\).

\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53c2\u8003\u200b\u6559\u6750\u200b. \uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u6784\u9020\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff09 \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#bernstein","title":"\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4e0e\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5f15\u5165\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(\\leqslant\\) \uff0c\u200b\u4e00\u822c\u800c\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(|A|\\leqslant|B|\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5177\u6709\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u6027\u8d28\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u601d\u8003\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall A, |A|\\leqslant |A|\\) .
  2. \\(|A|\\leqslant |B|\\) \u200b\u4e14\u200b \\(|B| \\leqslant |C|\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(|A|\\leqslant |C|\\) .
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(|A|\\leqslant |B|\\) \u200b\u4e14\u200b \\(|B|\\leqslant |A|\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(|A|=|B|\\) . (Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b)

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6700\u4e3a\u200b\u91cd\u8981\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u7ed9\u200b\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u6765\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \uff08\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u4e8e\u200b \\(A \\subset B\\) \u200b\u548c\u200b \\(B \\subset A\\) \u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(A=B\\)\uff09.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a (1) \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A \\sim A\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(|A|\\leqslant |A|\\) .

(2) \u200b\u8bbe\u200b \\(A\\sim B_1\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(B_1 \\subset B\\) \uff0c\\(B\\sim C_1\\) \uff0c\\(C_1\\subset C\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5bf9\u200b\u6620\u5c04\u200b\u7684\u200b\u9650\u5236\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(A\\sim C_2\\) \uff0c\\(C_2 \\subset C_1 \\subset C\\) .

(3) Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(|A|\\leqslant |B|\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ A\\sim B_1 , B_1 \\subset B \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(|B|\\leqslant |A|\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ B \\sim A_1 , A_1 \\subset A \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(B_1 \\subset B\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ B_1 \\sim A_2 , A_2 \\subset A_1 \\]

\u200b\u6545\u200b \\(A\\sim A_2\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A_2 \\subset A_1 \\subset A\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(A\\sim A_1 \\sim B\\) . \u200b\u6545\u200b \\(|A| = |B|\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\leqslant\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u786e\u5b9a\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0d\u7b49\u4ef7\u200b\u4e14\u200b \\(|A|\\leqslant |B|\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(|A|<|B|\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(|A| = n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u5728\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u96c6\u65cf\u200b \\(\\mathcal{A}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(|\\mathcal{A}| = 2^n\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\mu\\)\uff0c\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u96c6\u65cf\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b\u540c\u6837\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(2^ \\mu\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u9700\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u662f\u5426\u200b\u6052\u6709\u200b \\(\\mu< 2^\\mu\\) \uff1f

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u57fa\u6570\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b\u96c6\u200b

\\[ \\mu< 2^\\mu \\]

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathcal{A}\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\left\\lbrace \\left\\lbrace x \\right\\rbrace : x\\in A\\right\\rbrace\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(\\mathcal{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(|A|\\leqslant \\mathcal{A}\\) . \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e24\u8005\u200b\u4e0d\u7b49\u4ef7\u200b.

\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff1a\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(f: A \\to \\mathcal{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(x\\in A\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c \\(f(x)\\subset A\\) .

\u200b\u4ee4\u200b

\\[ A^* = \\left\\lbrace x\\in A: x\\not\\in f(x) \\right\\rbrace \\] \u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u662f\u200b\u600e\u4e48\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u7684\u200b\uff1f

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u662f\u200b\u7531\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A^* \\subset A\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u6444\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x^*\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(f(x^*) = A^*\\) \uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/","title":"\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u62d3\u6251","text":"

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u5b66\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5df2\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u7684\u200b\u7edd\u5927\u90e8\u5206\u200b\u5185\u5bb9\u200b\uff08\u200b\u5ea6\u91cf\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u4f5c\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e0a\u200b\u624d\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u8865\u5145\u200b.

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\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6709\u4e2a\u200b\u5f88\u200b\u81ea\u7136\u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u533a\u95f4\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\uff0c \u200b\u6709\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u65cf\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5199\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a

\\[ f: (a,b)\\subset \\mathbb{R}\\to (a,b) \\in \\mathbb{R}^2 \\]

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u548c\u200b \\(\\mathbb{R}^2\\) \u200b\u7b49\u52bf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5f00\u7403\u200b\u548c\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#_2","title":"\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4","text":"

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\u200b\u8bbe\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b, \\((a,b)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b, \u200b\u82e5\u200b \\((a,b)\\subset G\\) \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(a\\not\\in G\\) \u200b\u4e14\u200b \\(b\\not\\in G\\) , \u200b\u5219\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u76f4\u89c2\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7531\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7ec4\u6210\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(G = (0,1)\\cup (4,5)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((0,1)\\) \u200b\u548c\u200b \\((4,5)\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in G\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\((x-\\varepsilon,x+\\varepsilon)\\subset G\\) \uff0c\u200b\u73b0\u4ee4\u200b\uff1a

\\[ b = \\sup \\left\\lbrace b'>x : (x,b')\\subset G \\right\\rbrace , a = \\inf\\left\\lbrace a'<x : (a',x)\\subset G \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5219\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(x\\in (a,b)\\) \uff08\u200b\u5177\u4f53\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7ec6\u8282\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff09. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff0c\\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u95f4\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#_3","title":"\u758f\u96c6\u200b\u548c\u200b\u7a20\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u758f\u96c6\u200b\u548c\u200b\u7a20\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E \\subset \\mathbb{R}^n\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u5fc5\u6709\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u758f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u6709\u200b\u975e\u7a7a\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7a20\u96c6\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbb{Z}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u758f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7a20\u96c6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#mathbbr-cantor-cantor","title":"\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u3001Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u548c\u200b Cantor \u200b\u51fd\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#_4","title":"\u5b8c\u5907\u200b\u96c6","text":"

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u4ec5\u200b\u63d0\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u672f\u8bed\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u200b. \u200b\u542c\u200b\u8d77\u6765\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e0e\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u5b66\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u5ea6\u91cf\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4ece\u200b\u82f1\u6587\u200b\u6765\u770b\u200b\u4e24\u8005\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5f88\u5927\u200b. \uff08\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b Perfect Set \uff0c\u200b\u800c\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u5ea6\u91cf\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u5219\u200b\u662f\u200b Complete Metric Space \uff09

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u5728\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u62d3\u6251\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u662f\u200b\u4f1a\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u65e0\u9700\u200b\u8fc7\u591a\u200b\u5173\u6ce8\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#mathbbr","title":"\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6","text":"

\u200b\u8bbe\u200b \\(F \\subset \\mathbb{R}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(F^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(F^c\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b

\\[ F^c = \\bigcup_{n=1}^\\infty (a_n,b_n) \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b \\(F\\) \u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u4f53\u73b0\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b.

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(F^c\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(F\\) \u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u800c\u200b\u4e3a\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7efc\u4e0a\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5145\u5206\u200b\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b \\(F^c =\\mathbb{R}-F\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u4e14\u200b\u65e0\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e3a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6784\u9020\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u63d0\u4f9b\u200b\u4e86\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u57fa\u7840\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#cantor","title":"Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6784\u9020\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6784\u9020\u65b9\u6cd5\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a \u200b\u5728\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u533a\u95f4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e09\u7b49\u5206\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(\\left(\\frac{1}{3},\\frac{2}{3}\\right)\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ f(x) = \\frac{1}{2}, x\\in I_{1,1} \\]

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u7ee7\u7eed\u200b\u4e09\u7b49\u5206\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u8d70\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(I_{2,1} = (\\frac{1}{9},\\frac{2}{9})\\) \u200b\u548c\u200b \\(I_{2,2}=(\\frac{7}{9},\\frac{8}{9})\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ f(x) = \\frac{2k-1}{2^2} ,x\\in I_{2,k} ,k=1,2 \\]

\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b65\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b \\(2^{n-1}\\) \u200b\u4e2a\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\frac{1}{3^{n-1}}\\) \u200b\u7684\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e0a\u53d6\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\frac{1}{3^n}\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b

\\[ f(x) = \\frac{2k-1}{2^n}, x\\in I_{n,k},k=1,2,\\cdots,2^{n-1} \\]

\uff08\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5c31\u662f\u200b\u540e\u7eed\u200b\u8981\u200b\u8bb2\u200b\u5230\u200b\u7684\u200b Cantor \u200b\u51fd\u6570\u200b\uff09 \u200b\u65e0\u9650\u200b\u5730\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e0b\u53bb\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bb0\u200b

\\[ G = \\bigcup_{n=1}^\\infty\\left\\lbrace I_{n,k}:1 \\leqslant k \\leqslant 2^{n-1},k\\in \\mathbb{N} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(I_{n,k}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u4ee5\u200b \\(0,1\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ C = \\mathbb{R}-[(-\\infty,0)\\cup G \\cup (0,+\\infty)] = [0,1]-G \\]

\u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b. \u200b\u79f0\u200b \\(C\\) \u200b\u4e3a\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ I_{1,1},I_{2,1},I_{2,2},\\cdots,I_{n,1},\\cdots,I_{n,2^{n-1}},\\cdots \\]

\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u52a0\u200b\u8d77\u6765\u200b\uff1a

\\[ \\frac{1}{3}+ \\frac{2}{3^2}+\\frac{2^2}{3^3} +\\cdots =\\sum\\limits_{n=1}^\\infty\\frac{2^{n-1}}{3^n} = 1 \\]"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#cantor_1","title":"Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5229\u7528\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff1a\u200b\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x\\not\\in \\overline{G}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(x\\in [0,1]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\forall (x,\\varepsilon),(x,\\varepsilon)\\cap G = \\varnothing . \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u603b\u80fd\u200b\u627e\u5230\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\frac{1}{3^n}<\\varepsilon\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b65\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u5269\u4f59\u200b \\(2^n\\) \u200b\u4e2a\u200b \\(\\frac{1}{3^n}\\) \u200b\u957f\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u8d70\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b \\(\\frac{1}{3^n}\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e0e\u200b \\((x,\\varepsilon)\\) \u200b\u4ea4\u4e3a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b. \u200b\u4ece\u800c\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e0e\u200b\u524d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7531\u200b\u5176\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5bfc\u51fa\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b \\(C\\) \u200b\u4f3c\u4e4e\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u591a\u5c11\u200b\u70b9\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aCantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b

\\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u65e0\u9650\u200b\u4e09\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff1a

\\[ x = \\sum\\limits_{n=1}^\\infty \\frac{a_n}{3^n} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(I_{1,1} = (\\frac{1}{3},\\frac{2}{3})\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b \\(x\\)\uff0c\\(a_1=1\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(I_{2,1} = (\\frac{1}{9},\\frac{2}{9})\\) \u200b\u548c\u200b \\(I_{2,2} = (\\frac{7}{9},\\frac{8}{9})\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(a_2=1\\) .

\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\uff0c\\(I_{n,k}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(a_n=1\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5230\u200b\u542b\u6709\u200b \\(1\\) \u200b\u7684\u200b\u9879\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u7531\u200b \\(0,2\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u4e09\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u4e86\u200b \\(C\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b \uff08\u200b\u4ec5\u200b\u7531\u200b \\(0,2\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5230\u200b\u65e0\u9650\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff09. \\(\\square\\)

Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u5411\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c55\u793a\u200b\u4e86\u200b\uff1a\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \uff08\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff09.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#cantor_2","title":"Cantor \u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u9020\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b \\(C=[0,1]-G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u987a\u5e26\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f(x)\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(g\\) \uff1a

\\[ \\begin{aligned} &g(1)=1, \\\\ &g(x) = \\inf\\left\\lbrace f(y):y>x ,y\\in G\\right\\rbrace,0\\leqslant x <1 \\end{aligned} \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in G\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u663e\u7136\u200b \\(f(x)=g(x)\\) . \\(g(G)\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7a20\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(g([0,1])\\) \u200b\u4e3a\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u7684\u200b\u7a20\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(g\\) \u200b\u5728\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e0d\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x_0\\in [0,1]\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ g(x_0-0)< g(x_0+0) \\]

\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(g(x_0-0)\\neq g(x_0)\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(g\\) \u200b\u4e3a\u200b\u9012\u589e\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b

\\[ (g(x_0-0),g(x_0))\\cap g([0,1]) = \\varnothing. \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u548c\u200b \\(g([0,1])\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7a20\u96c6\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u4e3a\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u5373\u200b\u88ab\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\u5230\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5355\u589e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Cantor \u200b\u51fd\u6570\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#mathbbrn_1","title":"\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u957f\u65b9\u4f53","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\u3001\u200b\u534a\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\u3001\u200b\u95ed\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b

\u200b\u8bbe\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(k\\) \uff0c\\(1 \\leqslant k \\leqslant n\\) \uff0c\\(a_k< b_k\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ \\prod_{k=1}^n (a_k,b_k), \\prod_{k=1}^n (a_k,b_k],\\prod_{k=1}^n [a_k,b_k]$$ \u200b\u5206\u522b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\u3001\u200b\u534a\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u95ed\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b. \\(b_k-a_k\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8fb9\u957f\u200b\uff0c\\(\\displaystyle \\prod_{k=1}^n (b_k-a_k)\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4f53\u79ef\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(k \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b \\(\\mathcal{A}_k\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f62\u200b\u5982\u200b

\\[ \\prod_{i=1}^n \\left(\\frac{s_i-1}{2^k},\\frac{s_i}{2^k}\\right] \\]

\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b

\\[ (s_1,s_2,\\cdots,s_n) \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u6574\u6570\u200b\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4e14\u200b\u8fb9\u957f\u200b\u4e3a\u200b \\(\\frac{1}{2^k}\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) .

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \uff0c\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u7684\u200b\u601d\u8def\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u6e05\u6670\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b \\(G\\) \u200b\u5148\u200b\u7528\u200b\u4f53\u79ef\u200b\u8f83\u5927\u200b\u7684\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u586b\u5145\u200b\uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u518d\u7528\u200b\u5c0f\u65b9\u4f53\u200b\u586b\u5145\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u65ad\u200b\u8865\u5145\u200b\u7f1d\u9699\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u7528\u200b\u66f4\u200b\u7b26\u53f7\u5316\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff1a\\(\\mathcal{A}_1'\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\mathcal{A}_1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff1b\u200b\u7528\u200b \\(\\mathcal{A}_2'\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\mathcal{A}_2\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(G-\\bigcup \\mathcal{A}_1'\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u2026\u2026

\u200b\u73b0\u5728\u200b

\\[ \\bigcup_{k=1}^\\infty \\mathcal{A}_k' \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u65cf\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u663e\u7136\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(G\\) .

\u200b\u82e5\u200b \\(x\\in G\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(V(x,\\varepsilon)\\subset G\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b \\(k\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u6709\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u4e00\u5217\u200b\u6574\u6570\u200b \\((s_1,s_2,\\cdots,s_n)\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ x= (x_1,x_2,\\cdots,x_n)\\in \\prod_{i=1}^n \\left(\\frac{s_i-1}{2^k},\\frac{s_i}{2^k}\\right] \\subset V(x,\\varepsilon)\\subset G \\]

\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(x\\) \u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/","title":"Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_1","title":"\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u6570","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u53ea\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u9700\u8981\u200b\u7279\u522b\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ 0\\cdot \\infty \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u662f\u200b \\(0\\) \uff0c\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u200b\u53cd\u200b\u76f4\u89c9\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u5f0f\u5b50\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(0\\) \u200b\u5b83\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u771f\u6b63\u200b\u7684\u200b \\(0\\) \uff0c\u200b\u800c\u662f\u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u4e8e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b.

\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7b80\u5199\u200b \\(+\\infty\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) .

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_2","title":"\u5f15\u8a00\u200b\uff1a\u200b\u6d4b\u5ea6","text":"

\u200b\u5bf9\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5176\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7aef\u70b9\u200b\u7684\u200b\u8ddd\u79bb\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\ell ([0,1]) = 1, \\ell ((0,1)) = 1 , \\ell ([1,+\\infty)) = \\infty \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e0c\u671b\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5230\u200b\u66f4\u200b\u590d\u6742\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u96c6\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u53bb\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\Omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u96c6\u200b\u65cf\u200b\uff0c\\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(m(E)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u957f\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e0c\u671b\u200b\u5b83\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#lebesgue_1","title":"Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#lebesgue_2","title":"Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aLebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(m^*(E)\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200bLebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b $$ m^*(E) = \\inf\\left\\lbrace \\sum\\limits_{n}\\ell(I_n): \\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant1} \\text{ \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u4e14\u200b }E\\subset \\bigcup_{n}I_n \\right\\rbrace $$

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(E = \\left\\lbrace x_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b

\\[ I_n = \\left(x_n - \\frac{\\varepsilon}{2^{n+1}},x_n + \\frac{\\varepsilon}{2^{n+1}}\\right) \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5176\u200b\u533a\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\ell(I_n) =\\dfrac{1}{2^n}\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5bf9\u200b\u5176\u200b\u6c42\u548c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b

\\[ m^*(E) \\leqslant \\varepsilon \\]

\u200b\u7531\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(m^*(E) = 0\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_3","title":"\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u9996\u5148\u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u9012\u589e\u200b\u6027\u200b\uff1a

\\(E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(E_1\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5373\u53ef\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(I\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(m^*(I) = \\ell (I)\\) .

\u200b\u5bf9\u200b\u6709\u754c\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(I = [a,b]\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u7d27\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\u5fc5\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ \\sum\\limits_{n=1}^\\infty \\ell(I_n)> \\ell (I) \\]

\u200b\u5373\u200b\u6709\u200b \\(m^*(I)\\geqslant \\ell(I)\\) . \u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(I \\subset (a- \\varepsilon, b+ \\varepsilon)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6b63\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6709\u200b

\\[ m^* (I) \\leqslant \\ell (a-\\varepsilon,b+\\varepsilon) = b-a+2\\varepsilon \\]

\u200b\u4f46\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u4efb\u610f\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m^*(I) \\leqslant b-a =\\ell (I)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b\u5de6\u5f00\u200b\u53f3\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ [a+\\varepsilon,b]\\subset (a,b] \\subset [a,b] \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5355\u589e\u6027\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7ed3\u8bba\u200b.

\u200b\u5bf9\u65e0\u754c\u200b\u533a\u95f4\u200b \\([a,+\\infty)\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(b> a\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(I) > b-a \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7c7b\u578b\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\u540c\u7406\u200b. \\(\\square\\)

Remark.

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u5bf9\u200b\u533a\u95f4\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4f38\u7f29\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u975e\u5e38\u200b\u5e38\u7528\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b $$ m^*\\left(\\bigcup_{n}E_n\\right) \\leqslant \\sum\\limits_{n}m^*(E_n). $$

\u200b\u5982\u679c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(m^*(E_n)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u56e0\u800c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\u6709\u200b

\\[ E_n \\subset \\bigcup_{k}I_k^{(n)} \\text{ and } \\sum\\limits_{k}\\ell(I_k^{(n)})< m^*(E_n)+ \\dfrac{\\varepsilon}{2^n} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b

\\[ \\bigcup_{n}E_n \\subset \\bigcup_n\\bigcup_k I_k^{(n)} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(m^*\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u77e5\u200b

\\[ \\begin{aligned} m^*\\left(\\bigcup_{n}E_n\\right)&\\leqslant \\sum\\limits_{n}\\sum\\limits_{k}\\ell (I_k^{(n)}) \\\\ &< \\sum\\limits_{n}\\left[m^*(E_n)+ \\frac{\\varepsilon}{2^n}\\right]=\\sum\\limits_{n}m^*(E_n)+\\varepsilon \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u5f97\u8bc1\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/","title":"Lebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u4e0e\u200b Lebesgue \u200b\u6d4b\u5ea6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#lebesgue","title":"Lebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aLebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u6709\u200b $$ m^*(A) = m^*(A\\cap E) + m^*(A\\cap E^c) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b Lebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u7b80\u79f0\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u7531\u200b Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b \u200b\u90e8\u5206\u200b\u7684\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(\\geqslant\\) \u200b\u7684\u200b\u65b9\u5411\u200b\u662f\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(m^*(E)=0\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\in \\Omega\\) \u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(m(E)=0\\).

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ 0 \\leqslant m^*(A\\cap E) \\leqslant m^*(E) = 0. \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m^*(A \\cap E) =0\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A\\supset A\\cap E^c\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(m(E)=0\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_1","title":"\u533a\u95f4\u200b\u6d4b\u5ea6","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u7b49\u4e8e\u200b\u533a\u95f4\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(E\\) \u200b\u662f\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\in \\Omega\\) \u200b\u4e14\u200b \\(m(E) = \\ell (E)\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(E^c = \\mathbb{R}-E = E_1\\cup E_2\\) \uff0c \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2\\) \u200b\u53ef\u80fd\u200b\u662f\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \uff08\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(E\\) \u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u6216\u8005\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u4e8e\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff09.

\u200b\u5229\u7528\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(m^*(A)<\\infty\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ A\\subset \\bigcup_{n}I_n \\text{ and } m^*(A)+ \\varepsilon > \\sum\\limits_n \\ell(I_n) \\]

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(A\\cap E \\subset \\bigcup\\limits_{n}(I_n \\cap E)\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(I_n\\cap E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} m^*(A\\cap E) &\\leqslant m^* \\left[\\bigcup_n (I_n \\cap E)\\right] \\leqslant\\sum\\limits_{n} m^*(I_n \\cap E) \\\\ &= \\sum\\limits_{n}\\ell (I_n \\cap E) \\end{aligned} \\]

\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u63a8\u7406\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(E_1,E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(I_n\\cap E_1,I_n\\cap E_2,I_n \\cap E\\) \u200b\u662f\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u662f\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(I_n\\) \uff0c\u200b\u6613\u77e5\u200b

\\[ \\ell(I_n\\cap E_1)+\\ell(I_n\\cap E_2)+\\ell(I_n \\cap E) = \\ell (I_n) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ m^*(A\\cap E) +m^*(A\\cap E_1)+m^*(A\\cap E_2) \\leqslant\\sum\\limits_n\\ell (I_n) < m^*(A)+\\varepsilon \\]

\u200b\u53c8\u200b \\(A\\cap E^c = (A\\cap E_1)\\cup (A \\cap E_2)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7531\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A\\cap E^c)\\leqslant m^*(A\\cap E_1)+ m^*(A\\cap E_2) \\]

\u200b\u5373\u200b

\\[ m^*(A\\cap E)+m^*(A\\cap E^c) \\leqslant m^*(A) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7531\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u77e5\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(E\\) \u200b\u6765\u8bf4\u200b \\(m^*(E) = \\ell (E)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u957f\u5ea6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_2","title":"\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6","text":"

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u5217\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u4ec5\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5199\u200b\u5e76\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u4ee4\u200b

\\[ E = \\bigcup_{n} E_n \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9996\u5148\u200b\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A) \\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^n m^*(A \\cap E_k) +m^*(A \\cap E^c)\\tag{2.1} \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(n=1\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(E_1^c \\supset E^c\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(E_1\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u53ef\u5f97\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m^*(A) &\\geqslant m^*(A\\cap E_1)+m^*(A\\cap E_1^*) \\\\ &\\geqslant m^*(A\\cap E_1) +m^*(A\\cap E^c) \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(n=1\\) \u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5bf9\u200b \\(n\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u5f0f\u200b \\((2.1)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u53d6\u5b9a\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b \\(A \\cap E^c_{n+1}\\) \u200b\u4ee3\u66ff\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ m^*(A\\cap E_{n+1}^c) \\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^n m^*(A\\cap E_{n+1}^c \\cap E_k) + m^*(A\\cap E_{n+1}^c \\cap E^c) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(E_{n+1}^c\\cap E_k = E_k\\) \uff0c\u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b \\(E_{n+1}^c\\cap E^c = E^c\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A\\cap E_{n+1}^c) \\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^n m^*(A\\cap E_k) + m^*(A \\cap E^c) \\]

\u200b\u53c8\u200b\u4ece\u200b \\(E_{n+1}\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u53ef\u5f97\u200b

\\[ m^*(A)\\geqslant m^*(A\\cap E_{n+1}) + m^*(A\\cap E_{n+1}^c) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ m^*(A)\\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^{n+1} m^*(A\\cap E_k) +m^*(A\\cap E^c) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\((2.1)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u4ee4\u200b \\(n\\to \\infty\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ m^*(A) \\geqslant \\sum\\limits_k m^*(A\\cap E_k) + m^*(A\\cap E^c) \\]

\u200b\u53c8\u200b\u6839\u636e\u200b \\(E = \\bigcup\\limits_k E_k\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ \\sum\\limits_{k} m^*(A\\cap E_k) \\geqslant m^*(A\\cap E). \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m^*(A) \\geqslant m^*(A\\cap E)+m^*(A\\cap E^c)\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u7531\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

  1. \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u8865\u96c6\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \uff08\u200b\u53ef\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b\uff09\uff1b
  2. \u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u96c6\u200b\u548c\u200b\u4ea4\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.
"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_3","title":"\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u5217\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b $$ m\\left(\\bigcup_{n}E_n\\right) = \\sum\\limits_{n}m(E_n) $$

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u8bc1\u660e\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b \\(C\\) \u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\u7531\u200b\u5f15\u7406\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u5c06\u200b \\((2.1)\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(A\\) \u200b\u53d6\u4e3a\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6709\u200b

\\[ m(E) \\geqslant \\sum\\limits_n m(E_n) \\]

\u200b\u800c\u200b\u76f8\u53cd\u200b\u65b9\u5411\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_4","title":"\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650\u200b\u548c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5f53\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant1}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u4e24\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e4b\u4e00\u200b\u65f6\u6709\u200b $$ \\lim_{n\\to \\infty} m(E_n) = m\\left(\\lim_{n\\to \\infty} E_n\\right) $$

  1. \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u589e\u200b\uff1b
  2. \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u51cf\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(m(E_1)< \\infty\\) .

(1) \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ \\lim_{n\\to \\infty} E_n = \\bigcup_n E_n \\]

\u200b\u82e5\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}m(E_n) = \\infty\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8ba8\u8bba\u200b \\(\\lim\\limits_{n \\to \\infty}m(E_n)< \\infty\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u82e5\u4ee4\u200b \\(E_0 = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ \\bigcup_{n=1}^\\infty E_n = \\bigcup_{n=1}^\\infty (E_n - E_{n-1}) \\]

\u200b\u4e14\u200b \\(E_n-E_{n-1}\\) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ m\\left(\\lim_{n\\to \\infty} E_n \\right) = m\\left[ \\bigcup_n (E_n-E_{n-1})\\right] = \\sum\\limits_n [m(E_n)-m(E_{n-1})] \\]

\u200b\u6700\u540e\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty} m(E_n)\\) .

(2) \u200b\u5229\u7528\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}E_n = \\bigcap\\limits_n E_n\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\left\\lbrace E_1-E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.3%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%94%A8%E5%BC%80%E9%9B%86%E5%92%8C%E9%97%AD%E9%9B%86%E6%9D%A5%E9%80%BC%E8%BF%91/","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u7528\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u548c\u200b\u95ed\u96c6\u6765\u200b\u903c\u8fd1","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.3%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%94%A8%E5%BC%80%E9%9B%86%E5%92%8C%E9%97%AD%E9%9B%86%E6%9D%A5%E9%80%BC%E8%BF%91/#_2","title":"\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u903c\u8fd1","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u4e09\u6761\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u200b \\(m^*(G-E)< \\varepsilon\\).
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\)\uff0c\u200b\u6709\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)< \\varepsilon\\) .

(1) \\(\\Rightarrow\\) (2) \uff1a \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5206\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u2780 \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b \\(m(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b

\\[ E \\subset \\bigcup I_n \\text{ and } m(E)+\\varepsilon > \\sum\\limits \\ell (I_n) \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(G = \\bigcup I_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\\(E \\subset G\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b

\\[ m(G) \\leqslant \\sum\\limits \\ell (I_n) < m(E)+ \\varepsilon \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m(G-E) = m(G)-m(E) < \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e0b\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e86\u200b\u7ed3\u8bba\u200b.

\u2781 \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b

\\[ E_n = E\\cap [n,n+1), n=0,\\pm 1,\\cdots \\]

\u200b\u5219\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u6709\u9650\u200b\u800c\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b

\\[ E = \\bigcup_n E_n \\]

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \u2780 \u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ E_n \\subset G_n \\text{ and } m(G_n - E_n) < \\frac{\\varepsilon}{2^{|n|+2}} \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(G = \\bigcup G_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(G \\supset \\bigcup E_n = E\\) \uff0c\u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup_n G_n - \\bigcup_n E_n \\subset \\bigcup_n (G_n-E_n) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ m(G-E) \\leqslant \\sum\\limits_n m(G_n - E_n) < \\sum\\limits_n \\frac{\\varepsilon}{2^{|n|+2}}< \\varepsilon . \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b (1) \\(\\Rightarrow\\) (3) \uff1a \u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(E^c\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u4e0a\u200b\u6bb5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E^c\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(G-E^c)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u4f46\u200b \\(G-E^c = E-G^c\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(m(E-G^c)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b \\(F = G^c\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b (3) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b (2) \\(\\Rightarrow\\) (1) \uff1a \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_n\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u200b \\(m^*(G_n-E)< \\dfrac{1}{n}\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(G = \\bigcap\\limits_n G_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u5916\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \uff0c\\(G-E \\subset G_n -E\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b

\\[ m^*(G-E)\\leqslant m^*(G_n - E) < \\frac{1}{n} \\]

\u200b\u8fd9\u6837\u200b \\(m^*(G-E)=0\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(G-E\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(E=G-(G-E)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b.

(3) \\(\\Rightarrow\\) (1) \u200b\u548c\u200b (2) \\(\\Rightarrow\\) (1) \u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u591a\u4f5c\u200b\u8d58\u8ff0\u200b. \u200b\u7efc\u4e0a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8bc1\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(F_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b\u3001\\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(E\\) \u200b\u80fd\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b\uff1b\u200b\u82e5\u200b \\(E\\) \u200b\u80fd\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u56db\u6761\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u548c\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b $$ F \\subset E \\subset G \\text{ and } m(G-F)< \\varepsilon. $$
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(G-E)=0\\) \uff1b
  4. \u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)=0.\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u4e14\u200b \\(m(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u7aef\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(I_k\\) \uff0c\\(1 \\leqslant k \\leqslant n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E \\Delta G)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(G = \\bigcup\\limits_{k=1}^n I_k\\).

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/","title":"\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\u4e0d\u53d8\u6027\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/#_2","title":"\u5e73\u79fb","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e73\u79fb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E \\subset \\mathbb{R}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(y\\in \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ E_y = \\left\\lbrace x+y: x\\in E \\right\\rbrace $$ \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(E\\) \u200b\u5173\u4e8e\u200b \\(y\\) \u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7b26\u5408\u200b\u76f4\u89c9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u76f8\u5f53\u4e8e\u200b\u7ed9\u200b\u6574\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5728\u200b\u6570\u8f74\u200b\u4e0a\u200b\u5e73\u79fb\u200b \\(y\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5355\u4f4d\u200b\u957f\u5ea6\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b 2.4.1

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u548c\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(y\\) \uff0c

  1. \\(E\\cap F_y = (E_{-y}\\cap F)_y\\) \uff1b
  2. \\((E^c)_y = (E_y)^c\\) \uff1b
  3. \\(m^*(E) = m^*(E_y)\\).

(1) \u200b\u5bf9\u200b \\(E\\cap F_y\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in E\\cap F_y\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(z\\in F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(z+y=x\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(z = x-y\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(z\\in E_{-y}\\cap F\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\in (E_{-y}\\cap F)_y\\) \uff0c\u200b\u53cd\u5411\u200b\u57fa\u672c\u200b\u540c\u7406\u200b.

(2) \\(x\\in (E^c)_y\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(z\\in E^c\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(z+y = x\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(x-y\\notin E\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\notin E_y\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(x\\in (E_y)^c\\) \uff0c\u200b\u53cd\u5411\u200b\u57fa\u672c\u200b\u540c\u7406\u200b.

(3) \u200b\u82e5\u6709\u200b

\\[ E \\subset \\bigcup_{k=1}^\\infty I^{(k)} \\]

\u200b\u53d6\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b \\(I_y^{(k)}\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ E_y \\subset \\bigcup_{k=1}^\\infty I_y^{(k)} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/#_3","title":"\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\u4e0d\u53d8\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\u4e0d\u53d8\u6027\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(y\\) \uff0c\\(E_y\\) \u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(m(E_y) = m(E)\\) .

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/#_4","title":"\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in [0,1]\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ E(x) = \\left\\lbrace y\\in [0,1]: y-x \\in \\mathbb{Q} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff1a

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(E(x_1) =E(x_2)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\(\\sim\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u96c6\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u7406\u89e3\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(F \\subset [0,1]\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\left\\lbrace E(x): x\\in F \\right\\rbrace \\]

\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b \\([0,1]\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b \\(x_1,x_2\\in F\\) \uff0c\\(x_1\\not\\sim x_2\\) . \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u4ee4\u200b \\(\\left\\lbrace r_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([-1,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4ee4\u200b \\(F_n\\) \u200b\u662f\u200b \\(F\\) \u200b\u5173\u4e8e\u200b \\(r_n\\) \u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b

\\[ F_n = \\left\\lbrace x+r_n: x\\in F \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(F_n\\) \u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u4e14\u200b \\(m(F_n) = m(F)\\). \u200b\u6839\u636e\u200b \\(F_n\\) \u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace F_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u548c\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ 1 = m([0,1])\\leqslant m\\left(\\bigcup_n F_n\\right) = \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m(F_n) \\leqslant m([-1,2]) = 3. \\]

\u200b\u6709\u200b

\\[ 1 \\leqslant \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m(F) \\leqslant 3 \\]

\u200b\u4f46\u200b \\(m(F)\\) \u200b\u662f\u200b\u5e38\u503c\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u53d6\u503c\u200b\u8be5\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/","title":"\u4ee3\u6570\u200b\u3001\\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\u4e0e\u200b Borel \u200b\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#sigma","title":"\u4ee3\u6570\u200b\u4e0e\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u3001\\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(X\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u662f\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b (1) \u200b\u548c\u200b (2) \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u200b (1) \u200b\u548c\u200b (3) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff1a

(1) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(F\\in \\mathcal{F}\\) \uff0c\\(F^c = X-F\\in \\mathcal{F}\\) \uff1b

(2) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(F_1,F_2\\in \\mathcal{F}\\) \uff0c\\(F_1\\cup F_2 \\in \\mathcal{F}\\) \uff1b

(3) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\left\\lbrace F_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\subset F\\) \uff0c\\(\\bigcup\\limits_n F_n \\in \\mathcal{F}\\).

\u200b\u5373\u200b\u8865\u96c6\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u3001\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u5e76\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff1b\u200b\u8865\u96c6\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u3001\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5e76\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b. \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4ea4\u96c6\u200b\u6765\u200b\u523b\u753b\u200b\u4ee3\u6570\u548c\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u662f\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#borel","title":"Borel \u200b\u96c6\u200b\u53ca\u5176\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#_1","title":"\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570\u200b

\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7531\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A(\\mathcal{F})\\). \u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u4ecd\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7531\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(B(\\mathcal{F})\\) .

\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(A(\\mathcal{F})\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\\(B(\\mathcal{F})\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#borel_1","title":"Borel \u200b\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aBorel \u200b\u96c6\u200b

\u200b\u5b9e\u8f74\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Borel \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{B}\\) \uff0c\\(\\mathcal{B}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff0cBorel \u200b\u96c6\u662f\u200b\u7531\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u548c\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u6b21\u200b\u4ea4\u200b\u3001\u200b\u5e76\u200b\u3001\u200b\u8865\u200b\u3001\u200b\u5dee\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#borel_2","title":"Borel \u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aBorel \u200b\u96c6\u53ef\u6d4b\u200b

\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u5168\u4f53\u200b \\(\\Omega\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u200b \\(\\mathcal{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(\\mathcal{B}\\subset \\Omega\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b Borel \u200b\u96c6\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5c3d\u7ba1\u200b \\(\\mathcal{B} \\subset \\Omega\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\Omega \\subset \\mathcal{B}\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u4f1a\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e25\u683c\u200b\u5355\u589e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u4fdd\u6301\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(h\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u4e25\u683c\u200b\u5355\u589e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(h\\) \u200b\u628a\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u603b\u7ed3\u200b

\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b = Borel \u200b\u96c6\u200b \\(\\cup\\) \u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.1%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%80%A7%E8%B4%A8/","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e0e\u200b\u6709\u5173\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.1%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_2","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b $$ \\left\\lbrace x\\in D: f(x)> \\alpha \\right\\rbrace $$ \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u901a\u5e38\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace, \\left\\lbrace f=\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u7b49\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u9898\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u5b9a\u7406\u200b 1.5.15 \uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\\(D^\\circ\\) \u200b\u662f\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b \\(D\\) \u200b\u81f3\u591a\u200b\u76f8\u5dee\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.1%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_3","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u8003\u8651\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5176\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace \\chi_D>\\alpha \\right\\rbrace = \\begin{cases} \\varnothing, & \\alpha \\geqslant 1, \\\\ D, & 0 \\leqslant \\alpha< 1, \\\\ \\mathbb{R}, & \\alpha<0 . \\end{cases} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u56db\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\)\uff0c\\(\\left\\lbrace f<\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.
  4. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\)\uff0c\\(\\left\\lbrace f \\leqslant\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u662f\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u8282\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u4f53\u73b0\u200b\uff1a\u200b\u5229\u7528\u200b\u73b0\u6709\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u51fa\u65b0\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\\[ \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f> \\alpha- \\frac{1}{n} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4f59\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(g\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b

  1. \\(\\left\\lbrace f=\\lambda \\right\\rbrace,\\left\\lbrace \\alpha< f< \\beta \\right\\rbrace\\) \u200b\u7b49\u200b \\(f\\) \u200b\u53d6\u503c\u200b\u5728\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5185\u200b\u7684\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\lambda\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u6570\u200b.
  2. \\(\\left\\lbrace f>g \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

(1) \u200b\u7531\u200b

\\[ \\left\\lbrace f=\\lambda \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f \\geqslant \\lambda \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f> \\lambda \\right\\rbrace \\]

\u200b\u548c\u200b

\\[ \\left\\lbrace f = \\infty \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f>n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u51fa\u53d1\u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b.

(2) \u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace r_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b

\\[ \\left\\lbrace f>g \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty [\\left\\lbrace f>r_n \\right\\rbrace\\cap \\left\\lbrace g <r_n \\right\\rbrace] \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.2%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%80%A7%E8%B4%A8/","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.2%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_2","title":"\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\\(P(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0e\u200b \\(D\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u6709\u5173\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u9664\u4e86\u200b \\(D\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(E\\) \u200b\u5916\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in D-E\\) \uff0c\u200b\u547d\u9898\u200b \\(P(x)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bf4\u200b \\(P(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7b80\u5199\u200b a.e. (almost every) \u200b\u7528\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\chi_\\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b

\\[ \\chi_\\mathbb{Q}(x) = 0\\quad \\mathrm{a.e.}\\quad x\\in \\mathbb{R} \\]

\u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\chi_\\mathbb{Q}(x)=0\\) \u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(f(D)\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(a_1,\\cdots,a_n\\) \u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bb0\u200b

\\[ E_k = \\left\\lbrace f= a_k \\right\\rbrace, k=1,2,\\cdots,n \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E_k\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \u200b\u8bb0\u200b \\(\\chi_k\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(E_k\\) \u200b\u7684\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b

\\[ f(x) = \\sum\\limits_{k=1}^n a_k \\chi_k(x) \\]

\u200b\u82e5\u200b \\(f,g\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8bbe\u200b \\(\\lambda\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.2%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_3","title":"\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5bf9\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u903c\u8fd1","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5bf9\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u903c\u8fd1\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u5728\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace f_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in D\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u6536\u655b\u200b\u4e8e\u200b \\(f(x)\\) . \u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c

  1. \u200b\u5f53\u200b \\(f\\) \u200b\u975e\u200b\u8d1f\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in D\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u5355\u589e\u200b\u6536\u655b\u200b\u4e8e\u200b \\(f(x)\\) \uff1b
  2. \u200b\u5f53\u200b \\(f\\) \u200b\u6709\u754c\u65f6\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u6536\u655b\u200b\u4e8e\u200b \\(f(x)\\).

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ f_n(x) = \\begin{cases} n, & f(x) \\geqslant n, \\\\ \\dfrac{k-1}{2^n}, & \\dfrac{k-1}{2^n} \\leqslant f(x) < \\dfrac{k}{2^n} , & k=-n2^n +1 , -n2^n +2 ,\\cdots,n2^n , \\\\ -n , & f(x)< -n. \\end{cases} \\]

\u200b\u5f88\u200b\u660e\u663e\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u5217\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u56fa\u5b9a\u200b \\(x\\in D\\) .

\u200b\u82e5\u200b \\(f(x)=\\infty\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f_n(x)=n\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(f_n(x)\\to f(x)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(f(x)=- \\infty\\) \u200b\u60c5\u5f62\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5f53\u200b \\(n\\) \u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u60df\u4e00\u200b\u7684\u200b \\(k_n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(-n2^n +1 \\leqslant k_n \\leqslant n2^n\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b

\\[ \\dfrac{k_n-1}{2^n} \\leqslant f(x) < \\dfrac{k_n}{2^n} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(f_n(x)=\\dfrac{k_n-1}{2^n}\\) \uff0c\\(0 \\leqslant f(x)-f_n(x)< \\dfrac{1}{2^n}\\) . \u200b\u4ee4\u200b \\(n\\to \\infty\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(f_n(x)\\to f(x)\\) .

\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u975e\u8d1f\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(f(x)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(n_0 \\leqslant f(x)<n_0+1\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b \\(n_0 \\geqslant 0\\) . \u200b\u73b0\u82e5\u200b \\(1 \\leqslant n \\leqslant n_0\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(f(x) \\geqslant n\\) \uff0c\\(f_n(x)=n\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{1 \\leqslant n \\leqslant n_0}\\) \u200b\u5355\u589e\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(n > n_0\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u60df\u4e00\u200b\u7684\u200b \\(k\\) \uff0c\\(1 \\leqslant k \\leqslant n\\cdot 2^n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ f_{n_0}(x) = n_0 \\leqslant \\frac{k-1}{2^n} \\leqslant f(x) < \\dfrac{k}{2^n}. \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u7531\u200b \\(f_n(x)\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(f_{n+1}(x) \\geqslant f_n(x) \\geqslant f_{n_0}(x)\\) . \u200b\u8fd9\u6837\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u589e\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u6709\u200b\u754c\u200b\uff0c\\(M\\) \u200b\u662f\u200b \\(|f|\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0a\u200b\u754c\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5f53\u200b \\(n > M\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace f \\geqslant n \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ca\u200b \\(\\left\\lbrace f< -n \\right\\rbrace\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u200b\u4e00\u5207\u200b \\(x\\in D\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ |f_n(x)-f(x)| < \\dfrac{1}{2^n} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u6536\u655b\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4ee5\u4e0a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u91cd\u8981\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(g\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(\\lambda\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\lambda f, |f|,fg\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u5916\u200b\u82e5\u200b \\(f+g,f-g\\) \u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6709\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5f53\u200b \\(\\lambda \\neq 0\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\forall \\alpha\\in \\mathbb{R}\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace \\lambda f > \\alpha \\right\\rbrace = \\begin{cases} \\left\\lbrace f >\\dfrac{\\alpha}{\\lambda} \\right\\rbrace, & \\lambda >0 \\\\ \\left\\lbrace f < \\dfrac{\\alpha}{\\lambda} \\right\\rbrace, & \\lambda<0 . \\end{cases} \\]

\\(\\lambda=0\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u663e\u7136\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace |f| > \\alpha \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace |f| > \\alpha \\right\\rbrace = \\begin{cases} D , & \\alpha<0 \\\\ \\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace f < - \\alpha \\right\\rbrace, & \\alpha \\geqslant 0 \\end{cases} \\]"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/","title":"\u534a\u7fa4\u200b\u4e0e\u200b\u7fa4","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_2","title":"\u6559\u6750\u200b\u601d\u8003\u9898","text":"

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.5

\u200b\u662f\u5426\u200b\u5b58\u5728\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(S\\) \uff0c \\(S\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u800c\u200b\u65e0\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff1f

\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a\\(S=\\{a,b\\}\\) \uff0c\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases}ab=b \\\\ ba=a \\\\ aa=a \\\\ bb=b \\\\ \\end{cases} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff0c\u200b\u7ed3\u5408\u5f8b\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(a,b\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.6

\u200b\u82e5\u200b\u4e00\u4e2a\u534a\u200b\u7fa4\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u65e2\u6709\u200b\u5de6\u5e7a\u5143\u200b\u53c8\u200b\u6709\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff0c \\(S\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff1f

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(l\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c \\(r\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\u4e0b\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

\\[ l=lr=r \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(l=r\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(l\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c \\(S\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.11

\u200b\u662f\u5426\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(S\\) \u200b\u53ca\u200b \\(a\\in S\\) \uff0c\\(a\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u800c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff1f

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u590d\u6742\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6765\u6e90\u200b\u81ea\u200b\u8bfe\u540e\u200b\u4e60\u9898\u200b1.1\u200b\u7684\u200bT3\uff1a \u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a \u200b\u8bb0\u200b \\(M(\\mathbb{N})\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{N}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u53d8\u6362\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(f\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ f(n)=n+1,\\ \\forall n\\in \\mathbb{N} \\]

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(f\\) \u200b\u6709\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u3002

\u200b\u8bbe\u200b\u53d8\u6362\u200b \\(g\\in M(\\mathbb{N})\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u7684\u200b\u590d\u5408\u200b\u3002\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(g\\circ f\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ g(n)= \\begin{cases}n-1,n\\geq1 \\\\ x,n=0\\end{cases} \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((g\\circ f)(n)=n\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6052\u7b49\u200b\u53d8\u6362\u200b \\(\\mathrm{id}\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(g\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u3002 \\(x\\in\\mathbb{N}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u3002

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(h\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\((f\\circ h)(n)=n\\) . \u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(f(h(n))=h(n)+1=n\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(h(n)=n-1\\) . \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e8e\u200b \\(M(\\mathbb{N})\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\uff1a\u200b\u5f53\u200b \\(n=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u8d85\u51fa\u200b \\(\\mathbb{N}\\) \u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b\u3002\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.12

\u200b\u82e5\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(S\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(a\\) \u200b\u65e2\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e5f\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(a\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\uff1f

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(e\\in S\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u7684\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(b\\) \uff0c\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(c\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ ba=e,ac=e \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} bac&=(ba)c=c\\\\ &=b(ac)=b \\end{aligned} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(b=c\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(b\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.16

\u200b\u82e5\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5de6\u5e7a\u5143\u4e14\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5143\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b\uff1f

\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b \\(a*b=b\\) \u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u672c\u9898\u200b\u7684\u200b\u53cd\u4f8b\u200b\u3002

\u200b\u6ce8\u8bb0\u200b1.1.20 \u200b\u8bfb\u8005\u200b\u8bc1\u660e\u9898\u200b

\u200b\u8bbe\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b \\(ab\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b\u56fa\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u800c\u200b\u8ba9\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u53d8\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u7fa4\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u3002\u200b\u8bf7\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u662f\u200b\u5355\u5c04\u53ca\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u3002

\u200b\u9996\u5148\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u5355\u200b\u5c04\u200b\u3002\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u7684\u200b\u53d8\u6362\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(\\tau: ab\\in G\\to c\\in G\\) . \u200b\u53ef\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\tau(b)=c\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\tau(b_1)=c_1,\\tau(b_2)=c_2\\) . \u200b\u5047\u5982\u200b \\(b_1\\neq b_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(c_1\\neq c_2\\) . \u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(c_1=c_2\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(ab_1=ab_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5de6\u6d88\u200b\u53bb\u5f8b\u200b\u6709\u200b \\(b_1=b_2\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01

\u200b\u518d\u200b\u8003\u8651\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall c\\in G\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(ax=c\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65b9\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u65b9\u7a0b\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u6709\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(c\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u539f\u50cf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u3002

\u200b\u6ce8\u8bb0\u200b1.1.20 \u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b1.1.19\u200b\u5bf9\u200b\u65e0\u9650\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b

\u200b\u5c1d\u8bd5\u200b\u4e3e\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5de6\u200b\u3001\u200b\u53f3\u6d88\u200b\u53bb\u5f8b\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff1a \\(\\forall a,b:ab=a+b\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(\\{\\mathbb{N};+\\}\\) \uff0c\u200b\u5de6\u53f3\u200b\u6d88\u53bb\u5f8b\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) . \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(a+b=0\\) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall a>0\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(a>0\\) \u200b\u5747\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5bfc\u81f4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7fa4\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_3","title":"\u6982\u5ff5\u200b\u8fa8\u6790","text":"

\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u3001\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u548c\u200b\u7fa4\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall a,b\\in G\\) \u200b\u6709\u200b \\(a\\circ b\\in G\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\circ\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u3002
  2. \\(\\forall a,b,c\\in G\\) \u200b\u6709\u200b \\((a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u7ed3\u5408\u5f8b\u200b\u3002
  3. \\(\\exists e\\in G\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\forall a\\in G\\) \uff0c \\(e\\circ a=a\\circ e=a\\) . \u200b\u5373\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u3002
  4. \\(\\forall a\\in G,\\exists b\\in G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(b\\circ a= a\\circ b=e\\) \u200b\u5373\u200b \u200b\u4efb\u610f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\u3002

\u200b\u6ee1\u8db3\u200b 1. 2. \u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b3.\u200b\u7684\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b4.\u200b\u7684\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5229\u7528\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u7684\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5c55\u793a\u200b\u3002

\\[ \\begin{array}{c|cc} ~&a&b\\\\ \\hline a&a&b\\\\ b&a&b \\end{array} \\]

\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u3002\u200b\u7528\u200b\u5b9e\u4f8b\u200b\u6765\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(G=\\{1,-1\\}\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{c|cc} \\times & 1 & -1\\\\ \\hline 1&1&-1\\\\ -1&-1&1 \\end{array} \\]"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_4","title":"\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u4e0e\u200b\u8fd0\u7b97","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_5","title":"\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5bf9\u200b\u6700\u540e\u200b\u5224\u65ad\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(xa=a\\) \u200b\u5728\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6709\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(e_a\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7684\u200b\u76ee\u6807\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(e_a\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u76ee\u6807\u200b\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\forall c\\in G, e_ac=c\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(ax=c\\) \u200b\u5728\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6709\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(ad=c\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ e_ac=e_a(ad)=(e_aa)d=ad=c \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(e_a\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u540c\u7406\u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u552f\u4e00\u200b\u3002\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a\\) \u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x\\in G\\) \u200b\u6709\u200b \\(xa=e,ax=e\\) .

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_6","title":"\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u4f8b\u5b50","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#klein","title":"Klein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4","text":"

Klein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4\u200b\u9996\u6b21\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e60\u9898\u200b1.2\u200b\u7684\u200bT1\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u3002

Klein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4\u200b

\u200b\u5728\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(K_4=\\{e,a,b,c\\}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a $$ \\begin{array}{c|cccc} &e&a&b&c \\\\ \\hline e&e&a&b&c \\\\ a&a&e&c&b \\\\ b&b&c&e&a \\\\ c&c&b&a&e\\end{array} $$ \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(K_4\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200bKlein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4\u200b.

\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6765\u8bf4\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(e\\) \uff0c\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u662f\u200b\u5269\u4f59\u200b\u7684\u200b\u90a3\u4e2a\u200b\u975e\u5e7a\u5143\u200b\u5143\u7d20\u200b\u3002

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\u200b\u4e09\u6b21\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u200b

\u200b\u4e09\u6b21\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e09\u5143\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5230\u200b\u516d\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4e09\u6b21\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(S_3\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a $$ S_3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} $$

\u200b\u89c1\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u200b\u4e0e\u200b\u4ea4\u9519\u200b\u7fa4\u200b\u90e8\u5206\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u3002

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\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u5224\u522b\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u6700\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u5224\u522b\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff0c

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\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u6574\u6570\u200b\u52a0\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(m\\in \\mathbb{N}\\) , \u200b\u5219\u200b \\(m\\mathbb{Z}=\\{mn|n\\in\\mathbb{Z}\\}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{Z}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u90fd\u200b\u5f62\u5982\u200b \\(m\\mathbb{Z}\\).

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\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(H_1\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(H_2\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(H_1\\cap H_2\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u591a\u200b\uff08\u200b\u5305\u62ec\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\uff09\u200b\u4e2a\u5b50\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u4ecd\u200b\u662f\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u8bbe\u200b \\(a_1,b_1\\in H_1\\cap H_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(a_1,b_1\\in H_1,H_2\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\u6709\u200b \\(a_1b_1\\in H_1\\cap H_2\\) \uff0c \\(b_1\\) \u200b\u6709\u200b\u9006\u5143\u200b \\(b_1^{-1}\\in H_1,H_2\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(a_1b_1^{-1}\\in H_1\\cap H_2\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002\u200b\u4efb\u610f\u200b\u591a\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\u3002

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u8be6\u89c1\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b

\u200b\u8bf7\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u8003\u8651\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\uff1a\\(\\{\\mathbb{N}^*;\\times\\}\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff1a\\(2\\mathbb{N}^*,3\\mathbb{N}^*\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u4e4b\u200b\u5e76\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b2\u200b\u7684\u200b\u500d\u6570\u200b\u548c\u200b3\u200b\u7684\u200b\u500d\u6570\u200b\uff0c\u200b\u660e\u663e\u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u3002

\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u5462\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H,K\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ H\\cup K\\leq G\\iff H\\subset K \u200b\u6216\u200b K\\subset H $$

\u200b\u4ec5\u200b\u8bc1\u660e\u200b(\\(\\Rightarrow\\))\u200b\u65b9\u5411\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(h\\in H,k\\in K\\) \u200b\u4e14\u200b \\(h,k\\notin H\\cap K\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b \\(hk\\) \u200b\u6240\u5728\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(hk\\in H\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(h^{-1}hk\\in H\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(k\\in H\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e0e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u9009\u62e9\u200b\u76f8\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\\(hk\\in K\\) \u200b\u540c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(hk\\notin H\\cup K\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(H\\cup K\\) \u200b\u662f\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e0d\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u53d6\u6cd5\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u6bd5\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_8","title":"\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_9","title":"\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e4b\u524d\u200b\uff0c\u200b\u5148\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\u8bb0\u53f7\u200b \\(a^n\\) \u200b\u4e0e\u5176\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a \u200b\u6211\u4eec\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\uff1a\\(\\(a^n=a\\cdot a\\cdot a\\cdots \\cdot a(\u200b\u5171\u200bn\u200b\u4e2a\u200ba)\\)\\) \u200b\u6027\u8d28\u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) \uff0c\u200b\u82e5\u6709\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a^n=e\\) \u200b\u800c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(m\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(a^m\\neq e\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u4e14\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u9636\u5143\u200b, \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(o(a)= n\\) \uff1b\u200b\u5426\u5219\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(a^n\\neq e\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u89c4\u5b9a\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \u200b\u4e14\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u9636\u5143\u200b, \\(o(a)=\\infty\\) .

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_10","title":"\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a - \u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b\u6216\u8005\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u3002 - \u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(1\\) \u200b\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(1\\) . \u200b\u4e0a\u9762\u200b\u6027\u8d28\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u7565\u8fc7\u200b\u3002

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7814\u7a76\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u6574\u9664\u200b\u6027\u8d28\u200b

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_11","title":"\u5355\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e0e\u200b\u5e42","text":"

\u200b\u9636\u4e3a\u200b\u65e0\u7a77\u5927\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) , \u200b\u5219\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\forall m\\neq n,m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^m\\neq a^n\\) .

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\Rightarrow\\) \u200b\u65b9\u5411\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b \\(a\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) . \u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(\\exists m<n,m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a^m= a^n\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(a^{n-m}a^m=a^n=a^m\\) , \u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(a^{n-m}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u552f\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(a^{n-m}=e\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u4e0e\u5176\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01 \u200b\u53cd\u200b\u65b9\u5411\u200b\u540c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\exists t\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a^t=e\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(a^{n-t}a^t=a^n\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u4ea7\u751f\u77db\u76fe\u200b\u3002

\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u6574\u9664\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\) , \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall h\\in \\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^h=e\\iff d\\mid h\\) ;
  2. \\(\\forall m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^m=a^n\\iff d\\mid (m-n)\\iff m\\equiv n\\pmod{d}\\)

1.\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a (\\(\\Rightarrow\\)) \u200b\u5bf9\u200b \\(a^h=e\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(a^d=e\\) , \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(h>d\\) . \u200b\u82e5\u200b \\(d\\nmid h\\) \u200b\u5219\u200b\u5e26\u200b\u4f59\u200b\u9664\u6cd5\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\uff1a\\(h=nd+r\\ (n,r\\in\\mathbb{N^*},d>r)\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ a^h=(a^d)^n\\cdot a^r=a^r=e \\]

\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(d>r\\) , \u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5f15\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b\u3002 \u200b\u53cd\u200b\u65b9\u5411\u200b\u540c\u7406\u53ef\u8bc1\u200b\u3002

2.\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \\(d|(m-n)\\iff m\\equiv n\\pmod{d}\\) \u200b\u6839\u636e\u200b\u5e26\u4f59\u200b\u9664\u6cd5\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\u3002 \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\forall m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^m=a^n\\) \\(\\iff\\) \\(d|(m-n)\\) . \u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(m>n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b \\(a^{m-n}=e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b1.\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u8bc1\u200b\u3002

\u200b\u547d\u9898\u200b3

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\), \\(k\\in\\mathbb{N}^*\\) , \u200b\u5219\u200b\uff1a

  1. \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle\\frac{d}{(d,k)}\\) , \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\((d,k)\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(d,k\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5927\u200b\u516c\u56e0\u6570\u200b\uff1b
  2. \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\) \\(\\iff\\) \\((d,k)=1\\) .

1.\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(t\\) , \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(a^{kt}=e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u547d\u9898\u200b2\u200b\u6709\u200b \\(d|kt\\) . \u200b\u8bbe\u200b \\(d=(d,k)d_1\\) , \\(k=(d,k)k_1\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a \\(d_1|k_1t\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\((d_1,k_1)=1\\) , \u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(d_1|t\\) . \u200b\u800c\u200b \\(a^{kd_1}=a^{(d,k)k_1d_1}=a^{dk_1}=e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(t=d_1\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5373\u200b \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle\\frac{d}{(d,k)}\\) . 2.\u200b\u4e3a\u200b1.\u200b\u7684\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5e94\u7528\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_12","title":"\u4e58\u79ef\u200b\u7684\u200b\u5e42\u200b\u4e0e\u200b\u9636","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b4

\u200b\u8bbe\u200b \\(a,b\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\) , \\(b\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) , \\(ab=ba\\) , \\((m,n)=1\\) , \u200b\u5219\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(mn\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\u6839\u636e\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\((ab)^{mn}=a^mb^n=e\\) . \u200b\u8bbe\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(k\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\((ab)^k = a^kb^k = e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(k|mn\\) . \u200b\u53c8\u200b

\\[ e=(ab)^{km}=a^{km}b^{km}=b^{km} \\]

\u200b\u6545\u7531\u200b\u547d\u9898\u200b2\u200b\u6709\u200b \\(n|km\\) . \u200b\u540c\u7406\u200b\u6709\u200b \\(m|kn\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\((m,n)=1\\) \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m|k\\) \u200b\u4e14\u200b \\(n|k\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(nm|k\\) \uff0c\u200b\u8fdb\u800c\u200b \\(nm=k\\) .

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u52a0\u5f3a\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b5

\u200b\u8bbe\u200b \\(a,b\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\) , \\(b\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) , \\(ab=ba\\) , \u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(c\\in G\\) , \\(c\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(m,n\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u516c\u500d\u6570\u200b\u3002

\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u672c\u200b\u547d\u9898\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff08\u200b\u975e\u200b\u4e25\u683c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff09\uff1a\u200b\u5206\u89e3\u200b\u8d28\u56e0\u6570\u200b\uff1a \\(\\displaystyle m =\\prod_{i=1}^n\\alpha_i^{k_i},n =\\prod_{i=1}^n\\alpha_i^{t_i}\\) \uff08\u200b\u82e5\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u8d28\u56e0\u6570\u200b\u5219\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\u4e00\u65b9\u200b\u53d6\u5e42\u200b\u4e3a\u200b0\uff09\u200b\u53d6\u200b

\\[ m'=\\prod_{i,k_i\\geq t_i}\\alpha_i,n'=\\prod_{i,k_i<t_i}\\alpha_i \\]

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u53d6\u6cd5\u200b\u7528\u200b\u66f4\u200b\u5229\u4e8e\u200b\u7406\u89e3\u200b\u7684\u8bdd\u200b\u6765\u8bb2\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e24\u8005\u200b\u7684\u200b\u8d28\u56e0\u6570\u200b\u5206\u79bb\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\((m',n')=1\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u53d6\u200b \\(c=a^{\\frac{m}{m'}}b^{\\frac{n}{n'}}\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b\u4f7f\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_13","title":"\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e0e\u200b\u7fa4\u7684\u9636","text":"

\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b\u7fa4\u7684\u9636\u200b

\u200b\u5bf9\u7fa4\u200b \\(G\\) \uff0c\u200b\u5176\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u5fc5\u200b\u6574\u9664\u200b \\(|G|\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u662f\u200b Lagrange \u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u63a8\u8bba\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_14","title":"\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636","text":"

\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u90fd\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6709\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u90fd\u200b\u6574\u9664\u200b \\(n\\) .

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u5143\u200b\uff0c\\(b\\) \u200b\u662f\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(m\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(m \\nmid n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7d20\u6570\u200b \\(p\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\begin{aligned} &n=p^k n_1,p\\nmid n_1 \\\\ &m=p^sm_1,p\\nmid m_1 \u200b\u4e14\u200b s>k. \\end{aligned} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ |a^{p^k}|=n_1,\\quad |b^{m_1}|=p^s \\]

\u200b\u56e0\u4e3a\u200b \\((p^s,n_1)=1\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ |a^{p^k}b^{m_1}|=p^sn_1>p^kn_1=n \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u4e0e\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u5143\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m\\mid n\\) .

\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u7684\u9636\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b

\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u9636\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a $$ |ab|\\leq |a||b| $$

\u200b\u8bbe\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(a,b\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u5206\u522b\u200b\u4e3a\u200b \\(m,n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(a^m=e,b^n=e\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e58\u79ef\u200b\u6709\u200b

\\[ (ab)^{mn}=e \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b \\(mn\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u5982\u200b\u4e0a\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_15","title":"\u966a\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_16","title":"\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u966a\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\\(a\\in G\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ aH={ah|h\\in H}, Ha={ha|h\\in H} $$ \u200b\u5206\u522b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4ee5\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u7edf\u79f0\u200b\u4e3a\u200b\u966a\u96c6\u200b\u3002

\u200b\u5f53\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b Abel \u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u975e\u200b Abel \u200b\u7fa4\u200b\u901a\u5e38\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e5f\u200b\u6709\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u3002\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u5176\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u6b63\u89c4\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u3002

\u200b\u6709\u5173\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8fc7\u4e8e\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e0a\u672c\u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u4ec5\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u3002\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u5168\u4f53\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6570\u91cf\u200b\u76f8\u7b49\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b \\(H\\) \u200b\u5728\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6307\u6570\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\((G:H)\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c \\(a,b\\in G\\) , \u200b\u5219\u200b \\(aH\\) \u200b\u548c\u200b \\(bH\\) \u200b\u8981\u4e48\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b\u91cd\u5408\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(aH=bH\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(ab^{-1}\\in H\\) .

\u200b\u901a\u5e38\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b \\(G\\) \u200b\u5206\u89e3\u200b\u4e3a\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u3002\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5206\u89e3\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5e2e\u52a9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a2\u7a76\u200b\u7fa4\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3002\uff08\u200b\u8be6\u89c1\u200bNKU\u200b\u4e60\u9898\u200b1.2T16\uff09

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\u200b\u5206\u5212\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u4e0e\u200b\u6570\u5206\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5206\u5212\u200b\u5341\u5206\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b\u4e00\u53e5\u200b\u8bdd\u200b\u6765\u200b\u6982\u62ec\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a\u200b\u82e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u5212\u200b\u3002\u200b\u7528\u200b\u7b26\u53f7\u8bed\u8a00\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a

\u200b\u5206\u5212\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\{A_i|A_i\\subset A\\}\\) \u200b\u82e5\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5206\u5212\u200b\uff1a

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5f15\u5165\u200b\u5206\u5212\u200b\u5462\u200b\uff1f\u200b\u5206\u5212\u200b\u4e0e\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u8981\u200b\u8bb2\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u6709\u5173\u200b\uff1a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3002\u200b\u5728\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e4b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u6709\u200b\u660e\u786e\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(R\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\times A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c \\(a,b\\in A\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\((a,b)\\in R\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u200b \\(a\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(b\\) \u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\)\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(aRb\\) \u200b\u6216\u200b \\(a\\sim b\\) . \u200b\u4e14\u200b\u79f0\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u3002

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u6765\u200b\u7406\u89e3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9ad8\u7b49\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u77e9\u9635\u200b\u7684\u200b\u5408\u540c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\exists C\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u65b9\u9635\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(C^TAC=B\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(B\\) \u200b\u662f\u200b\u5408\u540c\u200b\u7684\u200b\u3002\u200b\u5c06\u200b\u5408\u540c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u89c6\u4e3a\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u8bdd\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{P}^{n\\times n}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u77e9\u9635\u200b\u5bf9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5408\u540c\u200b\u77e9\u9635\u200b\u5bf9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u3002\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(R\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u3002\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u76f8\u62b5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7edf\u4e00\u200b\u5230\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u3002

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\forall a,b,c\\in A\\) \u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u8d77\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5206\u5212\u200b\u4e0e\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b

\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5206\u5212\u200b\u4e0e\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u7cbe\u786e\u200b\u5730\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u5730\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5206\u5212\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u552f\u4e00\u200b\u51b3\u5b9a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed9\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(R\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u5212\u200b\u3002

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u628a\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u5143\u7d20\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6574\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5546\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u5bf9\u200b \\(R\\) \u200b\u7684\u200b\u5546\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A/R\\) .

\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u5f15\u5165\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u591a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6765\u770b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5177\u4f53\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u3002 \u200b\u8bbe\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A = \\{1,2,3,\\cdots,10\\}\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u6a21\u200b3\u200b\u540c\u4f59\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\u5546\u96c6\u200b\uff1a

\\[ A/R=\\{[1]_R,[2]_R,[3]_R\\} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\([x]_R\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0e\u200b \\(x\\) \u200b\u6a21\u200b3\u200b\u540c\u4f59\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u3002\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u770b\u5230\u200b\uff0c\\(A/R\\) \u200b\u6070\u597d\u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5212\u5206\u200b\u3002

\u200b\u5229\u7528\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u6765\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e0e\u200b\u966a\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u200b\\(\\(aRb\\iff a^{-1}b\\in H\\)\\) \u200b\u6240\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(a\\) \u200b\u6240\u5728\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b \\(\\bar{a}\\) \u200b\u6070\u4e3a\u200b\u4ee5\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b \\(aH\\).

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u5546\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u5bf9\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(G/H\\) \uff0c\\(G/H\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2a\u6570\u200b \\(|G/H|\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(H\\) \u200b\u5728\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6307\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\([G:H]\\).

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\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aLagrange\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\\(H<G\\)\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b\\(\\(|G|=[G:H]\\cdot|H|\\)\\) \u200b\u4ece\u800c\u200b\u5b50\u7fa4\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u56e0\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b \\(|G|\\) \u200b\u7684\u200b\u56e0\u5b50\u200b\u3002

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a\\in G\\) \u200b\u8003\u8651\u200b\u6620\u5c04\u200b

\\[ \\phi: h\\to ah,\\forall h\\in H \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\u5229\u7528\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u6d88\u53bb\u5f8b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(H\\) \u200b\u5230\u200b \\(aH\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e5f\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u7531\u6b64\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(|H|=|aH|\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \\(G\\) \u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u5c31\u200b\u5c06\u200b\u662f\u200b \\([G:H]\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b \\([G:H]\\cdot|H|\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u3002

\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u4ee4\u200b \\(H=\\{e,a,a^2,\\cdots,a^{n-1}\\}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(|H|=n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200bLagrange\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6709\u200b

\\[ |G|=[G:H]\\cdot n \\]

\\(n\\) \u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b \\(|G|\\) \u200b\u7684\u200b\u56e0\u5b50\u200b\u3002 \u200b\u7531\u6b64\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff1a\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b\u7fa4\u7684\u9636\u200b\u3002

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\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5206\u7c7b\u200b\u4e0e\u200b\u6982\u7387\u200b\u503c\u200b\u65e0\u5173\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b 0 \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\u3002

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u90fd\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u51b3\u5b9a\u6027\u200b\u73b0\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5176\u200b\u53cd\u9762\u200b\uff1a\u200b\u4e2a\u522b\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u548c\u200b\u89c2\u5bdf\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u5448\u73b0\u200b\u5076\u7136\u6027\u200b\u7684\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u7b80\u79f0\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u3002

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\\[ F_N(A) = \\frac{n}{N} \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(N\\) \u200b\u6b21\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u4e2d\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u9891\u7387\u200b.

\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u6709\u200b\u5176\u200b\u5076\u7136\u6027\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9762\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u6709\u200b\u5176\u200b\u5fc5\u7136\u6027\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9762\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u5fc5\u7136\u6027\u200b\u8868\u73b0\u200b\u4e3a\u200b\u5927\u91cf\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u9891\u7387\u200b\u7684\u200b\u7a33\u5b9a\u6027\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u89c4\u5f8b\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u7edf\u8ba1\u200b\u89c4\u5f8b\u6027\u200b\u3002

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b \\(P(A)\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b\u8be5\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u53d1\u751f\u200b\u7684\u200b\u53ef\u80fd\u6027\u200b\u5927\u5c0f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6570\u200b \\(P(A)\\) \u200b\u5c31\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E7%8E%B0%E8%B1%A1%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%A7/#_4","title":"\u9891\u7387\u200b\u4e0e\u200b\u6982\u7387","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E7%8E%B0%E8%B1%A1%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%A7/#_5","title":"\u9891\u7387\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"
  1. \u200b\u9891\u7387\u200b\u5177\u6709\u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\uff0c\\(F_N(A)\\geqslant 0\\) \uff1b
  2. \u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u9891\u7387\u200b\u6052\u4e3a\u200b \\(1\\) \uff1b
  3. \u200b\u8bb0\u200b \\(A+B\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u6216\u200b \\(B\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u5176\u4e00\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u540c\u65f6\u200b\u53d1\u751f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5e94\u6709\u200b \\(F_N(A+B)=F_N(A)+F_N(B)\\) \uff1b\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u9891\u7387\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b.
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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u548c\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b

\u200b\u7814\u7a76\u200b\u968f\u673a\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u9700\u8981\u200b\u77e5\u9053\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7528\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u5168\u4f53\u200b\u6784\u6210\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u3002

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a\u200b\u7814\u7a76\u200b\u82f1\u6587\u5b57\u6bcd\u200b\u7684\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u5c31\u8981\u200b\u628a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u9009\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\varOmega = \\left\\lbrace A,B,C,\\cdots, Z \\right\\rbrace \\]

\u200b\u603b\u5171\u200b26\u200b\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b.

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\u200b\u674e\u8d24\u5e73\u200b\u6982\u7387\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5bf9\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e00\u4e2a\u70b9\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u786e\u8ba4\u200b\u5176\u5c5e\u200b\u4e0d\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(S\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u662f\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\omega\\in S\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\omega\\not\\in S\\) . \u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varnothing\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b\u67d0\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u53d1\u751f\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b83\u200b\u6240\u200b\u5305\u542b\u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u51fa\u73b0\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6539\u5199\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7565\u8fc7\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_4","title":"\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_5","title":"\u5305\u542b\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u82e5\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b \\(B\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(A\\subset B\\) \uff0c\u200b\u5e76\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u88ab\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e8e\u200b \\(B\\) .

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(A \\subset B\\) \u200b\u548c\u200b \\(B \\subset A\\) \u200b\u540c\u65f6\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u6216\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A=B\\) \uff0c\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u603b\u662f\u200b\u540c\u65f6\u200b\u53d1\u751f\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9006\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u3001\u200b\u5bf9\u7acb\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b\u6240\u6709\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u6240\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u6216\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5bf9\u7acb\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\overline{A}\\) . \\(\\overline{A}\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u8868\u793a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0d\u200b\u53d1\u751f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_6","title":"\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97","text":"

\\(A \\cap B\\) \u200b\u6216\u200b \\(AB\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u540c\u65f6\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\\(AB\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u540c\u65f6\u200b\u53d1\u751f\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(AB= \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u5bb9\u200b. \u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(A\\cup B\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u53d1\u751f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b\u548c\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A+B\\) .

\u200b\u7528\u200b \\(A-B\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u5728\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u200b\u5728\u200b \\(B\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5dee\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(A\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u800c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0d\u200b\u53d1\u751f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#de-morgan","title":"De Morgan\u200b\u5f8b","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u5076\u539f\u7406\u200b

\\(\\overline{A\\cup B} = \\overline{A}\\cap \\overline{B}\\) \uff0c \\(\\overline{A\\cap B} = \\overline{A}\\cup \\overline{B}\\).

\u200b\u5dee\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u4ea4\u200b\u548c\u200b\u5e76\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a

\\[ A-B = A\\cap \\overline{B} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u53ef\u5217\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u5076\u539f\u7406\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup_{i=1}^\\infty A_i = \\lim_{n\\to \\infty}\\bigcup_{i=1}^n A_i,\\quad \\bigcap_{i=1}^\\infty A_i = \\lim_{n\\to \\infty}\\bigcap_{i=1}^n A_i \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_7","title":"\u8fd0\u7b97\u200b\u5f8b","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_8","title":"\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b

\u200b\u53ea\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u4e3a\u200b \\(\\omega_1,\\omega_2,\\cdots,\\omega_n\\) \uff0c\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u573a\u5408\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u628a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u4e0e\u200b\u5b83\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6982\u7387\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(P(\\omega_i)\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u975e\u200b\u8d1f\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^n P(\\omega_i)=1 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5c31\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u6982\u7387\u200b\uff0c\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8fd8\u200b\u672a\u200b\u660e\u786e\u200b\u6982\u7387\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u628a\u200b\u5b83\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u6570\u200b\u770b\u5f85\u200b\u3002

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b

\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b \\(P(A)\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5404\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e4b\u200b\u548c\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u6709\u200b \\(0\\leqslant P(A)\\leqslant1\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u540c\u6837\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u5230\u200b\u53ef\u5217\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u79bb\u6563\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/","title":"\u53e4\u5178\u200b\u6982\u578b","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_2","title":"\u6a21\u578b\u200b\u4e0e\u200b\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u5177\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7279\u5f81\u200b\uff1a 1. \u200b\u5728\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u4e2d\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5168\u90e8\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\uff1b 2. \u200b\u5404\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u53d1\u751f\u200b\u6216\u8005\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u662f\u200b\u7b49\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7c7b\u578b\u200b\u7684\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u7684\u200b\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u53e4\u5178\u200b\u6982\u578b\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega = \\left\\lbrace \\omega_1,\\omega_2,\\cdots,\\omega_n \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5e94\u6709\u200b

\\[ P(\\omega_1)=P(\\omega_2)=\\cdots=P(\\omega_n)= \\frac{1}{n}. \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u603b\u80fd\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u4e4b\u200b\u548c\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u5230\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u6570\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(A = \\omega_{i_1}+\\cdots+\\omega_{i_m}\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6709\u200b

\\[ P(A) = \\frac{m}{n} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(\\omega_{i_1},\\cdots,\\omega_{i_m}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u5229\u200b\u573a\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u53e4\u5178\u200b\u5b9a\u4e49\u200b(Laplace, naive definition of probability)

\\[P(A) = \\frac{\u200b\u6709\u5229\u200b\u573a\u5408\u200b\u6570\u76ee\u200b}{\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u603b\u6570\u200b}=\\frac{n(A)}{n(\\varOmega)}.\\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_3","title":"\u8ba1\u6570\u200b\u539f\u7406","text":"

\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u539f\u7406\u200b\u548c\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u539f\u7406\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u7565\u8fc7\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_4","title":"\u6392\u5217","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9009\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5168\u200b\u6392\u5217\u200b

\u200b\u4e0d\u653e\u56de\u200b\u9009\u53d6\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2d\u200b\u9009\u53d6\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u603b\u6570\u200b\u4e3a\u200b $$ A_n^r = \\frac{n!}{(n-r)!} $$ \u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(r=n\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5168\u200b\u6392\u5217\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_5","title":"\u7ec4\u5408","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7ec4\u5408\u200b

\u200b\u4e0d\u653e\u56de\u200b\u9009\u53d6\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2d\u200b\u53d6\u51fa\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u800c\u200b\u4e0d\u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u200b\u987a\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7ec4\u5408\u200b\uff0c\u200b\u603b\u6570\u200b\u4e3a\u200b $$ \\mathrm{C}_n^r = \\binom{n}{r} = \\frac{A_n^r}{r!} = \\frac{n!}{r!(n-r)!} $$

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_6","title":"\u5206\u5272","text":"

\u200b\u628a\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5206\u4e3a\u200b \\(k\\) \u200b\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e00\u200b\u90e8\u5206\u200b \\(r_1\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u200b\u90e8\u5206\u200b \\(r_2\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(k\\) \u200b\u90e8\u5206\u200b \\(r_k\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5206\u6cd5\u200b\u6709\u200b

\\[ \\frac{n!}{r_1!r_2!\\cdots r_k!} \\]

\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u591a\u9879\u200b\u7cfb\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u5c55\u5f00\u5f0f\u200b \\((x_1+x_2+\\cdots+x_k)^n\\) \u200b\u4e2d\u200b \\(x_1^{r_1}x_2^{r_2}\\cdots x_k^{r_k}\\) \u200b\u7684\u200b\u7cfb\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(k=2\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u9879\u200b\u7cfb\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7ec4\u5408\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_7","title":"\u6709\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570","text":"

\u200b\u5f53\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u7684\u200b\u60c5\u666f\u200b\u53d8\u4e3a\u200b\u6709\u653e\u56de\u200b\u9009\u53d6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b\u53d6\u6cd5\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\binom{n+r-1}{r} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6709\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b.

\u200b\u6709\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u7684\u200b\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5982\u4f55\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a \u200b\u73b0\u5728\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(r=7\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u88c5\u6709\u200b \\(7\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\u7684\u200b\u76d2\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u63d2\u200b\u9694\u677f\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u662f\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u5462\u200b\uff1f\u200b\u5982\u679c\u8bf4\u200b \\(n=3\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u7684\u200b\u653e\u56de\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bb0\u5f55\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7528\u200b \\(2\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5c31\u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u4e86\u200b \\(2\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u4e86\u200b \\(3\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u4e86\u200b \\(2\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(7\\) \u200b\u6b21\u200b\u7684\u200b\u53d6\u6cd5\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u63d2\u5165\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\uff0c\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63d2\u200b\u5230\u200b\u540c\u4e00\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u5230\u200b\u8fc7\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n>r\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u540c\u7406\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b \\(r+1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63d2\u5165\u200b\uff08\u200b\u4e24\u7aef\u200b\u4e5f\u200b\u7b97\u200b\uff09\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\u63d2\u5165\u200b \\(r+1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u89c6\u4e3a\u200b\u6240\u6709\u200b\u9694\u677f\u200b\u548c\u200b\u7403\u200b\u603b\u5171\u200b \\(n+r-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ece\u200b \\(n+r-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u4e2d\u200b\u51b3\u5b9a\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\u7684\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\uff0c\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u9694\u677f\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\binom{n+r-1}{r} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_8","title":"\u4e8c\u9879\u5f0f\u200b\u7cfb\u6570\u200b\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u6839\u636e\u200b

\\[ (1+x)^n = \\sum\\limits_{r=0}^n \\binom{n}{r}x^r \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(x=1\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ 2^n = \\sum\\limits_{i=1}^n \\binom{n}{i} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5229\u7528\u200b

\\[ (1+x)^a(1+x)^b \\]

\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ \\sum\\limits^n_{r=0}\\binom{a}{r}\\binom{b}{n-r}= \\binom{a+b}{n} \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5316\u4e3a\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u95ee\u9898\u200b\u6765\u200b\u8003\u8651\u200b\uff1a\u200b\u5728\u200b \\(a+b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u653e\u200b\u56de\u5730\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\uff0c\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u5206\u5806\u200b\u4e3a\u200b \\(a\\) \u200b\u548c\u200b \\(b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e24\u5806\u200b\u7403\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(a\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(0\\) \u200b\u4e2a\u200b\u3001 \\(b\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u2026\u2026\uff0c\\(a\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c \\(b\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(0\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u65b9\u6848\u200b\u7684\u200b\u603b\u548c\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_9","title":"\u6392\u5217\u7ec4\u5408\u200b\u7684\u200b\u63a8\u5e7f","text":"

\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(x\\) \uff1a

\\[ A_x^r = x(x-1)(x-2)\\cdots(x-r+1) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\binom{x}{r} = \\frac{A_x^r}{r!}. \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b\u725b\u987f\u200b\u4e8c\u9879\u5f0f\u200b\u6709\u200b

\\[ (1+x)^\\alpha = \\sum\\limits_{r=0}^\\infty \\binom{\\alpha}{r}x^r \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_10","title":"\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b\u4e0e\u200b\u8d85\u200b\u51e0\u4f55\u200b\u5206\u5e03","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_11","title":"\u4e8c\u9879\u5206\u5e03","text":"

\u200b\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u653e\u56de\u200b\u62bd\u6837\u200b\u573a\u5408\u200b\uff0c\u200b\u628a\u200b \\(a+b\\) \u200b\u4ef6\u200b\u4ea7\u54c1\u7f16\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u6709\u653e\u56de\u200b\u62bd\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u6b21\u54c1\u200b\u6b63\u597d\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(k\\) \u200b\u6b21\u200b\u7684\u200b\u6570\u76ee\u200b\u662f\u200b

\\[ \\binom{n}{k}a^k b^{n-k} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b\u53e4\u5178\u200b\u6982\u578b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b

\\[ b_k = \\frac{\\displaystyle\\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}{(a+b)^n} \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_12","title":"\u8d85\u200b\u51e0\u4f55\u200b\u5206\u5e03","text":"

\u200b\u4ece\u200b \\(a+b\\) \u200b\u4ef6\u4ea7\u54c1\u200b\u4e2d\u4e0d\u653e\u56de\u200b\u53d6\u51fa\u200b \\(n\\) \u200b\u4ef6\u4ea7\u54c1\u200b\u7684\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u603b\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\binom{a+b}{n}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53d6\u200b\u5230\u200b \\(k\\) \u200b\u4ef6\u200b\u6b21\u54c1\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b

\\[ h_k = \\frac{\\displaystyle \\binom{a}{k}\\binom{b}{n-k}}{\\displaystyle\\binom{a+b}{n}} \\]

\u200b\u5f53\u200b\u4ea7\u54c1\u200b\u91cf\u200b\u5927\u200b\uff0c\u200b\u62bd\u6837\u200b\u8f83\u5c11\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b\u6765\u200b\u8fd1\u4f3c\u200b\u8d85\u200b\u51e0\u4f55\u200b\u5206\u5e03\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_13","title":"\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5bb9\u65a5\u200b\u539f\u7406\u200b\uff1a

\\[ n(A\\cup B) = n(A)+n(B)-n(AB) \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u6709\u200b

\\[ P(A+B) = P(A)+P(B). \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_14","title":"\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406","text":"
  1. \u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\uff1b
  2. \u200b\u89c4\u8303\u6027\u200b\uff1a\\(P(\\varOmega)=1\\) \uff1b
  3. \u200b\u82e5\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u5219\u200b\u6982\u7387\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u200b\u52a0\u200b\uff1b
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\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u62bd\u53d6\u200b \\(r\\) \u200b\u6b21\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6848\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff1a

\u200b\u987a\u5e8f\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u6837\u200b\u65b9\u5f0f\u200b \u200b\u6709\u5e8f\u200b \u200b\u65e0\u5e8f\u200b \u200b\u6709\u653e\u56de\u200b \\(n^r\\) \\(\\displaystyle\\binom{n+r-1}{r}\\) \u200b\u65e0\u653e\u56de\u200b \\(\\dfrac{n!}{r!}\\) \\(\\displaystyle\\binom{n}{r}\\)"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_16","title":"* \u200b\u65e0\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u62d3\u5c55","text":"

\uff08\u200b\u672c\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e3a\u200b\u4e0a\u8bfe\u200b\u8865\u5145\u200b\uff09 \u200b\u6211\u4eec\u200b\u5148\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u627e\u5230\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e0d\u5b9a\u200b\u65b9\u7a0b\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u89e3\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases} y_i \\in \\mathbb{Z}_+ , & i=1,2,\\cdots,n \\\\ \\sum\\limits_{i=1}^n y_i = r, &r\\geqslant n \\end{cases} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u9694\u677f\u200b\u6cd5\u200b\u66f4\u200b\u7b26\u5408\u200b\u76f4\u89c9\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u76f8\u5f53\u4e8e\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u7403\u7528\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u6321\u677f\u200b\u9020\u200b\u51fa\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(i\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u4ee3\u8868\u200b \\(y_i\\) \u200b\u7684\u200b\u5927\u5c0f\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7b54\u6848\u200b\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle\\binom{r-1}{n-1}\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u65e0\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u53d8\u5f62\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases} y_i \\in \\mathbb{N} , & i=1,2,\\cdots,n \\\\ \\sum\\limits_{i=1}^n y_i = r, &r\\geqslant n \\end{cases} \\]

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u521a\u521a\u200b\u7684\u200b\u9694\u677f\u200b\u6cd5\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u95ee\u9898\u200b\u51fa\u200b\u5728\u200b \\(y_i\\) \u200b\u53d6\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff08\\(0\\) \u200b\u76f8\u90bb\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff09.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5c24\u5176\u200b\u662f\u200b\u5728\u200b\u4ee5\u540e\u200b\u7684\u200b\u89e3\u9898\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u7c7b\u200b\u95ee\u9898\u200b\u8f6c\u5316\u200b\u4e3a\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b\u95ee\u9898\u200b\u662f\u200b\u975e\u5e38\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u505a\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ee4\u200b \\(x_i = y_i +1\\) \uff1a

\\[ \\begin{cases} x_i \\in \\mathbb{Z}_+ , & i=1,2,\\cdots,n \\\\ \\sum\\limits_{i=1}^n x_i = r+n, &r\\geqslant n \\end{cases} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5c31\u200b\u56de\u5230\u200b\u4e86\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7b54\u6848\u200b\u4e3a\u200b\uff1a \\(\\displaystyle \\binom{n+r-1}{n-1}\\) .

\u200b\u540c\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases}x_i \\geqslant-2 ,i=1,2,3,4 \\\\ x_1+x_2+x_3+x_4 = 2\\end{cases} \\]

\u200b\u7b54\u6848\u200b\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle \\binom{13}{3}\\) \uff0c\u200b\u590d\u4e60\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u4e0d\u59a8\u4e00\u8bd5\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/","title":"\u51e0\u4f55\u200b\u6982\u7387","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_2","title":"\u51e0\u4f55\u200b\u6982\u7387\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u4ee5\u200b \\(A_g\\) \u200b\u8bb0\u200b\u201c\u200b\u5728\u200b\u533a\u57df\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e2d\u200b\u968f\u673a\u200b\u5730\u53d6\u200b\u4e00\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u8be5\u200b\u70b9\u200b\u843d\u200b\u5728\u200b\u533a\u57df\u200b \\(g\\) \u200b\u4e2d\u200b\u201d\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6982\u7387\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ P(A_g) = \\frac{g\u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b}{\\varOmega\u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b} \\]

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u6b64\u5904\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5230\u200b\u4e86\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u9762\u79ef\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u3002\u200b\u4f46\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u9762\u79ef\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/#buffon","title":"Buffon \u200b\u6295\u9488","text":"

\u200b\u8bbe\u9488\u200b\u7684\u200b\u4e2d\u70b9\u200b\u5230\u200b\u6700\u8fd1\u200b\u7684\u200b\u5e73\u884c\u7ebf\u200b\u7684\u200b\u8ddd\u79bb\u200b\u4e3a\u200b \\(x\\) \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u9488\u200b\u4e0e\u200b\u5e73\u884c\u7ebf\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u89d2\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u9488\u200b\u548c\u200b\u5e73\u884c\u7ebf\u200b\u7684\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\uff1a

\\[ x\\leqslant \\frac{l}{2}\\sin \\varphi \\]

\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u6c42\u200b \\(g\\) \u200b\u7684\u200b\u9762\u79ef\u200b\u6709\u200b \\({2l}\\) . \u200b\u800c\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u9762\u79ef\u200b\u4e3a\u200b \\(\\pi \\dfrac{a}{2}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{2l}{\\pi a}\\) .

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_3","title":"\u51e0\u4f55\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406","text":"
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  2. \u200b\u89c4\u8303\u200b\u5f62\u200b\uff1b
  3. \u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1b
"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/","title":"\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7ed3\u6784","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_2","title":"\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_3","title":"\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u3001\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u548c\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4","text":"

\u200b\u672c\u200b\u8282\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b \\(\\omega\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u6784\u6210\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u53d1\u751f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u6709\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53d1\u751f\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5c06\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e5f\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u96be\u4ee5\u514b\u670d\u200b\u7684\u200b\u56f0\u96be\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#sigma","title":"\\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u548c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b

\u200b\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u8981\u6c42\u200b\u7684\u200b\u96c6\u7c7b\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b:

  1. \\(\\varOmega\\in \\mathscr{F}\\) \uff1b
  2. \u200b\u82e5\u200b \\(A\\in \\mathscr{F}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\overline{A}\\in \\mathscr{F}\\) \uff1b
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(A_n\\in \\mathscr{F},n=1,2,\\cdots\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\displaystyle\\bigcup_{n=1}^\\infty A_n \\in \\mathscr{F}\\) .

\\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b\u9006\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b\u53ef\u5217\u6b21\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b De Morgan \u200b\u5f8b\u200b\u548c\u200b\u5dee\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5224\u65ad\u200b\u9006\u200b\u3001\u200b\u5e76\u200b\u3001\u200b\u4ea4\u200b\u3001\u200b\u5dee\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u5217\u6b21\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u3002

\u200b\u4e14\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\overline{\\varOmega} = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u5747\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u200b\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df\u200b\uff0c\\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\varOmega\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\varnothing\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e0e\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u90fd\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u4e86\u200b\u3002\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u672c\u8eab\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\(\\mathscr{F}=\\left\\lbrace \\varnothing,\\varOmega \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4f59\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u5747\u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\u7c7b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff0c\u200b\u5fc5\u200b\u5b58\u5728\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b \\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a (1) \u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff1b (2) \u200b\u82e5\u6709\u200b\u5176\u5b83\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) . \u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b. \u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u7c7b\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u6613\u77e5\u200b\u5176\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u5f97\u8bc1\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u53d6\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u96c6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u6761\u200b\u6027\u8d28\u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b.

\\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u4ea4\u200b\u51fa\u6765\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\varOmega\\in \\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A\\in \\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u5fc5\u7136\u200b\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\overline{A}\\in \\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u200b\u5e76\u6027\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u662f\u200b\u5229\u7528\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_4","title":"\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u4e0e\u200b\u8fde\u7eed\u6027","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_5","title":"\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027","text":"

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u4e0e\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6865\u6881\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\lim_{n\\to \\infty} P\\left(\\sum\\limits_{i=1}^n A_i\\right) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i) \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u9700\u8981\u200b\u653e\u5230\u200b\u51fd\u6570\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9700\u8981\u200b\u5f15\u5165\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(P\\)\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5b83\u200b\u5bf9\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace S_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5747\u200b\u6210\u7acb\u200b $$ \\lim_{n\\to \\infty} P(S_n) = P\\left(\\lim_{n\\to \\infty} S_n\\right) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(P\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0b\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7684\u200b. \u200b\u82e5\u200b\u5c06\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b\u6539\u4e3a\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u589e\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_6","title":"\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(P\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(P(\\varOmega) = 1\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u8d1f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b83\u200b\u5177\u6709\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u52a0\u200b\u7684\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e0b\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b\u521a\u624d\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u5c06\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5f80\u200b\u51fd\u6570\u200b\u91cc\u9762\u200b\u632a\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace S_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ \\bigcup_{i=1}^\\infty S_i = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty (S_k-S_{k-1}) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u89c4\u5b9a\u200b \\(S_0 = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53f3\u5f0f\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5404\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5c06\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u8f6c\u53d8\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u5e94\u7528\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1a

\\[ P\\left(\\bigcup_{i=1}^\\infty S_i\\right) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P\\left(S_i -S_{i-1}\\right) = \\lim_{n\\to \\infty}\\sum\\limits_{i=1}^n P(S_i-S_{i-1}) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(P\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^n P(S_i-S_{i-1}) = P\\left(\\sum\\limits_{i=1}^n S_i-S_{i-1}\\right) = P(S_n) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ P\\left(\\bigcup_{i=1}^\\infty S_i\\right) = P\\left(\\lim_{n\\to \\infty} S_n\\right) = \\lim_{n\\to \\infty}P(S_n) \\]

\u200b\u4e0b\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\u56e0\u800c\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u547d\u9898\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u53d6\u5176\u200b\u5bf9\u7acb\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5c06\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b\u4ece\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u589e\u200b\u53d8\u6210\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_7","title":"\u6982\u7387\u200b\u7a7a\u95f4","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#borel","title":"\u4e00\u7ef4\u200b Borel \u200b\u70b9\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u7ef4\u200b Borel \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b

\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5f62\u200b\u5982\u200b \\([a,b)\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u754c\u200b\u5de6\u95ed\u200b\u53f3\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u7c7b\u200b\u6240\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u7ef4\u200b Borel \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u4e4b\u4e3a\u200b \\(\\mathscr{B}_1\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathscr{B}_1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u7ef4\u200b Borel \u200b\u70b9\u96c6\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\{x\\} = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left[x,x+ \\frac{1}{n}\\right) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\mathscr{B}_1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u3001\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\u3001\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u3001\u200b\u53ef\u5217\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u53ef\u5217\u6b21\u200b\u9006\u200b\u3001\u200b\u5e76\u200b\u3001\u200b\u4ea4\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u800c\u200b\u5f97\u51fa\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u3001\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u3001Bayes \u200b\u516c\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_1","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_2","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\((\\varOmega,\\mathscr{F},P)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6982\u7387\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\\(B\\in \\mathscr{F}\\) \uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b \\(P(B)>0\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(A\\in \\mathscr{F}\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b $$ P(A\\mid B) = \\frac{P(AB)}{P(B)}$$ \u200b\u5e76\u79f0\u200b \\(P(A\\mid B)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5728\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(B\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b.

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b \\(P(B)>0\\) \u200b\u662f\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u524d\u63d0\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(P(B)=0\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b \\(P(AB)=0\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b \\(\\frac{0}{0}\\) \u200b\u7684\u200b\u672a\u200b\u5b9a\u578b\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u6682\u65f6\u200b\u8d85\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u76ee\u524d\u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4ee5\u540e\u200b\u7684\u200b\u79d1\u76ee\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u4e2d\u200b\u4f1a\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u5b66\u5230\u200b.

\u200b\u4e58\u5f00\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(AB) = P(B)P(A|B) \\]

\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff08\u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\u3001\u200b\u89c4\u8303\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff09

\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5c06\u200b \\(B\\) \u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varOmega\\) \uff0c\u200b\u90a3\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u8fc7\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_3","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u672c\u6765\u200b\u5df2\u77e5\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u7684\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(A_1A_2\\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2\\mid A_1) \\cdots P(A_n| A_1A_2 \\cdots A_n) \\]

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1aPoly\u00e1 \u200b\u575b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b

\u200b\u575b\u5b50\u200b\u4e2d\u6709\u200b \\(b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9ed1\u7403\u200b\u548c\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7ea2\u7403\u200b\uff0c\u200b\u968f\u673a\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u628a\u200b\u539f\u7403\u200b\u653e\u56de\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u52a0\u8fdb\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u51fa\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b\u540c\u8272\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b \\(c\\) \u200b\u53ea\u200b\uff0c\u200b\u518d\u200b\u6478\u200b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u4e0b\u53bb\u200b\u603b\u5171\u200b\u6478\u200b\u4e86\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u95ee\u200b\u524d\u9762\u200b\u7684\u200b \\(n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u9ed1\u7403\u200b\uff0c\u200b\u540e\u9762\u200b\u7684\u200b \\(n_2=n-n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u662f\u200b\u591a\u5c11\u200b\uff1f

\u200b\u4ee5\u200b \\(A_1\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u4e00\u6b21\u200b\u6478\u51fa\u200b\u9ed1\u7403\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\cdots\\) \uff0c\\(A_{n_1}\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u200b \\(n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u9ed1\u7403\u200b\uff0c\\(A_{n_1+1}\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u200b \\(n_1+1\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b\uff0c\\(\\cdots\\) \uff0c \\(A_n\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u66f4\u597d\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u524d\u200b \\(n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u5f97\u5230\u200b\uff1a

\\[ P(A_{n_1} \\mid A_1\\cdots A_{n_1-1}) = \\dfrac{b+(n_1-1)c}{b+r+(n_1-1)c} \\]

\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u5230\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ P(A_n \\mid A_1\\cdots A_{n-1})=\\dfrac{r+(n_2-1)c}{b+r+(n-1)c} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ P(A_1A_2\\cdots A_n) = \\prod_{i=0}^{n_1-1}\\frac{b+ic}{b+r+ic}\\prod_{j=0}^{n_2-1}\\frac{r+jc}{b+r+(n_1+j)c} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_4","title":"\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_5","title":"\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7ec4\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n,\\cdots\\) \u200b\u662f\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u5272\u200b\uff0c\u200b\u4ea6\u200b\u79f0\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7ec4\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(A_i(i=1,2,\\cdots,n,\\cdots)\\) \u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b $$ \\sum\\limits_{i=1}^\\infty A_i = \\varOmega $$

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7ec4\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(B\\) \uff1a

\\[ B = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty A_iB \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ P(B) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i B) \\]

\u200b\u518d\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b

\\[ P(B) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i)P(B\\mid A_i) \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_6","title":"\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5e94\u7528","text":"

\u200b\u4ece\u200b Poly\u00e1 \u200b\u575b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u66f4\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7684\u200b\u6478\u7403\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff1a

\u200b\u575b\u5b50\u200b\u4e2d\u6709\u200b \\(b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9ed1\u7403\u200b\u548c\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7ea2\u7403\u200b\uff0c\u200b\u968f\u673a\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u52a0\u8fdb\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u51fa\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b\u540c\u8272\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b \\(s\\) \u200b\u53ea\u200b\uff0c\u200b\u518d\u200b\u6478\u200b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u4e0b\u53bb\u200b\u603b\u5171\u200b\u6478\u200b\u4e86\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{r}{b+r}\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(R_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n=1\\) \u200b\u65f6\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u968f\u540e\u200b\u5bf9\u200b \\(n-1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5bf9\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(R_n) = P(R_1)P(R_n \\mid R_1) + P(\\overline{R_1})P(R_n \\mid \\overline{R_1}) \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(P(R_n \\mid R_1)\\) \u200b\u6982\u7387\u200b\u9700\u200b\u8981\u6c42\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u60f3\u6cd5\u200b\uff1a\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(R_1\\) \u200b\u5df2\u200b\u53d1\u751f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(R_n\\) \u200b\u7684\u200b\u53d1\u751f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u5728\u200b \\(b+r+s-1\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(n-1\\) \u200b\u6b21\u200b\u62bd\u51fa\u200b \\(r+s-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u4e86\u200b.

\\[ \\frac{r}{b+r}\\dfrac{r+s-1}{b+r+s-1}+\\frac{b}{b+r}\\frac{r}{b+r+s-1} = \\frac{r}{b+r} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#bayes_1","title":"Bayes \u200b\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ B = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty BA_i \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ P(A_i B) = P(A_i)P(B\\mid A_i) \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b

\\[ P(A_i \\mid B) = \\frac{P(A_i)P(B\\mid A_i)}{P(B)} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aBayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b

\\[ P(A_i\\mid B) = \\dfrac{P(A_i)P(B\\mid A_i)}{\\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i)P(B\\mid A_i)} \\]

\u200b\u5728\u200b\u4f7f\u7528\u200b Bayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e4b\u524d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u826f\u597d\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5206\u6790\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1aBayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b

\u200b\u888b\u4e2d\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7403\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u5c31\u662f\u200b\u767d\u7403\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u7b49\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u51fa\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u518d\u200b\u5f80\u200b\u888b\u4e2d\u200b\u653e\u5165\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u767d\u7403\u200b. \u200b\u73b0\u5728\u200b\u968f\u673a\u200b\u5730\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7403\u200b\uff0c\u200b\u6070\u4e3a\u200b\u767d\u7403\u200b. \u200b\u8bd5\u7403\u200b\u888b\u4e2d\u200b\u539f\u6765\u200b\u5c31\u662f\u200b\u767d\u7403\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b\u539f\u6765\u200b\u4e3a\u200b\u767d\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b \\(P(A)=\\dfrac{1}{2}\\) . \u200b\u8bbe\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u7684\u200b\u7403\u4e3a\u200b\u767d\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8981\u6c42\u200b\u51fa\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b \\(P(A\\mid B)\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b Bayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(A\\mid B) = \\dfrac{P(B\\mid A)P(A)}{P(B\\mid A)P(A)+P(B\\mid \\overline{A})P(\\overline{A})} \\]

\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{2}{3}\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_7","title":"\u72ec\u7acb\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u72ec\u7acb\u6027\u200b (Independence)

\u200b\u5bf9\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b $$ P(AB) = P(A)P(B) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u662f\u200b\u7edf\u8ba1\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u7b80\u79f0\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a

  1. \\(P(A) = 0\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(A,B\\) \u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b.
  2. \\(P(A)=1\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b \\(P(AB) = P(A)+P(B)-P(A\\cup B)\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(A,B\\) \u200b\u72ec\u7acb\u200b.

\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7ec6\u6263\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u672f\u8bed\u200b\u5dee\u522b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_8","title":"\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u548c\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u548c\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u4ec5\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j) (i,j=1,2,\\cdots,n,i\\neq j) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u72ec\u7acb\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7684\u200b\u7ec4\u5408\u200b \\(1 \\leqslant i<j<k \\leqslant n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a $$ \\begin{aligned}&P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j) \\\\ &P(A_iA_jA_k) = P(A_i)P(A_j)P(A_k) \\\\ & \\qquad\\vdots \\\\ & P(A_1A_2,\\cdots,A_n) = P(A_1)P(A_2)\\cdots P(A_n) \\end{aligned} $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u548c\u200b\u672f\u8bed\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u533a\u5206\u200b\u5373\u53ef\u200b.

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95Index/","title":"\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b Intro","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95Index/#_1","title":"\u63d0\u9192","text":"

\u200b\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u5728\u200b NKU \u200b\u8bfe\u7a0b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4ee5\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e3a\u4e3b\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8bfe\u5802\u200b\u4e0a\u200b\u4e0d\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u5230\u200b\u4ee3\u7801\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u5b9e\u73b0\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u7ed3\u5408\u200b\uff0c\u200b\u4e13\u95e8\u200b\u8bbe\u7f6e\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u7801\u200b\u4ed3\u5e93\u200b\u5b58\u653e\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u7801\u200b\u5b9e\u73b0\u200b\uff1a\u200b\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u4ee3\u7801\u200b\u5b9e\u73b0\u200b

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/","title":"\u6392\u5217\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_2","title":"\u6392\u5217","text":"

\u200b\u4ee4\u200b \\(S\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u901a\u5e38\u200b\u4ee4\u200b

\\[ S = \\left\\lbrace 1,2,\\cdots,n \\right\\rbrace \\]

\\(S\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b (permutation) \u200b\u662f\u200b\u5c06\u200b \\(1,2,\\cdots,n\\) \u200b\u6309\u200b\u987a\u5e8f\u200b\u6392\u6210\u4e00\u5217\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u8bb0\u4f5c\u200b\uff1a

\\[ \\pi = \\pi_1 \\pi_2 \\cdots \\pi_3 \\]

\u200b\u4ee4\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b \\(S_n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b \\(|S_n| = n!\\) .

\u200b\u6392\u5217\u200b\u53ef\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(1234\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a

\\[ \\pi : 3124 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\pi(1) = 3\\) \u200b\u7b49\u7b49\u200b.

\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u77e9\u9635\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u77e9\u9635\u200b\uff1a

\\[ \\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\end{pmatrix} \\]

\u200b\u4e00\u822c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6392\u5217\u200b\u77e9\u9635\u200b.

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_3","title":"\u62d3\u5c55\u200b\uff1a\u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635","text":"

\u200b\u8bbe\u200b\u77e9\u9635\u200b \\(M = (m_{ij})\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

  1. \\(m_{ij}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u8d1f\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff1b
  2. \u200b\u6bcf\u884c\u200b\u6bcf\u5217\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b\u4e3a\u200b \\(1\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b\u77e9\u9635\u200b \\(M\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u4e8c\u7ef4\u200b\u77e9\u9635\u200b\uff1a

\\[ \\begin{pmatrix}1-a & a \\\\ a & 1-a\\end{pmatrix},0<a<1 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b\u548c\u200b\u6392\u5217\u200b\u77e9\u9635\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b \\(n\\times n\\) \u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b\u53ef\u200b\u770b\u4f5c\u200b \\(\\mathbb{R}^{n^2}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7ecf\u5178\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u662f\u200b\uff1a \u200b\u6240\u6709\u200b \\(n\\times n\\) \u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b\u6784\u6210\u200b \\(\\mathbb{R}^{n^2}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51f8\u200b\u591a\u9762\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u9876\u70b9\u200b\u6070\u4e3a\u200b\u6240\u6709\u200b \\(n\\) \u200b\u7ef4\u200b\u6392\u5217\u200b\u77e9\u9635\u200b.

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e8c\u7ef4\u200b\u77e9\u9635\u200b\u6765\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5178\u578b\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a

\\[ \\begin{pmatrix}1-a & a \\\\ a & 1-a\\end{pmatrix} = (1-a)\\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\\end{pmatrix} + a \\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\\end{pmatrix} \\]"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_4","title":"\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u548c\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7f6e\u6362\u200b \\((1\\ 3\\ 6)\\) :

graph LR\n1 --> 3\n3 --> 6\n6 --> 1

\u200b\u5728\u200b\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u4e2d\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a\u200b.

\u200b\u548c\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a\u200b\u7684\u200b\u4e58\u79ef\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b, \\(\\pi = 6517234\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\pi = (1\\ 3\\ 6)(4\\ 7)(2\\ 5) \\]

\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u5173\u5fc3\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5708\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u800c\u200b\u6709\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u200b

\\(S_n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5177\u6709\u200b \\(k\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5708\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u79f0\u4f5c\u200b\uff08\u200b\u65e0\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff09\u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u200b \uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(c(n,k)\\) \uff1a $$ c(n,k) = \\big|\\left\\lbrace \\pi\\in S_n| \\pi \\text{\u200b\u7684\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a\u200b\u6070\u6709\u200b} n \\text{\u200b\u4e2a\u5708\u200b} \\right\\rbrace \\big|$$

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n=3\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b

\\[ 123 = (1)(2)(3) \\]

\\(n=3\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53ea\u6709\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u662f\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(c(3,3) = 1\\) .

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e1c\u897f\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathrm{C}_3^1=3\\) \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(c(3,1)=2\\) .

\u200b\u5982\u4f55\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u542f\u53d1\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53bb\u200b\u601d\u8003\u200b\u6709\u6ca1\u6709\u200b\u6f5c\u5728\u200b\u7684\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\\[ c(n,k) = (n-1)c(n-1,k)+ c(n-1,k-1) \\]

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8003\u8651\u200b \\(n-1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53ea\u200b\u591a\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a (1) \u200b\u5982\u679c\u200b\u6070\u597d\u200b\u6709\u200b \\(k-1\\) \u200b\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u591a\u52a0\u200b\u4e00\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5708\u200b\u4e5f\u200b\u4ec5\u200b\u80fd\u200b\u662f\u200b \\((n)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8fd9\u90e8\u5206\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(c(n-1,k-1)\\) . (2) \u200b\u5982\u679c\u200b\u6070\u597d\u200b\u6709\u200b \\(k\\) \u200b\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u9700\u8981\u200b\u5c06\u200b \\(n\\) \u200b\u585e\u5165\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5708\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b

\\[ \\pi = (\\cdot)(\\cdot )\\cdots(\\cdot) \\]

\u200b\u4ece\u4e2d\u200b\u9009\u53d6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u5171\u6709\u200b \\(m\\) \u200b\u79cd\u200b\u52a0\u5165\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff08\u200b\u4e24\u200b\u6570\u95f4\u200b\u7684\u200b\u7a7a\u9699\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u548c\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5171\u6709\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u52a0\u5165\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\((n-1)c(n-1,k)\\) .

\u200b\u6839\u636e\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u539f\u7406\u200b\u5c06\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u65b9\u6848\u200b\u76f8\u52a0\u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_5","title":"\u201c\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u201d","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u66f4\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u89c2\u5bdf\u200b \\(c(n,k)\\) \u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u5148\u770b\u200b \\(n=3\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff1a

\\[ c(3,3) = 1, c(3,2) = 3,c(3,1) = 2 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u548c\u200b\u5f0f\u200b \\(\\sum\\limits_{k=1}^n c(n,k) x^k\\) \u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ x^3+3x^2+2x =(x+2)(x+1)x \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(n=2\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ x^2+x = (x+1)x \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u201c\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u201d

\\[ \\sum\\limits_{k=1}^n c(n,k)x^k = (x+n-1)(x+n-2)\\cdots(x+1)x \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bbe\u200b

\\[ F(n) = (x+n-1)(x+n-2)\\cdots (x+1)x = \\sum\\limits_{k=1}^nb(n,k)x^k \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} F(n) &= (x+n-1)F(n-1) \\\\ &= (x+n-1)\\sum\\limits_{k=1}^{n-1} b(n-1,k)x^k \\\\ &= \\sum\\limits_{k=1}^{n-1} b(n-1,k)x^{k+1} +(n-1)\\sum\\limits_{k=1}^{n-1} b(n-1,k)x^k \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7cfb\u6570\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\\[ b(n,k) = (n-1)b(n-1,k)+b(n-1,k-1) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u9012\u63a8\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u548c\u200b \\(c(n,k)\\) \u200b\u9012\u63a8\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u521d\u503c\u200b\u4e5f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/","title":"\u9006\u200b\u5e8f\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_2","title":"\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\pi= \\pi_1 \\pi_2\\cdots \\pi_n\\in S_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\pi\\)\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b $$ (\\pi_i,\\pi_j) ,1\\leqslant i< j \\leqslant n$$ \u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \uff1a $$ \\mathrm{inv}(\\pi) = |\\left\\lbrace (\\pi_i,\\pi_j) | 1\\leqslant i< j \\leqslant n \\text{ and } \\pi_i> \\pi_j \\right\\rbrace| $$

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\pi = 2413\\) \uff0c\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ (2,1) , (4,1) , (4,3) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\mathrm{inv}(\\pi)=3\\) .

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_3","title":"\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u89c2\u5bdf\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{\\pi\\in S_n} q^{\\mathrm{inv}(\\pi)} = ? \\]

\u200b\u5bf9\u200b \\(n=3\\) \uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\mathrm{inv}(123) = 0,\\mathrm{inv}(132)=1 , \\mathrm{inv}(213)=1 \\\\ \\mathrm{inv}(231)=2, \\mathrm{inv}(312)=2, \\mathrm{inv}(321)=3 \\end{aligned} \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\sum\\limits_{\\pi\\in S_3} q^{\\mathrm{inv}(\\pi)} &= 1+2q+2q^2 +q^3 \\\\ &= 1\\cdot (1+q)(1+q+q^2) \\end{aligned} \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(q=1\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u548c\u200b\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u6070\u597d\u200b\u4e3a\u200b \\(|S_3|=1\\cdot 2\\cdot 3 = 6\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u200b \\(k \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\([k]=1+q+q^2+\\cdots+ q^{k-1}\\) . \u200b\u5219\u200b $$ \\sum\\limits_{\\pi\\in S_n} q^{\\mathrm{inv}(\\pi)}=[1]\\cdot[2]\\cdots[n] = [n]!$$

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bb0\u200b

\\[ I_n = \\left\\lbrace (a_1,a_2,\\cdots,a_n)|0 \\leqslant a_i \\leqslant n-i \\right\\rbrace \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(I_n\\) \u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\sum\\limits_{(a_1,a_2,\\cdots,a_n)\\in I_n} q^{a_1+a_2+\\cdots+a_n}\\\\ &= \\left(\\sum\\limits_{i=0}^{n-1} q^i\\right) \\left(\\sum\\limits_{i=0}^{n-2} q^i\\right)\\cdots \\left(\\sum\\limits_{i=0}^{0} q^i\\right) \\\\ &=[n]\\cdot [n-1]\\cdots [1] = [n]! \\end{aligned} \\]

\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a

\\[ \\varphi: S_n \\to I_n, \\varphi(\\pi) = (a_1,\\cdots,a_n) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(1\\leqslant i \\leqslant n\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ a_i = |\\left\\lbrace j | i<j \\leqslant n, \\pi_i > \\pi_j \\right\\rbrace| \\]

\u200b\u6bd4\u5982\u200b\uff1a\\(\\pi = 2413\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7b2c\u4e00\u4f4d\u200b\u7684\u200b \\(2\\) \uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u540e\u9762\u200b\u7684\u200b \\(1\\) \u200b\u6bd4\u200b\u5b83\u200b\u5c0f\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u7b2c\u4e8c\u4f4d\u200b\u7684\u200b \\(4\\) \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(1,3\\) \u200b\u6bd4\u200b\u5b83\u200b\u5c0f\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff1a

\\[ \\varphi(\\pi) = (1,2,0,0) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{inv}(\\pi) = \\sum\\limits_{i=1}^n a_i\\) .

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a \u200b\u6784\u9020\u200b\u9006\u6620\u5c04\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a\\(\\varphi^{-1} : (a_1,a_2,\\cdots,a_n) \\to \\pi\\) \uff0c\u200b\u6620\u5c04\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6d41\u7a0b\u200b\uff1a

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u6620\u5c04\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_4","title":"\u62d3\u5c55\u200b\uff1a\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u200b\u6307\u6807","text":"

\\(\\pi = \\pi_1 \\pi_2 \\cdots \\pi_n \\in S_n\\) \u200b\u7684\u200b\u4e3b\u200b\u6307\u6807\u200b (major index) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\mathrm{maj}(\\pi) = \\sum\\limits_{1 \\leqslant i < n, \\pi_i > \\pi_{i+1}} i \\]

\u200b\u6bd4\u5982\u200b\uff0c\\(\\mathrm{maj}(2431)=2+3=5\\) .

\u200b\u5176\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u57fa\u672c\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.3%20%E6%8E%92%E5%88%97%E7%9A%84%E7%BE%A4%E7%BB%93%E6%9E%84/","title":"\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u53c2\u8003\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b. \uff08\u200b\u5077\u61d2\u200b\uff09

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.4%20%E9%87%8D%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%88%97/","title":"\u91cd\u96c6\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.4%20%E9%87%8D%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%88%97/#_2","title":"\u91cd\u96c6\u200b\u53ca\u5176\u200b\u6392\u5217","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u96c6\u200b

\u200b\u5141\u8bb8\u200b\u5143\u7d20\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u91cd\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u901a\u5e38\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b $$ \\left\\lbrace 1^{m_1}, 2^{m_2},\\cdots,n^{m_2} \\right\\rbrace $$ \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(m_i\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(i\\) \u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b \\(m_i\\) \u200b\u6b21\u200b.

\u200b\u91cd\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u5728\u200b\u6982\u7387\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5c31\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u63a2\u8ba8\u200b\u8fc7\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u4f5c\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\uff1a \u200b\u91cd\u96c6\u200b \\(\\left\\lbrace 1^{m_1}, 2^{m_2},\\cdots,n^{m_2} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\frac{(m_1+m_2+\\cdots+ m_n)!}{m_1! m_2 ! \\cdots m_n !} \\]"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.4%20%E9%87%8D%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%88%97/#_3","title":"\u91cd\u96c6\u200b\u6392\u5217\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u91cd\u96c6\u200b\u4e0a\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1a\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u7b97\u200b\u8fdb\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4f59\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u666e\u901a\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b

\\[ \\pi = 2121 \\]

\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u6570\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{inv}(\\pi) = 3\\) .

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u96c6\u200b\u6392\u5217\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u91cd\u96c6\u200b \\(\\left\\lbrace 1^{m_1}, 2^{m_2},\\cdots,n^{m_2} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a $$ \\sum\\limits_{\\pi}q^{\\mathrm{inv}(\\pi)} = \\frac{[m_1+m_2+\\cdots+m_n]!}{[m_1]![m_2]!\\cdots [m_n]!} $$

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/","title":"\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u53ca\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u5206\u6790","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_2","title":"\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b Stack sorting algorithm \uff08\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\uff09\uff0c\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u6d41\u7a0b\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a \u200b\u73b0\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\uff1a

\\[ \\pi_1 \\pi_2 \\pi_3 \\cdots \\pi_n \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6808\u200b\uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5c06\u200b \\(\\pi_1\\) \u200b\u653e\u5165\u200b\u6808\u4e2d\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5c06\u200b \\(\\pi_2\\) \u200b\u653e\u5165\u200b\u6808\u4e2d\u200b\uff1a
  3. \u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6d41\u7a0b\u200b\u548c\u200b\u4e0a\u8ff0\u60c5\u51b5\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u8ba9\u200b\u5c06\u8981\u200b\u5165\u6808\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u6808\u9876\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u624d\u80fd\u200b\u5165\u6808\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u5c31\u200b\u4e00\u76f4\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b\u5143\u7d20\u200b.
  4. \u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5c06\u8981\u200b\u5165\u6808\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u6240\u6709\u200b\u6808\u5185\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4f9d\u6b21\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b.
"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_3","title":"\u6a21\u62df\u200b\u7a0b\u5e8f\u4ee3\u7801","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7a0b\u5e8f\u200b\u6a21\u62df\u200b\u4ee3\u7801\u200b\uff0c\u200b\u57fa\u672c\u200b\u517c\u5bb9\u200b\u6700\u65b0\u7248\u200b\u76f8\u5173\u200b\u914d\u7f6e\u200b.

PythonMATLAB 
from itertools import permutations\n\ndef if_sorted(t:list) -> bool:\n    # \u200b\u68c0\u9a8c\u200b\u662f\u5426\u200b\u6392\u5217\u200b\u6210\u529f\u200b\n    for i in range(len(t)):\n        if i+1 != t[i]:\n            return False\n    return True\n\n\ndef stack_sorting(t:iter) -> None:\n    result = [] \n    stack = []\n    for item in t:\n        while stack and item >= stack[-1]:\n            result.append(stack.pop())\n        stack.append(item)\n\n    # \u200b\u5c06\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5168\u90e8\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b\n    while stack:\n        result.append(stack.pop())\n\n    return result\n\nif __name__ == '__main__':\n\n    # \u200b\u5bf9\u200b 1~n-1 \u200b\u7684\u200b\u6570\u5217\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\n    n = 10\n\n    # permutations \u200b\u7528\u4e8e\u200b\u751f\u6210\u200b\u6240\u6709\u200b\u6392\u5217\u200b\n    arrs = permutations(range(1,n))\n    max_iters = 0\n    for arr in arrs:\n        a = stack_sorting(arr)\n        iters = 1\n        while not if_sorted(a):\n            iters += 1\n            a = stack_sorting(a)\n\n        max_iters = iters if max_iters < iters else max_iters\n        print(f\"{arr} \u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u6b21\u6570\u200b\u4e3a\u200b {iters}\")\n\n    print(f\"\u200b\u6700\u5927\u200b\u8fed\u4ee3\u200b\u6b21\u6570\u200b\u4e3a\u200b{max_iters}\")\n
% \u200b\u63d0\u4f9b\u8005\u200b\uff1aMadeceline\nclc;clear;close all;\n%%\nnum=4;\nPerm=perms(1:num);\n[x,~]=size(Perm);\nfor i=1:x\n    in=Perm(i,:);\n    out=stack_code(in);\n    disp(['\u200b\u8f93\u5165\u200b\uff1a',num2str(in),'\uff0c\u200b\u8f93\u51fa\u200b\uff1a',num2str(out),'\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u4f4d\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a',num2str(isequal(out,1:num))])\nend\n\n\nfunction [Output]=stack_code(input)\n    stack0=[];Output=[];\n    for i=1:length(input)\n        passenger=input(i);\n        m=find(stack0-passenger<0);\n        if isempty(m)\n            k=1;\n        else\n            k=m(end)+1;\n        end\n        Out=stack0(1:k-1);\n        stack0=[passenger,stack0(k:end)];\n        Output=[Output,Out];\n    end\n    Output=[Output,stack0];\nend\n
"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_4","title":"\u7b97\u6cd5\u200b\u5206\u6790\u200b\u4e0e\u200b\u8bc1\u660e","text":"

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6240\u8c13\u200b\u7684\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u201c\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u201d\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7ed9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u90fd\u200b\u6392\u597d\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(231\\) \uff0c\u200b\u4ece\u5de6\u5230\u53f3\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u5148\u200b\u51fa\u6808\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u8fbe\u5230\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u6548\u679c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u4e2d\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5931\u8d25\u200b\u4e86\u200b\u3002

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5173\u5fc3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a

  1. \u200b\u4ec0\u4e48\u6837\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\uff08\u200b\u6392\u5217\u200b\uff09\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\uff1f
  2. \u200b\u5728\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b \\(231\\) \u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u540e\u200b\u4f1a\u200b\u53d8\u6210\u200b \\(213\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u518d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u6b21\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\u4e3a\u200b \\(123\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u662f\u5426\u200b\u610f\u5473\u7740\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u6709\u9650\u200b\u6b21\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\uff1f\u200b\u5982\u679c\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u201c\u200b\u6709\u9650\u200b\u6b21\u200b\u201d\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u9650\u200b\u662f\u200b\u591a\u5c11\u200b\uff1f
"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_5","title":"\u4e00\u6b21\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u80fd\u200b\u6210\u529f\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u5728\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u7684\u200b\u63a2\u8ba8\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u8003\u8651\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u4e2d\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u5c06\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u90fd\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e3a\u200b \\(1,2,\\cdots,n\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b.

\u200b\u5728\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u80fd\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u5e76\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a

\\[ \\cdots \\pi_{i_1}\\cdots \\pi_{i_2} \\cdots \\pi_{i_3}\\cdots \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(i_1<i_2<i_3\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u80fd\u200b\u5f52\u7ed3\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5f53\u200b \\(\\pi_{i_3}<\\pi_{i_1}<\\pi_{i_2}\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u529f\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(\\pi_{i_3}\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u6bd4\u200b \\(\\pi_{i_1}\\) \u200b\u8981\u200b\u66f4\u200b\u5148\u5f39\u200b\u51fa\u5230\u200b\u76ee\u6807\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\pi_{i_2}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\\(\\pi_{i_1}\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bfc\u81f4\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5931\u8d25\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u662f\u5426\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u6b21\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a $$ \\pi_1 \\pi_2\\cdots \\pi_n $$ \u200b\u80fd\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u4e00\u6b21\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u540e\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\uff1a\\(\\forall i_1,i_2,i_3 (1\\leqslant i_1< i_2 < i_3 \\leqslant n)\\) \uff0c\\(\\pi_{i_3}<\\pi_{i_1}<\\pi_{i_2}\\) \u200b\u90fd\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b\uff1a \u200b\u5728\u200b \\(n=3\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a

\\[ 123,132,213,312,321 \\]

\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u6392\u5217\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\uff0c\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u8bba\u8bc1\u200b\u7565\u53bb\u200b\uff1b

\u200b\u5728\u200b \\(n> 3\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\pi_{i_1},\\pi_{i_2},\\pi_{i_3}\\) \u200b\u6709\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u548c\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u6392\u5217\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8bba\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5728\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e2d\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u670d\u4ece\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\pi_{i_2}<\\pi_{i_1}<\\pi_{i_3}\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\u5230\u200b \\(\\pi_{i_2}\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u53ef\u80fd\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u5b83\u200b\u7684\u200b\u56db\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u90fd\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u731c\u60f3\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/","title":"\u547d\u9898\u200b\u8bed\u8a00\u200b(The Propositional Language)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_1","title":"\u96c6\u5408\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u4e0e\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8ba1\u7b97\u673a\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u4e2d\u200b\u6cbf\u7528\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u66fe\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff08\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8865\u5dee\u200b\u3001\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0d\u591a\u200b\u505a\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b \\(X\\) \u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(X^{<\\omega}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u62e5\u6709\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u200b\u5b57\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u540e\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u662f\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.

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\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Symb}\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u5b57\u7b26\u200b.

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\mathrm{Symb}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b57\u7b26\u200b\u7684\u200b\u7ec4\u5408\u200b\uff08\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff09\uff0c\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u56e0\u800c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\mathrm{Expr} = \\mathrm{Symb}^{< \\omega} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e0b\u6807\u200b\u6765\u200b\u6807\u8bc6\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u82f1\u8bed\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\\[ \\mathrm{Symb}_E = \\left\\lbrace a,b,c,\\cdots,x,y,z \\right\\rbrace \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l","title":"\\(L\\) \u200b\u8868\u8fbe\u5f0f","text":"

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u56fa\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b \\(L\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\mathrm{Symb}_L = \\left\\lbrace p_0,p_1,\\cdots \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace \\neg , \\lor,\\land, \\to, \\leftrightarrow \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b\uff0c\\(\\lor\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6216\u200b\uff0c\\(\\land\\) \u200b\u4e3a\u4e14\u200b\uff0c\\(\\to\\) \u200b\u4e3a\u200b\u63a8\u5bfc\u200b(implies)\uff0c\\(\\leftrightarrow\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b(If and only if). \u200b\u8fd9\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(p_i\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b26\u53f7\u200b(sentence symbol).

\u200b\u8fd9\u200b \\(5\\) \u200b\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u5426\u5b9a\u200b\u3001\u200b\u5408\u53d6\u200b\u3001\u200b\u6790\u53d6\u200b\u3001\u200b\u8574\u6db5\u200b\u548c\u200b\u53cc\u5411\u200b\u8574\u6db5\u200b.

\\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathrm{Expr}_L\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\neg (p_1 \\lor p_2)\\land p_3 \\]

\u200b\u6b64\u5916\u200b\u8fd8\u6709\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b (\\(L\\)-atomic sentence)

\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u4ec5\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b.

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(p_0,p_1,\\cdots\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_3","title":"\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f","text":"

\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u89c4\u907f\u200b\u4e86\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff08\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff09\u200b\u9700\u8981\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u7684\u200b\u7f3a\u70b9\u200b.

\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b

\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u57fa\u672c\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u5728\u200b\u547d\u9898\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u638c\u63e1\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u8bfb\u5199\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u4e66\u5199\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u522b\u200b\u8650\u5f85\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u7528\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5199\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b\u4e86\u200b (doge).

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff1a

\u200b\u6839\u636e\u200b\u56fe\u50cf\u200b\uff0c\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b

\\[ \\lor \\neg p_2 \\land p_4 \\neg p_1 \\]

\u200b\u8f6c\u5316\u200b\u4e3a\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\neg p_2 \\lor (p_4 \\land (\\neg p_1)) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u627e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bd5\u7740\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u5012\u200b\u5f04\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5c31\u884c\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-l-sentence","title":"\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b (\\(L\\)-Sentence)","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\mathrm{Sent}_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u4f53\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

  1. \\(\\mathrm{Sent}_0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u4f53\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1b
  2. \\(\\mathrm{Sent}_{n+1} := \\mathrm{Set}_{n}\\cup \\left\\lbrace \\neg \\varphi : \\varphi\\in \\mathrm{Sent}_n \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace \\bullet \\varphi \\psi : \\varphi, \\psi\\in \\mathrm{Sent}_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\bullet\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff1b
  3. \\(\\mathrm{Sent}_L := \\displaystyle\\bigcup_{n\\in \\omega}\\mathrm{Sent}_n\\) .

\\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b

\\[ \\varphi\\in \\mathrm{Sent}_n ,\\varphi\\not\\in \\mathrm{Sent}_{n-1} \\]

\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a\\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b

\\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathrm{Sent}_0\\) \u200b\u4e14\u200b\u5728\u200b \\(5\\) \u200b\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b (closed) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e0d\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(m\\) \u200b\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(p = \\max(m,n)\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_p\\) \uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\u52a0\u4e0a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u540e\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_{p+1}\\) . \u200b\u4ece\u800c\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5177\u6709\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(\\mathrm{Sent}_{n} \\subseteq \\Gamma\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L \\subseteq \\Gamma\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_4","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u4e0e\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5f15\u5165\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6b63\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u672c\u8eab\u200b\u7684\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u624d\u80fd\u200b\u6709\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b.

\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6982\u62ec\u200b\u4e3a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5728\u200b \\(n=1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u547d\u9898\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(n+1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e5f\u200b\u5c06\u200b\u6210\u7acb\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5b8c\u6210\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9488\u5bf9\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\uff1a

  1. (\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b) \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff1b
  2. (\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u6b65\u9aa4\u200b) \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\bullet \\psi\\) \u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff08\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\bullet\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff09\uff1b

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u548c\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u4e2d\u200b \u201c\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathrm{Sent}_0\\) \u201d \u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\u5219\u200b\u548c\u200b \u201c\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u201d \u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l_1","title":"\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ (\\neg p)\\land (q\\lor r) \\]

\u200b\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9605\u8bfb\u200b\u5e76\u200b\u62c6\u5206\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5206\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b + \\(\\land\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u8ba9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u601d\u8003\u200b\u662f\u5426\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1f\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u53ea\u6709\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u5206\u89e3\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff1f

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u80fd\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u552f\u4e00\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u6027\u8d28\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u6b67\u4e49\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\theta\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(\\theta\\) \u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1b
  2. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\neg \\varphi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u5426\u5b9a\u200b.
  3. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\lor \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u6790\u53d6\u200b.
  4. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\land \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b.
  5. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\to \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u8574\u6db5\u200b.
  6. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\leftrightarrow \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5411\u200b\u8574\u6db5\u200b.

\u200b\u66f4\u8fd1\u200b\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b 2~6 \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5229\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.

\u200b\u5206\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u5047\u5b9a\u200b\uff1a

(1) \u200b\u516d\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b. (2) \u200b\u516d\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u81f3\u591a\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b. (3) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b 2~6 \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c(2) \u200b\u5047\u5b9a\u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5c31\u200b\u6709\u6240\u4e0d\u540c\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5047\u5b9a\u200b (1) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u4e3a\u200b \u201c\u200b\u516d\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\u201d.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n=1\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u60c5\u5f62\u200b 1 \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u52a0\u4e0a\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4e0e\u200b 2~6 \u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u52a0\u4e0a\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u5219\u200b\u53ef\u200b\u4e0e\u200b 1 \u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u8bc1\u660e\u200b (3) \uff0c\u200b\u9700\u8981\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6280\u672f\u6027\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u6280\u672f\u6027\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ca\u5176\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\u200b\u5f15\u5165\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\varphi_0,\\cdots,\\varphi_k\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi_0,\\cdots,\\psi_l\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b \\(\\varphi_0\\cdots \\varphi_k\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi_0\\cdots \\psi_l\\) \u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u662f\u200b\u628a\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u653e\u5728\u200b\u4e00\u8d77\u200b\u5f62\u6210\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff09\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(k=l\\) \u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(i\\leqslant k\\) \uff0c\\(\\varphi_i = \\psi_i\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.

\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0d\u5fc5\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u66f4\u957f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u6bb5\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b (1) \u200b\u548c\u200b (2) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b \\(\\varphi_0\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b 1~6 \u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi_0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\\(\\psi_0\\) \u200b\u5c31\u200b\u56e0\u800c\u200b\u4e5f\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5c06\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7f29\u77ed\u200b\u4e3a\u200b \\(k-1\\) \u200b\u957f\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi_0 = \\neg \\theta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\psi_0\\) \u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e5f\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u662f\u200b \\(\\neg\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\psi = \\neg \\chi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53bb\u6389\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7f29\u77ed\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(\\varphi_0 = \\bullet \\theta \\theta'\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi_0 = \\bullet \\chi \\chi'\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\theta \\theta' \\varphi_1 \\cdots \\varphi_k = \\chi \\chi' \\psi_1\\cdots \\psi_l\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53c8\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u4e86\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5f15\u7406\u200b\u8bc1\u660e\u200b (3) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5f0f\u5b50\u200b\uff1a

\\[ \\bullet \\varphi \\psi = \\bullet \\varphi' \\psi' \\]

\u200b\u80fd\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\varphi = \\varphi', \\psi = \\psi'\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_5","title":"\u8bed\u4e49\u200b\u4e0e\u200b\u4e8c\u503c\u200b\u903b\u8f91\u7cfb\u7edf","text":"

\u200b\u521a\u624d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e86\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u8bed\u6cd5\u200b (syntax)\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b (semantics)\uff0c\u200b\u5f53\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8d4b\u503c\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\u3001\u200b\u5047\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5f62\u6210\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u503c\u200b\u903b\u8f91\u7cfb\u7edf\u200b.

(1) \u200b\u5bf9\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bbe\u8ba1\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b (truth assignment)\uff0c\u200b\u83b7\u5f97\u200b\u771f\u5047\u200b\u503c\u200b\uff1a\\(V_0: \\mathrm{Sent}_0 \\to \\left\\lbrace \\mathrm{T},\\mathrm{F} \\right\\rbrace\\) . (2) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b 2 \u200b\u9636\u53ca\u200b\u4ee5\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6216\u975e\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u7b80\u5355\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8574\u6db5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\\[ V(\\to \\varphi \\psi) = \\begin{cases}\\mathrm{T},\\text{if }V(\\varphi) = \\mathrm{F} \\text{ or } V(\\psi) = \\mathrm{T}; \\\\ \\mathrm{F},\\text{Otherwise.}\\end{cases} \\]

\u200b\u800c\u200b \\(\\leftrightarrow\\) \u200b\u5219\u200b\u5728\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u65f6\u624d\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u5047\u200b.

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u8574\u6db5\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{ccc} \\varphi & \\psi & \\varphi\\to \\psi \\\\ \\hline \\mathrm{T} & \\mathrm{T} & \\mathrm{T} \\\\ \\mathrm{T} & \\mathrm{F} & \\mathrm{F} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{T} & \\mathrm{T} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{F} & \\mathrm{T} \\end{array} \\]

\u200b\u524d\u9762\u200b\u4e24\u884c\u200b\u90fd\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u89e3\u91ca\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u540e\u9762\u200b\u4e24\u884c\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u53cd\u200b\u65e5\u5e38\u200b\u903b\u8f91\u200b\uff1a\u200b\u4f60\u200b\u80fd\u200b\u60f3\u8c61\u200b\u5047\u200b\u547d\u9898\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u547d\u9898\u200b\u5417\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u77db\u76fe\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u8574\u542b\u200b\u602a\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u8bba\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u89e3\u91ca\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u90fd\u200b\u4f1a\u200b\u89c9\u5f97\u200b\u4e0e\u200b\u65e5\u5e38\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u76f8\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u6682\u4e14\u200b\u53ea\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u771f\u503c\u200b\u7b97\u5b50\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\uff1a

\\[ p \\to q \\iff \\neg p \\lor q \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_6","title":"\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5ef6\u62d3","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u5ef6\u62d3\u200b

\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5ef6\u62d3\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(p_0\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V_0(p_0)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u771f\u503c\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ V_{n} : \\mathrm{Sent}_n \\to \\left\\lbrace \\mathrm{T},\\mathrm{F} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ V_{n+1}(\\neg\\varphi) = \\begin{cases} \\mathrm{T}, \\text{if }V(\\varphi) = \\mathrm{F}; \\\\ \\mathrm{F}, \\text{Otherwise}. \\end{cases} \\] \\[ V_{n+1}(\\varphi \\land \\psi) = \\begin{cases} \\mathrm{T}, \\text{if }V(\\varphi) = \\mathrm{T} \\text{ and } V(\\psi) = \\mathrm{T}; \\\\ \\mathrm{F}, \\text{Otherwise}. \\end{cases} \\]

\u200b\u6216\u200b\u3001\u200b\u8574\u6db5\u200b\u3001\u200b\u53cc\u5411\u200b\u8574\u6db5\u200b\u540c\u7406\u200b\u53ef\u200b\u5199\u51fa\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u4e0d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(V: \\mathrm{Sent}_L \\to \\left\\lbrace \\mathrm{T}, \\mathrm{F} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(V(\\theta) = V_n(\\theta)\\) \uff0c\\(\\theta\\in \\mathrm{Sent}_n\\) \u200b\u4f46\u200b \\(\\theta\\not\\in \\mathrm{Sent}_{n-1}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u6bd5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(W_n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(V_n(\\varphi) = W_n(\\varphi)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5728\u200b\u9012\u5f52\u200b\u65f6\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} V_n(\\land\\varphi\\psi) &\\iff V_n(\\varphi) = \\mathrm{T}\\text{ and } V_n(\\psi) = \\mathrm{T} \\\\ &\\iff W_n(\\varphi) = \\mathrm{T} \\text{ and } W_n(\\psi) = \\mathrm{T} \\\\ &\\iff W_n(\\land \\varphi \\psi) \\end{aligned} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u4e5f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(V=W\\) \uff0c\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u5f97\u8bc1\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.2%20%E5%BD%92%E7%BA%B3%E4%B8%8E%E9%80%92%E5%BD%92/","title":"\u5f52\u7eb3\u200b\u4e0e\u200b\u9012\u5f52\u200b(Induction and Recursion)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.2%20%E5%BD%92%E7%BA%B3%E4%B8%8E%E9%80%92%E5%BD%92/#induction-system","title":"\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b (induction system)","text":"

\u200b\u5728\u200b\u5b66\u5b8c\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u548c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8003\u8651\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u51fa\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{P}(n)\\) \uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u56fa\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\\(\\mathcal{P}(n)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u51fa\u200b \\(\\mathcal{P}(n+1)\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b

\\[ Y_{\\mathcal{P}} = \\left\\lbrace n \\in \\omega : \\mathcal{P}(n) \\right\\rbrace \\]

\uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b\uff09 \u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(Y_{\\mathcal{P}}\\) \u200b\u662f\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u7684\u200b. \u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(Y_{\\mathcal{P}}=\\omega\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e5f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u6982\u62ec\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b (Induction System)

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e09\u5143\u7ec4\u200b \\(\\mathcal{X}=(X,X_0,\\mathcal{H})\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(X\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(X_0 \\subset X\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathcal{H}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u51fd\u6570\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u6709\u9650\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u6307\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(H \\in \\mathcal{H}\\) \uff0c\\(H\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(X^{k_H}\\to X\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u5173\u8054\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ X_{n+1} := X_n \\cup \\left\\lbrace H(x_0,\\cdots,x_{k_H-1}):H\\in \\mathcal{H} \\text{ and } x_0,\\cdots,x_{k_H-1}\\in X_n \\right\\rbrace $$ \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\overline{X} := \\bigcup\\limits_{n\\in \\omega}X_n\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(X_0\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathcal{H}\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b. \u200b\u6574\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\overline{X}\\) \u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u7eb3\u5165\u200b\u5230\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6846\u67b6\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\omega\\) \uff0c\u200b\u6784\u9020\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\uff1a

\\[ \\mathcal{X}_\\omega = (\\mathbb{R},\\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace,\\left\\lbrace \\mathrm{Sc} \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\mathrm{Sc}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\mathrm{Sc}(n)=n+1\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b\uff1a

\\[ X_n = \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\overline{X} = \\omega\\) .

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b \\(\\mathcal{X} = (X,X_0,\\mathcal{H})\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(X_0\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathcal{H}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b \\(\\overline{X}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(X_n\\) \u200b\u90fd\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.3%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E4%B9%89/","title":"\u547d\u9898\u200b\u8bed\u4e49\u200b(Propositional Semantics)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.3%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E4%B9%89/#_1","title":"\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\uff08\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff09\u200b\u4e0e\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u82e5\u6709\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u548c\u200b \\(W\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e2d\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(p_n\\) \uff0c\u200b\u82e5\u6052\u6709\u200b \\(V(p_n) = W(p_n)\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(V = _{\\varphi}W\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u548c\u200b \\(W\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(V = _{\\varphi}W\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(V(\\varphi) = W(\\varphi)\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.3%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E4%B9%89/#_2","title":"\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u548c\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u3001\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

(1) \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u4e0b\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u6c38\u771f\u5f0f\u200b(tautology) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u4e3a\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u6c38\u5047\u5f0f\u200b.

(2) \u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\varphi) = V(\\psi)\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff08\u200b\u91cd\u8a00\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff09\u200b\u7684\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\mid\\!\\equiv\\!\\mid \\psi\\) .

(3) \u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(V(\\psi) = \\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b(tautological consequence) . \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b(Propositional Theories)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#gamma-gamma","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u3001\\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u6982\u5ff5","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#gamma","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\)\uff0c

  1. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \uff1b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\psi)= \\mathrm{T}\\) .

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\psi\\in \\Gamma\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bf7\u6c42\u200b\u51fa\u200b \\(\\Gamma = \\left\\lbrace p_{n+1}\\to p_n : n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) \u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall n \\in \\omega\\) \u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u6709\u200b \\(V(p_n) = \\mathrm{T}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u90fd\u200b\u8981\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(V(p_{n+1}\\to p_n) = \\mathrm{T}\\) \uff0c \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u67d0\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ V(p_i) = \\begin{cases} \\mathrm{T} , i \\leqslant n \\\\ \\mathrm{F} , i > n . \\end{cases} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5217\u4e3e\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u6a21\u578b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6027\u8d28\u200b

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\mid\\!\\equiv\\psi \\iff \\varnothing \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n,\\psi\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a
    1. \\(\\left\\lbrace \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff1b
    2. \\(\\varphi_0 \\land \\cdots \\land \\varphi_n \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff1b
    3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(i<n\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_{i-1} \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\varphi_i \\land \\cdots \\land \\varphi_n \\to \\psi\\)

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5bfc\u51fa\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e0e\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Delta\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \uff0c

  1. \\(\\Gamma \\subseteq \\Delta \\Rightarrow \\mathrm{Mod}(\\Delta) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) .
  2. \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\psi)\\) .
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(\\Gamma \\subseteq \\Delta\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Delta \\mid\\!\\equiv \\psi\\) ;
  4. \\(\\Gamma \\cup \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\psi\\iff \\Gamma \\mid\\!\\equiv \\varphi \\to \\psi\\).
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_1","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_2","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e0e\u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u518d\u200b\u770b\u200b \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a\u201c\u200b\u5728\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u5047\u5b9a\u200b\uff08\u200b\u516c\u7406\u200b\uff09\u200b\u4e0b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u51fa\u200b \\(\\psi\\)\u201d. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u82e5\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(T\\) \u200b\u5728\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b (Propositional Theory)\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) ,\u200b\u6052\u6709\u200b $$ T \\mid!\\equiv \\varphi \\Rightarrow \\varphi\\in T. $$ \\(T\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e5f\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Theorem).

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u516c\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Th}(\\Gamma) = \\left\\lbrace \\psi: \\Gamma \\mid!\\equiv \\psi \\right\\rbrace .$$ \u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \u200b\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u524d\u9762\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_3","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_4","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u548c\u200b\u5b8c\u5168\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c

(i) \u200b\u82e5\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b (consistent) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b (inconsistent).

(ii) \u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c \\(\\varphi\\in\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u603b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b8c\u5168\u200b (Complete) \u200b\u7684\u200b. \u200b\u5426\u5219\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b (Incomplete) \u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_5","title":"\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\\(V\\) \u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Th}(V) = \\left\\lbrace \\psi: V(\\psi)=\\mathrm{T} \\right\\rbrace $$

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c

(i) \\(\\mathrm{Th}(V)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e14\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(V\\) \u200b\u662f\u200b\u5176\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b.

(ii) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(W\\) \uff0c\\(V=W\\iff \\mathrm{Th}(V) = \\mathrm{Th}(W)\\) .

\\(\\mathrm{Th}(V)\\) \u200b\u6709\u200b \\(V\\) \u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\in \\mathrm{Th}(V)\\) \uff0c\\(V(\\varphi) = \\mathrm{T} \\iff V(\\neg\\varphi) = \\mathrm{F}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b83\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(W\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(V(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6709\u200b \\(W(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff1a

\\[ V(\\varphi)=\\mathrm{F} \\Rightarrow V(\\neg \\varphi)=\\mathrm{T}\\Rightarrow W(\\neg \\varphi) = \\mathrm{T} \\Rightarrow W(\\varphi) =\\mathrm{F} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(V=W\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_6","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(E =\\left\\lbrace T: T \\text{ is a propositional theory} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u662f\u200b\u591a\u5c11\u200b\uff1f

\u200b\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u63a8\u8bba\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(E\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u4e3a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\\(T \\subseteq \\mathrm{Sent}_L\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(E \\subseteq \\mathcal{P}(\\mathrm{Sent}_L)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathcal{P}(A)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5e42\u96c6\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u4e0d\u200b\u8d85\u8fc7\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u5408\u200b\u8d77\u6765\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u662f\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_7","title":"\u5b8c\u5168\u200b\u5ef6\u62d3","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e14\u200b \\(\\Gamma\\subseteq T\\) .\uff08\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\uff09
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(V\\) \uff0c\\(T=\\mathrm{Th}(V)\\) .

\u200b\u7559\u4e2a\u200b\u5751\u200b\u65e5\u540e\u200b\u518d\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_8","title":"\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7c7b","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7c7b\u200b \\(K\\) \uff0c\\(K\\) \u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Th}(K) = \\left\\lbrace \\psi: V(\\psi)=\\mathrm{T} \\text{ for all } V\\in K\\right\\rbrace $$

\u200b\u8bf4\u767d\u4e86\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e00\u5806\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5f52\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7c7b\u200b \\(K\\) ,

  1. \\(\\mathrm{Th}(K)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(V\\in K\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\mathrm{Th}(K)\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(K\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{Th}(K)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#compactness","title":"\u7d27\u6027\u200b (Compactness)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#pct","title":"PCT","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7d27\u6027\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Propositional Compactness Theorem, PCT)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(T\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff1a\\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \uff0c\\(\\Gamma_0 \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\uff0c\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5f15\u5165\u200b \\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi\\) \uff0c\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma_0\\mid\\!\\equiv \\psi\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b PCT \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b80\u5355\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi \\iff \\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_9","title":"\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#apct","title":"APCT","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aAPCT (Alternative Propositional Compactness Theorem)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\)\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\psi\\) \uff1a

\\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#apct-pct","title":"APCT \u200b\u548c\u200b PCT \u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6027","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b APCT \u200b\u548c\u200b PCT \u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6027\u200b.

\u200b\u4ece\u200b APCT \u200b\u5230\u200b PCT \uff1a\\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b APCT \u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u524d\u9762\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u4ece\u200b PCT \u200b\u5230\u200b APCT \uff1a\\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma_0\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u200b PCT \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_10","title":"\u76f8\u5bb9\u200b\u3001\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u3001\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b+\u200b\u5b8c\u5168\u200b=\u200b\u76f8\u5bb9\u200b

\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u4e14\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.5%20%E5%8F%AF%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%80%A7%E4%B8%8E%E6%9C%89%E6%95%88%E8%BF%AD%E4%BB%A3%20%28Decidability%20and%20effective%20enumerability%29/","title":"\u53ef\u5224\u5b9a\u6027\u200b\u4e0e\u200b\u6709\u6548\u200b\u8fed\u4ee3\u200b (Decidability and effective enumerability)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.5%20%E5%8F%AF%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%80%A7%E4%B8%8E%E6%9C%89%E6%95%88%E8%BF%AD%E4%BB%A3%20%28Decidability%20and%20effective%20enumerability%29/#_1","title":"\u5f15\u5165","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u78b0\u5230\u200b\u4e86\u200b\u5f88\u591a\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X\\) \u200b\u548c\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) . \u200b\u4f46\u662f\u200b\u5f88\u591a\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u65e0\u6cd5\u8bf4\u660e\u200b \\(X\\) \u200b\u548c\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u6709\u4e9b\u200b\u65f6\u5019\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u5177\u5907\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) .

\u200b\u4e3e\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u5bf9\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e92\u7d20\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u66f4\u200b\u591a\u200b\u63cf\u8ff0\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in X: \\mathcal{P}(x) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b. \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathcal{P}(x)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(x\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) . \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u66f4\u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u662f\u200b\u7b97\u6cd5\u200b (algorithm) \uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u80fd\u200b\u5e2e\u52a9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u662f\u5426\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u8fdc\u200b\u6bd4\u200b\u53ea\u200b\u77e5\u9053\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u66f4\u4e3a\u91cd\u8981\u200b.

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\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u60f3\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u662f\u5426\u200b\u6709\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u65b9\u6cd5\u200b (algorithmic solutions)\uff0c\u200b\u80fd\u5426\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7684\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u95ee\u9898\u200b\u90fd\u200b\u5f15\u5bfc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7814\u7a76\u200b\u53ef\u8ba1\u7b97\u6027\u200b\u7406\u8bba\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u5224\u5b9a\u6027\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5143\u7d20\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b (decision procedure) \uff0c\u200b\u80fd\u200b\u5224\u65ad\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(x\\in X\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\).

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(X\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u901a\u8fc7\u200b $$ (\\mathcal{P}(x): \\iff x\\in A) $$ \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b. \uff08\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u5c31\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\)\uff09 \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e0d\u53ef\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(F: X\\to Z\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6709\u6548\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7684\u200b (effectively calculable)\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u6548\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b (effective procedure)\uff0c\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(x\\in X\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u51fa\u200b \\(F(x)\\). \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(A\\subseteq X\\) \uff0c\u200b\u5176\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b (characteristic function) \\(\\mathrm{K}_A: X\\to \\left\\lbrace 0,1 \\right\\rbrace\\) \u200b\u88ab\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b $$ \\mathrm{K}_A(x) := \\begin{cases} 0, & x\\notin A \\ 1, & x\\in A\\end{cases} $$

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u90fd\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u57fa\u672c\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u751a\u81f3\u200b\u7528\u200b\u5927\u767d\u8bdd\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u8bb2\u6e05\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u5c31\u200b\u770b\u200b\u4f60\u200b\u77e5\u4e0d\u77e5\u9053\u200b\u91cc\u9762\u200b\u6709\u200b\u54ea\u4e9b\u200b\u5143\u7d20\u200b.

\u200b\u4ece\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A \\subseteq X\\) \uff0c

  1. \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b \\(\\mathrm{K}_A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6709\u6548\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7684\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b.
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\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e86\u89e3\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53ef\u9009\u62e9\u6027\u200b\u5730\u770b\u200b\uff0c\u200b\u591a\u6570\u200b\u90fd\u200b\u548c\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\u6709\u5173\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathrm{Expr}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b

\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u6548\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u53ef\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u51fa\u200b \\(V(\\varphi)\\) .

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b

\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5728\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

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\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u8282\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u65b0\u540d\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u5bf9\u7167\u8868\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u540d\u8bcd\u200b \u200b\u7ffb\u8bd1\u200b expression \u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b term \u200b\u9879\u200b formula \u200b\u516c\u5f0f"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_2","title":"\u8bed\u6cd5\u200b\u90e8\u5206","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_3","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u5e38\u200b\u80fd\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5176\u200b\u76f4\u79ef\u200b \\(R\\subseteq A^k\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff08\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff09\uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a\\(F:A^k\\to A\\) \uff0c\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u4e0e\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(a\\in A\\) \u200b\u7b49\u7b49\u200b...... \u200b\u6211\u4eec\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\mathfrak{A} = \\left\\lbrace A,R,S,\\cdots,F,G,\\cdots,a,b,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u54e5\u7279\u200b\u4f53\u200b\u7684\u200b \\(A\\) \uff0c\\(\\LaTeX\\) \u200b\u4ee3\u7801\u200b\u4e3a\u200b \\mathfrak{A} .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a

\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b

  1. \u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3001\u200b\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b.
  2. \u200b\u6700\u200b\u5e38\u89c1\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5f80\u5f80\u200b\u662f\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\subseteq A\\times A\\) \uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\((\\omega,<_{\\omega})\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6392\u5217\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5c06\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u9610\u8ff0\u200b\u4e00\u4e0b\u200b. \u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5728\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\\(a\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(b\\) \u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u53ef\u80fd\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(aRb\\) \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5199\u4e3a\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b \\((a,b)\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u504f\u5e8f\u200b (Partial Order)

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8be5\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e0a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b(Relation) \\(R\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x\\in X\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\((x,x)\\in R\\) \uff08\u200b\u81ea\u53cd\u6027\u200b\uff09\uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x,x'\\in X\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\((x,x')\\in R, (x',x)\\in R\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x= x'\\) \uff08\u200b\u53cd\u5bf9\u79f0\u6027\u200b\uff09.
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a,b,c\\in X\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\((a,b)\\in R, (b,c)\\in R\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((a,c)\\in R\\) \uff08\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff09.

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A} = (A,R)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(R\\) \u200b\u662f\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u7684\u200b (Partial Ordering) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b (Chain/Totally Ordered Set)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b \\((X,\\leqslant)\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u5176\u4e3a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(x,x'\\) \u200b\u5fc5\u6709\u200b \\(x\\leqslant x'\\) \u200b\u6216\u200b \\(x'\\leqslant x\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A} = (A,R)\\) \u200b\u7684\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u6216\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u7684\u200b (Linear Ordering or Total)

\u200b\u4ec5\u200b\u5728\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\u7684\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a\\in A\\) \uff0c\\((a,a)\\not\\in R\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u73b0\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5bf9\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u660e\u786e\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u501f\u52a9\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_4","title":"\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u901a\u5e38\u200b\u7531\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8868\u793a\u200b

  1. \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b \\(L\\)-\u200b\u5173\u7cfb\u200b \u200b\u7b26\u53f7\u200b \uff08\\(\\mathrm{Rs}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b Relation Symbol\uff09\uff1b
  2. \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b \\(L\\)-\u200b\u51fd\u6570\u200b \u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff08\\(\\mathrm{Fs}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b Function Symbol\uff09\uff1b
  3. \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b \\(L\\)-\u200b\u5e38\u503c\u200b \u200b\u7b26\u53f7\u200b \uff08\\(\\mathrm{Cs}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b Constant Symbol\uff09.
  4. \u200b\u5143\u6570\u200b (Arity) \u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a\\(\\nu: \\mathcal{R}\\cup \\mathcal{F}\\to \\mathbb{N}^*\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u6307\u5b9a\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u548c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b\u5143\u6570\u200b.

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(\\mathrm{Rs}_L,\\mathrm{Fs}_L,\\mathrm{Cs}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u9664\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff08\u200b\u6216\u79f0\u200b initial symbol \uff0c\u200b\u521d\u59cb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff09\u200b\u5916\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u9700\u8981\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

  1. \u200b\u53d8\u5143\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff08\u200b\u53ef\u6570\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff09\uff1a \\(\\mathrm{Vb} = \\left\\lbrace v_n: n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) ( Variable ).
  2. \u200b\u7b49\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(=\\) .
  3. \u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) .
  4. \u200b\u5b58\u5728\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\uff1a\\(\\exists\\) .

\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9009\u62e9\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b. \u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u9009\u62e9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\forall\\) \u200b\u548c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\exists\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b OK \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9009\u62e9\u200b\u4e86\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\exists\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u719f\u6089\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u80fd\u200b\u901a\u8fc7\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} (x\\neq y ) &:= \\neg(x =y ) \\\\ \\forall x \\varphi &:=\\neg \\exists x (\\neg \\varphi) \\\\ (x\\land y) &:= \\neg (\\neg x\\lor \\neg y) \\\\ (x\\to y ) &:= \\neg x\\lor y \\end{aligned} \\]

\u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7b49\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u91c7\u7528\u200b

\\[ \\dot{=} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u7b80\u5316\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e0d\u200b\u6df7\u6dc6\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff08\u200b\u5728\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u57fa\u672c\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u7b49\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\uff09\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u91c7\u7528\u200b \\(=\\) \u200b\u7b26\u53f7\u200b.

\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e2d\u6587\u200b\u6559\u6750\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6709\u65f6\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u5b66\u5230\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8865\u5145\u200b

\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6dfb\u52a0\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u79cd\u200b\uff1a

  1. \u200b\u8bed\u6cd5\u200b\u9017\u53f7\u200b\uff1a ,
  2. \u200b\u8bed\u6cd5\u200b\u62ec\u53f7\u200b\uff1a( \u200b\u548c\u200b )

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8865\u5145\u200b\u7684\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u662f\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u56fa\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\u4f53\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u907f\u514d\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u7684\u200b\u4f7f\u7528\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u4eca\u540e\u200b\uff0c\u200b\u4e3a\u200b\u7b80\u6d01\u200b\u8d77\u200b\u89c1\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u4e66\u5199\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u7684\u200b\u7b80\u6d01\u200b\uff0c\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4f1a\u200b\u5199\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_5","title":"\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u793a\u4f8b","text":"
  1. \u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_=\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\mathrm{Rs}_{L_=}=\\mathrm{Fs}_{L_=} = \\mathrm{Cs}_{L_=} = \\varnothing\\) \uff0c\\(L_=\\) \u200b\u6ca1\u6709\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4e66\u5199\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7b26\u53f7\u200b.
  2. \u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u662f\u200b \\(L_G\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u6709\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(\\dot{*}\\) \u3001\\(\\dot{^{-1}}\\) \u3001\\(\\dot{e}\\) \uff0c \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\dot{*}\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u662f\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(\\dot{^{-1}}\\) \u200b\u662f\u200b\u9006\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u662f\u200b\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u200b. \u200b\u800c\u200b \\(\\dot{e}\\) \u200b\u662f\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \u200b\u73af\u8bba\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e3a\u200b \\(L_R\\) .
  3. \u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u662f\u200b \\(L_\\Omega\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff1a\\(\\mathrm{Rs}_{L_{\\Omega}} = \\left\\lbrace \\dot{<} \\right\\rbrace; \\mathrm{Fs}_{L_\\Omega} = \\left\\lbrace \\dot{+},\\dot{\\times},\\dot{\\mathrm{S}} \\right\\rbrace; \\mathrm{Cs}_{L_{\\Omega}} = \\left\\lbrace \\dot{0} \\right\\rbrace\\) \u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\dot{\\mathrm{S}}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\dot{\\mathrm{S}}(n) = n+1\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5728\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e2d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbb{Z}_5\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u89c4\u5b9a\u200b \\(\\dot{\\mathrm{S}}(\\overline{4}) = \\overline{0}\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u770b\u200b\u5168\u57df\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-","title":"\\(L\\)-\u200b\u9879","text":"

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b (atomic term) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u4e14\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8981\u4e48\u200b\u662f\u200b\u5e38\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b\u662f\u200b\u53d8\u91cf\u200b.

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\\[ \\varphi\\in \\mathrm{Cs}_L\\cup \\mathrm{Vb}_L \\]

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b

\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Te}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

  1. \u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(ft_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b. (\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(f\\) \u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e8e\u200b\u8fd9\u200b \\(\\nu_L(f)\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u751f\u6210\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b)

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u597d\u200b\u4e86\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u80fd\u200b\u660e\u767d\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u548c\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u5728\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e0b\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b. \u200b\u4ee5\u524d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u79cd\u79cd\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u51fd\u6570\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_1","title":"\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027","text":"

\u200b\u548c\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e00\u6837\u200b\uff0c\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u4e5f\u200b\u5e94\u8be5\u200b\u6709\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u6b67\u4e49\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \uff0c\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff1a

  1. \\(t\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b.
  2. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(u_0,\\cdots,u_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(t\\) \u200b\u662f\u200b \\(fu_0\\cdots u_{\\nu_L(f)-1}\\).

\u200b\u66f4\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(u_k\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\uff08\u200b\u6b64\u5904\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7559\u4f5c\u200b\u4e60\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u6316\u5751\u200b\uff09. \\(\\square\\)

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u518d\u4e3e\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dot{*}\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(x,y\\) \uff1a

\\[ (x\\dot{*}y)^{-1} \\]

\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u6b67\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b \\(x\\) \u200b\u548c\u200b \\(y\\) \u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u53d6\u200b\u9006\u5143\u200b. \u200b\u5199\u4e3a\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dot{^{-1}}\\dot{*}xy\\) . \u200b\u4e00\u822c\u200b\u5730\u200b\uff0c\\(L_G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u603b\u80fd\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ x_0^{\\pm 1}\\dot{*} \\cdots \\dot{*} x_k^{\\pm 1} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f53\u73b0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_2","title":"\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_3","title":"\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u53ea\u6709\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u3001\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u548c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u53bb\u200b\u54ea\u200b\u4e86\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u628a\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u4e5f\u200b\u7eb3\u5165\u200b\u5230\u200b\u4f53\u7cfb\u200b\u5f53\u4e2d\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u8c08\u200b\u516c\u5f0f\u200b (formula) \u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u5c0f\u200b\u5230\u200b\u5927\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u5f62\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\cdots \\overset{?}\\sim \\cdots \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b \\(\\sim\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5927\u90e8\u5206\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u6709\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7fa4\u200b\u540c\u6001\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ G / \\mathrm{Ker}(G) \\simeq \\mathrm{Im}(G) \\]

\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8349\u7a3f\u7eb8\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u800c\u5df2\u200b\uff0c\u200b\u7ed9\u200b\u4e0d\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u4fe1\u606f\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b (\\(L\\)-atomic formulas)

\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{AtFm}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff08\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u67d0\u79cd\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff09\uff1a

  1. \\(=tu\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b \\(u\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b.
  2. \\(pt_0\\cdots t_{\\nu_L(p)-1}\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c\\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(p)-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(=tu\\) \u200b\u662f\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b. \u200b\u800c\u200b \\(p\\) \u200b\u5728\u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b49\u200b\u7279\u6b8a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u5199\u200b \\(< tu\\) \u200b\u800c\u200b\u5199\u200b \\(t<u\\) .

\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a

  1. \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(x=y\\) \u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(x,y\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u91cf\u200b.
  2. \u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u4e3a\u200b \\(t=u\\) \u200b\u6216\u200b \\(t\\dot{<}u\\) \uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a\\(\\dot{\\mathrm{S}}x\\dot{+}y=\\dot{\\mathrm{S}}(x\\dot{+}y)\\) . \u200b\u5b83\u200b\u8868\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b.
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_4","title":"\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e0e\u5176\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b (\\(L\\)-formula)

\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Fm}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

  1. \u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor \\varphi \\psi\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e14\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\exists x \\varphi\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b\u975e\u5e38\u200b\u5e7f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5904\u5904\u200b\u627e\u5230\u200b\u4f8b\u5b50\u200b.

\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u76f8\u7b49\u200b \\(=\\) \uff0c\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(<\\) \uff08\u200b\u5927\u4e8e\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(>\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u8bb0\u5f55\u200b\u7684\u200b\u987a\u5e8f\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u9700\u200b\u518d\u6b21\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff09\uff0c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(-\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u76f8\u51cf\u200b\uff0c\u200b\u7edd\u5bf9\u503c\u200b \\(|\\cdot|\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u6570\u5217\u200b\u6781\u9650\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}x_n=a\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon-N\\) \u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff1a $$ \\forall \\varepsilon>0, \\exists N> 0, \\forall n>N, |x_n-a|<\\varepsilon $$ \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1f

\u200b\u5728\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e00\u4e2a\u4e2a\u200b\u63d0\u53d6\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u6210\u5206\u200b\uff1a \\(\\varepsilon,N,n,x_n\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u5143\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e38\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(|\\cdot|\\) \u3001\\(-\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(<,>\\) \u200b\u662f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u57fa\u672c\u200b\u548c\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u4e86\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\theta\\) \uff0c\u200b\u603b\u6709\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \uff1b
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi,\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\lor\\varphi\\psi\\) \uff1b
  4. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\exists x \\varphi\\) \uff1b

\u200b\u66f4\u8fd1\u200b\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b 2~4 \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u8fd8\u6709\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b

\u200b\u8bf7\u200b\u5199\u51fa\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A,B\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u7b49\u4e8e\u200b \\(B\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(x\\) \uff0c\\(x\\in A\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in B\\) .

\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ [\\neg \\exists z (z\\in x \\land z\\in y) \\land \\neg \\exists z (z\\in y \\land \\neg z \\in x)] \\to x=y \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\in\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4f5c\u8005\u200b\u90a3\u6837\u200b\u60f3\u8981\u200b\u628a\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u6267\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9879\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Term Recursion Theorem) \u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Formula Recursion Theorem) \u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u9610\u8ff0\u200b\u4e86\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_5","title":"\\(L\\) - \u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u4e86\u200b\u5982\u6b64\u200b\u6f2b\u957f\u200b\u7684\u200b\u524d\u7f6e\u200b\u51c6\u5907\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ec8\u4e8e\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4e25\u683c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7531\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u7ec4\u6210\u200b\uff1a

  1. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(|\\mathfrak{A}|\\) .
  2. \u200b\u5173\u7cfb\u200b\u96c6\u200b \\(\\mathrm{Rs}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(p\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p^\\mathfrak{A}\\subseteq A^{\\nu_L(p)}\\).
  3. \u200b\u51fd\u6570\u200b\u96c6\u200b \\(\\mathrm{Fs}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(f\\)\uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f^{\\mathfrak{A}}: A^{\\nu_L(f)}\\to A\\) .
  4. \u200b\u4e92\u5f02\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(\\mathrm{Cs}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(c\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(c^\\mathfrak{A}\\in A\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u7406\u8bba\u200b\u6765\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ \\Omega := (\\omega,<,+,\\times , \\mathrm{Sc},0) \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\\(p^\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u901a\u5e38\u200b\u628a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(p^\\mathfrak{A}\\) . \u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a\\(<\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ (1,2)\\in p^\\mathfrak{A}, (2,1)\\notin p^{\\mathfrak{A}} \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_6","title":"\u8bed\u4e49\u200b\u90e8\u5206","text":"

\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u8bed\u6cd5\u200b\u5c42\u9762\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8d4b\u4e88\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u610f\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u91c7\u7528\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u7814\u7a76\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#mathfraka-","title":"\\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5c31\u662f\u6307\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\alpha: \\mathrm{Vb}\\to A\\) .

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5728\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u53d8\u5143\u200b\u6240\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u7684\u200b\u4e1c\u897f\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\dot{\\mathrm{S}}0\\) \u200b\u662f\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b

\\[ x+\\dot{\\mathrm{S}}0 \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e86\u200b \\(x\\) \u200b\u624d\u80fd\u200b\u77e5\u9053\u200b\u662f\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u542b\u4e49\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u9996\u5148\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7ed9\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \u200b\u8d4b\u503c\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u505a\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\alpha(x)= 0\\) .

\u200b\u7136\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7ed9\u200b\u9879\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff0c\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b

\\[ V_{\\mathfrak{A},\\alpha}: \\mathrm{Te}_L \\to A \\]

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4eb2\u7231\u200b\u7684\u200b\u4f5c\u8005\u200b \ud83e\udd2f \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\u4e0d\u200b\u559c\u6b22\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4ed6\u200b\u8981\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u91cc\u9762\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ed6\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff1a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b

\\[ t = x+\\dot{\\mathrm{S}}0 \\]

\u200b\u5728\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e86\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u9879\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(t^{\\mathfrak{A}}[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b.

\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u662f\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u5e76\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c\\(x^{\\mathfrak{A}}[\\alpha] = \\alpha(x)\\) \uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\\(c^\\mathfrak{A}[\\alpha]=c^\\mathfrak{A}\\) \uff1b
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(f)-1}\\in \\mathrm{Te}_L\\)\uff0c\u200b\u6709\u200b
\\[ (ft*0\\cdots t*{\\nu*L(f)-1})^\\mathfrak{A}[\\alpha] = f^{\\mathfrak{A}}(t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha],\\cdots,t^{\\mathfrak{A}}*{\\nu_L(f)-1}[\\alpha]). \\]

\u200b\u7b80\u800c\u8a00\u4e4b\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u53d8\u5143\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u7531\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u51b3\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u5e38\u503c\u200b\u548c\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u65e0\u5173\u200b\uff0c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u7b49\u4e8e\u200b\u5b83\u200b\u4f5c\u7528\u200b\u7684\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u540e\u200b \\(f\\) \u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u770b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u4f8b\u200b\uff1a

\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u8ba1\u7b97\u200b

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(\\alpha(x)=3\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha(y)=7\\) \uff0c\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff1a $$ (\\dot{\\mathrm{S}}x\\times \\dot{\\mathrm{S}}\\dot{\\mathrm{S}}y)^\\Omega [\\alpha] $$

\u200b\u9996\u5148\u200b\u62c6\u5206\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u5728\u200b\u5206\u90e8\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} (\\dot{\\mathrm{S}}x\\times \\dot{\\mathrm{S}}\\dot{\\mathrm{S}}y)^\\Omega [\\alpha] &= (\\dot{\\mathrm{S}}x)^\\Omega [\\alpha] \\times (\\dot{\\mathrm{S}}\\dot{\\mathrm{S}}y)^\\Omega [\\alpha] \\\\ &=\\mathrm{Sc}(\\alpha(x))\\times \\mathrm{Sc}(\\mathrm{Sc}(\\alpha(y))) \\\\ &= \\mathrm{Sc(3)}\\times \\mathrm{Sc}(\\mathrm{Sc}(7)) = 4\\times 9 = 36 \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_6","title":"\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V_{\\mathfrak{A},\\alpha}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u8bf4\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u6b63\u786e\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u9519\u8bef\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u771f\u5047\u200b\u503c\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff1a

  1. \u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b \\(u\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ V_{\\mathfrak{A},\\alpha}(t = u) = \\begin{cases}\\mathrm{T}, &\\text{if }t^{\\mathfrak{A}}[\\alpha]=u^{\\mathfrak{A}}[\\alpha], \\\\ \\mathrm{F}, &\\text{otherwise}.\\end{cases} $$
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(p)-1}\\in \\mathrm{Te}_L\\) \uff0c
\\[ V*{\\mathfrak{A},\\alpha}(pt_0\\dots t*{\\nu*L(p)-1})= \\begin{cases}\\mathrm{T},&\\text{if } (t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha],\\cdots,t^\\mathfrak{A}*{\\nu_L(p)-1}[\\alpha])\\in p^\\mathfrak{A} \\\\ \\mathrm{F},&\\text{otherwise}.\\end{cases} \\]

\u200b\u6700\u540e\u200b\u5c31\u200b\u53ea\u200b\u5269\u4e0b\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7167\u642c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u90e8\u5206\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) \u200b\u6211\u4eec\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7565\u53bb\u200b\u4e0d\u8868\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5b58\u5728\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u518d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\uff1a\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b \\(\\alpha_{x\\to a}\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff08\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff09

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ V*{\\mathfrak{A},\\alpha}({\\exists x \\varphi}) := \\begin{cases}\\mathrm{T},&\\text{if for some }a\\in A, V*{\\mathfrak{A},\\alpha\\_{x\\to a}}(\\varphi)=\\mathrm{T} \\\\ \\mathrm{F}, &\\text{otherwise}.\\end{cases} \\]

\u200b\u5728\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u66fe\u7ecf\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8fc7\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(\\mid\\!\\equiv\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e5f\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\u8bb0\u53f7\u200b \\(\\models\\) . \u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bb0\u53f7\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha] \\]

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u6ee1\u8db3\u200b (satisfies) \u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\), \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \uff1a

  1. \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha]\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V_{\\mathfrak{A},\\alpha}(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b (satisfies) \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\).
  2. \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi[\\alpha]\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V_{\\mathfrak{A},\\alpha}(\\varphi)=\\mathrm{F}\\) .

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b Proposition 2.1.25 \u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5199\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\Omega\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\underset{\\Omega}{|\\!\\!\\!=}\\ x< \\dot{\\mathrm{S}}y \\to (x< y\\lor x=y)[\\alpha]; \\]

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u540e\u7ee7\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(m<n+1\\) \uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b \\(m=n\\) \u200b\u8981\u4e48\u200b \\(m<n\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_7","title":"\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u3001\u200b\u57fa\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u3001\u200b\u57fa\u6570\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b \uff08\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff09\uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u5408\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff08\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff09.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) (\\kappa)\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(L\\) \u200b\u4e3a\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\kappa\\) .

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a\u200b\u5373\u4f7f\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u591a\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff1a

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{Te}_L,\\mathrm{AtFm}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathrm{Fm}_L\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u65e0\u9650\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u6709\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{AtFm}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathrm{Fm}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u9700\u8981\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u611f\u5174\u8da3\u200b\u7684\u8bdd\u200b\u770b\u200b\u82f1\u6587\u200b\u539f\u6587\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u5269\u4f59\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u662f\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u6709\u6548\u6027\u200b (effectiveness) \u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u81ea\u6b64\u200b\u6253\u4f4f\u200b\u65e5\u540e\u200b\u518d\u200b\u6765\u770b\u200b. \uff08\u200b\u53cd\u6b63\u200b\u8001\u5e08\u200b\u4e5f\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u518d\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u4f55\u5fc5\u200b\u903c\u200b\u81ea\u5df1\u200b \ud83d\ude2b\uff09

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/","title":"\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u4e49\u200b (Basic Semantics)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_1","title":"\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_2","title":"\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u8fd8\u6709\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b (logically valid) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\models \\varphi\\) .
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha] \\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\psi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b49\u4ef7\u200b (logically equivalent)\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\models\\hspace{-5pt}|~ \\psi\\) .
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha] \\Rightarrow \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\psi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b (logical consequence)\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\models \\psi\\) .
  4. \u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b.
  5. \\(\\Gamma\\) \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\).

\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_3","title":"\u91cd\u8a00\u5f0f","text":"

\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u201c\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u201d\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\u5177\u6709\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bef\u5bfc\u6027\u200b\uff0c\u200b\u8f6c\u800c\u200b\u91c7\u7528\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u6765\u200b\u6307\u4ee3\u200b tautlogy .

\u200b\u5f15\u5165\u200b \\(L\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff1a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(V:\\mathrm{Fm}_L\\to \\left\\lbrace \\mathrm{T},\\mathrm{F} \\right\\rbrace\\) \u200b\u5c06\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u3001\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b

  1. \u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff1a\\(\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) .
  2. \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a\\(\\varphi\\mid\\!\\equiv\\!\\mid \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V(\\varphi) = V(\\psi)\\) .
  3. \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff1a\\(\\varphi\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\(V(\\psi)=\\mathrm{T}\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u6709\u4e2a\u200b\u975e\u5e38\u5bb9\u6613\u200b\u9677\u5165\u200b\u7684\u200b\u8bef\u533a\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u73b0\u5728\u200b\u4e0d\u200b\u628a\u200b tautlogy \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ x=x \\]

\u200b\u5b83\u200b\u662f\u5426\u662f\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff1f\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u5b83\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u7528\u200b\u201c\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u201d\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u7684\u8bdd\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u975e\u5e38\u200b\u4ee4\u4eba\u200b\u8ff7\u60d1\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u5398\u6e05\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u94fe\u6761\u200b\uff1a

\u200b\u6240\u4ee5\u200b\uff0c\u200b\u7efc\u4e0a\u200b \\(V(x=x)=\\mathrm{F}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6307\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b 2.2.4 \u200b\u8868\u660e\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u4e49\u200b\uff08\u200b\u91cd\u8a00\u200b\u3001\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff09\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u51fa\u200b\u903b\u8f91\u200b\uff08\u200b\u6709\u6548\u200b\u3001\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff09.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_4","title":"\u7b49\u200b\u8bcd\u200b\u516c\u7406","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_5","title":"\u7b49\u200b\u8bcd\u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9","text":"

\u200b\u7b49\u200b\u8bcd\u200b\u516c\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t,u,\\cdots\\) \u200b\u548c\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c

  1. \\(\\models t=t\\) \uff1b\uff08\u200b\u81ea\u200b\u53cd\u200b\uff09
  2. \\(\\models t=u \\to u=t\\) \uff1b\uff08\u200b\u4ea4\u6362\u200b\uff09
  3. \\(\\models t=u \\land u=v \\to t=v\\) \uff1b\uff08\u200b\u4f20\u9012\u200b\uff09
  4. \\(\\models (t_0=u_0)\\land \\cdots \\land (t_{\\nu_L(f)-1} = u_{\\nu_L(f)-1})\\to\\) \\(ft_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1} = fu_0\\cdots u_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff1b
  5. \\(\\models (t_0=u_0)\\land \\cdots \\land (t_{\\nu_L(p)-1} = u_{\\nu_L(p)-1})\\to\\) \\([pt_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1} \\leftrightarrow pu_0\\cdots u_{\\nu_L(f)-1}]\\) \uff1b

\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u90fd\u200b\u662f\u4ece\u200b \\(=\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b49\u503c\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u6765\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_6","title":"\u5e38\u89c1\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u548c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u627f\u5f0f","text":"

\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u90e8\u5206\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u66fe\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u8fd9\u65b9\u9762\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e5f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u8f6c\u5316\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\forall x (\\varphi\\land \\psi) \\models\\!\\!\\!| \\forall x \\varphi \\land \\forall x \\psi \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b

\\[ \\mid\\!\\equiv \\theta \\land \\chi \\iff \\mid\\!\\equiv \\theta \\text{ and } \\mid\\!\\equiv \\chi \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u7684\u200b translation \u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u4ece\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6765\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\text{for all } V [V (\\theta) = \\mathrm{T}\\text{ and } V(\\chi) = \\mathrm{T}] \\\\ &\\iff\\text{for all } V[V(\\theta)=\\mathrm{T}] \\text{ and for all } V[V(\\chi)=\\mathrm{T}]. \\end{aligned} \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_7","title":"\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u3001\u200b\u53d7\u200b\u56ff\u200b\u53d8\u91cf","text":"

\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u53bb\u200b\u601d\u8003\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u662f\u5426\u200b\u548c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1f\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\exists x(x\\dot{+}y=z) \\]

\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u5426\u200b\u6210\u7acb\u200b\u548c\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u5360\u4f4d\u200b\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u597d\u50cf\u200b\u5b9a\u200b\u79ef\u5206\u200b

\\[ \\int_0^2 f(x)\\mathrm{d}x \\]

\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u4e00\u6837\u200b. \u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u7406\u89e3\u200b\u5e26\u6765\u200b\u7684\u200b\u6548\u679c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b83\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6362\u5143\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u597d\u50cf\u200b \\(\\displaystyle\\int_0^1 f(x)\\mathrm{d}x = \\int_0^1 f(u)\\mathrm{d}u\\) \u200b\u4e00\u6837\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6362\u5143\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\uff1a

\\[ \\exists x(x\\dot{+}y=z) = \\exists u(u\\dot{+}y=z) \\]

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8981\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u4e25\u8c28\u200b\u5730\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u8fd9\u4ef6\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5f15\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) \u200b\u7531\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u751f\u6210\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\\(\\mathrm{Fv}(\\varphi) = \\left\\lbrace x:x \\text{ \u200b\u5728\u200b } \\varphi \\text{ \u200b\u4e2d\u200b\u51fa\u73b0\u200b} \\right\\rbrace\\).
  2. \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)=\\mathrm{Fv}(\\neg \\varphi)\\) \uff1b
  3. \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi\\lor \\psi) = \\mathrm{Fv}(\\varphi)\\cup \\mathrm{Fv}(\\psi)\\) \uff1b
  4. \\(\\mathrm{Fv}(\\exists x \\varphi)=\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\sim \\left\\lbrace x \\right\\rbrace\\).

\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in \\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u200b \\(x\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e2d\u200b\u81ea\u7531\u200b\u51fa\u73b0\u200b (occurs free). \u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u4e4b\u5916\u200b\u7684\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7edf\u79f0\u200b\u4e3a\u200b\u53d7\u200b\u56ff\u200b\u53d8\u91cf\u200b (Bounded variables) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Bv}(\\varphi)\\) .

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bbe\u200b $$ \\varphi = (\\exists x(x=y+z))\\lor (\\exists y (y=u+x)) $$ \u200b\u8bd5\u6c42\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) .

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(x,y,z,u\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\mathrm{Fv}(\\varphi) = \\left\\lbrace x,y,z,u \\right\\rbrace \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#l-","title":"\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi) = \\varnothing\\) .

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u518d\u6b21\u200b\u8ba8\u8bba\u4e00\u4e0b\u200b \\(x=x\\) \u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u8bed\u53e5\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\exists x(x=x)\\) \u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\beta\\) .

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u5728\u200b \\(t\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha(x)=\\beta(x)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ t^\\mathfrak{A} [\\alpha] = t^\\mathfrak{A}[\\beta] $$
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(x\\in \\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha(x) = \\beta(x)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\varphi[\\beta] $$

\u200b\u5229\u7528\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#undersetmathfrakamodels-varphi","title":"\\(\\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\ \\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#mathfraka","title":"\u4e0d\u200b\u4f9d\u8d56\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u4e0d\u200b\u4f9d\u8d56\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u6307\u6d3e\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha,\\beta\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\beta] $$ \u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u8981\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5168\u90e8\u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5747\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\).

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#l","title":"\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u5047","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u5047\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\subseteq \\left\\lbrace x_0,\\cdots,x_{k-1} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\varphi_{x_0,\\cdots,x_{k-1}}[a_0,\\cdots,a_{k-1}] $$ \u200b\u6216\u8005\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[a_0,\\cdots,a_{k-1}]\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\uff08\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4efb\u610f\u200b\uff09\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(i<k\\) \uff0c\\(\\alpha(x_i)=a_i\\) \u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\) .\u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5199\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u660e\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u771f\u200b \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5047\u200b.

\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b 2.2.11 \u200b\u662f\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u5ef6\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u5fc5\u200b\u591a\u8a00\u200b.

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u9700\u8981\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u624d\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff1f\u200b\u5728\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e86\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u624d\u80fd\u200b\u660e\u786e\u200b\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5728\u200b \\((\\mathbb{R},<,+,1)\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\u200b\u65e0\u8bba\u662f\u200b\u76f4\u89c9\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u524d\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u5224\u65ad\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u200b\u662f\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u5224\u65ad\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5b58\u5728\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(y\\) \uff0c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u660e\u786e\u200b \\(y\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u771f\u5047\u200b\u6027\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_8","title":"\u771f\u5047\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u90fd\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u91cd\u8981\u200b\uff0c\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u90fd\u200b\u8bb0\u5fc6\u200b.

(1) \u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\uff0c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u9519\u8bef\u200b (logically false) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e2d\u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u5047\u200b.

(2) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n \\geqslant 2\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53e5\u5b50\u200b\u6765\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\exists^{\\geqslant n}\\) \uff1a

\\[ \\exists x_0 \\cdots \\exists x_{n-1} [\\neg (x_0 = x_1)\\land \\neg (x_0=x_2) \\land \\cdots \\land \\neg (x_{n-2}=x_{n-1})] \\]

\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u7b80\u6d01\u200b\u5730\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\exists x_0\\cdots \\exists x_{n-1} \\bigwedge_{i<j<n} \\neg (x_i=x_j) \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(n=1\\) \uff0c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\exists^{\\geqslant 1} = \\exists x[x=x]\\) .

\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\exists^{\\geqslant n} \\iff |A|\\geqslant n \\]

(3) \u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u975e\u81ea\u200b\u53cd\u6027\u200b\uff1a

\\[ \\theta_{\\mathrm{irrefl}} = \\forall x (\\neg x < x) \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u975e\u81ea\u200b\u53cd\u6027\u200b. \u200b\u540c\u6837\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u6709\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\u3001\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u6027\u200b (connected) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u7a20\u5bc6\u6027\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{trans}},\\theta_{\\mathrm{conn}},\\theta_{\\mathrm{dense}}\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b (strict linear ordering) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\theta_{\\mathrm{SLO}} = \\theta_{\\mathrm{irrefl}}\\land \\theta_{\\mathrm{trans}}\\land \\theta_{\\mathrm{conn}} \\]

\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b (dense linear ordering)\uff1a

\\[ \\theta_{\\mathrm{DLO}} = \\theta_{\\mathrm{SLO}}\\land \\exists^{\\geqslant 2} \\land \\theta_{\\mathrm{dense}} \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_9","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u6a21\u578b","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_10","title":"\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u6a21\u578b\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)\uff0c

  1. \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u771f\u200b.
  2. \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u771f\u200b.

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5bf9\u200b\u4e0d\u200b\u5bf9\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8981\u200b\u770b\u200b\u5b83\u200b\u6240\u5728\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u50cf\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7684\u200b\u6b63\u786e\u200b\u4e0e\u5426\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u80cc\u666f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u8bf4\u200b\u5728\u200b\u5168\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}^2\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e3a\u200b \\(1\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_11","title":"\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd9\u6b21\u200b\u6298\u8fd4\u200b\u56de\u6765\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff1a\u200b\u7fa4\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{G} = (G,*,^{-1},e)\\) . \u200b\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\mathfrak{G}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma_{\\mathrm{Gp}} := \\left\\lbrace \\theta_{\\mathrm{assoc}},\\theta_{\\mathrm{ident}},\\theta_{\\mathrm{inverse}} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7ed3\u5408\u5f8b\u200b\u3001\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u3001\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5b58\u5728\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6559\u6750\u200b\u6709\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u4e0d\u200b\u591a\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u62ff\u6389\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u9006\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{G} = (G,*,e)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u6240\u200b\u53d8\u5316\u200b\uff1a

\\[ \\theta'_{\\mathrm{inverse}} = \\forall x \\exists y [x*y = e \\land y*x=e] \\]

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c $$ \\Gamma \\models \\psi \\iff \\text{\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b } \\Gamma \\text{ \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b } \\psi \\text{ \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b}.$$

\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\\[ \\Gamma_{\\mathrm{Gp}}\\models \\varphi \\]

\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7fa4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b. \u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u8fc7\u6765\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u7fa4\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b. \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_12","title":"\u4ee3\u6362\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5","text":"

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ec8\u4e8e\u200b\u8981\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4ee3\u6362\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u8981\u200b\u8bf4\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u7528\u9879\u200b\u53bb\u200b\u4ee3\u6362\u200b\u53d8\u5143\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4ee3\u6362\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(u\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(y\\) \uff0c$$ y_x(u) := \\begin{cases}u ,&\\text{\u200b\u5982\u679c\u200b } y\\text{ \u200b\u662f\u200b }x, \\ y, & \\text{\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u60c5\u51b5\u200b}. \\end{cases} $$
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5e38\u91cf\u200b \\(c\\) \uff0c\\(c_x(u)\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(c\\) .
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(f)-1}\\)\uff0c
\\[ (ft_0\\cdots t_{\\nu_{L}(f)-1})(u) := f(t_0)_x(u)\\cdots(t_{\\nu_L(f)-1})_x(u) \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b (Structure)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#isomorphism","title":"\u540c\u6784\u200b (Isomorphism)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_1","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53cc\u5c04\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \u200b\u4e14\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1}\\in |\\mathfrak{A}|\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ p^\\mathfrak{A}(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1})\\iff p^\\mathfrak{B} (\\eta(a_0),\\cdots,\\eta(a_{\\nu_L(p)-1})) $$
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \u200b\u548c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1}\\in |\\mathfrak{A}|\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\eta \\left(f^\\mathfrak{A}(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1})\\right) = f^\\mathfrak{B} (\\eta(a_0),\\cdots,\\eta(a_{\\nu_L(p)-1})) $$
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\\(\\eta(c^\\mathfrak{A}) = c^\\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u548c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u975e\u5e38\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathfrak{A} = (\\mathbb{R},<,+,0)\\) \uff0c\\(\\mathfrak{B} = (\\mathbb{R}^{>0},<,\\times ,1)\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u6784\u9020\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b\uff1a

\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u7531\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u7684\u200b Cauchy \u200b\u65b9\u7a0b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(\\eta(x) = a^x\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u68c0\u9a8c\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u8fd9\u200b\u786e\u5b9e\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_2","title":"\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u6709\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi \\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi $$ \u200b\u4ece\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u5b83\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u4ece\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u770b\u8d77\u6765\u200b\u548c\u200b\u540c\u6784\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f1a\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6bd4\u200b\u540c\u6784\u200b\u8981\u5f3a\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_3","title":"\u8bf1\u5bfc\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u3001\u200b\u4f9d\u4ece","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8bf1\u5bfc\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u3001\u200b\u4f9d\u4ece\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \uff0c

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u8bf1\u5bfc\u200b \\(\\mathfrak{B}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b (induced assignment) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a$$ \\alpha^\\eta (x) = \\eta(\\alpha(x)) $$
  2. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b (respect) \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b $$ \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta]; $$
  3. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha^\\eta]$$

\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b respect \u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u201c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u201d\u200b\u662f\u200b\u672c\u4eba\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\uff0c\u200b\u6211\u200b\u5e76\u4e0d\u77e5\u9053\u200b\u662f\u5426\u200b\u6709\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6b63\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8bd1\u540d\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathfrak{A} = (\\mathbb{R},<,+,0)\\) \uff0c\\(\\mathfrak{B} = (\\mathbb{R}^{>0},<,\\times ,1)\\).

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u548c\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u57fa\u672c\u4e00\u81f4\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u6b21\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(t\\) \u200b\u4e3a\u9879\u200b \\(x*(y*c)\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha(x) = \\pi, \\alpha(y) = 7\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u662f\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u53d6\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = \\eta(\\pi+(7+0)) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5176\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\eta(\\pi+(7+0)) &= \\eta(\\pi)\\times (\\eta(7)\\times \\eta(0)) \\\\ &= t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u4e8e\u9879\u200b \\(t\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_4","title":"\u540c\u6784\u200b\u548c\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(\\eta: \\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6240\u6709\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u548c\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5f88\u200b\u7e41\u590d\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4f9d\u6b21\u200b\u5c06\u200b\u9879\u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b \u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3001\u200b\u5b58\u5728\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u548c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u53c2\u8003\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u6559\u6750\u200b\u5f15\u7406\u200b 2.3.6 \u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b Hinman \u200b\u8bf4\u200b\uff1a

The calculation for other atomic formulas is similar, and the induction steps for \u00ac and \u2228 are straightforward; we leave them to the reader.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u7ec3\u4e60\u200b\u5427\u200b. \u200b\u7528\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u57fa\u4e8e\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi,\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} (\\neg\\varphi)[\\alpha] &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi[\\alpha] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi[\\alpha^\\eta] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} (\\neg\\varphi)[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u5bf9\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u91cd\u8981\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u540c\u6784\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u4f9d\u4ece\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi &\\iff \\text{\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6307\u6d3e\u200b } \\alpha, \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\\\ &\\iff \\text{\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6307\u6d3e\u200b } \\alpha, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha^\\eta] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#l_","title":"\\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784","text":"

\u200b\u5728\u200b \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e76\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u5168\u57df\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u4ee5\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u57df\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\((A)\\)\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u975e\u5e38\u5bb9\u6613\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b \\(L_=\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\((A)\\) \u200b\u548c\u200b \\((B)\\) . \u200b\u6709\u200b $$ (A)\\simeq (B) \\iff |A| = |B| $$

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\((A)\\equiv (B)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\exists^{=n}\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\((A)\\simeq (B)\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b Corollary 2.3.9 \u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5728\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\((A)\\equiv (B)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((A)\\simeq (B)\\) . \u200b\u66f4\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u548c\u200b\u540c\u6784\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b\u7528\u200b\u7b26\u53f7\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8868\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(\\theta^{(A)} = \\exists^{=n}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bf4\u660e\u200b

\\[ (A)\\simeq (B) \\iff \\underset{(B)}{\\models} \\theta^{(A)} \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_5","title":"\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u3001\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff09\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u5168\u57df\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\uff08\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u3001\u200b\u53ef\u6570\u200b\uff09\u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u5728\u200b \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7528\u200b

\\[ (A)\\simeq (B) \\iff \\underset{(B)}{\\models} \\theta^{(A)} \\]

\u200b\u6765\u200b\u8868\u73b0\u200b\u51fa\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\theta^{(A)}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u5426\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u770b\u4f3c\u200b\u4f9d\u8d56\u200b\u4e86\u200b \\(L_=\\) \u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f9d\u8d56\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u6027\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u5230\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e0e\u200b\u540c\u6784\u200b\u3001\u200b\u523b\u753b\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff08\u200b\u5373\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6709\u9650\u200b\uff09 \\(L\\) \u200b\u548c\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff1b
  2. \u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\theta^\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c06\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u523b\u753b\u200b (characterizes) \u200b\u5230\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u610f\u601d\u200b\u662f\u200b\u8bf4\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c $$ \\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\theta^\\mathfrak{A} $$

\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u7ae0\u8282\u200b\u4e2d\u200b\u518d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u4e86\u89e3\u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u76ee\u524d\u200b\u4e5f\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u662f\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f31\u5316\u200b\u8bc1\u660e\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_6","title":"\u5b50\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b

  1. \\(|A|\\) \u200b\u662f\u200b \\(|B|\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c\\(p^\\mathfrak{A} = p^\\mathfrak{B}\\cap |\\mathfrak{A}|^{\\nu_L(p)}\\) \uff1b
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\\(f^\\mathfrak{A} = f^\\mathfrak{B}\\upharpoonright |\\mathfrak{A}|^{\\nu_L(f)}\\) \uff1b
  4. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\\(c^\\mathfrak{A} = c^\\mathfrak{B}\\) \uff1b

\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8bf4\u660e\u200b

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\upharpoonright\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u9650\u5236\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(f \\upharpoonright A\\) \u200b\u5c31\u662f\u6307\u200b\u5c06\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u9650\u5236\u200b\u5230\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b. \u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u200b\u4e2d\u200b\u770b\u5230\u200b\u7684\u200b \\(f|_A\\) .

\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6765\u8bf4\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u5e38\u91cf\u200b. \u200b\u770b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a

\u200b\u662f\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e5f\u200b\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u200b\uff1a\u200b\u524d\u8005\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u53d8\u5316\u200b\uff0c\u200b\u540e\u8005\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u53d8\u5316\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b \\(A\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u80fd\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u6761\u200b\u5747\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(f^\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e38\u91cf\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\)\uff0c\\(c^\\mathfrak{B}\\in A\\).

\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u6210\u4eba\u200b\u8bdd\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u5f97\u200b\u5728\u200b\u5168\u57df\u200b\u91cc\u9762\u200b\u3002\u200b\u51fd\u6570\u200b\u503c\u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u8dd1\u200b\u51fa\u200b\u5168\u57df\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u54ea\u4e9b\u200b\u662f\u200b \\((\\mathbb{R},<,\\cos,\\pi)\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff1f

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u5728\u200b\u5168\u57df\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5c3d\u7ba1\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\cos\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u88ab\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5176\u503c\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u8dd1\u200b\u51fa\u200b\u5168\u57df\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b \uff08\\(\\cos \\pi = -1\\)\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ea\u6709\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u662f\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_7","title":"\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(X\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6709\u200b \\(X\\neq \\varnothing\\) \u200b\u6216\u200b \\(\\mathrm{Cs}_L\\neq \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u6700\u200b\u5c0f\u5b50\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\left\\langle X \\right\\rangle_\\mathfrak{B} \\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(X \\subseteq |\\left\\langle X \\right\\rangle|_\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6700\u200b\u5c0f\u5b50\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(X\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(X\\) \u200b\u548c\u200b \\(L\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\left\\langle X \\right\\rangle_\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(X \\subseteq |\\mathfrak{B}|\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ee4\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a

\\[ X \\cup \\left\\lbrace c^\\mathfrak{B}: c\\in \\mathrm{Cs}_L \\right\\rbrace\\subseteq A \\]

\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(A\\) \u200b\u8981\u200b\u5728\u200b \\(f^\\mathfrak{B} \\ (f\\in \\mathrm{Fs}_L)\\) \u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(A \\neq \\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b \\(|\\left\\langle X \\right\\rangle_\\mathfrak{B}| = A\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(X\\cup \\left\\lbrace c^\\mathfrak{B}: c\\in \\mathrm{Cs}_L \\right\\rbrace\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\left\\lbrace f^\\mathfrak{B}: f\\in \\mathrm{Fs}_L \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u6c42\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\left\\lbrace 30,42 \\right\\rbrace\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b \\((\\mathbb{Z},+,-,0)\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b.

\u200b\u5229\u7528\u200b\u52a0\u51cf\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b97\u51fa\u200b\u7531\u200b \\(30,42\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b97\u200b\u51fa\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(6\\) \u200b\u7684\u200b\u500d\u6570\u200b\uff0c\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ (\\left\\lbrace 6n:n\\in \\mathbb{Z} \\right\\rbrace,+,-,0) \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#quantifier-free-formulas","title":"\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b (Quantifier-free formulas)","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e03\u5c14\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u3001\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u5176\u200b\u5e03\u5c14\u200b\u7ec4\u5408\u200b (Boolean Combinations) \\(\\mathrm{Bool}(\\Gamma)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\mathrm{T} \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b $$ \\mathrm{QF} := \\mathrm{Bool}(\\mathrm{AtFm}_L) $$

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7ed9\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a - \u200b\u65e0\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) . \u200b\u65e0\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\mathrm{T}\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u5305\u542b\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(\\mathrm{QF}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b\u6709\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u975e\u5e38\u200b\u79bb\u8c31\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u5f97\u200b\u63a5\u53d7\u200b\uff0c\u200b\u539f\u6587\u200b\u662f\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u5199\u200b\u7684\u200b\uff1a

The special sentence T must actually contain a quantifier, so QF is not completely free of quantifiers. This will never cause any problems.

\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u5f15\u8d77\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff08\u200b\u8feb\u771f\u200b\uff09.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(t^\\mathfrak{A}[\\alpha] = t^\\mathfrak{B}[\\alpha]\\).

\u200b\u5229\u7528\u200b\u9879\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\u200b\u7ec6\u8282\u200b\u53c2\u8003\u4e66\u200b\u672c\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u540c\u65f6\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(|\\mathfrak{A}| \\subseteq |\\mathfrak{B}|\\) .
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\uff1a $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$

\u200b\u8981\u200b\u505a\u200b\u7684\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u9010\u9879\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b. \u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u9010\u4e00\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b.

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff1a - \u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u200b\u9700\u8981\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1b - \u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u91cc\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u53ea\u662f\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_8","title":"\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728\u200b

  1. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u5168\u79f0\u200b (universal) \u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u6216\u8005\u200b\u5b58\u5728\u200b (existential) \u200b\u7684\u200b\uff09\uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(y_0,\\cdots,y_{n-1}\\) \uff0c\\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\forall y_0 \\cdots \\forall y_{n-1} \\theta (\\exists y_0\\cdots \\exists y_{n-1}\\theta)\\) .
  2. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b (logically universal) \u200b\u7684\u200b\u6216\u8005\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728\u200b (logically existential) \u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u5168\u79f0\u200b\u7684\u200b\u6216\u8005\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(\\models \\varphi\\leftrightarrow \\psi\\) .
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#upwarddownward-persistent","title":"\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b/\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b (upward/downward persistent)","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b/\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b (upward persistent) \u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\Rightarrow \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$ \u200b\u53cd\u5411\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b (downward persistent) \uff1a $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\Leftarrow \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$

\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u6211\u200b\u4e2a\u4eba\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6709\u200b\u66f4\u597d\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u8bf7\u200b\u6307\u51fa\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u548c\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4ec5\u200b\u8003\u8651\u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a\\(\\models \\varphi\\leftrightarrow \\exists x \\theta\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\exists x \\theta [\\alpha] \\\\ &\\iff \\text{for some }a\\in A, \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\theta[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\text{for some }a\\in A, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\theta[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\Longrightarrow \\text{for some }a\\in B, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\theta[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha]. \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_9","title":"\u540c\u6001\u200b\u548c\u200b\u5d4c\u5165","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_10","title":"\u540c\u6001\u200b\u4e0e\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u540c\u6001\u200b\u548c\u200b\u5d4c\u5165\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \uff0c

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b \u200b\u540c\u6001\u200b (homomorphism)\uff08\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\eta:\\mathfrak{A}\\to \\mathfrak{B}\\)\uff09 \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u5728\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\u53bb\u6389\u200b\u5355\u5c04\u200b\u6216\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b.
  2. \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5d4c\u5165\u200b (embedding) \uff08\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\hookrightarrow_0 \\mathfrak{B}\\)\uff09\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u200b\u540c\u6001\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b\u540c\u6784\u200b\u53bb\u6389\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff09. \u200b\u540c\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5d4c\u5165\u200b (embeddable) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\hookrightarrow_0 \\mathfrak{B}\\).

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u540c\u6001\u200b \\(\\eta :\\mathfrak{A}\\to \\mathfrak{B}\\) \uff0c

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b (respect) \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u89c1\u200b\u8ba1\u7b97\u673a\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b2c\u56db\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_11","title":"\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff1b
  2. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b\uff08\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\uff09\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}'\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\eta: \\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{A}'\\).

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u76f8\u5173\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u603b\u7ed3\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_12","title":"\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u4e0e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u6269\u5f20","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u3001\u200b\u521d\u7b49\u200b\u6269\u5f20\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\)\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u6216\u8005\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u6269\u5f20\u200b \uff08\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\)\uff09\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u6761\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(|\\mathfrak{A}| \\subseteq |\\mathfrak{B}|\\) .
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff1a $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b \u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b+\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b \u200b\u8981\u5f31\u200b\u4e8e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b.

\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5f31\u5316\u200b\u7248\u200b\uff08\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4ec5\u200b\u8981\u6c42\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff09. \u200b\u800c\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b+\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u5f31\u4e8e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\).

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53cd\u4f8b\u200b\uff1a

\u200b\u53cd\u4f8b\u200b

\\(\\mathfrak{A} = (\\omega \\sim \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace, \\leqslant)\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathfrak{B} = (\\omega,\\leqslant)\\) .

\\(\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u540e\u8005\u200b\u7531\u200b\u540c\u6784\u200b\u63a8\u51fa\u200b\uff09\uff0c\u200b\u7136\u800c\u200b\uff0c\\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\forall y (x \\leqslant y)[1] \\]

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(1\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{B}}{|\\!\\!\\!\\neq} \\forall y (x \\leqslant y) [1] \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathfrak{A} = (\\mathbb{R}^+,<)\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B} = (\\mathbb{R},<)\\)\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8981\u8bc1\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\]

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u4e3a\u200b \\(x_0,\\cdots,x_{k-1}\\) \uff0c\\(\\alpha(x_i) = a_i (i=0,1,\\cdots,k-1)\\) \uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{k-1}]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{k-1}] \\]

\u200b\u6784\u9020\u200b\u540c\u6784\u200b \\(y:\\mathbb{R}^+\\to \\mathbb{R}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(y(a_i)=a_i\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#tarski-lowenhiem-skolem-mathrmclsdownarrow","title":"Tarski \u200b\u5224\u522b\u200b\u6cd5\u200b\u548c\u200b\u53ef\u6570\u200b\u4e0b\u884c\u200b L\u00f6wenhiem-Skolem \u200b\u5b9a\u7406\u200b (\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\))","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#tarski","title":"Tarski \uff08\u200b\u5854\u65af\u200b\u57fa\u200b\uff09\u200b\u5224\u522b\u200b\u6cd5","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aTarski \u200b\u5224\u522b\u200b\u6cd5\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c $$ \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} (\\exists x \\psi)[\\alpha] \\iff \\text{\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e9b\u200b }a\\in |\\mathfrak{A}|, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\psi[\\alpha_{x\\to a}]$$ \u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\]

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u4e0d\u9700\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u6709\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\varphi = \\exists x \\psi\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi [\\alpha] &\\iff \\text{for some } a\\in |\\mathfrak{A}| , \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\psi[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\text{for some } a\\in |\\mathfrak{A}| , \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\psi[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha]. \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#lowenhiem-skolem-mathrmclsdownarrow","title":"\u53ef\u6570\u200b\u4e0b\u884c\u200b L\u00f6wenhiem-Skolem \u200b\u5b9a\u7406\u200b (\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\))","text":"

\uff08\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u8f83\u96be\u200b\uff0c\u200b\u65e5\u540e\u200b\u518d\u200b\u8865\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff09

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(X\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(X\\subseteq |\\mathfrak{A}|\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\) \u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(L\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(|\\mathfrak{A}|\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff09.

\u200b\u4f8b\u200b

\\(\\mathfrak{R} = (\\mathbb{R},<,+,\\times,0,1)\\)

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\\[ \\mathfrak{A} = (A,<,+,\\times ,0,1) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4fdd\u6301\u200b\u4e86\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u56db\u5219\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6839\u53f7\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(A\\) \u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u6570\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u63a8\u8fdb\u200b\uff0c\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u786e\u200b\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u754c\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b Dedekind \u200b\u5206\u5272\u200b\u5bf9\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u786e\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff1a\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u4e14\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u786e\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u7684\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u6709\u80fd\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u51fa\u786e\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b. \u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6709\u200b\u754c\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u786e\u200b\u6709\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u54ea\u4e9b\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5f15\u51fa\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3001\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u542b\u6709\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(x_0,x_1,\\cdots,x_{m-1}\\) \u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b \\(m\\) \u200b\u5143\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a $$ \\varphi^\\mathfrak{A} := \\left\\lbrace (a_0,\\cdots,a_{m-1})\\in A^m : \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{m-1}] \\right\\rbrace $$ \u200b\u5b83\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7531\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u8bbe\u200b \\(R \\subseteq A^k\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(R = \\varphi^\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(R\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u66f4\u200b\u5e7f\u6cdb\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(x_0,\\cdots,x_{m-1}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(y_0,\\cdots,y_{n-1}\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b

\\[ \\varphi^\\mathfrak{A}_{b_0,\\cdots,b_{n-1}} := \\left\\lbrace (a_0,\\cdots,a_{m-1})\\in A^m : \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{m-1},b_0,\\cdots,b_{n-1}] \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5728\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\uff0c\\(m\\) \u200b\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(F: A^m \\to A\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u56fe\u50cf\u200b (graph) \uff1a $$ \\left\\lbrace a_0,\\cdots,a_{m-1},c: F(a_0,\\cdots,a_{m-1}) = c \\right\\rbrace $$ \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b.

\\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\left\\lbrace a \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u957f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u6765\u200b\u68b3\u7406\u200b\u4e00\u4e0b\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u548c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u901a\u5e38\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5728\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6709\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u5176\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5c31\u662f\u200b\u770b\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u548c\u200b\u503c\u57df\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u770b\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5355\u4f8b\u200b (singleton) \u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u9700\u8981\u200b\u843d\u200b\u5728\u200b\u542b\u6709\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e0a\u200b.

\\(<\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\\(\\mathfrak{A} = (\\omega,+,0)\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\\(<\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u5229\u7528\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6765\u9020\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\"\\(x<y\\)\" \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a

\\[ \\varphi: \\exists z (\\neg (z = 0) \\land y = x+z) \\]

\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u533a\u95f4\u200b

\\((3,\\infty)\\) \u200b\u533a\u95f4\u200b\u5728\u200b \\((\\mathbb{R},<)\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u5230\u200b\u6211\u4eec\u200b\u521a\u624d\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e2d\u6709\u200b\u5e38\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9700\u8981\u200b\u53c2\u6570\u200b \\(3\\) \uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace a\\in \\mathbb{R}: \\underset{(\\mathbb{R,<})}{\\models} (y<x)[a,3] \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e2d\u62ec\u53f7\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u5206\u522b\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(x,y\\) \u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u5143\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u201c\u200b\u5728\u200b \\((3,\\infty)\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e2d\u200b\u201d. \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(y<x\\) .

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u4e86\u200b\uff1a

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7d20\u6570\u200b\u96c6\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b \\((\\Omega,\\times,\\dot{\\mathrm{S}},0)\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b\uff1a

\\[ \\forall y\\forall z [y\\times z = x \\to (y=x)\\lor (z=x)] \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_15","title":"\u4e8c\u9636\u200b\u903b\u8f91","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u56de\u987e\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u6709\u5173\u200b\u786e\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee5\u200b \\(x\\) \u200b\u548c\u200b \\(y_0,\\cdots,y_{n-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi_{\\mathrm{ub}}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\forall z (x <z \\to \\neg \\varphi_x (z)). \\]

\uff08\u200b\u6211\u200b\u77e5\u9053\u200b\u4f60\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e0d\u200b\u8bb0\u5f97\u200b \\(\\varphi_x\\) \u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6362\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(z\\) \u200b\u662f\u200b\u9879\u200b\uff09 \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u5c31\u662f\u200b

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_16","title":"\u540c\u6784\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u540c\u6784\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\eta:\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4ee5\u200b \\(x_0,\\cdots,x_{m-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\varphi^\\mathfrak{B} := \\left\\lbrace (\\eta(a_0),\\cdots,\\eta(a_m)): (a_0,\\cdots,a_{m-1})\\in \\varphi^\\mathfrak{A} \\right\\rbrace. $$

\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi^\\mathfrak{A} = \\eta(\\varphi^\\mathfrak{A})\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4fdd\u6301\u200b (preserve) \u200b\u4e86\u200b \\(\\varphi^\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u65e0\u9700\u200b\u53c2\u6570\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(p\\) \u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u9700\u200b\u53c2\u6570\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53c2\u8003\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_17","title":"\u4e0d\u53ef\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u4e0d\u542b\u200b\u53c2\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\\((\\omega,\\times,1)\\) \u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u4e0d\u542b\u200b\u53c2\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\uff1a

\\[ \\eta: 2^m \\times 3^n \\times p \\mapsto 2^n \\times 3^m \\times p \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(p\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b \\(2,3\\) \u200b\u500d\u6570\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u200b \\(0\\) \u200b\u548c\u200b \\(1\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53d8\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53c2\u8003\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u683c\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{ccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ \\eta(k) & 0 &1 & 3 & 2 \\end{array} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u4fdd\u6301\u200b \\(<\\) \u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_18","title":"\u521d\u7b49\u200b\u5d4c\u5165","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5d4c\u5165\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta:|\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u5982\u679c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5d4c\u5165\u200b. \u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\eta: \\mathfrak{A} \\hookrightarrow \\mathfrak{B}\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7406\u8bba\u200b (Theories)","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b(Propositional Theories)\u200b\u662f\u200b\u975e\u5e38\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#l","title":"\\(L\\) \u200b\u7406\u8bba","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_1","title":"\u7406\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5728\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff1a$$ \\Gamma\\models \\psi \\text{ and }\\psi\\text{ is a sentence}\\Rightarrow \\psi\\in \\Gamma; $$ \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b.

\\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u5199\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\left\\lbrace \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n \\right\\rbrace)\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u5199\u200b \\(\\mathrm{Mod}( \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n )\\).

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c

  1. \\(\\Gamma \\models \\psi \\iff \\mathrm{Mod}(\\Gamma) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\psi)\\) \uff1b
  2. \\(\\Gamma \\subseteq \\Delta \\Rightarrow \\mathrm{Mod}(\\Delta) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) \uff1b
  3. \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\neq \\varnothing\\).

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u7406\u8bba\u200b\u548c\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u57fa\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u800c\u975e\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u662f\u56e0\u4e3a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u672c\u8eab\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u4e0d\u200b\u4f9d\u8d56\u4e8e\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u8d4b\u503c\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_2","title":"\u516c\u7406","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u3001\u200b\u516c\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b $$ \\mathrm{Th}(\\Gamma) = \\left\\lbrace \\psi: \\psi \\text{ is a sentence and } \\Gamma\\models \\psi \\right\\rbrace $$ \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7531\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \u200b\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_3","title":"\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7406\u8bba","text":"

\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u88ab\u8868\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7406\u8bba\u200b (axiomatic theory).

\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\Gamma = \\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7406\u8bba\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b (finitely axiomatizable) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(T=\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b. \uff08\u200b\u89c1\u200b\u53ef\u5224\u5b9a\u6027\u200b\u7684\u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff09.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_4","title":"\u76f8\u5bb9\u200b\u3001\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff0c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff1b
  2. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u6781\u5927\u200b\u76f8\u5bb9\u200b (maximal consistent) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u610f\u601d\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6bd4\u200b\u5b83\u200b\u66f4\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.
  3. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(T = \\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\)\uff1b
  4. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) .

(1) \\(\\Rightarrow\\) (3) : \u200b\u5173\u952e\u200b\u662f\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b\u540e\u200b\u534a\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\\(T \\subseteq \\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b. \u200b\u5bf9\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b9\u5411\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\varphi\\in \\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\varphi\\notin T\\) .

(4) \\(\\Rightarrow\\) (1) : \u200b\u53cd\u8bc1\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(T\\) \u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u7ed3\u5408\u200b \\(T\\) \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\varphi\\notin T\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\neg \\varphi\\notin T\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(T\\not\\models \\varphi\\) \u200b\u4e14\u200b \\(T \\not\\models \\neg \\varphi\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\ \\neg\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{B}}{|\\!\\!\\!\\neq} \\neg\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi\\) .

\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(\\mathfrak{A} \\not\\equiv \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_5","title":"\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A},\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u53ea\u8981\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b (model complete) \u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#dense-linear-orderings","title":"\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b (Dense Linear Orderings)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_6","title":"\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u7814\u7a76","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u56de\u987e\u200b \u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u4e49\u200b(Basic Semantics) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u63d0\u5230\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\uff08\u200b\u4e25\u683c\u200b\uff09\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7b80\u8981\u200b\u63d0\u4e86\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\theta_{\\mathrm{DLO}} \\iff \\mathfrak{A} \\text{ \u200b\u662f\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\uff08\u200b\u4e25\u683c\u200b\uff09\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b}. \\]

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u5199\u200b\u4e25\u683c\u200b\uff0c\u200b\u6211\u200b\u5199\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u76ee\u7684\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u57fa\u4e8e\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u7528\u200b\u5f3a\u8c03\u200b.

\u200b\u4ece\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{DLO}}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u751f\u6210\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T_{\\mathrm{DLO}}\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5168\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(T_{\\mathrm{DLO}}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f88\u200b\u660e\u663e\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5e38\u89c1\u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\theta_{\\mathrm{least}} := \\exists x\\forall y \\neg y < x \\\\ & \\theta_{\\mathrm{greatest}} := \\exists x\\forall y \\neg x < y \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u503c\u200b\u548c\u200b\u6700\u5927\u503c\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u6216\u8005\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5426\u5b9a\u200b\u5728\u200b \\(T_\\mathrm{DLO}\\) \u200b\u4e2d\u200b.

\u200b\u8fd9\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\\((\\mathbb{Q},<_\\mathbb{Q})\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u6700\u503c\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(((0,1],<_{(0,1]})\\) \u200b\u6ca1\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u503c\u200b\u800c\u200b\u6709\u200b\u6700\u5927\u503c\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u200b\u5173\u6ce8\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b (What is the motivation?)\uff1f\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u662f\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u786e\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\((\\mathbb{Q},<_\\mathbb{Q})\\equiv (\\mathbb{R},<_\\mathbb{R})\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#cantor","title":"Cantor \u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\theta_{[\\mathrm{DLO}]}:=\\theta_{\\text {DLO }} \\wedge \\theta_{\\text {least }} \\wedge \\theta_{\\text {greatest }} ; \\quad &T_{[\\mathrm{DLO}]}=\\operatorname{Th}\\left(\\theta_{[\\mathrm{DLO}]}\\right) \\\\ &\\theta_{[\\mathrm{DLO})}:=\\theta_{\\text {DLO }} \\wedge \\theta_{\\text {least }} \\wedge \\neg \\theta_{\\text {greatest }} ; \\quad &T_{[\\mathrm{DLO})}=\\operatorname{Th} \\left(\\theta_{[\\mathrm{DLO})}\\right) \\\\ &\\theta_{(\\mathrm{DLO}]}:=\\theta_{\\mathrm{DLO}} \\wedge \\neg \\theta_{\\text {least }} \\wedge \\theta_{\\text {greatest }} ; \\quad & T_{(\\mathrm{DLO}]}=\\operatorname{Th}\\left(\\theta_{(\\mathrm{DLO}]}\\right) \\\\ &\\theta_{(\\mathrm{DLO})} := \\theta_{\\mathrm{DLO}}\\land \\neg \\theta_{\\mathrm{least}} \\land \\neg \\theta_{\\mathrm{greatest}} ; & T_{(\\mathrm{DLO})} = \\mathrm{Th}(\\theta_{(\\mathrm{DLO})}) \\\\ \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u7684\u200b\u5f3a\u5316\u200b\uff0c\u200b\u6700\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5229\u7528\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5f15\u51fa\u200b Cantor \u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aCantor \u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5728\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T_{[\\mathrm{DLO}]},T_{[\\mathrm{DLO})},T_{(\\mathrm{DLO}]},T_{(\\mathrm{DLO})}\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6a21\u578b\u200b\u662f\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.5%20%E7%AE%97%E6%95%B0%20%28Arithmetic%29/","title":"\u7b97\u6570\u200b (Arithmetic)","text":"

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u662f\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u6807\u51c6\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff1a

\\[ \\Omega := (\\omega,<,+,\\times ,\\mathrm{Sc},0) \\]

\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6709\u200b \\(\\dot{<},\\dot{+},\\dot{\\times},\\dot{\\mathrm{S}},\\dot{0}\\) . \u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Omega)\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u590d\u6742\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6570\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7814\u7a76\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b83\u200b\uff0c\u200b\u5373\u4f7f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u90fd\u200b\u96be\u4ee5\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u771f\u4f2a\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u6570\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b Open Problem \u200b\u5c31\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u5b58\u5728\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u7d20\u6570\u200b \\(p\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(p,p+2\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u7d20\u6570\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{TP}}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u76ee\u524d\u200b\u552f\u4e00\u200b\u80fd\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4ef6\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{TP}}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg \\theta_{\\mathrm{TP}}\\) \u200b\u603b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Omega)\\) \u200b\u5b8c\u5168\u200b\u5e26\u6765\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.5%20%E7%AE%97%E6%95%B0%20%28Arithmetic%29/#peano-postulate","title":"Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b (Postulate)","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6682\u4e14\u200b\u4e0d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u590d\u6742\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u653e\u5bbd\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\mathrm{Th}((\\omega,\\mathrm{Sc},0))\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_{\\mathrm{Sc},0}\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(0\\) \u200b\u548c\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b.

Dedekind \u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u5c06\u200b\u903b\u8f91\u5b66\u200b\u57fa\u7840\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\uff0c\u200b\u63d0\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c06\u200b \\((\\omega,\\mathrm{Sc},0)\\) \u200b\u523b\u753b\u200b\u5230\u200b\u540c\u6784\u200b\uff1a

  1. \\(0\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u7684\u200b\u540e\u7ee7\u200b. (P1)
  2. \u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u5355\u5c04\u200b. (P2)
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X \\subseteq \\omega\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(0\\in X\\) \u200b\u4e14\u200b \\(X\\) \u200b\u5728\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(X = \\omega\\) . (P3)

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e09\u6761\u200b\u4e3a\u200b Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u524d\u200b\u4e24\u6761\u200b\u6362\u200b\u4e3a\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall x (\\neg 0 = \\dot{\\mathrm{S}} x)\\) . (S1)
  2. \\(\\forall x \\forall y (\\dot{\\mathrm{S}}x=\\dot{\\mathrm{S}}y\\to x=y)\\) . (S2)

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u6761\u200b\u5728\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\((\\omega,\\mathrm{Sc}_k,0)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathrm{Sc}_k(m)=m+k\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u9700\u200b\u7b2c\u4e09\u6761\u200b.

\u200b\u7b2c\u200b \\(3\\) \u200b\u6761\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u4e3a\u200b \\(L_{\\mathrm{Sc,0}}\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5982\u540c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8c\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(3\\) \u200b\u6761\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u5230\u200b\u4e86\u200b\u5bf9\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u4f5c\u7528\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u9648\u8ff0\u200b. \u200b\u6682\u4e14\u200b\u4e0d\u200b\u8003\u8651\u200b\u6b63\u5f0f\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b \\(p\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u5143\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(p\\) \u200b\u6307\u4ee3\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b. \u200b\u4ece\u800c\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b (S1) \uff0c(S2) \u200b\u548c\u200b (P3') \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\((A,\\mathrm{Sc}_A,0_A)\\) \u200b\u90fd\u200b\u548c\u200b \\((\\omega,\\mathrm{Sc},0)\\) .

\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: \\omega\\to A\\) \u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ \\eta(0) = 0_A \\text{ and } \\eta(\\mathrm{Sc}(n)) = \\mathrm{Sc}_A(\\eta(n)). \\]

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u5355\u200b\u540c\u6001\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta(n) = \\eta(m)\\) \uff0c\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u53ea\u6709\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\eta(\\mathrm{Sc}(n')) = \\eta(\\mathrm{Sc}(m'))\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ \\mathrm{Sc}_A(\\eta(n')) = \\mathrm{Sc}_A(\\eta(m')) \\]

\u200b\u7531\u200b \\(\\mathfrak{A} = (A,\\mathrm{Sc}_A,0_A)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\eta(n') = \\eta(m')\\) \uff0c\u200b\u4ece\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7684\u200b\u89d2\u5ea6\u770b\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c06\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5f80\u56de\u200b\u63a8\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u9012\u63a8\u200b\u53ef\u5f97\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b.

\u200b\u518d\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u662f\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(B = \\left\\lbrace \\eta(n): n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(0_A\\in B\\) \u200b\u4e14\u200b \\(B\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathrm{Sc}_A\\) \u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b (P3') \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(B=A\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.5%20%E7%AE%97%E6%95%B0%20%28Arithmetic%29/#_1","title":"\u8303\u7574","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8303\u7574\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff1a

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b (categorical)
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u57fa\u6570\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\)\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\kappa\\)-\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b (\\(\\kappa\\)-categorical) .

\\(\\kappa\\) (kappa) \u200b\u8303\u7574\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b\u5982\u679c\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7b49\u4e8e\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u76f8\u4e92\u4e4b\u95f4\u200b\u540c\u6784\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b. Hinman \u200b\u4e00\u4e66\u4e2d\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\aleph_0\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6cbf\u7528\u200b\u5176\u200b\u8bb0\u53f7\u200b.

\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\) \u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff0c

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\u4e14\u200b\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e14\u200b \\(T\\) \u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(T\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b\uff0c\\(T\\) \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u8fd8\u662f\u200b \\(\\aleph_0\\) \u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.
  4. \u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L_=\\) \u200b\u7406\u8bba\u200b\u662f\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u57fa\u6570\u200b.
  5. \\(T_{\\mathrm{DLO}}\\) \u200b\u7684\u200b\u56db\u4e2a\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\aleph_0\\) \u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b.
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/","title":"\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7d27\u6027\u200b (Countable Compactness)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#cct","title":"\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7d27\u6027\u200b\u5b9a\u7406\u200b (CCT)","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7d27\u6027\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Countable Compactness Theorem, CCT)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\Gamma \\models \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma, \\Gamma_0 \\models \\psi\\) .

\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \u201c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma_0\\models \\psi\\)\u201d \u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b CCT \u200b\u5176\u5b9e\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4ef6\u200b\u4e8b\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\Gamma\\models^* \\psi \\iff \\Gamma \\models \\psi \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}^*(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)= \\mathrm{Th}^*(\\Gamma)\\) .

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\uff0c\u200b\u5148\u200b\u8865\u5145\u200b \\(L\\) \u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \uff0c\\(\\Gamma_0\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\Gamma\\models^* \\psi \\iff \\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma_0 \\models \\psi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\Gamma_0\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\Gamma_0\\models \\psi\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\Gamma_0\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#acct","title":"ACCT","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#acct_1","title":"ACCT \u200b\u4ecb\u7ecd","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aACCT (Alternative Countable Compactness Theorem)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\uff08\u200b\u4ece\u200b ACCT \u200b\u8bc1\u660e\u200b CCT\uff09\uff1a

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\Gamma\\models \\psi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b ACCT \u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#acct_2","title":"ACCT \u200b\u5e94\u7528","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b ACCT \u200b\u5e94\u7528\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#_1","title":"\u6a21\u578b\u200b\u95ee\u9898","text":"

\u200b\u4f8b\u200b\uff1aACCT \u200b\u5e94\u7528\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(|A|\\geqslant n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\(\\Gamma = \\Gamma_{\\mathrm{Gp}}\\cup \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\Gamma_{\\mathrm{Gp}}\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u200b\uff0c\\(\\varphi = \\forall x(x*x = e)\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\bigoplus_{i=1}^n \\mathbb{Z}_2 \\tag{1} \\]

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a - \\(\\oplus\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u76f4\u200b\u548c\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u53ea\u5b66\u8fc7\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b \u2160 \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b66\u5230\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u548c\u200b \\(H\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\\(G\\times H\\) \u200b\u5c31\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u76f4\u200b\u548c\u200b. \u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u76f4\u200b\u548c\u200b\u4f9d\u65e7\u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u6bcf\u4f4d\u200b\u4f9d\u6b21\u200b\u8ba1\u7b97\u200b. - \u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u4f4d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u8fdb\u5236\u200b\u6570\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8fdb\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\overline{1}+\\overline{1} = \\overline{0}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\overline{0}+\\overline{0}=\\overline{0}\\) \uff0c\\(x+x=e\\) \u200b\u662f\u200b\u6b63\u786e\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b (1) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u7b26\u5408\u200b\u9898\u610f\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b. \u200b\u7531\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u8c31\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#_2","title":"\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u95ee\u9898","text":"

\u200b\u4f8b\u200b\uff1aACCT \u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u6027\u8d28\u200b \"\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\" \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b&\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7c7b\u200b \\(\\mathcal{K} \\subseteq \\mathrm{Mod}_L(T)\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathcal{K}\\) \u200b\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\\(\\mathcal{K} = \\mathrm{Mod}_L(T\\cup \\Gamma)\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b.

\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff1a\\(\\left\\lbrace \\varphi: \\models \\varphi \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u7b80\u5355\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathcal{K}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u6216\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L_<\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7c7b\u200b \\((A,<_A)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(<_A\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b \\((X,\\leqslant)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b \\(A\\subseteq X\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\((X,\\leqslant)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b.

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\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5206\u652f\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \u200b\u975e\u6b63\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b (Informal Set Theory, IST)

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(\u200b\u9009\u200b\u81ea\u200b Kunen) \u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u9700\u8981\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5148\u524d\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u7684\u200b\u6570\u7406\u903b\u8f91\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u7814\u7a76\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u9700\u8981\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u200b.

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\u200b\u7b2c\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b Cantor \u200b\u7684\u200b\u6982\u62ec\u200b\u539f\u5219\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x\\in A : P(x) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bf4\u200b \\(P\\) \u200b\u662f\u200b\u201c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u201d\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u201c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u201d\u200b\u4f9d\u65e7\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u7cca\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u8bf4\u200b\u201c \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u5f00\u5fc3\u200b\u7684\u200b\u201d\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u53c8\u200b\u597d\u50cf\u200b\u8d85\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7406\u89e3\u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5982\u679c\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7cbe\u786e\u5316\u200b\u201c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u201d\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u8868\u8fbe\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b.

\u200b\u7b2c\u4e8c\u200b\uff0c\u200b\u5373\u4f7f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b ZFC \uff0c\u200b\u5982\u4f55\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4ece\u200b ZFC \u200b\u51fa\u53d1\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b CH \uff08\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff09\uff1f

\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u610f\u5473\u7740\u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u90fd\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u201c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x,y,z\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in y\\land y\\in z\\) \u201d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u8d77\u7801\u200b\u6bd4\u200b

\\[ \\exists x(\\exists y (\\exists z(x\\in y \\land y\\in z))) \\]

\u200b\u8981\u200b\u66f4\u597d\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#zf_1","title":"ZF \u200b\u516c\u7406","text":"

(\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53d6\u200b Kunen \u200b\u5b9a\u4e49\u200b) \u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u9010\u4e00\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b ZF \u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b 0~9 \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6bcf\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u7406\u89e3\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u516c\u7406\u200b\u4e3a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e26\u6765\u200b\u4e86\u200b\u4ec0\u4e48\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_4","title":"\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u3001\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\u3001\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b ZF \u200b\u516c\u7406\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\uff1a

\u200b\u516c\u7406\u200b 0 \uff1a \u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b

\\[ \\exists x (x=x) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u662f\u975e\u200b\u7a7a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u516c\u7406\u200b 1 \uff1a \u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b

\\[ \\forall x\\forall y (\\forall z(z\\in x \\leftrightarrow z\\in y)\\to x=y). \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u7531\u200b\u5b83\u200b\u5305\u542b\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5305\u542b\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5b8c\u5168\u76f8\u540c\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u516c\u7406\u200b 3 \uff1a \u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\uff08\u200b\u6982\u62ec\u200b\u516c\u7406\u200b\uff09 \u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi(u)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a \\(y = \\left\\lbrace u\\in x| \\varphi(u) \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\forall x\\exists y \\forall u (u\\in y \\leftrightarrow u\\in x\\land \\varphi(u)) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\u2014\u2014\u200b\u5b83\u200b\u6307\u4ee3\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89c4\u907f\u200b\u7f57\u7d20\u200b\u6096\u8bba\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u6709\u200b \\(Y\\) .

\u200b\u5728\u200b\u73b0\u6709\u200b\u7684\u200b\u4e09\u6761\u200b\u516c\u7406\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(\\varnothing\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b

\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(y\\) \uff1a $$ \\forall x(x\\not\\in y). $$

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b

\\[ \\neg \\exists z \\forall x (x\\in z) \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(z\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x\\in z : x\\notin x \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x: x\\notin x \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bbe\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b \\(a\\) \uff0c\u200b\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b \\(a\\in a\\) \u200b\u548c\u200b \\(a\\notin a\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b Russell \u200b\u6096\u8bba\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7c7b\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi(u)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace u\\mid\\varphi(u) \\right\\rbrace\\) \u200b\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u7c7b\u200b (class). \u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u771f\u7c7b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_5","title":"\u65e0\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u3001\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u3001\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406","text":"

\u200b\u516c\u7406\u200b 4 \uff1a \u200b\u65e0\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u516c\u7406\u200b

\\[ \\forall x\\forall y \\exists z(x\\in z\\land y\\in z). \\]

\u200b\u5373\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u96c6\u5408\u200b\u540c\u65f6\u200b\u5305\u542b\u200b \\(x,y\\) .

\u200b\u516c\u7406\u200b 5 \uff1a \u200b\u5e76\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b

\\[ \\forall \\mathscr{F} \\exists A \\forall Y \\forall x (x\\in Y\\land Y \\in \\mathscr{F}\\to x\\in A). \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u523b\u753b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(Y\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u505a\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u200b\u523b\u753b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u7528\u200b\u6570\u5b66\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup \\mathscr{F} = \\left\\lbrace x : \\exists Y \\in \\mathscr{F} (x\\in Y) \\right\\rbrace ; \\]

\u200b\u516c\u7406\u200b 6 \uff1a \u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u4ee5\u200b \\(Y\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e3a\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff1a

\\[ \\forall x\\in A \\exists !y \\varphi(x,y) \\to \\exists Y \\forall x\\in A \\exists y \\in Y \\varphi(x,y). \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi(x,y)\\) \u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7c7b\u200b \\(F\\) \uff0c\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u200b\u53cd\u6620\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\uff1a\u200b\u82e5\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(F\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8c61\u200b \\(F(A)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#cartesian","title":"\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u548c\u200b Cartesian \u200b\u79ef","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b

\\[ \\left\\langle x,y \\right\\rangle = \\left\\lbrace \\left\\lbrace x \\right\\rbrace \\left\\lbrace x,y \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u5199\u51fa\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8868\u8fbe\u200b \\(z=\\left\\langle x,y \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u53ea\u200b\u4f7f\u7528\u200b \\(\\in\\) \u200b\u548c\u200b \\(=\\) .

\\(z= \\left\\langle x,y \\right\\rangle\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b \\(z = \\left\\lbrace u,v \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(u=\\left\\lbrace x \\right\\rbrace, v = \\left\\lbrace x,y \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5148\u200b\u5199\u51fa\u200b \\(z=\\left\\lbrace u,v \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\varphi_1 = \\forall t (t\\in z\\leftrightarrow (t=u)\\lor (t=v)) \\]

\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(z\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u662f\u200b \\(u,v\\) .

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5199\u200b\u6e05\u695a\u200b \\(u=\\left\\lbrace x \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\varphi_2 = \\forall t (t\\in u \\leftrightarrow t=x) \\]

\u200b\u6700\u540e\u200b\u8868\u8fbe\u200b \\(v=\\left\\lbrace x,y \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\varphi_3 = \\forall t (t\\in v\\leftrightarrow (t=x)\\lor (t=y)) \\]

\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a

\\[ \\exists u\\exists y (\\varphi_1\\land \\varphi_2 \\land \\varphi_3) \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aCartesian \u200b\u79ef\u200b

\\[ A\\times B = \\left\\lbrace \\left\\langle x,y \\right\\rangle : x\\in A \\land x\\in B \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5e26\u6765\u200b\u7684\u200b\u9ebb\u70e6\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b83\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u3002

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b Cartesian \u200b\u79ef\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a \u200b\u9996\u5148\u200b\u8003\u8651\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(y\\in B\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(A\\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a \u200b\u4ece\u200b \\(y\\) \u200b\u51fa\u53d1\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b \\(z=\\left\\lbrace y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ y\\in z \\land \\neg(x\\in z \\land \\neg(x=y)) \\]

\u200b\u7136\u540e\u200b \\(A\\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace = \\left\\lbrace \\left\\langle a_1,y \\right\\rangle,\\cdots \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(a \\in A\\) \u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\left\\lbrace a \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\left\\lbrace \\left\\lbrace a \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\u6839\u636e\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace a,y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ \\left\\lbrace \\left\\lbrace a \\right\\rbrace , \\left\\lbrace a,y\\right\\rbrace\\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(A\\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b. \uff08\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{prod}(A,y)\\)\uff09.

\u200b\u518d\u200b\u5229\u7528\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ \\left\\lbrace A \\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace : y\\in B \\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\u5229\u7528\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ A\\times B = \\bigcup \\left\\lbrace A \\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace : y\\in B\\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_6","title":"\u5173\u7cfb\u200b\u4e0e\u200b\u51fd\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_7","title":"\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff1a

\\[ \\mathrm{dom} (R) = \\left\\lbrace x: \\exists y ( \\left\\langle x,y \\right\\rangle) \\in R\\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ee5\u53ca\u200b

\\[ \\mathrm{ran} (R) = \\left\\lbrace y: \\exists x ( \\left\\langle x,y \\right\\rangle) \\in R\\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ece\u200b\u5b9e\u9645\u610f\u4e49\u200b\u4e0a\u200b\u6765\u770b\u200b\uff0c\\(\\mathrm{dom}(R)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5728\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5219\u200b\u521a\u597d\u200b\u76f8\u53cd\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(R \\subset \\mathrm{dom}(R)\\times \\mathrm{ran}(R)\\) . \u200b\u9006\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b

\\[ R^{-1} = \\left\\lbrace \\left\\langle x,y \\right\\rangle : \\left\\langle y,x \\right\\rangle\\in R \\right\\rbrace \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_8","title":"\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7279\u6b8a\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ \\forall x\\in \\mathrm{dom}(f)\\exists ! y \\in \\mathrm{ran}(f)(\\left\\langle x,y \\right\\rangle\\in f). $$

\u200b\u5728\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\\(\\mathrm{dom}(f)\\) \u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e0d\u597d\u200b\u7ed9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u786e\u5207\u200b\u7684\u200b\u540d\u5b57\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u51fd\u6570\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u5b66\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u8054\u7cfb\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\\(\\mathrm{dom}(f)\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b (domain)\uff0c\\(\\mathrm{ran}(f)\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c31\u662f\u200b\u503c\u57df\u200b (range).

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_9","title":"\u5168\u5e8f\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u826f\u5e8f\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_10","title":"\u5168\u5e8f\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b

\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\uff1a\\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(R\\) \u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5168\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall x,y,z \\in A (x R y \\land y R z \\to x R z)\\) \uff08transitive, \u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff09
  2. \\(\\forall x,y \\in A (x=y\\lor x R y \\lor yRx)\\)\uff08trichotomy, \u200b\u4e09\u5206\u200b\u6027\u200b\uff09
  3. \\(\\forall x \\in A (\\neg (x Rx))\\) \uff08irreflexive, \u200b\u975e\u81ea\u200b\u53cd\u6027\u200b\uff09

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b \\(x R y\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\left\\langle x,y \\right\\rangle \\in R\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u5168\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(B \\subset A\\) \uff0c\\(\\left\\langle B,R \\right\\rangle\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5168\u5e8f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_11","title":"\u826f\u5e8f\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b

\\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(R\\)-\u200b\u6700\u5c0f\u200b \u200b\u5143\u7d20\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_12","title":"\u5168\u5e8f\u200b\u3001\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A,B\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(R,S\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle B,S \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(f: A\\to B\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u4e14\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ \\forall x,y \\in A (x R y \\leftrightarrow f(x)S f(y)) $$ \\(f\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b

\\[ \\mathrm{pred}(A,x,R) = \\left\\lbrace y\\in A: yRx \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bb0\u53f7\u200b\u901a\u5e38\u200b\u7528\u4e8e\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b. \u200b\u5b83\u200b\u8868\u793a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u201c\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u201d \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b. \u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u524d\u6bb5\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u540c\u6784\u200b\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u524d\u6bb5\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\not\\cong \\left\\langle \\mathrm{pred}(A,x,R),R \\right\\rangle\\) .

\u200b\u5229\u7528\u200b\u53cd\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5047\u5982\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ \\forall x\\forall y ((x\\in A)\\land (y\\in A)\\land xR y \\leftrightarrow f(x)Rf(y)) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5229\u7528\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ S = \\left\\lbrace a\\in A : f(a) \\neq a \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(S\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(S\\) \u200b\u6709\u200b \\(R\\) \u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(\\alpha\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(xR \\alpha\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(x)=x\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f(\\alpha) \\neq \\alpha\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\alpha R f(\\alpha)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(f(\\beta)= \\alpha\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\beta\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha R \\beta\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\alpha R f(\\alpha)\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(f(\\beta)R f(\\alpha)\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01 \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle, \\left\\langle B,S \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6070\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle B,S \\right\\rangle\\) \uff1b
  2. \\(\\exists y\\in B (\\left\\langle A,R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle \\mathrm{pred}(B,y,S),S \\right\\rangle)\\) \uff1b
  3. \\(\\exists x\\in A (\\left\\langle \\mathrm{pred}(A,x,R) , R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle B,S \\right\\rangle)\\) .

Remark.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u5f88\u200b\u91cd\u8981\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u8868\u660e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u7684\u200b. \u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\u540c\u6784\u200b\u4e8e\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u524d\u6bb5\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_13","title":"\u9009\u62e9\u200b\u516c\u7406","text":"

\u200b\u516c\u7406\u200b 9 \uff1a \u200b\u9009\u62e9\u200b\u516c\u7406\u200b (Choice)

\\[ \\forall A \\exists R (R \\text{ well-orders } A) \\]

\u200b\u5728\u200b Kunen \u200b\u7684\u200b\u4e66\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u9009\u62e9\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u591a\u6570\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e66\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u5b9a\u7406\u200b. \u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u4e24\u8005\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/","title":"ZF\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b II \u2014\u2014 \u200b\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406\u200b\u3001\u200b\u5e8f\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#ordinals","title":"\u5e8f\u6570\u200b (Ordinals)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_1","title":"\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b (transitive)

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ 0,\\left\\lbrace 0\\right\\rbrace, \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0\\right\\rbrace \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(x = \\left\\lbrace x \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u5e38\u200b\u53e4\u602a\u200b\u7684\u200b\u7814\u7a76\u200b\u5bf9\u8c61\u200b. \u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b\u6b63\u5219\u200b\u516c\u7406\u200b\u6709\u5173\u200b\uff08\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4f1a\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff09.

\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f20\u9012\u200b\u6765\u6e90\u4e8e\u200b \\(\\in\\) \u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\forall y (y\\in x\\to y \\subset x) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b

\\[ \\forall u\\forall v (u\\in v\\in x\\to u\\in x) \\]

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e8f\u6570\u200b

\\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u4e14\u200b\u5728\u200b \\(\\in\\) \u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u826f\u5e8f\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c

\\[ \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\left\\lbrace \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b \\(0\\in \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\in \\left\\lbrace \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(0\\notin \\left\\lbrace \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_2","title":"\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b (Kunen)

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(y\\in x\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(y\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(y=\\mathrm{pred}(x,y)\\) .
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x,y\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(x\\cong y\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x=y\\) .
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x,y\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e09\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e4b\u4e00\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a\\(x=y,x\\in y, y\\in x\\) .
  4. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x,y\\) \u200b\u548c\u200b \\(z\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\\(x\\in y\\) \u200b\u4e14\u200b \\(y\\in z\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x\\in z\\) .
  5. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(C\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ec5\u200b\u5305\u542b\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\exists x\\in C \\forall y\\in C (x\\in y \\lor x=y)\\) .

(1) \u200b\u5148\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b \\(y\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\in_y\\) \u200b\u5c06\u200b \\(y\\) \u200b\u826f\u5e8f\u200b.

\u200b\u5148\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b \\(y\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\uff0c\\(\\forall u\\forall v\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(u\\in v\\in y\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(v\\in y\\in x\\) \u200b\u53ca\u200b \\(x\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(v\\in x\\) \uff0c\u200b\u518d\u200b\u7531\u200b \\(u\\in v\\in x\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(u\\in x\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(u,v,y\\in x\\) . \u200b\u7531\u200b \\(\\in_x\\) \u200b\u662f\u200b \\(x\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5168\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(u\\in v\\in y\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(u\\in y\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(y\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b.

\u200b\u518d\u8bc1\u200b \\(\\in_y\\) \u200b\u5c06\u200b \\(y\\) \u200b\u826f\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(y\\in x\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(x\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(y\\subset x\\) \uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(\\in_y\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\in_x\\) \u200b\u5728\u200b \\(y\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u4fdd\u6301\u200b.

(4) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff0c\u200b\u663e\u7136\u200b.

\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b (Jech)

  1. \\(0=\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(\\beta \\in \\alpha\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha \\neq \\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha \\subset \\beta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha\\in \\beta\\) .
  4. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8981\u4e48\u200b \\(\\alpha \\subset \\beta\\) \uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b \\(\\beta \\subset \\alpha\\).

(4) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u53cd\u8bc1\u200b \u200b\u4ee4\u200b \\(\\gamma = \\alpha\\cap \\beta\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\alpha \\subset \\beta\\) \u200b\u6216\u8005\u200b \\(\\beta \\subset \\alpha\\) \uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b

\\[ \\gamma \\neq \\alpha, \\gamma \\neq \\beta \\]

\u200b\u53c8\u200b \\(\\gamma \\subset \\alpha\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\gamma \\subset \\beta\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b\u6839\u636e\u200b (3) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b

\\[ \\gamma\\in \\alpha, \\gamma \\in \\beta \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\gamma \\in \\gamma\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\in\\) \u200b\u4e3a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6240\u6709\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u662f\u200b\u771f\u7c7b\u200b

\\[ \\neg \\exists z\\forall x (x\\text{ is an ordinal }\\to x\\in z) \\]

\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6240\u6709\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(ON\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b Jech \u200b\u5e8f\u6570\u200b\u6027\u8d28\u200b (2) \uff0c\\(ON\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(ON \\in ON\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\in\\) \u200b\u662f\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_3","title":"\u5e8f\u6570\u200b\u548c\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(C\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b $$ \\left\\langle A,R \\right\\rangle\\cong C. $$

\u200b\u9996\u5148\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u5fc5\u200b\u76f8\u7b49\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ B = \\left\\lbrace a\\in A : \\exists x \\text{ \u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4f7f\u5f97\u200b } \\left\\langle \\mathrm{pred}(A,a,R),R \\right\\rangle\\cong x \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6784\u9020\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(f(a)= x\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\(C = \\mathrm{ran}(f) \\subset ON\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(C\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b \\(C\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(C\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b. \u200b\u4e0d\u96be\u200b\u770b\u5230\u200b \\(f\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\left\\langle B,R \\right\\rangle\\) \u200b\u548c\u200b \\(C\\) \u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b. \u200b\u82e5\u200b \\(a\\in B\\) \uff0c\\(a'\\in A\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(a' R a\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(a' \\in B\\) .

\u200b\u5206\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff1a \u2780 \\(B=A\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u5f97\u8bc1\u200b.

\u2781 \\(B \\neq A\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u65f6\u200b \\(B\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u771f\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(A \\setminus B\\) \u200b\u7684\u200b \\(R\\) \u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(b\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(B = \\mathrm{pred}(A,b,R)\\) \uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u7531\u200b \\(\\left\\langle B,R \\right\\rangle \\cong C\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(b\\in B\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01 \\(\\square\\)

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(C = \\mathrm{type}(\\left\\langle A,R \\right\\rangle)\\) . \u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u5176\u4e3a\u200b\u5e8f\u578b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u7279\u6b8a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u505a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\uff1a

\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b

  1. \u200b\u7528\u200b\u5e0c\u814a\u5b57\u6bcd\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\alpha,\\beta,\\gamma\\) .
  2. \u200b\u7528\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u6765\u200b\u4ee3\u66ff\u200b \\(\\alpha \\in \\beta\\) .
  3. \u200b\u7528\u200b \\(\\alpha \\leqslant \\beta\\) \u200b\u4ee3\u66ff\u200b \\(\\alpha\\in \\beta\\lor \\alpha = \\beta\\) .
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_4","title":"\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u786e\u200b\u754c\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(X\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ \\mathrm{sup}(X) = \\bigcup X $$ \u200b\u5982\u679c\u200b \\(X\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\min (X) = \\bigcap X. $$

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_5","title":"\u540e\u7ee7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u540e\u7ee7\u200b

\\[ S(\\alpha) = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha \\right\\rbrace. \\]

\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u683c\u200b\u5c55\u793a\u200b\u4e86\u200b\u9012\u63a8\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{cccc} 0 & S(0) & S(S(0)) & S(S(S(0))) \\\\ \\hline 0 & \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace & \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace & \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace, \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\end{array} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u7684\u200b\u89d2\u5ea6\u200b\u6765\u770b\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e0d\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5417\u200b\uff1f\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\uff08\u200b\u901a\u4fd7\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff09

\\[ 1=S(0),2=S(1),3=S(2),\\cdots \\]

\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ 1= \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace,2 = \\left\\lbrace 0,1 \\right\\rbrace, 3 = \\left\\lbrace 0,1,2 \\right\\rbrace \\cdots \\]

\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u8fd8\u200b\u53ea\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u901a\u4fd7\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u9700\u8981\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6982\u5ff5\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b (successor)\u3001\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b (limit ordinal)

\\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\exists \\beta (\\alpha = S(\\beta))\\) .

\\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\neq 0\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b

\\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b $$ \\forall \\beta \\leqslant \\alpha( \\beta =0 \\lor \\beta \\text{ \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b}) $$

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_6","title":"\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406\u200b\u3001\u200b\u81ea\u7136\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_7","title":"\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406","text":"

\u200b\u516c\u7406\u200b 7 \uff1a \u200b\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406\u200b

\\[ \\exists x (0 \\in x\\land \\forall y \\in x(S(y)\\in x)) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(x\\) \uff1a\u200b\u82e5\u200b \\(0\\in x\\) \u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(y\\in x\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u5176\u200b\u540e\u7ee7\u200b \\(S(y)\\in x\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u96c6\u200b (induction set).

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u662f\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u96c6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_8","title":"\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b

\\(\\omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b.

\\(\\omega\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b.

Peano \u200b\u516c\u7406\u200b

Peano \u200b\u516c\u7406\u200b\u5df2\u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u7b97\u6570\u200b\u90e8\u5206\u200b\u63d0\u200b\u8fc7\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u7565\u8fc7\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u52a0\u6cd5\u200b

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff1a $$ \\alpha+\\beta = \\mathrm{type}(\\alpha\\times \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\cup \\beta \\times \\left\\lbrace 1 \\right\\rbrace,R) $$ \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u770b\u7740\u200b\u6709\u70b9\u200b\u8ba9\u200b\u4eba\u200b\u6478\u4e0d\u7740\u5934\u8111\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7a0d\u5fae\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u3002

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0cKunen \u200b\u6559\u6750\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5c06\u200b \\(2\\) \u200b\u4e2a\u200b\u82f9\u679c\u200b\u548c\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9999\u8549\u200b\u653e\u5728\u200b\u4e00\u8d77\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(5\\) \u200b\u4e2a\u200b\u6c34\u679c\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u901a\u4fd7\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u533a\u5206\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u79cd\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6570\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u662f\u200b\u8fd9\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff1f\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5bf9\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u662f\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5bf9\u200b \\(1\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b \\(\\alpha+\\beta\\) \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6838\u5fc3\u200b\u5c31\u662f\u200b\u201c\u200b\u600e\u4e48\u200b\u6570\u200b\u201d\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\\(2+3\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u5148\u6570\u200b \\(2\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u518d\u6570\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\\(\\alpha+\\beta\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u5148\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u518d\u6570\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\langle 0,0 \\right\\rangle < \\left\\langle 1,0 \\right\\rangle < \\cdots < \\left\\langle 0,1 \\right\\rangle < \\left\\langle 1,1 \\right\\rangle < \\cdots \\]

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\alpha, \\beta, \\gamma\\) \uff0c

  1. \\((\\alpha+\\beta)+\\gamma = \\alpha+(\\beta+\\gamma)\\) \uff1b
  2. \\(\\alpha+0 = \\alpha\\)\uff1b
  3. \\(\\alpha+1 = S(\\alpha)\\) \uff1b
  4. \\(\\alpha+S(\\beta) = S(\\alpha+\\beta)\\).
  5. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha+\\beta = \\sup\\left\\lbrace \\alpha+\\xi: \\xi< \\beta \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ea4\u6362\u5f8b\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} & 1+ \\omega = \\omega \\\\ & \\omega+1 = S (\\omega) \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u96be\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u901a\u8fc7\u200b\u56fe\u793a\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u672c\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u548c\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u578b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u6700\u200b\u91cd\u8981\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8981\u200b\u843d\u5230\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b.

\u200b\u4e0a\u56fe\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b \\(1+\\omega\\) \u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \\(1\\) \u200b\u653e\u5728\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5f00\u59cb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u5728\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u9519\u5f00\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u80fd\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u4f5c\u200b\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\omega+1\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u4e0a\u200b\u56fe\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u662f\u200b\u5728\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u7684\u200b\u540e\u9762\u200b\u52a0\u4e0a\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b83\u200b\u7406\u5e94\u200b\u4e0e\u200b \\(S(\\omega)\\) \u200b\u540c\u6784\u200b. \uff08\u200b\u6700\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u7684\u200b\u539f\u56e0\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u5728\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u6570\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff09.

\u200b\u4f60\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4f1a\u200b\u89c9\u5f97\u200b\uff1a\u200b\u540e\u8005\u200b\u96be\u9053\u200b\u4e0d\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5417\u200b\uff1f\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u96c6\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u548c\u200b\u57fa\u6570\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u672c\u8d28\u533a\u522b\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u5c31\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e58\u6cd5\u200b \\(\\alpha\\cdot \\beta\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u628a\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6570\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\alpha+ \\alpha+\\cdots+ \\alpha \\]

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u5171\u6709\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e2a\u200b \\(\\alpha\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e58\u6cd5\u200b

\\[ \\alpha\\cdot \\beta = \\mathrm{type}(\\beta\\times \\alpha, R) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(R\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\beta\\times \\alpha\\) \u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\\[ \\left\\langle \\xi,\\eta \\right\\rangle R \\left\\langle \\xi',\\eta' \\right\\rangle \\leftrightarrow (\\xi< \\xi' \\lor (\\xi = \\xi'\\land \\eta< \\eta')) \\]

\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u540c\u6837\u200b\u4e0d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ea4\u6362\u5f8b\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} & 2 \\cdot \\omega = \\omega \\\\ & \\omega\\cdot 2 = \\omega + \\omega \\end{aligned} \\]

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\alpha,\\beta,\\gamma\\) \uff1a

  1. \\(\\alpha\\cdot (\\beta\\cdot \\gamma) = (\\alpha\\cdot \\beta)\\cdot \\gamma\\) .
  2. \\(\\alpha\\cdot 0 = 0\\) ;
  3. \\(\\alpha\\cdot 1=1\\) ;
  4. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\\(\\alpha\\cdot \\beta= \\sup\\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\xi: \\xi< \\beta \\right\\rbrace\\) ;
  5. \\(\\alpha\\cdot(\\beta+\\gamma) = \\alpha\\cdot \\beta+ \\alpha\\cdot \\gamma\\) .

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u7684\u200b\u987a\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u200b\u65b9\u5411\u200b\u7684\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ (1+1)\\cdot \\omega = \\omega \\neq 1\\cdot \\omega+ 1\\cdot \\omega = \\omega+ \\omega \\]

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

$$ \\alpha+\\beta = \\omega\\cdot \\omega+1 $$ \u200b\u6709\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u7ec4\u200b \\((\\alpha,\\beta)\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e0a\u200b\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u8bd5\u7740\u200b\u5168\u90e8\u200b\u627e\u200b\u51fa\u6765\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u663e\u7136\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{cases} \\alpha = \\omega\\cdot \\omega, \\\\ \\beta = 1 \\end{cases}, \\begin{cases} \\alpha = \\omega\\cdot \\omega +1 , \\\\ \\beta = 0 \\end{cases} \\]

\u200b\u4e14\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u518d\u6709\u200b \\(\\omega\\cdot \\omega +1\\) \u200b\u7684\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u4e86\u200b. \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\omega\\cdot \\omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\omega\\cdot \\omega\\) \u200b\u53ca\u5176\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta = \\omega\\cdot \\omega\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\alpha+\\omega\\cdot \\omega =\\omega\\cdot \\omega\\) \uff0c\u200b\u4e0e\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e0d\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\alpha=\\beta\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\alpha+\\beta = \\omega\\cdot \\omega+\\omega\\cdot \\omega\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u4e0e\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e0d\u7b26\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta = \\omega\\cdot \\omega+1\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha < \\omega\\cdot \\omega\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\alpha+ \\beta = \\omega\\cdot \\omega+1\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6240\u6709\u200b \\(\\alpha < \\omega\\cdot \\omega, \\beta= \\omega\\cdot \\omega+1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5176\u89e3\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b $$ \\alpha+\\beta = \\beta+\\alpha $$ \u200b\u5219\u200b \\(\\alpha = 0\\) .

\u200b\u627e\u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha+\\beta = \\beta\\) \uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u7531\u200b

\\[ \\alpha+ \\beta = \\beta + \\alpha \\]

\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\beta = \\beta+\\alpha\\) \uff0c\u200b\u8fdb\u800c\u200b\u7531\u200b\u8ba1\u7b97\u673a\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b2c\u516d\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\alpha = 0\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u95ee\u9898\u200b\u6765\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5982\u4f55\u200b\u6784\u9020\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u6765\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(\\beta = \\omega\\cdot \\alpha\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_11","title":"\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_12","title":"\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b

  1. \\(A^n\\) \u200b\u662f\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u5230\u200b \\(A\\) \u200b\u6240\u6709\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.
  2. \\(A^{< \\omega} = \\bigcup \\left\\lbrace A^n: n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u5c3d\u7ba1\u200b \\(A^2\\) \u200b\u548c\u200b \\(A\\times A\\) \u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b\u4e1c\u897f\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\eta : A^2 \\to A\\times A, \\eta(f) = \\left\\langle f(0),f(1) \\right\\rangle \\end{aligned} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A^n\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u5230\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u8fd8\u200b\u80fd\u200b\u770b\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u957f\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u5217\u200b\uff1a

\\[ f(0),f(1),\\cdots,f(n-1) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5408\u7406\u6027\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5e42\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b trivial \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi(n,y)\\) \uff1a

\\[ \\forall s (s\\in y \\leftrightarrow s\\text{ \u200b\u662f\u4ece\u200b }n \\text{ \u200b\u5230\u200b } A\\text{ \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b}) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5728\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b \\(A^{n+1}\\) \u200b\u548c\u200b \\(A^n \\times A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\forall n \\in \\omega \\exists y \\varphi(n,y) \\]

\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u7531\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b \\(A^{< \\omega}\\) \u200b\u7528\u200b\u5e76\u200b\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(n\\) \uff0c\\(\\left\\langle x_0,\\cdots,x_{n-1} \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b \\(\\mathrm{dom}(s)=n\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s\\) \uff1a $$ s(0)=x_0,s(1)=x_1,\\cdots,s(n-1)=x_{n-1}. $$

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#concatenate","title":"\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u62fc\u63a5\u200b (concatenate)","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathrm{dom}(s)=\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u662f\u200b\u957f\u4e3a\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathrm{dom}(t)=\\beta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b \\(s\\) \u200b\u548c\u200b \\(t\\) \u200b\u62fc\u63a5\u200b\u5728\u200b\u4e00\u8d77\u200b\uff0c\u200b\u5f62\u6210\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s^\\frown t\\) \uff0c\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\alpha+\\beta\\) \uff0c\u200b\u66f4\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u62fc\u63a5\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(s\\) \u200b\u548c\u200b \\(t\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\mathrm{dom}(s)=\\alpha\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathrm{dom}(t)=\\beta\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(\\alpha+\\beta\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s^\\frown t\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

  1. \\((s^\\frown t)\\upharpoonright \\alpha = s\\) \uff1b
  2. \\((s^\\frown t)(\\alpha+\\xi) = t(\\xi),\\forall \\xi< \\beta\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u76f4\u63a5\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u591a\u4f5c\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b.

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\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5df2\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u8bf4\u660e\u200b. \u200b\u6211\u4eec\u200b\u81ea\u59cb\u81f3\u7ec8\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5730\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u6bb5\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e86\u200b\u5f88\u591a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5374\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4f5c\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u662f\u200b \\(=,\\in\\) \u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\u597d\u200b\u7684\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6846\u67b6\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u7ec6\u8bf4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4f5c\u200b\u8865\u5145\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(x \\subset y\\) \uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u7f29\u5199\u200b\uff1a

\\[ \\forall z (z\\in x \\to z\\in y) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace : \\cdots \\right\\rbrace\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u9700\u8981\u200b\u4f5c\u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b

\\[ \\left\\lbrace x: \\varphi(x,y_1,\\cdots,y_n) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(z\\) \uff1a

\\[ \\forall x (x\\in z \\leftrightarrow \\varphi(x,y_1,\\cdots,y_n)) \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.3%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20III%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E8%B6%85%E9%99%90%E5%BD%92%E7%BA%B3%E3%80%81%E8%B6%85%E9%99%90%E9%80%92%E5%BD%92/","title":"ZF\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b III \u2014\u2014 \u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3","text":"

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\\[ \\left\\lbrace x: \\varphi(x) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6709\u200b\u9664\u4e86\u200b \\(x\\) \u200b\u4ee5\u5916\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b.

\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u5bf9\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u7edf\u4e00\u200b\u91c7\u7528\u200b\u76f4\u7acb\u200b\u7684\u200b\u7c97\u4f53\u200b\u5b57\u6bcd\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbf{ABCD}\\) .

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\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5df2\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u548c\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u91cd\u65b0\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e00\u904d\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b

\\[\\begin{aligned}&\\mathbf{V} = \\left\\lbrace x: x=x \\right\\rbrace \\\\ & \\mathbf{ON}= \\left\\lbrace x: x\\text{ is an ordinal} \\right\\rbrace. \\end{aligned}\\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7c7b\u200b\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u66fe\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u7684\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b.

\u200b\u4e00\u822c\u800c\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u548c\u200b\u7c7b\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u533a\u522b\u200b\uff0c\u200b\u9664\u4e86\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u6709\u6240\u4e0d\u540c\u200b. \u200b\u5728\u200b\u7c7b\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6cbf\u7528\u200b\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\mathbf{ON}\\cap y = \\left\\lbrace x\\in y : x \\text{ is an ordinal} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u524d\u6bb5\u200b\u548c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u518d\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7c7b\u200b.

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\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b (Kunen)

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathbf{C}\\subset \\mathbf{ON}\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\mathbf{C}\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b.

\u200b\u5728\u200b Kunen \u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u548c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b 7.3(5) \u200b\u662f\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u800c\u662f\u200b\u7c7b\u200b. \u200b\u5229\u7528\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u5728\u200b \\(\\alpha\\cap \\mathbf{C}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6bd4\u8f83\u663e\u8457\u200b\u7684\u200b\u5dee\u522b\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b ZFC \u200b\u6846\u67b6\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u6765\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u5883\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u662f\u200b ZFC \u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u6765\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u800c\u662f\u200b\u5e94\u8be5\u200b\u7528\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\u6765\u200b\u8868\u8ff0\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(\\star\\) \u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b (Jech) 1

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff1a

  1. \\(0\\in \\mathbf{C}\\) \uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha+1\\in \\mathbf{C}\\) \uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b \\(0\\) \u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\beta< \\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\beta\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathbf{ON}\\) .

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha\\notin \\mathbf{C}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u662f\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u6839\u636e\u200b 2. \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\alpha\\notin \\mathbf{C}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5e8f\u6570\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\alpha\\notin \\mathbf{C}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\beta< \\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u90fd\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b 3. \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01\\(\\square\\)

\u200b\u770b\u8d77\u6765\u200b\u975e\u5e38\u7b80\u5355\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b\u4e86\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u7ed9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u542f\u793a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5229\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6269\u5c55\u200b\u5230\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e0a\u53bb\u200b. \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u66f4\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5bf9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(\\beta < \\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\varphi(\\beta)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi(\\alpha)\\) \uff0c

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi(\\alpha)\\) \u200b\u5bf9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.3%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20III%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E8%B6%85%E9%99%90%E5%BD%92%E7%BA%B3%E3%80%81%E8%B6%85%E9%99%90%E9%80%92%E5%BD%92/#_4","title":"\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u64cd\u4f5c","text":"

\u201c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u201d\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u8f83\u4e3a\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b Kunen \u200b\u7684\u200b\u4e66\u200b\u4e2d\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ (\\forall \\beta< \\alpha \\psi(\\beta)) \\to \\psi (\\alpha)\\tag{1.1} \\]

\u200b\u82e5\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\forall \\alpha \\psi(\\alpha)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u66f4\u4e3a\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u4e0e\u200b Kunen \u200b\u548c\u200b Jech \u200b\u7684\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff1f\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\psi(\\alpha)\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\neg \\psi(\\alpha)\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u5177\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(\\alpha\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u6bd4\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u5229\u7528\u200b (1.1) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\psi(\\alpha)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u66f4\u4e3a\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u5c31\u200b\u597d\u200b.

  1. \u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u8d85\u7a77\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.\u00a0\u21a9

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/1.%20NKU%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e00\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

Exercise 1.1.11

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b \\(\\phi = s_0s_1\\cdots s_k\\)\uff0c\\(\\phi\\) \u200b\u7684\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(l<k\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(s_0s_1\\cdots s_l\\)\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u7528\u200b\u5b83\u200b\u66ff\u6362\u200b\u5f15\u7406\u200b 1.1.5 \u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b (4) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5f15\u7406\u200b 1.1.5.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u4e3a\u200b \u201c\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u201d.

\uff08\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\uff09 \u200b\u5bf9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b57\u7b26\u200b\u548c\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u5b57\u7b26\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\)\uff09\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff1a (i) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53d6\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b \\(\\neg \\varphi_0\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b83\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi_0\\) \u200b\u81ea\u8eab\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u6784\u6210\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u8fdd\u53cd\u200b\u4e86\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b.

(ii) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\bullet \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u53d6\u5230\u200b\u7684\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u5f62\u200b\u5982\u200b \\(\\bullet \\varphi \\psi_0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\((\\varphi) \\bullet (\\psi_0)\\) \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u800c\u200b \\(\\psi_0\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b. \uff08\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6316\u5751\u200b\u4ee5\u540e\u200b\u586b\u200b\uff09

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\bullet \\varphi \\psi\\) \u200b\u5747\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b\u8be5\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u547d\u9898\u200b 1.1.5\uff1a

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\theta = \\bullet \\varphi \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u552f\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(\\bullet \\varphi'\\psi '\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varphi',\\psi'\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\varphi'\\) \u200b\u7684\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u5927\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u200b\u4e60\u9898\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01\u200b\u82e5\u200b \\(\\varphi'\\) \u200b\u957f\u5ea6\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi'\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\varphi' = \\varphi\\) . \\(\\square\\)

Exercise 1.3.19

\u200b\u4ee4\u200b \\(|\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5177\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff1a $$ V(\\phi \\mid \\psi) = \\begin{cases} \\mathrm{T},\\text{if }V(\\phi) = \\mathrm{F} \\text{ or } V(\\psi) = \\mathrm{F} \\ \\mathrm{F},\\text{Otherwise.}\\end{cases} $$

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u79f0\u4e3a\u200b nand \uff08\u200b\u4e0e\u975e\u200b\uff09\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(\\left\\lbrace | \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e3a\u200b \\(p,q\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg , \\lor \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u8868\u793a\u200b\u51fa\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ \\neg p = p\\mid p \\] \\[ p\\lor q = ((\\neg p)\\mid (\\neg q)) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\left\\lbrace \\mid \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

Exercise 1.3.21

\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg, \\leftrightarrow \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e3a\u200b \\(p_0,p_1,\\cdots p_n\\) \u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(V(\\psi)\\) \u200b\u5728\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{T}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6570\u4e3a\u200b\u5076\u6570\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg, \\leftrightarrow \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace p_0,p_1,\\cdots,p_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u5747\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u57fa\u672c\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u60c5\u5f62\u200b \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{ccccc} p_0 & p_1 & \\neg p_0 & \\neg p_1 & p_0 \\leftrightarrow p_1 \\\\ \\hline \\mathrm{T} & \\mathrm{T} &\\mathrm{F}& \\mathrm{F} & \\mathrm{T}\\\\ \\mathrm{T} & \\mathrm{F} &\\mathrm{F}& \\mathrm{T} & \\mathrm{F} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{T} &\\mathrm{T}& \\mathrm{F} & \\mathrm{F} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{F} &\\mathrm{T}& \\mathrm{T} & \\mathrm{T} \\end{array} \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a (1) \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg\\psi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6539\u53d8\u200b\u771f\u503c\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u7684\u200b\u5947\u5076\u6027\u200b\uff1b (2) \\(\\varphi\\leftrightarrow \\psi\\) \u200b\u540c\u6837\u200b\u4e0d\u200b\u6539\u53d8\u200b\u5947\u5076\u6027\u200b\uff1b \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5747\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u6545\u53ef\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg, \\leftrightarrow \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace p_0,p_1,\\cdots,p_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5747\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) .

\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(p_0 \\land p_1\\) \u200b\u4e0d\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5728\u200b\u56db\u79cd\u200b\u771f\u503c\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5171\u6709\u200b 3 \u200b\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{F}\\) \uff0c1 \u200b\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{T}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u6027\u8bc1\u200b\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/2.%20NKU%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

\u200b\u9898\u200b1

\u200b\u79f0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u6070\u597d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u76f8\u540c\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff1b\u200b\u79f0\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u6ca1\u6709\u200b \\(\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) . \uff08\\(\\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5dee\u96c6\u200b\uff09

(i) \u200b\u63d0\u4f9b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff08\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff09\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\uff1b

(ii) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u6240\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e2\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u53c8\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1b

(iii) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5b83\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u65e2\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u53c8\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

(i) \u200b\u8bbe\u5355\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\sim\\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\) \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(\\varnothing\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\varphi\\) \u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b.

(ii) \u200b\u5982\u679c\u200b\u5176\u200b\u672c\u8eab\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b83\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u5c31\u200b\u7b26\u5408\u200b\u9898\u610f\u200b.

\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi_1\\in \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1 \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\varphi_1\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53d6\u5176\u200b\u5b50\u96c6\u200b

\\[ \\Gamma_1 = \\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(\\Gamma_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u4e86\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b\u8fd8\u200b\u4e0d\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi_2\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\Gamma_2\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1 \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\varphi_2\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b

\\[ \\Gamma_2 = \\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1,\\varphi_2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u603b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma_n = \\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1,\\varphi_2,\\cdots,\\varphi_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma_n = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u200b (i) \uff0c\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5168\u4e3a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Gamma_n\\) \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma_n\\) \u200b\u975e\u7a7a\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u662f\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(\\Gamma_n\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u7b26\u5408\u200b\u9898\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

(iii) \u200b\u8003\u8651\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ S = \\left\\lbrace \\varphi_1,\\varphi_1 \\land \\varphi_2,\\varphi_1\\land \\varphi_2 \\land \\varphi_3,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varphi_k\\) \u200b\u5747\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6c38\u200b\u771f\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5355\u53e5\u200b\u96c6\u5747\u200b\u4e0d\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b.

\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\psi_1 = \\bigwedge_{i=1}^m \\varphi_i , \\psi_2 = \\bigwedge_{j=1}^n \\varphi_j \\]

\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u4ee4\u200b \\(m<n\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(V(\\psi_2)=\\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(V(\\psi_1)=\\mathrm{T}\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6ca1\u6709\u200b \\(\\Gamma-\\left\\lbrace \\psi_1 \\right\\rbrace\\mid\\!\\equiv \\psi_1\\) .

\u200b\u6839\u636e\u200b\u9009\u53d6\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\uff0c\\(S\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u9898\u200b2

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

  1. \u200b\u76f8\u5bb9\u200b
  2. \u200b\u5b8c\u5168\u200b
  3. \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b (is a theory)

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u54ea\u200b\u4e00\u5bf9\u200b\u6027\u8d28\u200b\u80fd\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1f

\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u548c\u200b\u7406\u8bba\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u76f8\u5bb9\u200b.

\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b Hinman \u200b\u547d\u9898\u200b 1.4.17 \uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u5185\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u663e\u7136\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\uff082024/3/22 \u200b\u4fee\u6b63\u200b\uff09 \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u548c\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(T\\) \u200b\u548c\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(T \\mid\\!\\equiv \\varphi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5b8c\u5168\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u662f\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(V\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(V(\\neg \\varphi) = V(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/3.%20NKU%E7%AC%AC%E4%B8%89%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e09\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

\u200b\u9898\u200b1

\u200b\u4ee4\u200b \\(L\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u8c31\u200b (spectrum) \uff1a \u200b\u5373\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\uff08\u200b\u96c6\u200b\uff09\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi) = \\left\\lbrace |A|: A\\models \\varphi, A \\text{ is finite} \\right\\rbrace\\).

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a\u200b\u4ee4\u200b \\(L\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L_=\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\exists x(x=x))=\\omega\\backslash \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace\\) \uff0c\\(\\mathrm{Sp}(\\exists^{\\geqslant 4}) = \\left\\lbrace n\\in \\omega | n \\geqslant 4 \\right\\rbrace\\) \uff0c\\(\\mathrm{Sp}(\\exists^{=4}) = \\left\\lbrace 4 \\right\\rbrace\\).

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\mathrm{Rs}_L = \\mathrm{Cs}_L = \\varnothing\\) \uff0c\\(\\mathrm{Fs}_L = \\left\\lbrace f \\right\\rbrace,\\nu_L(f)=1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\varphi = \\forall x (f(f(x)) = x)\\land (\\neg f(x) = x) $$ \u200b\u6c42\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi)\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b

\\[ f(x)\\ne x, f(f(x)) = x \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(y = f(x)\\) \uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(f(y)\\ne y\\) \u200b\u4e14\u200b \\(f(f(y)) = y\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(x\\ne y\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u5747\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(y = f(x)\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u6210\u200b\u5bf9\u200b\u51fa\u73b0\u200b.

\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u603b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b \\(A\\) \uff1a

\\[ A = \\left\\lbrace x_1,x_2,\\cdots,x_n ,y_1,\\cdots,y_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(y_i = f(x_i)\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(|A| = 2n\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5076\u6570\u200b\u5747\u200b\u5728\u200b\u8c31\u200b\u4e2d\u200b. \u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi) = \\left\\lbrace 2n: n\\in \\omega \\backslash \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u9009\u505a\u9898\u200b

\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u548c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Sp}(\\varphi) = \\left\\lbrace k^2|k=1,2,\\cdots \\right\\rbrace $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u7684\u200b signature \u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ (<,\\cdot,+,1) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(<\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\\(+,\\cdot\\) \u200b\u5206\u522b\u200b\u4e3a\u200b\u4e09\u5143\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u4e09\u5143\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c \\(1\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e38\u91cf\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b\uff1a

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\psi\\) . \u200b\u9996\u5148\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b\u5e73\u65b9\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5176\u6b21\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(A\\) \uff0c\\(1\\in A\\) \uff0c\u200b\u82e5\u4ec5\u200b\u6709\u200b \\(1\\) \uff0c\\(|A|=1\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e73\u65b9\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u968f\u540e\u200b\u53ef\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff1a

\\[ A = \\left\\lbrace 1,2 ,\\cdots,n^2 \\right\\rbrace,n\\in \\mathbb{N} \\]

\u200b\u82e5\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u5e73\u65b9\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u548c\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(1<k< n^2\\) \u200b\u4e14\u200b \\(k\\notin A\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0e\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/4.%20NKU%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u56db\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

Lemma 2.3.28

\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u540c\u6001\u200b \\(\\eta :\\mathfrak{A}\\to \\mathfrak{B}\\) \uff0c

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b (respect) \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a (1) \u200b\u9996\u5148\u200b\u5229\u7528\u200b\u9879\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b \\(t\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ \\eta(t^\\mathfrak{A} [\\alpha]) = \\eta(\\alpha(x)) = \\alpha^\\eta (x) = t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta]. \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(t\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e38\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = \\eta(c^\\mathfrak{A}) = c^\\mathfrak{B} = t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta]. \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(t\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u503c\u200b \\(ft_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff0c

\\[ \\begin{aligned} \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) &= \\eta(f^\\mathfrak{A}(t^\\mathfrak{A}_0 [\\alpha],\\cdots,t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(f)-1}[\\alpha])) \\\\ &=f^\\mathfrak{B}(\\eta(t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha]),\\cdots,\\eta(t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(f)-1}[\\alpha])) \\\\ &= f^\\mathfrak{B}(t^\\mathfrak{B}_0 [\\alpha^\\eta],\\cdots,t^\\mathfrak{B}_{\\nu_L(f)-1}[\\alpha^\\eta]) \\\\ &= t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u9879\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u662f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(p^\\mathfrak{A}(t_0^\\mathfrak{A},\\cdots,t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(f)-1})\\) . \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha] &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} p^\\mathfrak{A}(t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha],\\cdots,t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(p)-1}[\\alpha]) \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} p^\\mathfrak{B}(\\eta(t^\\mathfrak{A}_0[\\alpha]),\\cdots,\\eta(t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(p)-1})) \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} p^\\mathfrak{B}(t^\\mathfrak{B}_0[\\alpha^\\eta],\\cdots,t^\\mathfrak{B}_{\\nu_L(p)-1}[\\alpha^\\eta])) \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\varphi[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b.

(2) \u200b\u7531\u200b (1) \u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b \\(t=u\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b \\(u\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(L\\) \u200b\u9879\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha] &\\iff t^\\mathfrak{A}[\\alpha] = u^\\mathfrak{A}[\\alpha] \\\\ &\\iff \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = \\eta(u^\\mathfrak{A}[\\alpha]) \\\\ &\\iff t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] = u^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi [\\alpha^\\eta]. \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e8c\u6b65\u200b\u57fa\u4e8e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b. \u200b\u6839\u636e\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/5.%20NKU%E7%AC%AC%E4%BA%94%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e94\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

T1

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\mathfrak{Q} = (\\mathbb{Q},+)\\).

  1. \u200b\u627e\u5230\u200b \\(\\mathfrak{Q}\\) \u200b\u4e2d\u200b \\(4\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4ed6\u4eec\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b.
  2. \u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{Q}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

(1) \u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u56db\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a \u2780 \\(\\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e3a\u200b \\(x+x=x\\) .

\u2781 \u200b\u57fa\u4e8e\u200b \u2780\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5e38\u91cf\u200b \\(0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\mathbb{Q}\\sim\\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\neg(x = 0) \\]

\u2782 \\(\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\neg(x=x)\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u2783 \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ (x=0)\\lor (\\neg (x=0)) \\]

(2) \u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(p\\neq 0\\) \u200b\u4e14\u200b \\(p\\in A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(A = \\eta(A)\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b \\(\\eta_n : x\\to nx,(n\\neq 0 \\text{ and } n\\in \\mathbb{Q})\\) \uff08\u200b\u5229\u7528\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\uff09\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(p\\in A\\) \uff0c\u200b\u5fc5\u6709\u200b \\(np\\in A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(q\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(n = \\dfrac{q}{p}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(q\\in A\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5fc5\u4e3a\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u51e0\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a

\u200b\u5373\u200b (1) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(4\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5b50\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

T2

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b (model complete) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\).

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u7aef\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T_{\\text{(DLO)}}\\) \u200b\u662f\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.

\\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b (prime model) \uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u52d8\u8bef\u200b

\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u7684\u200b\u624d\u200b\u662f\u200b\u6b63\u786e\u200b\u7684\u200b\u4e2d\u6587\u7ffb\u8bd1\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u53d6\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u5747\u200b\u6709\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}'\\subseteq \\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}'\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\mathfrak{A}'\\simeq \\mathfrak{M} \\simeq \\mathfrak{B}' \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathfrak{M}\\equiv \\mathfrak{A}'\\equiv \\mathfrak{B}'\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(\\mathfrak{A}' \\prec \\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{M}\\) \uff0c\u200b\u540c\u7406\u200b \\(\\mathfrak{B}\\equiv \\mathfrak{M}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ \\mathfrak{A} \\equiv \\mathfrak{B} \\]

\u200b\u6545\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

T3

\u200b\u5047\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(P\\) \uff0c\\(P\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \u200b\u4ee4\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5168\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(|\\mathfrak{A}|=\\mathbb{Z}\\) \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\((a,b)\\in P^\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(|a-b|=1\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u89c6\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u56fe\u200b\uff1a $$ \\cdots \\leftrightarrow \\bullet \\leftrightarrow \\bullet \\leftrightarrow \\bullet \\leftrightarrow \\cdots $$ \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u8fde\u901a\u200b\u7684\u200b (connected) .

\u200b\u8fde\u901a\u200b (connected)

\u200b\u8fde\u901a\u200b\u7684\u200b \u200b\u610f\u200b\u4e3a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8def\u5f84\u200b (path)\uff1b\u200b\u800c\u200b\u4ece\u200b \\(a\\) \u200b\u5230\u200b \\(b\\) \u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u957f\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\uff09\u200b\u8def\u5f84\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\langle p_0,p_1,\\cdots,p_n \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(p_0=a,p_n=b\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\((p_i,p_{i+1})\\in P^\\mathfrak{B}\\) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(i\\in \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace.\\)

\u200b\u63d0\u793a\u200b\uff1a\u200b\u52a0\u5165\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \uff0c\u200b\u5e76\u200b\u5199\u4e0b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \u200b\u76f8\u8ddd\u200b\u8f83\u200b\u8fdc\u200b (far apart) \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u7d27\u6027\u200b.

\u200b\u5f15\u5165\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\(\\varphi_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b

\\[ \\varphi_n = \\neg\\exists x_1\\exists x_2\\cdots \\exists x_n\\left(\\bigwedge_{i=1}^{n-1} Px_ix_{i+1}\\right) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(x_1=c,x_n=d\\) \uff0c\u200b\u8be5\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5373\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u957f\u200b\u7684\u200b\u8def\u5f84\u200b\u8fde\u901a\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) . \u200b\u4ee4\u200b \\(\\Gamma = T\\cup \\left\\lbrace \\varphi_n : n \\in \\omega \\right\\rbrace\\) . \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma_{n_0} = T'\\cup \\left\\lbrace \\varphi_{n}: n \\leqslant n_0\\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(T'\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma'\\)\uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma' \\subseteq \\Gamma_{n_0}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\Gamma_{n_0}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u8db3\u591f\u200b\u8fdc\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(n_0\\) \uff0c \\(\\Gamma_{n_0}\\) \u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b.

\u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b ACCT \uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b\u8fde\u901a\u200b\u56fe\u4e3a\u200b\u5176\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(c,d\\) \u200b\u8fde\u901a\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u8def\u5f84\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u6709\u9650\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u548c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\left\\lbrace \\varphi_n:n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) \u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\u975e\u200b\u8fde\u901a\u200b\u56fe\u4e3a\u200b\u5176\u200b\u6a21\u578b\u200b. \u200b\u8be5\u200b\u975e\u200b\u8fde\u901a\u200b\u56fe\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u9898\u200b\u4e2d\u6240\u200b\u9700\u200b\u6a21\u578b\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/6.%20NKU%20%E7%AC%AC%E5%85%AD%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u516d\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

T1

\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u53ef\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\(\\gamma+ \\alpha< \\gamma+\\beta\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha+ \\gamma \\leqslant \\beta+ \\gamma\\) . \u200b\u5e76\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7528\u200b \\(<\\) \u200b\u6765\u200b\u66ff\u4ee3\u200b. \u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a $$ \\alpha \\leqslant \\beta\\to \\exists ! \\delta (\\alpha+ \\delta = \\beta). $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5229\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c

\\(\\beta=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta=\\delta+1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha \\leqslant \\delta\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ \\gamma+ \\alpha \\leqslant \\gamma+ \\delta < \\gamma + \\delta +1 = \\gamma+(\\delta+1) = \\gamma+\\beta \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b

\\[ \\gamma+\\alpha < \\gamma + (\\alpha+1) \\leqslant\\sup\\left\\lbrace \\gamma + \\delta,\\delta< \\beta \\right\\rbrace = \\gamma + \\delta \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\alpha < \\beta \\to \\gamma+\\alpha < \\gamma+\\beta\\) . \\(\\alpha+\\gamma \\leqslant \\beta+ \\gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e5f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\gamma\\) \u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(1<2\\) \u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\(1+ \\omega < 2+\\omega\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6700\u540e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\alpha=\\beta\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(\\delta=0\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u89e3\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha,\\beta\\) \u200b\u6709\u200b $$ \\alpha+ \\beta = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta \\mid \\delta < \\beta \\right\\rbrace $$

\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\\(\\beta=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8bbe\u200b \\(\\beta = \\gamma+1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\alpha+ \\beta & = \\alpha+ \\gamma +1 \\\\ & = (\\alpha+ \\gamma)+1 \\\\ & = \\alpha+ \\gamma \\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta \\mid \\delta< \\gamma \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta\\mid \\delta \\leqslant \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha \\cup \\left\\lbrace \\alpha+\\delta \\mid \\delta < \\beta \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\alpha+ \\beta & = \\bigcup_{\\delta < \\beta} \\alpha+\\delta \\\\ & = \\alpha\\cup \\bigcup_{\\gamma < \\beta} \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta \\mid \\delta < \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta\\mid \\delta< \\beta \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u6545\u7531\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\alpha+\\gamma\\) \uff0c\u200b\u603b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u200b\u5230\u200b\u8db3\u591f\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b \\(\\delta\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\alpha<\\beta \\leqslant \\alpha+ \\delta \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\beta = \\alpha+\\delta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c31\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u627e\u5230\u200b \\(\\delta\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta < \\alpha+ \\delta\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\\(\\beta\\in \\left\\lbrace \\alpha+\\gamma \\mid \\gamma < \\delta \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5373\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha+\\gamma = \\beta\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(\\delta' \\neq \\delta\\) \u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u8be5\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u4e09\u6b67\u6027\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(\\delta< \\delta'\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ \\beta = \\alpha+ \\delta < \\alpha+ \\delta' = \\beta \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

T2

\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\gamma>0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u53ef\u200b\u63a8\u5f97\u200b \\(\\gamma\\cdot \\alpha< \\gamma\\cdot \\beta\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha\\cdot \\gamma \\leqslant \\beta\\cdot \\gamma\\) \uff0c\u200b\u5e76\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u66ff\u6362\u200b\u4e3a\u200b \\(<\\) \uff0c\u200b\u5e76\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a $$ (\\alpha \\leqslant \\beta \\land \\alpha>0)\\to \\exists ! \\delta, \\xi(\\xi<\\alpha \\land \\alpha\\cdot \\delta + \\xi = \\beta). $$

T3

\u200b\u8bc1\u660e\u200b Cantor \u200b\u5e8f\u6570\u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u975e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5747\u200b\u53ef\u8868\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a $$ \\alpha = \\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot l_n $$ \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(1 \\leqslant n < \\omega,\\alpha \\geqslant \\beta_1 > \\cdots > \\beta_n\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(1\\leqslant l_i< \\omega,i=1,\\cdots,n\\) \uff0c\u200b\u66f4\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8868\u793a\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"blog/","title":"Blog","text":""},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/","title":"Havard Stat 110 Lecture 2","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#story-proofs-axioms-of-probability","title":"Story Proofs, Axioms of Probability","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#some-hints","title":"Some hints","text":"

Some hints and comments:

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#order-does-not-matter-with-replacement","title":"Order does not matter with replacement","text":"

13:15

Pick \\(k\\) times from set of \\(n\\) objects where order does not matter with replacement.

There are about \\(\\binom{n+k-1}{k}\\) ways to pick.

22:40 Imagine put \\(k\\) balls into \\(n\\) boxes.

29:30 Extra: Bose-Einstein condensate (Bose-Einstein \u200b\u51dd\u805a\u6001\u200b)

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#story-proof","title":"Story Proof","text":"

31:16

Example 1

Use story proof to prove \\(\\displaystyle\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}\\)

This is easy as we can consider divide \\(n\\) people into two teams: one contains \\(k\\) people and the other one contains \\(n-k\\) people.

32:14

example 2

Prove $$ n\\binom{n-1}{k-1} = k\\binom{n}{k} $$

Consider the story below:

Pick \\(k\\) people out of \\(n\\) , with \\(1\\) designated as President.

The solution is obviously

\\[ k\\binom{n}{k} \\]

And transform the view of the problem:

35:06

Example 3 (Vander Monde)

Prove $$ \\binom{m+n}{k} = \\sum\\limits_{j=0}^k \\binom{m}{j}\\binom{n}{k-j} $$

The left annotation means: choose \\(k\\) people from \\(m+n\\) people.

Then we consider divide \\(m+n\\) people into two groups: first contains \\(m\\) people and second contains \\(n\\) people. Next choose \\(j\\) people from first one and \\(k-j\\) people second one.

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#non-naive-probability-axioms","title":"Non-naive Probability Axioms","text":"

39:15 Non-naive definition

Non-naive Definition of Probability

A Probability Sample consists of \\(S\\) and \\(P\\), where \\(S\\) is a sample space and \\(P\\) is a function which takes an event \\(A\\subset S\\) as input, returns \\(P(A)\\in [0,1]\\) as outputs such that:

  1. \\(P(\\varnothing) = 0\\) , \\(P(S)=1\\) .
  2. \\(\\displaystyle P\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty A_n\\right) = \\sum\\limits_{n=1}^\\infty P(A_n)\\) if \\(A_j\\) are disjoint.
","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/","title":"Havard Stat 110 Lecture 3","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/#birthday-problem","title":"Birthday Problem","text":"

00:49 \\(K\\) people, find probability that share same birthday. Exclude Feb. 29th and assume other 365 days equally likely and independence.

Obviously if \\(K>365\\) , the probability is \\(1\\).

Let \\(K\\leqslant 365\\) , consider \\(P(\\text{no match})\\) :

\\[ P(\\text{no match}) = \\dfrac{365\\times 364\\times \\cdots (365-K+1)}{365^K} \\]

So \\(1-P(\\text{no match}) = P(\\text{match})\\) .

Compute this result and we can get that:

\\[ P(\\text{match}) = \\begin{cases}50.7\\% , &K=23 \\\\ 97\\% , &K=50 \\\\ 99.999\\% , &K=100 \\end{cases} \\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/#properties-of-probability","title":"Properties of Probability","text":"

22:46

  1. \\(P(\\overline{A}) = 1-P(A)\\) .
  2. If \\(A\\subseteq B\\) (If \\(A\\) occurs that \\(B\\) occurs), then \\(P(A)\\leqslant P(B)\\) .
  3. \\(P(A\\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\\) . (For proof, consider \\(P(A\\cup B) = P(A)+P(B\\cap \\overline{A})\\)) .
  4. \\[ \\begin{aligned}P(A\\cup B\\cup C) &= P(A)+P(B)+P(C) \\\\ &- P(A\\cap B)-P(A\\cap C)-P(B\\cap C)\\\\ &+P(A\\cap B\\cap C)\\end{aligned} \\]
","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/#de-montmorts-problem","title":"de Montmort's Problem","text":"

38:48 \\(n\\) cards, labeled \\(1,2,\\cdots,n\\) . Let \\(A_j\\) be the event \"\\(j\\)-th card matches\". So we need to compute \\(P(A_1\\cup A_2\\cdots \\cup A_n)\\) .

\\(P(A_j) = \\dfrac{1}{n}\\) since all position equally likely for card labled \\(j\\) .

\\(P(A_1\\cap A_2) = \\dfrac{(n-2)!}{n!}\\) as we can consider the first and the second one are fixed.

So \\(\\displaystyle P\\left(\\bigcap_{k=1}^n A_k\\right) = \\dfrac{(n-k)!}{n!}\\) .

Thus we can compute that:

\\[ \\begin{aligned} P(A_1\\cup A_2\\cdots \\cup A_n) &= n\\frac{1}{n}- \\frac{n(n-1)}{2!}\\frac{1}{n(n-1)}\\cdots+(-1)^{n+1}\\binom{n}{n}\\frac{(n-n)!}{n!} \\\\ &= 1- \\frac{1}{2!}+ \\frac{1}{3!}-\\cdots+(-1)^{n+1} \\frac{1}{n!} \\\\ &\\approx 1-\\frac{1}{\\mathrm{e}} \\end{aligned} \\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/","title":"Havard Stat 101 Lecture 4 - Conditional Probability","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/#independence","title":"Independence","text":"

10:49

Definition: Independence

Events \\(A\\), \\(B\\) are independent if \\(P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\) .

Note

It is completely different from disjointness.

\\(A,B,C\\) are independent if

\\[ \\begin{aligned} &P(AB) = P(A)P(B), \\\\ &P(BC) = P(B)P(C), \\\\ &P(AC) = P(A)P(C), \\\\ &P(ABC) = P(A)P(B)P(C). \\end{aligned} \\]

Similarly for events \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) , means all multiply rules hold.

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/#newton-pepys-problem-1693","title":"Newton-Pepys Problem (1693)","text":"

18:22 We have a fair dice, which is most likely below?

  1. A. At least one \\(6\\) with \\(6\\) dices;
  2. B. At least two \\(6\\) with \\(12\\) dices;
  3. C. At least three \\(6\\) with \\(18\\) dices;

The answer is A. Here is the calculation:

\\[ P(A) = 1-\\left(\\frac{5}{6}\\right)^6 \\approx 0.665 \\] \\[ P(B) = 1-\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{12} - 12\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{11} \\frac{1}{6}\\approx 0.619 \\] \\[ P(C) = 1- \\sum\\limits_{k=0}^2 \\binom{18}{k}\\left( \\frac{1}{6}\\right)^k \\left(\\frac{5}{6}\\right)^{18-k} \\approx 0.597 \\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/#conditional-probability","title":"Conditional Probability","text":"

32:35

Definition: Conditional Probability

\\[P(A|B) = \\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/04/16/%E8%83%A1%E9%80%82%E8%80%95%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%A0%E9%A2%98--%E5%8F%AF%E6%95%B0%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98/","title":"\u80e1\u9002\u200b\u8015\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e60\u9898\u200b \u2014\u2014 \u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b\u95ee\u9898","text":"

\u200b\u672c\u6587\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e60\u9898\u96c6\u200b\u4e2d\u200b\u6709\u5173\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u95ee\u9898\u200b\u3002

","tags":["\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/04/16/%E8%83%A1%E9%80%82%E8%80%95%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%A0%E9%A2%98--%E5%8F%AF%E6%95%B0%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98/#_2","title":"\u5224\u5b9a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027","text":"

\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff1a

  1. \u200b\u53d6\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b \\(B\\) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A \\subset B\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b.
  2. \u200b\u5206\u89e3\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u4e4b\u200b\u5e76\u200b\u6216\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u4e4b\u79ef\u200b.

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.18

\u200b\u5355\u200b\u589e\u51fd\u6570\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u7684\u200b\u95f4\u65ad\u200b\u70b9\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5e94\u8be5\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5230\u200b\uff1a\u200b\u589e\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u95f4\u65ad\u200b\u70b9\u200b \\(x\\) \u200b\u4ee5\u200b\u5176\u200b\u8df3\u8dc3\u200b \\(f(x^+)-f(x)>0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7279\u5f81\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(x\\in D\\) \u200b\u552f\u4e00\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(\\delta_x = (f(x^-),f(x^+))\\) .

\u200b\u4e14\u200b\u5f53\u200b \\(x,y\\in D,x<y\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(x^+)\\leqslant f(y^-)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\delta_x\\cap \\delta_y=\\varnothing\\) \uff0c\u200b\u53d6\u5b9a\u200b \\(r_x\\in \\mathbb{Q}\\cap \\delta_x\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(D\\to \\mathbb{Q}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u6570\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.22

\u200b\u8bbe\u200b \\(A \\subset \\mathbb{R}\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta_x\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ B(x,\\delta_x)\\cap A = \\left\\lbrace x \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8003\u8651\u200b \\(r_x \\in B(x,\\delta_x)\\cap \\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u5efa\u200b\u4e86\u200b \\(A\\to \\mathbb{Q},x\\to r_x\\) \u200b\u7684\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6839\u636e\u200b\u672c\u9898\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.23

\u200b\u8bbe\u200b \\(A \\subset \\mathbb{R}\\) \uff0c\\(A'\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u7531\u200b

\\[ A \\subset (A\\setminus A')\\cup A' \\]

\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u5206\u522b\u200b\u662f\u200b\u805a\u70b9\u200b\u548c\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\\(A'\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(A\\) \u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b. \\(\\square\\)

","tags":["\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/04/16/%E8%83%A1%E9%80%82%E8%80%95%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%A0%E9%A2%98--%E5%8F%AF%E6%95%B0%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98/#_3","title":"\u4e0e\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b\u6709\u5173\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u8bc1\u660e","text":"

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.27

\u200b\u5e73\u9762\u200b\u4e0a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e0d\u200b\u542b\u6709\u200b\u7406\u70b9\u200b\u7684\u200b\u5706\u5468\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u82e5\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5706\u5468\u200b\u90fd\u200b\u542b\u6709\u200b\u7406\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5706\u5468\u200b

\\[ S_r = \\left\\lbrace x\\in \\mathbb{R}^2: |x| = r \\right\\rbrace (r > 0) \\]

\u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u6709\u7406\u200b\u70b9\u200b \\(x_r\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(0<r<s< \\infty\\) \u200b\u65f6\u5fc5\u200b \\(x_r\\neq x_s\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ \\mathscr{A} = \\left\\lbrace S_r: r>0 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e0e\u200b\u533a\u95f4\u200b \\((0,\\infty)\\) \u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u200b \\((0,+\\infty)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.29

\u200b\u8bbe\u200b \\(a,b\\in \\mathbb{R}^2\\setminus \\mathbb{Q}^2\\) \uff0c\\(a\\neq b\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8fde\u63a5\u200b \\(a,b\\) \u200b\u4e14\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u6709\u7406\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6298\u7ebf\u200b.

\u200b\u4f5c\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u4e2d\u5782\u7ebf\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\forall x\\in L\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(ax,xb\\) \u200b\u7ec4\u6210\u200b\u4e00\u200b\u6298\u7ebf\u200b \\(\\Gamma_x\\) \uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5fc5\u6709\u200b\u67d0\u4e2a\u200b \\(\\Gamma_x\\) \u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u6709\u7406\u200b\u70b9\u200b.

\u200b\u82e5\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\Gamma_x\\) \u200b\u90fd\u200b\u542b\u6709\u200b\u7406\u70b9\u200b \\(r_x\\)\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(x,y\\in L\\) \uff0c\\(x\\neq y\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(r_x\\neq r_y\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5f97\u5230\u200b\u5355\u5c04\u200b \\(L\\to \\mathbb{Q}^2,x\\to r_x\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e0e\u200b \\(L\\) \u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

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\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b \\(\\S\\) 1.1 \u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b.

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\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(A=B\\) \u200b\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u5f0f\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a\u200b\u4ea4\u5e76\u200b\u8865\u624d\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u6700\u200b\u57fa\u672c\u200b\u7684\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\uff0c\u200b\u5dee\u200b\u3001\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u5dee\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u901a\u8fc7\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u8fd0\u7b97\u8868\u200b\u51fa\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u548c\u200b De Morgan \u200b\u5f8b\u200b\u7684\u200b\u5e94\u7528\u200b. \u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u5217\u4e3e\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.5

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(B = [(A \\Delta B)-A]\\cup [A\\cap B]\\) .

\\[ \\begin{aligned} {[(A \\Delta B) -A]} \\cup [A\\cap B] & = [(A \\Delta B)\\cap A^c] \\cup [A\\cap B] \\\\ & =[(A\\cap B)\\cup (A\\Delta B)]\\cap [A^c \\cup (A\\cap B)] \\\\ & = (A\\cup B) \\cap [(A^c \\cup A)\\cap (A^c \\cup B)] \\\\ & = (A\\cup B) \\cap (A^c\\cup B) \\\\ & = (A\\cap A^c)\\cup B = B \\end{aligned} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u53cd\u590d\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u4e86\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b. \\(\\square\\)

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\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u5dee\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6d88\u53bb\u5f8b\u200b.

","tags":["\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/04/12/%E8%83%A1%E9%80%82%E8%80%95%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%A0%E9%A2%98--%E9%9B%86%E5%90%88%E8%BF%90%E7%AE%97%E5%92%8C%E9%9B%86%E5%90%88%E5%88%86%E8%A7%A3/#_3","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\u5f0f","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u662f\u200b NKU \u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u5728\u200b\u4e60\u9898\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b. \u200b\u8868\u8ff0\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u548c\u200b \\(f_n(x) (n \\geqslant 1)\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: \\lim_{n\\to \\infty} f_n(x) = f(x) \\right\\rbrace = \\bigcap_{r=1}^\\infty \\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcap_{k=n}^\\infty \\left\\lbrace x: |f_k(x) -f(x)|< \\frac{1}{r} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7c7b\u578b\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5229\u7528\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b. \u200b\u89e3\u51b3\u200b\u8fd9\u200b\u7c7b\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5728\u4e8e\u200b\uff1a

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.7

\u200b\u7528\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A_{nk} \\triangleq \\left\\lbrace f_n \\geqslant k \\right\\rbrace,(n,k \\in \\mathbb{N})\\) \uff0c\u200b\u8868\u200b\u51fa\u200b $$ A \\triangleq \\left\\lbrace f_n \\to \\infty \\right\\rbrace $$

\\(f_n \\to \\infty\\) \u200b\u53ef\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\forall k > 0, \\exists m \\in \\mathbb{N}, \\forall n \\geqslant m, f_n(x) \\geqslant k \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b

\\[ x\\in A \\iff x\\in \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{m=1}^\\infty \\bigcap_{n=m}^\\infty \\left\\lbrace x: f_n(x) \\geqslant k \\right\\rbrace \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u9700\u8981\u200b\u6539\u52a8\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u624d\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\uff0c\u200b\u5c24\u5176\u200b\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in X : f_n(x) \\text{\u200b\u65e0\u200b\u754c\u200b} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b \\(f_n(x)\\to \\infty\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b.

NKU \u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b \u200b\u4e60\u9898\u200b1 T44

\u200b\u5bf9\u200b $$ \\left\\lbrace x:\\varliminf_{k\\to \\infty} f_k(x)>0 \\right\\rbrace $$ \u200b\u4f5c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b.

\u200b\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u6709\u200b

\\[ \\exists n \\geqslant 1, \\exists m \\geqslant 1, \\forall k \\geqslant m, f_k(x) \\geqslant \\frac{1}{n} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ \\left\\lbrace x: \\varliminf_{k \\to \\infty} f_k(x) > 0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcup_{m=1}^\\infty \\bigcap_{k=m}^\\infty \\left\\lbrace x: f_k(x) \\geqslant \\frac{1}{n} \\right\\rbrace \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u66f4\u597d\u200b\u5730\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u6781\u9650\u200b\u672c\u8eab\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u662f\u56e0\u4e3a\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u603b\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u662f\u200b.

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.11

\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1a $$ A \\triangleq \\left\\lbrace x\\in X: \\lim_{n} f_n(x) \\text{ \u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b.} \\right\\rbrace $$

\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\uff1a\u200b\u5f53\u200b \\(n \\to \\infty\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(f_n(x)\\) \u200b\u5728\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u632f\u8361\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\exists a,b\\in \\mathbb{Q} , \\forall n \\in \\mathbb{N},\\exists k,l \\geqslant n, f_k(x) \\leqslant a < b \\leqslant f_l(x) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c

\\[ A = \\bigcup_{a,b\\in \\mathbb{Q},a<b} \\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k,l \\geqslant n} (\\left\\lbrace f_k \\leqslant a \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f_l \\leqslant b \\right\\rbrace) \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u53d1\u6563\u200b\u3001\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e86\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u548c\u200b\u53d1\u6563\u200b\u5c31\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4e86\u200b.

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dates = pd.date_range('20130101', periods=6) df = pd.DataFrame(np.random.randn(6, 4), index=dates, columns=list('ABCD')) df Out[16]: A B C D 2013-01-01 0.964615 0.499607 0.861751 1.019190 2013-01-02 0.655980 -0.773237 -0.828954 0.853228 2013-01-03 0.664080 -0.521969 2.215162 -0.806104 2013-01-04 -0.621929 1.511482 -0.908521 -3.043326 2013-01-05 -1.114458 -0.385777 2.176734 -0.345221 2013-01-06 0.948003 -2.841823 -0.135223 -0.307160 In\u00a0[17]: Copied! 
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%%script bash echo \"\u200b\u8fd9\u662f\u200b git \u200b\u7684\u200b\u63d0\u4ea4\u200b\u5386\u53f2\u200b\" echo \"\u200b\u8bf7\u200b\u5728\u200bshell\u200b\u6709\u200bbash\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\u6267\u884c\u200b\" git reflog 
\u200b\u8fd9\u662f\u200b git \u200b\u7684\u200b\u63d0\u4ea4\u200b\u5386\u53f2\u200b\n\u200b\u8bf7\u200b\u5728\u200bshell\u200b\u6709\u200bbash\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\u6267\u884c\u200b\n7173168 HEAD@{0}: commit: Fix an error in Logic\n5e352b3 HEAD@{1}: commit: Logic Notes Modification\n0e7750c HEAD@{2}: commit: Logic Notes Update\n7422b7e HEAD@{3}: commit: Real analysis update\n94e51d4 HEAD@{4}: commit: Set theory and logic update\nde3982d HEAD@{5}: commit: Probability Theory Notes Update\nac44f4d HEAD@{6}: clone: from https://github.com/xiong-ZH-zq/xzqbear-blogs.git\n
In\u00a0[18]: Copied! 
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%%script js console.log(\"\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u662f\u200b Javascript \u200b\u6267\u884c\u200b\u5185\u5bb9\u200b\") 
\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u662f\u200b Javascript \u200b\u6267\u884c\u200b\u5185\u5bb9\u200b\n
In\u00a0[19]: Copied! 
import matplotlib.pyplot as plt\nnum_points = 130\ny = np.random.random(num_points)\nplt.plot(y)\n
import matplotlib.pyplot as plt num_points = 130 y = np.random.random(num_points) plt.plot(y) Out[19]: 
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f7bdea7ccd0>]
"},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#jupyter","title":"Jupyter\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u00b6","text":"

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"},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#pandas","title":"pandas\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#shell","title":"shell\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/#js","title":"JS\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/Jupyter%20%E8%AF%95%E9%AA%8C/2024-03-16%20Jupyter%E8%AF%95%E9%AA%8C/","title":"\u542b\u6709\u200b\u56fe\u7247\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u00b6","text":""},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/WSL%E7%BC%96%E7%A8%8B%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA/1.1%20%E5%AE%89%E8%A3%85%E4%B8%8E%E7%BB%88%E7%AB%AF%E7%8E%AF%E5%A2%83/","title":"WSL\u200b\u5b89\u88c5\u200b\u4e0e\u200b\u7ec8\u7aef\u200b\u73af\u5883","text":"

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wsl -install -d Debian\n

\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u6211\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b Debian \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6574\u4e2a\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u4f1a\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5728\u200b Debian \u200b\u73af\u5883\u200b\u4e0b\u200b\u662f\u200b\u6b63\u5e38\u200b\u8fd0\u884c\u200b\u7684\u200b\uff0cUbuntu \u200b\u4e5f\u200b\u5dee\u4e0d\u591a\u200b\uff0c\u200b\u6bd5\u7adf\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b Debian \u200b\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u53d1\u884c\u7248\u200b.

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wsl -l -o\n
\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5217\u51fa\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u53ef\u7528\u200b\u53d1\u884c\u7248\u200b\uff1a

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\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u9ed8\u8ba4\u200b\u4e3a\u200b zsh . \u200b\u66f4\u200b\u591a\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u9898\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53c2\u8003\u200b oh-my-zsh \u200b\u7684\u200b\u5b98\u65b9\u200b\u6587\u6863\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u5728\u200b ~/.zshrc \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4fee\u6539\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u592a\u200b\u82b1\u54e8\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b57\u4f53\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4f1a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u9ebb\u70e6\u200b. \uff08\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4f60\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b Windows Terminal \u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u66f4\u200b\u6539\u4e3a\u200b\u652f\u6301\u200b\u56fe\u6807\u200b\u826f\u597d\u200b\u7684\u200b\u5b57\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b Meslo \u200b\u7cfb\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u5f53\u200b\u6211\u200b\u6ca1\u200b\u8bf4\u200b\uff09

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"},{"location":"CS-%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA%E4%B8%8E%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B7%A5%E5%85%B7/WSL%E7%BC%96%E7%A8%8B%E7%8E%AF%E5%A2%83%E6%90%AD%E5%BB%BA/1.1%20%E5%AE%89%E8%A3%85%E4%B8%8E%E7%BB%88%E7%AB%AF%E7%8E%AF%E5%A2%83/#git","title":"Git \u200b\u914d\u7f6e","text":"

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"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%20Index/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b Index","text":"

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\u200b\u53c2\u8003\u200b\u4e66\u7c4d\u200b\u5305\u62ec\u200b\u4f46\u200b\u4e0d\u200b\u9650\u4e8e\u200b\uff1a

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\u200b\u4e60\u9898\u200b2T2

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\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\begin{aligned} &\\inf\\left\\lbrace m(Q):E \\subset Q, Q\\text{ \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b} \\right\\rbrace = \\\\ &\\inf\\left\\lbrace \\sum\\limits_n \\ell (I_n): \\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace \\text{ \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b}, \\text{ \u200b\u4e14\u200b }E \\subset\\bigcup_n I_n \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u8bbe\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\inf{A}\\) \uff0c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\inf{B}\\) .

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\inf{A}\\geqslant \\inf{B}\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(Q\\) \uff0c\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u53ef\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ E \\subset Q = \\bigcup_{n=1}^\\infty I_n \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b \\(Q\\) \u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u80fd\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(B\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u65cf\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\inf{A}\\geqslant\\inf{B}\\) .

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u90fd\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e0a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\inf{A}\\leqslant\\inf{B}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \\(\\square\\)

\uff08\u200b\u4e60\u9898\u8bfe\u200b\u505a\u6cd5\u200b\uff09 \u200b\u8bbe\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\lambda\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ m^*(E) \\leqslant m^*(Q) = m(Q) \\]

\u200b\u4e24\u4fa7\u200b\u53d6\u4e0b\u200b\u786e\u754c\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b \\(m^*(E) \\leqslant \\lambda\\) .

\u200b\u5f53\u200b \\(m^*(E) < \\infty\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u65cf\u200b \\(\\left\\lbrace I_k \\right\\rbrace\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ E \\subseteq \\bigcup_{k=1}^\\infty I_k \\land \\sum\\limits\\ell(I_k) \\leqslant m^*(E) +\\varepsilon \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(Q = \\bigcup\\limits_{k=1}^\\infty I_k\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\lambda \\leqslant m(Q) \\leqslant m^*(E) + \\varepsilon \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varepsilon\\to 0\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\lambda \\leqslant m^*(E)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b.

\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T4

\u200b\u8bbe\u200b \\(G_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(G_2\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\\(E_1\\subset G_1\\) \uff0c\\(E_2\\subset G_2\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(m^*(E_1\\cup E_2) = m^*(E_1)+ m^*(E_2)\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8986\u76d6\u200b \\(E_1\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n\\) \u200b\u548c\u200b\u8986\u76d6\u200b \\(E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n'\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ E_1\\cup E_2\\subset\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n\\right) \\cup\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty I_n'\\right) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m^*(E_1 \\cup E_2) \\leqslant m^*(E_1)+m^*(E_2)\\) .

\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(E_1\\cup E_2\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u8986\u76d6\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty J_n\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(J_n' = J_n \\cap G_1, J_n'' = J_n \\cap G_2\\) . \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ E_1 \\subset \\bigcup_{n=1}^\\infty J_n', E_2\\subset \\bigcup_{n=1}^\\infty J_n'' \\]

\u200b\u4ec5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u5173\u7cfb\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\exists x\\in E_1\\) \uff0c\\(x\\notin \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty J_n'\\) \uff0c\u200b\u53c8\u200b \\(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty J_n\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(E_1\\cup E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(J_k\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in J_k\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\in J_k\\cap G_1\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01

\u200b\u6545\u200b\u4ece\u200b \\(E_1\\cup E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b\u8986\u76d6\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m^*(E_1 \\cup E_2) \\geqslant m^*(E_1)+m^*(E_2)\\) . \u200b\u4ece\u800c\u200b\u672c\u9898\u200b\u8bc1\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5927\u4e8e\u200b\u7b49\u4e8e\u200b\u65b9\u5411\u200b\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u505a\u6cd5\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G_1\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6545\u6709\u200b

\\[ m^*(E_1\\cup E_2) \\geqslant m^*(E_1\\cup E_2 \\cap G_1) + m^*(E_1\\cup E_2\\cap G_1^c) \\]

\u200b\u800c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(m^*(E_1)+m^*(E_2)\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T6

\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(A)< \\infty,m^*(B)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ |m^*(A)-m^*(B)|\\leqslant m^*(A \\Delta B). $$

\u200b\u5f53\u200b \\(m^*(A) = m^*(B)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\u663e\u7136\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(A) > m^*(B)\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u9700\u8bc1\u200b\uff1a

\\[ m^*(A) \\leqslant m^*(A \\Delta B) + m^*(B) \\]

\\((A \\Delta B) \\cup B= [(A\\cup B) - (A\\cap B)]\\cup B\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(A \\subset (A \\Delta B)\\cup B\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u5355\u8c03\u200b\u6027\u548c\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A) \\leqslant m^*[(A \\Delta B)\\cup B ] \\leqslant m^*(A \\Delta B) + m^*(B) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T10

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c

  1. \u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a$$ m(\\varliminf_{n\\to \\infty} E_n)\\leqslant \\varliminf_{n\\to \\infty} m(E_n) $$
  2. \u200b\u82e5\u6709\u200b \\(k_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m\\left(\\bigcup\\limits_{k=k_0}^\\infty E_k \\right)< \\infty\\)\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a$$ m\\left(\\varlimsup_{n\\to \\infty}E_n\\right) \\geqslant \\varlimsup_{n\\to \\infty} m(E_n) $$
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(m\\left(\\bigcup\\limits_{k=1}^\\infty E_k \\right)< \\infty\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}E_n\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m\\left(\\lim_{n\\to \\infty}E_n\\right) = \\lim_{n\\to \\infty}m(E_n). $$

(1) \u200b\u5373\u200b

\\[ m\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty\\bigcap_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\leqslant \\varliminf_{n\\to \\infty} m(E_n)\\tag{10.1} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\bigcap\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b\u968f\u7740\u200b \\(n\\) \u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b (10.1) \u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u5b9a\u7406\u200b 2.3.6 \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} m\\left(\\lim_{n\\to \\infty}\\bigcap_{k=n}^\\infty E_k\\right) &= \\lim_{n\\to \\infty} m\\left(\\bigcap_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\\\ \\end{aligned} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\bigcap\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b \\(E_n\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(m\\left(\\bigcap\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\leqslant m(E_n)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b.

(2) \u200b\u5373\u200b

\\[ m\\left(\\bigcap_{n=1}^\\infty\\bigcup_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\geqslant \\varlimsup_{n\\to \\infty} m(E_n)\\tag{10.2} \\]

\u200b\u548c\u200b (1) \u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c(10.2) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\bigcup\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u540c\u6837\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u5b9a\u7406\u200b 2.3.6 \u200b\u8bc1\u660e\u200b.

\\[ \\begin{aligned} m\\left(\\lim_{n\\to \\infty}\\bigcup_{k=n}^\\infty E_k\\right) &= \\lim_{n\\to \\infty} m\\left(\\bigcup_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\\\ \\end{aligned} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\bigcup\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\) \u200b\u662f\u200b \\(E_n\\) \u200b\u7684\u200b\u8d85\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(m\\left(\\bigcup\\limits_{k=n}^\\infty E_k\\right) \\geqslant m(E_n)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b.

(3) \u200b\u6839\u636e\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ m\\left(\\varliminf_{n\\to \\infty}E_n\\right)\\leqslant\\varliminf_{n\\to \\infty}m(E_n)\\leqslant\\lim_{n\\to \\infty}m(E_n) \\leqslant \\varlimsup_{n\\to \\infty}m(E_n) \\leqslant m\\left(\\varlimsup_{n\\to \\infty}E_n\\right) \\]

\u200b\u6700\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u548c\u200b\u6700\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E_n\\) \u200b\u5728\u200b \\(n\\to \\infty\\) \u200b\u65f6\u200b\u6781\u9650\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\left(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}E_n\\right)\\) . \u200b\u6545\u200b\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T11

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u800c\u4e14\u200b \\(m(A \\Delta B)= 0\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(B\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ B = A \\Delta (A \\Delta B) \\]

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u201c\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u5dee\u53ef\u6d4b\u200b\u201d.

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5230\u200b \\(A \\Delta C = (A-C)\\cup (C-A)\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e0e\u200b\u5dee\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff08\u200b\u8865\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff09\u200b\u4e0d\u200b\u5f71\u54cd\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\uff08\u200b\u7b49\u200b\u6d4b\u5305\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff09 \u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(F \\subseteq A \\subseteq G\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(G-F)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u8981\u8bc1\u200b\uff1a\\(F' \\subseteq B \\subseteq G'\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(m(G'-F')\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5145\u5206\u200b\u5c0f\u200b.

\u200b\u4ee4\u200b \\(G' = G\\cup (B-A)\\) \uff0c\\(G' \\supseteq B\\) \uff0c\\(F' = F\\cap (A-B)^c\\) \uff0c\\(F' \\subseteq B\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m(G'-F') &= m((G\\cup (B-A)\\cap (F\\cap (A-B)^c)^c ) \\\\ &= m((G\\cup (B-A)\\cap (F^c) ) \\end{aligned} \\]

\u200b\u4e60\u9898\u200b2T13

\u200b\u8bbe\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2\\) \u200b\u90fd\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m(E_1)+m(E_2) = m(E_1\\cup E_2)+m(E_1\\cap E_2) $$

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(E_1 \\cap E_2 = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6839\u636e\u200b Lebesgue \u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e0d\u200b\u4ea4\u96c6\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2-E_1\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b

\\[ m(E_1) + m(E_2-E_1) = m(E_1\\cup E_2) \\tag{13.1} \\]

\u200b\u800c\u200b \\(E_2-E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_1\\cap E_2\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ m(E_2-E_1)+m(E_1\\cap E_2) = m(E_2)\\tag{13.2} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b (13.1) \u200b\u548c\u200b (13.2) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8be5\u200b\u547d\u9898\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%20-%206/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b - 6","text":"

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT15

  1. \u200b\u82e5\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u4e14\u200b \\(m(F)=1\\) \uff0c\u200b\u8bd5\u95ee\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b \\(F=[0,1]\\) \uff1f
  2. \u200b\u82e5\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b \\((0,1)\\) \u200b\u4e2d\u5f00\u200b\u96c6\u4e14\u200b \\(m(G)=1\\). \u200b\u8bd5\u95ee\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b \\(G=(0,1)\\) \uff1f

(1) \u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6b63\u786e\u200b\uff0c\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\((0,1) \\subset F\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x_0\\in (0,1)\\) \u200b\u4e14\u200b \\(x_0\\not\\in F\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(F^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(B(x_0,\\delta) \\subset F^c\\) \uff0c\u200b\u7136\u800c\u200b \\(m(B(x_0,\\delta)) > 0\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(F)<1\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01

\u200b\u6545\u7531\u200b \\((0,1) \\subset F\\) \u200b\u4e14\u200b \\(F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(F = [0,1]\\) .

(2) \u200b\u8003\u8651\u200b \\(G = \\left(0,\\dfrac{1}{2}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{1}{2},1\\right) = G_1\\cup G_2\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(G_2\\) \u200b\u4e0d\u4ea4\u4e14\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{1}{2}\\). \u200b\u5219\u200b \\(m(G) = \\dfrac{1}{2}+ \\dfrac{1}{2} = 1\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(G\\neq (0,1)\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T20

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_k \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7686\u200b\u4e3a\u200b \\(1\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m\\left(\\bigcap_{k=1}^\\infty E_k\\right)=1. $$

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(m(E_k) = 1\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\displaystyle\\bigcap_{k=1}^\\infty E_k \\subseteq E_k\\) \uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff1a

\\[ m\\left(\\bigcap_{k=1}^\\infty E_k\\right) \\leqslant 1. \\]

\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(m\\left(\\bigcap\\limits_{k=1}^\\infty E_k\\right) < 1\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8bbe\u200b

\\[ D = [0,1]-\\bigcap\\limits_{k=1}^\\infty E_k = \\bigcup_{k=1}^\\infty \\left([0,1]-E_k\\right) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b \\(m(D)>0\\) .

\u200b\u4f46\u200b \\(m([0,1]-E_k) = m([0,1])-m(E_k)=0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f15\u51fa\u200b \\(m(D)=0\\) \u200b\u7684\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5e76\u200b\u4ecd\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(D_1,D_2,\\cdots,D_n,\\cdots\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(D_k\\) \uff0c\u200b\u8986\u76d6\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u65cf\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ m^*(D_k) = \\sum\\limits_{n} \\ell(I_n) < \\frac{\\varepsilon}{2^k} \\]

\u200b\u6545\u200b

\\[ m^*\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty D_n\\right) \\leqslant \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m^*(D_n) = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty \\frac{\\varepsilon}{2^k} = \\varepsilon \\]

\u200b\u7531\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u5f97\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5e76\u200b\u4ecd\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(m(D)=0\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T21

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_k \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E_k)\\to 1 (k \\to \\infty)\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(0< \\lambda < 1\\) \uff0c\u200b\u6709\u5b50\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace E_{k_n} \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m\\left(\\bigcap\\limits_{n=1}^\\infty E_{k_n}\\right) > \\lambda\\).

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\[ m\\left([0,1]-\\bigcap_{n=1}^\\infty E_{k_n} \\right) = m\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty ([0,1]-E_{k_n})\\right) < 1- \\lambda \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(m(E_k)\\to 1\\) \uff0c\u200b\u6545\u5bf9\u200b \\([0,1]-E_{k}\\) \uff0c\u200b\u53ef\u200b\u627e\u5230\u200b\u5b50\u5217\u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ m^*([0,1]-E_{k_n}) < (1-\\lambda) \\frac{1}{2^n} \\]

\u200b\u6545\u7531\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty ([0,1]-E_{k_n})\\right) &< \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m^*([0,1]-E_{k_n})\\\\ &= \\sum\\limits_{n=1}^\\infty (1-\\lambda) \\frac{1}{2^n} \\\\ &= 1-\\lambda \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T22

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace E_k \\right\\rbrace_{1 \\leqslant k \\leqslant n}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\sum\\limits_{k=1}^n m(E_k) > n-1\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a $$ m\\left(\\bigcap\\limits_{k=1}^n E_k\\right)>0. $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8865\u96c6\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m\\left([0,1]-\\bigcap_{k=1}^n E_k\\right) &= m\\left[\\bigcup_{k=1}^n ([0,1]-E_k)\\right] \\\\ & < \\sum\\limits_{k=1}^n [m([0,1]) - m(E_k)] \\\\ &= n-\\sum\\limits_{k=1}^n m(E_k) \\\\ &< n-(n-1) = 1 \\end{aligned} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T24

\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u95ed\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u5217\u200b \\(F_n\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(F_n)\\to m^*(E)\\) \uff1b
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E_n)\\to m^*(E)\\).

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b (1) \\(\\Rightarrow\\) (2) \uff1a

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(E\\) \u200b\u672c\u8eab\u200b\u5373\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53d6\u200b \\(F_n = E\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)=0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ F = \\bigcup_{k=1}^\\infty F^{(k)} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(F^{(k)}\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b

\\[ F_n = \\bigcup_{k=1}^n F^{(k)} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(F_n)\\to m(F)\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(E) = m(E-F)+m(F) = m(F)\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(F_n\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b (2) \\(\\Rightarrow\\) (3) : \u200b\u7531\u4e8e\u200b\u95ed\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\u663e\u7136\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\u8bc1\u660e\u200b (3) \\(\\Rightarrow\\) (1) \uff1a\u200b\u6839\u636e\u200b\u6761\u4ef6\u200b \\(m^*(E_n)\\to m^*(E)\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall \\varepsilon >0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(N>0\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(n > N\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(E)-m^*(E_n) < \\varepsilon \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1a

\\[ m^*(E-E_n)+m^*(E_n) < m^*(E)< m^*(E_n)+\\varepsilon \\]

\u200b\u6545\u200b \\(m^*(E-E_n)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(F = \\bigcup E_n\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E_n\\) \u200b\u5747\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E-F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(E = (E-F)\\cup F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b T25

\u200b\u8bbe\u200b \\(m^*(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b \\(H\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(H \\supset E\\) \uff0c\\(m^*(E)=m(H)\\).

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(m^*(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ E \\subset \\bigcup I_n \\text{ and }m^*(E)+ \\varepsilon > \\sum\\limits_n \\ell (I_n) \\]

\u200b\u53d6\u200b \\(\\varepsilon_m = \\dfrac{1}{m}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6bcf\u6b21\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace I_n^{(m)} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ H_m = \\bigcup_n I_n^{(m)} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(E \\subset H_m\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(H_m\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(H = \\bigcap\\limits_{m=1}^\\infty H_m\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(H\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u4e14\u200b \\(E \\subset H\\) \uff0c\u200b\u6613\u77e5\u200b \\(m^*(E)\\leqslant m^*(H) = m(H)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ m(H) \\leqslant m(H_m) = m\\left(\\bigcup_k I_k^{(m)}\\right) \\leqslant \\sum\\limits_n \\ell (I_n) < m^*(E)+\\varepsilon_m \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(m\\) \u200b\u5747\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(H) \\leqslant m^*(E)\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(m(H)=m^*(E)\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%20-%207/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b - 7","text":"

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT37

\u200b\u8bbe\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u6709\u200b \\(0< \\varepsilon < 1\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5bf9\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(m(E)\\geqslant \\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\\(F\\cap E\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon\\in (0,1)\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(m(E) \\geqslant \\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(F\\cap E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ m(A) \\geqslant m(A\\cap F\\cap E)+m[A\\cap (F \\cap E)^c] \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varepsilon_n = 1- \\dfrac{1}{n}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u603b\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(E_n \\subseteq [0,1]\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E_n) \\geqslant 1- \\dfrac{1}{n}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(F\\cap E_n\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b

\\[ E^{n} = \\bigcup_{i=1}^n E_i , E = \\bigcup_{i=1}^\\infty E_i \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(E) = \\lim\\limits_{n\\to \\infty} m(E^n) = 1\\) . \u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(F\\cap E = \\bigcup (F \\cap E_n)\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(F\\cap E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(F\\cap E^c\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ m^*(F\\cap E^c) \\leqslant m(E^c) = 0 \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(F\\cap E^c\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(F = (F\\cap E)\\cup (F\\cap E^c)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e0e\u9898\u200b\u8bbe\u76f8\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT38

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\\(f(E)\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b \\(Z\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(f(Z)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(f(Z)\\) \u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u4fdd\u6301\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(m(f(Z)) >0\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b T36 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(f(Z)\\) \u200b\u6709\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) . \u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u539f\u200b\u50cf\u200b \\(f^{-1}(A) \\subseteq \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(f^{-1}(A)\\cap Z\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ f(f^{-1}(A)\\cap Z) = A \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(f^{-1}(A)\\cap Z\\) \u200b\u53ea\u80fd\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(Z\\) \u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT39

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(f\\) \u200b\u628a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u53d8\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b \\(f\\) \u200b\u628a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u53d8\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\u7531\u200b T38 \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b. \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6709\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(E\\)\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u5c06\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(f(E)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6709\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff1b\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u65e0\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u622a\u65ad\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\bigcup(E\\cap [-n,n])\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u754c\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f(E)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)=0\\) . \u200b\u5373\u200b \\(E-F\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f(E-F)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ f(E) = f(E-F)\\cup f(F) \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f\\) \u200b\u5c06\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u6620\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200bT42

\u200b\u8bbe\u200b \\(0<\\varepsilon < 1\\) \uff0c\u200b\u8bd5\u200b\u6784\u9020\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u758f\u96c6\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b Cantor \u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5148\u53d6\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{1-\\varepsilon}{3}\\) \uff0c\u200b\u4e2d\u5fc3\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{1}{2}\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(B\\left(\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1-\\varepsilon}{6}\\right)\\) \uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u5728\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(B\\left(\\dfrac{1}{4},\\dfrac{1-\\varepsilon}{18}\\right)\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(B\\left(\\dfrac{3}{4},\\dfrac{1-\\varepsilon}{18}\\right)\\) . \u200b\u5982\u6b64\u200b\u9012\u63a8\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b

\\[ I_{n,k} = B\\left( \\dfrac{2k-1}{2^n}, \\frac{1- \\varepsilon}{2\\times 3^n} \\right),k=1,2,\\cdots,n \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d6\u200b \\(I = \\bigcup\\limits_{n,k} I_{n,k}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5176\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u6709\u200b

\\[ m(I) = \\sum\\limits_{n,k} m (I_{n,k}) = (1-\\varepsilon)\\sum\\limits_{n=1}^\\infty \\dfrac{2^{n-1}}{3^n} = 1- \\varepsilon \\]

\u200b\u6545\u53d6\u200b \\(E = [0,1]-I\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(m(E) = \\varepsilon\\) .

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u758f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(F \\subset [0,1]\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b \\((a,b)\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u6709\u5b50\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5728\u200b \\(I\\) \u200b\u4e2d\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\((a,b) \\subset I_{n_0,k_0}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u627e\u5230\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4ee4\u200b \\(l=b-a\\) \uff0c

\\[ \\exists m\\in \\mathbb{N}, \\frac{(1-\\varepsilon)}{3^m} < l \\]

\u200b\u5728\u200b\u533a\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u8db3\u591f\u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(I_{m,k} \\subset (a,b)\\) \uff0c\u200b\u6545\u53d6\u200b \\(I_{m,k}\\) \u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\\(I_{m,k}\\cap E = \\varnothing\\) . \u200b\u6545\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u5747\u200b\u53ef\u200b\u627e\u5230\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u4ea4\u4e3a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u758f\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT1

\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(m(\\left\\lbrace f>\\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m(\\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b 10 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m( \\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m\\left(\\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} \\left\\lbrace f >\\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace\\right) \\]

\u200b\u800c\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^+} \\left\\lbrace f> \\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f > \\alpha + \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(\\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u540e\u200b\u4e00\u95ee\u200b\u5373\u8bc1\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^-} m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6362\u200b\u5230\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u5185\u6709\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^-} \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha- \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT4

\u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\([\\alpha,\\beta] \\subset (a,b)\\) \uff0c\\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\([\\alpha,\\beta]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b

\\[ A = \\left\\lbrace x\\in (a,b): f(x) > \\varepsilon \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ A_n = \\left\\lbrace x\\in \\left[a+ \\frac{1}{n},b-\\frac{1}{n}\\right]: f(x) > \\varepsilon \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(A_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ A = \\bigcup_{n=1}^\\infty A_n \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A_n\\) \u200b\u5747\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT5

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(f^2\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b \\(\\left\\lbrace f>0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u7531\u200b \\(f^2\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in D: f^2(x) > \\alpha^2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b. \\(\\alpha=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u7531\u200b\u9898\u610f\u200b\u81ea\u7136\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha>0\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in D: f(x) > \\alpha \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x\\in D : f(x)>0 \\right\\rbrace\\cap \\left\\lbrace x\\in D : f^2(x) > \\alpha^2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5747\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha< 0\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in D: f(x) > \\alpha \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x\\in D : f(x)>0 \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace x\\in D : f^2(x) < \\alpha^2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u540c\u7406\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f>\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%20-%208/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b - 8","text":"

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT1

\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(m(\\left\\lbrace f>\\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m(\\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u4e8c\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b 10 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} m( \\left\\lbrace f> \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m\\left(\\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^+} \\left\\lbrace f >\\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace\\right) \\]

\u200b\u800c\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^+} \\left\\lbrace f> \\alpha + \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f > \\alpha + \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m(\\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u53f3\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u540e\u200b\u4e00\u95ee\u200b\u5373\u8bc1\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha \\to 0^-} m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace) = m(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(m(D)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6362\u200b\u5230\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u5185\u6709\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta \\alpha\\to 0^-} \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha+ \\Delta \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha- \\frac{1}{n} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT3

\u200b\u82e5\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u6cbf\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b \\(E \\subset \\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(t\\in \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(E_t = \\left\\lbrace x\\in E: f(x)>t \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E_t\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_t\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(E_t = E\\cap G_t\\) .

\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u653e\u5728\u200b\u540e\u9762\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u8be5\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ D_\\alpha = \\left\\lbrace x\\in D: f(x)> \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(D_\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(D_\\alpha = D\\cap G_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x\\in E_t\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(x)>t\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta_x>0\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(y\\in E\\cap B(x,\\delta_x)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(y)>t\\) \uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u4f5c\u5f00\u96c6\u200b\uff1a

\\[ G_t = \\bigcup_{x\\in E_t}B(x,\\delta_x) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(E_t \\subset E\\cap G_t\\) \uff0c\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(B(x,\\delta_x)\\) \u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ E\\cap B(x,\\delta_x) \\subset E_t \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E\\cap G_t \\subset E_t\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\\(E_t = E\\cap G\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT6

\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(r\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f>r \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \uff08\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace f = r \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5982\u4f55\u200b\uff1f\uff09

\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\u7531\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u8bc1\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b\uff1a \u200b\u5373\u8bc1\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\eta \\in \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\eta \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u65f6\u200b\u6839\u636e\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff1b\u200b\u82e5\u200b \\(\\eta\\in \\mathbb{R}-\\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u4e8e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u7684\u200b\u5355\u589e\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace r_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\left\\lbrace f> \\eta \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f > r_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u800c\u200b \\(\\left\\lbrace f> r_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\eta \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace f=r \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(r\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(F \\subset \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b

\\[ f(x) = \\begin{cases} -\\sqrt{2}, & x\\in F \\\\ \\sqrt{2}, & x\\in \\mathbb{R}-F \\end{cases} \\]

\\(\\left\\lbrace f=r \\right\\rbrace\\) \u200b\u5728\u200b \\(r\\in \\mathbb{Q}\\) \u200b\u65f6\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u800c\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\left\\lbrace f= \\sqrt{2} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f\\) \u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT7

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_\\lambda(x) \\right\\rbrace_{\\lambda\\in \\Lambda}\\) \u200b\u662f\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u65cf\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b. \u200b\u8bd5\u95ee\u200b\uff1a\\(f(x) = \\sup\\left\\lbrace f_\\lambda(x): \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u6240\u6709\u200b \\(f_\\lambda(x)\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u53c8\u200b\u5982\u4f55\u200b\uff1f

\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u7684\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in F\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\Lambda = F\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ f_\\lambda(x) = \\begin{cases} 1, & \\lambda = x \\\\ 0, & \\lambda\\neq x \\end{cases} \\]

\\(f_\\lambda (x)\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u200b

\\[ f(x) = \\chi_F(x) \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b.

\u200b\u82e5\u200b\u6240\u6709\u200b \\(f_\\lambda(x)\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\[ V_\\alpha = \\left\\lbrace x\\in [0,1]: f(x)> \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u5747\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b. \u200b\u53d6\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u70b9\u200b\u4e3a\u200b \\(x_0\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u4ec5\u200b\u8003\u8651\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4ec5\u200b\u8003\u8651\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u5f53\u200b \\(f(x_0)> \\alpha\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(f(x_0)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\lambda\\in \\Lambda\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(f_\\lambda(x_0)> \\alpha\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f_\\lambda(x_0)\\) \u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8db3\u591f\u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b \\(\\delta>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\forall y\\in B(x_0,\\delta)\\) \u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(f_\\lambda(y)>\\alpha\\) . \u200b\u6545\u200b \\(f(y)>\\alpha\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x_0\\in V_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(B(x_0,\\delta) \\subset V_\\alpha\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(x_0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5185\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(V_\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT8

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u548c\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\\(f^{-1}(G)\\) \u200b\u548c\u200b \\(f^{-1}(F)\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u53ef\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff1a

\\[ G = \\bigcup_{n=1}^\\infty (a_n,b_n) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\((a_n,b_n)\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(f\\) \u200b\u539f\u50cf\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: a_n < f(x)< b_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ f^{-1}(G) = f^{-1}\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\right) = \\bigcup_{n=1}^\\infty f^{-1}[(a_n,b_n)] \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(f^{-1}(G)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(f^{-1}(G)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in f^{-1}\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\right)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(f(x)\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\in (a_1,b_1)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x\\in f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) .

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\\(x\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty f^{-1}[(a_n,b_n)]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in f^{-1}[(a_1,b_1)]\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f(x)\\in (a_1,b_1)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f(x)\\in \\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\) \uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b \\(x\\in f^{-1}\\left(\\bigcup\\limits_{n=1}^\\infty (a_n,b_n)\\right)\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\\(F^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u6709\u200b \\(F^c\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\\(F\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT9

\u200b\u8bbe\u200b \\(g(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f\\circ g\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u7531\u200b \\(g(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace g_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(g_n(x)\\to g(x)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f\\circ g_n(x)\\to f\\circ g(x)\\) \uff0c\uff08\u200b\u7531\u200b \\(f\\) \u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff09\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(f\\circ g_n\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT10

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(D\\) \u200b\u4e2d\u4f7f\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace\\) \u200b\u6536\u655b\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u5168\u4f53\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e3a\u200b \\(E\\) . \u200b\u5373\u200b

\\[ E = \\left\\lbrace \\lim_{n\\to \\infty} f_n(x) = \\lambda, \\lambda\\in \\mathbb{R} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4f5c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e0d\u200b\u6536\u655b\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(E^c\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(f_n(x)\\) \u200b\u5728\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u95f4\u200b\u6765\u56de\u200b\u632f\u8361\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\exists a,b\\in \\mathbb{Q}(a<b),\\forall n \\in \\mathbb{N}, \\exists k,l \\in \\mathbb{N}(k>n\\land l>n), \\\\ & f_k(x) \\leqslant a < b \\leqslant f_l(x) \\end{aligned} \\]

\u200b\u5373\u200b Cauchy \u200b\u6536\u655b\u200b\u51c6\u5219\u200b\u7684\u200b\u5426\u5b9a\u200b\u5f62\u5f0f\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ E^c = \\bigcup_{\\underset{a<b}{a,b\\in \\mathbb{Q}}} \\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k=n}^\\infty \\bigcup_{l=n}^\\infty ( \\left\\lbrace f_k \\leqslant a \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f_l \\leqslant b \\right\\rbrace ) \\]

\u200b\u6613\u77e5\u200b \\(\\left\\lbrace f \\leqslant a \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f \\leqslant b \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(E^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u53ef\u200b\u6570\u6b21\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(E^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT11

\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u5fae\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(f'(x)\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5373\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\left\\lbrace f' < \\alpha \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbb{R}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\dfrac{f(x+ \\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} < \\alpha \\]

\u200b\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\forall k \\in \\mathbb{N} ,\\exists l \\in \\mathbb{N} , \\dfrac{f\\left(x+\\dfrac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\dfrac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\text{ and } \\dfrac{f\\left(x-\\dfrac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\dfrac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} & \\left\\lbrace f' < \\alpha \\right\\rbrace = \\\\ & \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{l=1}^\\infty \\left(\\left\\lbrace \\dfrac{f\\left(x+\\frac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\frac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\right\\rbrace \\cap \\left\\lbrace \\dfrac{f\\left(x-\\frac{1}{l}\\right)-f(x)}{\\frac{1}{l}} < \\alpha - \\frac{1}{k} \\right\\rbrace\\right) \\end{aligned} \\]

\u200b\u800c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u548c\u200b \\(f(x+ \\frac{1}{l})\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(\\left\\lbrace f' < \\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT17

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_k(x) \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([a,b]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(f_k(x)\\to 0, \\mathrm{a.e.}\\) \uff0c\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ m\\left(\\left\\lbrace \\sup_{p \\geqslant k} |f_p(x)| > \\varepsilon \\right\\rbrace\\right)\\to 0(k\\to \\infty) $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1a

\\[ \\lim_{k\\to \\infty}\\left\\lbrace \\sup_{p \\geqslant k}|f_p(x)|> \\varepsilon \\right\\rbrace \\]

\u200b\u7531\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\exists l \\in \\mathbb{N} , \\forall k\\in \\mathbb{N}, \\exists p \\geqslant k , |f_p(x)| > \\frac{1}{l} \\]

\u200b\u6709\u200b

\\[ \\lim_{k\\to \\infty}\\left\\lbrace \\sup_{p \\geqslant k}|f_p(x)|> \\varepsilon \\right\\rbrace = \\bigcup_{l=1}^\\infty \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{p=k}^\\infty \\left\\lbrace |f_p| > \\frac{1}{l} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u800c\u200b \\(f_k(x)\\not\\to 0, \\mathrm{a.e.}\\) \u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{l=1}^\\infty \\bigcap_{k=1}^\\infty\\bigcup_{p=k}^\\infty \\left\\lbrace |f_p(x)|> \\frac{1}{l} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(m(\\left\\lbrace f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace)\\) \u200b\u662f\u200b\u8d8b\u4e8e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b. \u200b\u7531\u4e8e\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5145\u5206\u200b\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7b2c\u4e09\u7ae0\u200bT19

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace f_k(x) \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u5217\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u6709\u200b\u6b63\u200b\u6570\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace a_k \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_k f_k(x)\\to 0 ,\\mathrm{a.e.}\\) .

\u200b\u82e5\u200b\u8981\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_k f_k(x)\\to 0\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace a_k f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\exists l \\in \\mathbb{N}, \\forall k \\in \\mathbb{N} , \\exists p \\geqslant k , |f_p(x)| \\geqslant \\frac{1}{l a_p} \\]

\u200b\u5373\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace a_k f_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{l=1}^\\infty \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{p=k}^\\infty \\left\\lbrace |f_p(x)| \\geqslant \\frac{1}{l a_p} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace f_k(x) \\right\\rbrace_{k \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u7d27\u96c6\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b

\\[ a_p = \\frac{1}{2}\\inf_{x\\in[0,1]}\\left\\lbrace \\dfrac{1}{l|f_p(x)|} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u4e2d\u200b \\(a_p>0\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b \\(f_p(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u503c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5373\u53ef\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\left\\lbrace |f_p(x)| \\geqslant \\dfrac{1}{l a_p} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fdb\u800c\u200b \\(\\left\\lbrace a_kf_k(x)\\not\\to 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u6b21\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b\u4e60\u9898","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_1","title":"\u7b26\u53f7\u200b\u7ea6\u5b9a","text":"\u4e66\u672c\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \\(\\mathbf{Q}\\) \\(\\mathbb{Q}\\) \\(\\overline{\\overline{A}}\\) \\(\\| A\\|\\) \u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u53cc\u5c04\u200b \u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u5355\u5c04\u200b \\(a\\) \u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(c\\) \u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_2","title":"\u8bc1\u660e\u200b\u5177\u4f53\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_3","title":"\u6784\u9020\u200b\u53ef\u6570\u200b\u96c6\u5408","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200bT8

\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u6709\u200b \\(M>0\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u7b49\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(x_1,x_2,\\cdots,x_n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\uff1a $$ \\left|\\sum\\limits_{i=1}^n f(x_i)\\right|\\leqslant M $$ \u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(\\left\\lbrace x: f(x)\\neq 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u4e3a\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u8f6c\u5316\u200b\u4e3a\u200b\u66f4\u597d\u200b\u5206\u89e3\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: f(x)\\neq 0 \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x: f(x)>0 \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace x: f(x)<0 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\left\\lbrace x: f(x)>0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: f(x)>0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{i=1}^\\infty \\left\\lbrace x: f(x)> \\frac{1}{n} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5355\u72ec\u200b\u7684\u200b \\(\\left\\lbrace \\displaystyle x: f(x)> \\frac{1}{n} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4ece\u4e2d\u200b\u53d6\u51fa\u200b \\(nM\\) \u200b\u4e2a\u70b9\u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^{nM} f(x_i) > M \\]

\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u539f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_4","title":"\u6784\u9020\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200bT18

\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u5168\u4f53\u200b\u53ca\u200b\u6709\u7406\u200b\u7cfb\u6570\u200b\u591a\u9879\u5f0f\u200b\u5168\u4f53\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u6709\u9650\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u8bbe\u6709\u200b \\(m\\) \u200b\u9879\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &f: \\left\\lbrace a_1, a_2,\\cdots , a_m \\right\\rbrace = \\\\ &(m,a_1,a_2,\\cdots,a_m)\\in \\mathbb{N}\\times \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace\\times \\cdots \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u662f\u200b \\(\\mathbb{N}\\) \u200b\u4e0e\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4ece\u200b \\(m=1\\) \u200b\u5e76\u200b\u5230\u200b \\(\\infty\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u591a\u9879\u5f0f\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6ce8\u610f\u200b

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u4e0d\u8981\u200b\u5f04\u6df7\u200b\u4e86\u200b\u5e76\u200b\u548c\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u5173\u7cfb\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_5","title":"\u5177\u4f53\u200b\u53cc\u5c04\u200b\u6784\u9020","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#hilbert","title":"Hilbert \u200b\u65c5\u9986\u200b\u4e0e\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b T22(i)

\u200b\u5177\u4f53\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff1a

(i) \\([0,1]\\) \u200b\u548c\u200b \\((0,1)\\)

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u200b\u56de\u987e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b Hilbert \u200b\u65c5\u9986\u200b\u7684\u200b\u601d\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u89e3\u200b\uff1a \u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b \\(0,1\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6765\u5ba2\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u627e\u5230\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u632a\u52a8\u200b\u7b56\u7565\u200b\u3002\u200b\u8bbe\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9996\u5148\u200b\u8bbe\u200b \u201c\u200b\u65c5\u9986\u200b\u201d \u200b\u4e3a\u200b

\\[ A = \\left\\lbrace 0,1,\\frac{1}{2},\\frac{1}{3},\\cdots , \\frac{1}{n},\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bf9\u200b \\(x\\not\\in A\\) \uff0c\u200b\u7edf\u4e00\u200b \\(f(x) = x\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8ba9\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5ba2\u4eba\u200b\u5f80\u540e\u200b\u632a\u52a8\u200b\u4e24\u4f4d\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ f(x) = \\begin{cases} \\dfrac{1}{2} ,x=0\\\\ \\dfrac{1}{x+2}, x \\in \\mathbb{N}_+ \\\\ \\end{cases} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u9020\u200b\u7684\u200b \\(f\\) \u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b. \\(\\square\\)

HINT

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u662f\u200b\u6784\u9020\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u53cc\u5c04\u200b\u7684\u200b\u901a\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u627e\u5230\u200b\u201c\u200b\u6765\u5ba2\u200b\u201d\u200b\u548c\u200b\u79fb\u52a8\u200b\u7b56\u7565\u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u9009\u7528\u200b\u5df2\u77e5\u200b\u901a\u9879\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4f7f\u7528\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u632a\u52a8\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u62d3\u5c55\u200b

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5c06\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u9650\u5236\u200b\uff1a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u5426\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1f

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_6","title":"\u4e0d\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u53ca\u5176\u200b\u76f4\u79ef\u95f4\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u548c\u200b\u5c0f\u6570\u200b\u8868\u793a\u200b\u7684\u200b\u5e94\u7528\u200b.

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b T22(ii)

\u200b\u5177\u4f53\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff1a

(ii) \\((0,1]\\) \u200b\u4e0e\u200b \\((0,1]\\times (0,1]\\)

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u663e\u7136\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b \u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b \u200b\u4e00\u8282\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u7684\u200b\u5904\u7406\u200b\u662f\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\((0,1]\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9996\u5148\u200b\u5229\u7528\u200b\u5c0f\u6570\u200b\u8868\u793a\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u5168\u4f53\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &x = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty \\frac{x_i}{2^i}, \\\\ &f(x) = (x_1,x_2,\\cdots,x_n,\\cdots) \\end{aligned} \\]

\\(f\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b.

\u200b\u7136\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u518d\u200b\u5c06\u200b \\((0,1]\\times (0,1]\\) \u200b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} x_1^{(1)},x_2^{(1)},\\cdots \\\\ x_1^{(2)},x_2^{(2)},\\cdots \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u6309\u7167\u200b\u6bcf\u5217\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\((x_1,x_2)\\in (0,1]\\times (0,1]\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ g: (x_1,x_2) \\to (x_1^{(1)},x_1^{(2)},x_2^{(1)},\\cdots) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5230\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5c06\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\u590d\u5408\u200b\u6709\u200b \\(fg^{-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#_7","title":"\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%9A%E6%80%BB%E7%BB%93/%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E4%BD%9C%E4%B8%9A/#bernstein","title":"\u5229\u7528\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b T23

\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\u6709\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(2^c\\) .

HINT

\u200b\u5728\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u6216\u8005\u200b\u8d85\u8d8a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b\u4f1a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{F}\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(|\\mathcal{F}|\\geqslant 2^c\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b \\(\\chi_A\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(A\\subset \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\chi_A\\) \u200b\u4e0e\u5176\u200b\u5bf9\u5e94\u200b.

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(|\\mathcal{F}| \\leqslant 2^c\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace (x,f(x)): x\\in A, A\\subset \\mathbb{R} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(f\\in \\mathcal{F}\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\mathbb{R}^2\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u4e4b\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathbb{R}\\sim \\mathbb{R}^2\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5f97\u8bc1\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/","title":"Intro & \u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#intro_1","title":"Intro","text":"

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u79ef\u5206\u200b\u7684\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a

\\[ \\int_a^{+\\infty}\\mathrm{d}x\\int_c^\\infty f(x,y)\\mathrm{d}y = \\int_c^\\infty \\mathrm{d}y\\int_a ^\\infty f(x,y)\\mathrm{d}x \\]

\u200b\u7b49\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u9700\u8981\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1f\u200b\u5728\u200b Riemann \u200b\u79ef\u5206\u200b\u7684\u200b\u80cc\u666f\u200b\u4e0b\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u56f0\u96be\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5f15\u5165\u200b Lebesgue \u200b\u79ef\u5206\u200b.

\u200b\u56de\u987e\u200b Riemann \u200b\u79ef\u5206\u200b\uff1a

\\[ \\lim_{\\max(x_k-x_{k-1})\\to 0} \\sum\\limits_{k=1}^n f(\\xi_k)(x_k-x_{k-1}) \\]

\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b \u200b\u65f6\u200b\uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6781\u9650\u200b\u8d8b\u4e8e\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e5f\u200b\u8bf4\u200b\u5b58\u5728\u200b \uff09\u200b\u5c31\u662f\u200b Riemann \u200b\u79ef\u5206\u200b\u7684\u200b\u503c\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b Riemann \u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u79ef\u200b.

\u200b\u800c\u200b Lebesgue \u200b\u79ef\u5206\u200b\u76f8\u5f53\u4e8e\u200b\u201c\u200b\u6a2a\u7740\u200b\u5207\u200b\u201d\uff0c\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{k=1}^n |\\left\\lbrace x: y_{k-1}\\leqslant f(x)< y_k \\right\\rbrace| y_{k-1} \\]

\u200b\u5728\u200b\u6b64\u4ec5\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u611f\u89c9\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u66f4\u200b\u6df1\u5165\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b.

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\u200b\u8be5\u200b\u90e8\u5206\u200b\u5197\u4f59\u200b\u90e8\u5206\u200b\u8f83\u200b\u591a\u200b\uff0c\u200b\u53c2\u8003\u200b\u6559\u6750\u200b\u5373\u53ef\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_3","title":"\u96c6\u65cf","text":"

\u200b\u8bbe\u200b \\(X\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(X\\) \u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e9b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \u200b\u96c6\u65cf\u200b \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathcal{X}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u96c6\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathcal{X}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{X}\\) \u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup \\left\\lbrace A: A\\in \\mathcal{X} \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x: \\exists A\\in X, \\text{s.t. } x\\in A\\right\\rbrace \\]

\u200b\u96c6\u65cf\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u57fa\u672c\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u505a\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_4","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_5","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u5355\u8c03\u200b\u6027","text":"

\u200b\u8bbe\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace A_n \\right\\rbrace_{n\\geqslant1}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u82e5\u200b

\\[ A_1\\subset A_2 \\subset \\cdots \\subset A_n\\subset \\cdots \\]

\u200b\u5219\u200b\u8be5\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u5411\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20Intro%26%E9%9B%86%E5%90%88%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90/#_6","title":"\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650","text":"

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace A_n \\right\\rbrace_{n\\geqslant 1}\\) \uff0c\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u4e3a\u200b

\\[ B_n = \\bigcup_{k=n}^\\infty A_k , C_n = \\bigcap_{k=n}^\\infty A_k \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5355\u8c03\u200b\u6027\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u5224\u65ad\u200b \\(\\left\\lbrace B_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\left\\lbrace C_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\u548c\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b \\(\\left\\lbrace B_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace A_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ \\varlimsup_{n\\to \\infty} A_n = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k=n}^\\infty A_k $$ \u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace C_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ \\varliminf_{n\\to \\infty} A_n = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcap_{k=n}^\\infty A_k $$

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8be5\u200b\u5982\u4f55\u200b\u7406\u89e3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff1f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(B_n\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u65ad\u200b\u53bb\u6389\u200b \\(A_n\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5c31\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(A_k\\) \u200b\u90fd\u200b\u5305\u542b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e8e\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(A_k\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b.

\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\uff0c\u200b\u6709\u9650\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(A_k\\) \u200b\u4e0d\u200b\u542b\u6709\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6784\u6210\u200b\u4e86\u200b\u4e0b\u6781\u9650\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4f1a\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8ba8\u8bba\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A_n = \\left\\lbrace \\dfrac{m}{n} : m\\in \\mathbb{Z} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \\(\\displaystyle\\varlimsup_{n\\to \\infty}{A_n} = \\mathbb{Q}\\) \uff0c \\(\\displaystyle\\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n} = \\mathbb{Z}\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b \\(\\mathbb{Z}\\subset A_n \\subset \\mathbb{Q}\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b

\\[ \\mathbb{Z} \\subset \\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n} , \\varlimsup_{n\\to \\infty}{A_n} \\subset \\mathbb{Q} \\]

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\displaystyle\\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n} \\subset \\mathbb{Z}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bbe\u200b \\(\\displaystyle x\\in \\varliminf_{n\\to \\infty}{A_n}\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in A_n\\cap A_{n+1}\\) \uff08\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in \\displaystyle\\bigcap_{k=n_0}^\\infty A_k\\) \uff09\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b

\\[ x = \\frac{m_{n}}{n} = \\frac{m_{n+1}}{n+1} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(m_n\\) \u200b\u548c\u200b \\(m_{n+1}\\) \u200b\u662f\u200b\u6574\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5dee\u6bd4\u200b\u6027\u8d28\u200b\u6709\u200b \\(x = m_{n+1}-m_n\\in \\mathbb{Z}\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5305\u542b\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u518d\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\mathbb{Q} \\subset \\displaystyle\\varlimsup_{n\\to \\infty}{A_n}\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in \\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b \\(x = \\dfrac{p}{q}, p,q\\in \\mathbb{Z}\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u603b\u6709\u200b

\\[ \\dfrac{p}{q} = \\dfrac{np}{nq} \\in \\displaystyle\\bigcup_{k=n}^\\infty A_k \\]

\u200b\u8fdb\u800c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5305\u542b\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%98%A0%E5%B0%84/","title":"\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b - \u200b\u6620\u5c04","text":"

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6620\u5c04\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u91cc\u9762\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u900f\u5f7b\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u53ea\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%98%A0%E5%B0%84/#_1","title":"\u7279\u5f81\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\chi_A(x) = \\begin{cases} 1, x\\in A, \\\\ 0, x\\not\\in A. \\end{cases} \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u4e0e\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5305\u542b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a
  2. \u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff1a
  3. \u200b\u8865\u96c6\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a
  4. \u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u5dee\u200b\uff1a
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\u200b\u4e66\u672c\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u7b26\u53f7\u200b/\u200b\u672f\u8bed\u200b \\(\\mathbf{Q}\\) \\(\\mathbb{Q}\\) \\(\\overline{\\overline{A}}\\) $ | A | $ \u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u53cc\u5c04\u200b \u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b \u200b\u5355\u5c04"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_3","title":"\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u96c6\u5408\u200b\u95f4\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\sim B\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u91cc\u9762\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u5f88\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u6027\u8d28\u200b

  1. \uff08\u200b\u81ea\u53cd\u6027\u200b\uff09\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u6709\u200b \\(A\\sim A\\) .
  2. \uff08\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u6027\u200b\uff09\u200b\u82e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\sim B\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(B\\sim A\\) .
  3. \uff08\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff09\u200b\u82e5\u200b \\(A\\sim B\\) \u200b\u4e14\u200b \\(B\\sim C\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(A\\sim C\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u200b\u52a0\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5730\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e76\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace A_\\lambda: \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u65cf\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace B_\\lambda: \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\lambda \\in \\Lambda\\) \u200b\u6709\u200b \\(A_\\lambda \\sim B_\\lambda\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ \\bigcup\\left\\lbrace A_\\lambda: \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace \\sim \\bigcup \\left\\lbrace B_\\lambda : \\lambda\\in \\Lambda \\right\\rbrace$$

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_4","title":"\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\u3001\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\u3001\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u3001\u200b\u65e0\u9650\u200b\u548c\u200b\u53ef\u6570\u200b\uff1a - \u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A \\sim \\left\\lbrace 1,2,\\cdots,n \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff1b - \u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(A\\sim \\mathbb{N}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u76f8\u5173\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28\u200b

  1. \u200b\u4efb\u610f\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u5fc5\u200b\u542b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1b
  2. \u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff1b
  3. \u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff1b

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u53ea\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u76f4\u89c2\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6570\u9635\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{cccc} a_1^{(1)} & a_2^{(1)} & a_3^{(1)} &\\cdots \\\\ a_1^{(2)} & a_2^{(2)} & a_3^{(2)} & \\cdots \\\\ a_1^{(3)} & a_2^{(3)} & a_3^{(3)} & \\cdots \\end{array} \\]

\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8d70\u200b\u201c\u200b\u4e4b\u200b\u201d\u200b\u5b57\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b\u540c\u6837\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b\uff08\u200b\u867d\u7136\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u672c\u8eab\u200b\u5c31\u8981\u200b\u66f4\u5f3a\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\uff09. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b + \u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u201c\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u201d\u200b\u4e0d\u53d8\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\\(B\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\sim A\\cup B\\) .

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(A_1\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ A = (A-A_1)\\cup A_1 \\sim (A-A_1)\\cup (A_1\\cup B) = A\\cup B \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6ce8\u610f\u200b

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u9650\u5236\u200b\u53ef\u6570\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u7ecf\u5e38\u200b\u5e94\u7528\u200b\u5230\u200b.

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\u200b\u65e2\u7136\u200b\u6709\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u5730\u6709\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u770b\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u533a\u95f4\u200b\uff1a

\u200b\u82e5\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace a_1,a_2,\\cdots,a_n,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u53d6\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(I_1\\)\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_1 \\not\\in I_1\\subset [0,1]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u200b \\(I_2\\subset I_1\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a_2\\not \\in I_2\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(a_n\\not\\in I_n\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u8981\u6c42\u200b \\(\\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u8c03\u200b\u51cf\u200b\uff08\u200b\u66f4\u597d\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5bf9\u534a\u5206\u200b\uff09.

\u200b\u6839\u636e\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5957\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(\\xi\\in \\prod\\limits_{i=1}^\\infty I_i\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\xi \\not \\in I_n\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\xi \\neq a_n\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\xi \\in [0,1]\\) \u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u548c\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u6210\u4e3a\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(A\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(|A| = c\\) .

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u80fd\u5426\u200b\u5bfb\u627e\u200b\u5230\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u7814\u7a76\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#n","title":"\\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u603b\u80fd\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u9650\u5c0f\u6570\u200b\uff1a

\\[ a = 0.a_1a_2a_3\\cdots a_n\\cdots \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b\u672c\u6765\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u52a0\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b \\(0\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ a = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty \\frac{a_k}{10^k} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ f: a\\in [0,1] \\to \\left\\lbrace a_1,a_2,\\cdots,a_n,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u7684\u200b \\(a_k\\in \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,9 \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b

\u200b\u82e5\u200b\u6570\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace a_k \\right\\rbrace_{k\\geqslant 1}\\) \u200b\u7684\u200b\u9879\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u7531\u200b \\(0,1,\\cdots,n-1\\) \u200b\u8fd9\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u6570\u200b\u6784\u6210\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u8be5\u6570\u200b\u5217\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u521a\u521a\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b \\(10\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e0e\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n (n\\geqslant 2)\\) \u200b\u5143\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u4e5f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff1f

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5f0f\u5b50\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ a = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty \\dfrac{a_k}{n^k} \\]

\u200b\u4e25\u683c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53c2\u7167\u200b\u4e66\u672c\u200b\uff0c\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u9879\u200b\u5939\u200b\u903c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b\u7b2c\u4e00\u4f4d\u200b\u5f00\u59cb\u200b\u5f97\u5230\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^m \\frac{k_i-1}{n^i} < x \\leqslant \\sum\\limits_{i=1}^{m-1}\\frac{k_i-1}{n^i} +\\frac{k_m}{n^m} \\]

\u200b\u53d6\u200b\u6781\u9650\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u63d0\u793a\u200b\uff1a\u200b\u66f4\u4e3a\u200b\u76f4\u89c2\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\u65b9\u5f0f\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u200b\u76f4\u89c2\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u770b\u4f5c\u200b \\(n\\) \u200b\u8fdb\u5236\u200b\u4e0b\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u6570\u200b\u8868\u793a\u200b. \\(n=10\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6700\u200b\u719f\u6089\u200b\u7684\u200b\u5341\u8fdb\u5236\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u6839\u636e\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\u5e76\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u201c\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u201d\u200b\u4e0d\u53d8\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\([0,1]\\sim (0,1)\\) . \u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5408\u9002\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u53d1\u73b0\u200b \\(\\mathbb{R}\\sim (0,1)\\) \uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u53cc\u5c04\u200b \\(f(x) = \\dfrac{1}{1+ \\mathrm{e}^{-x}}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_7","title":"\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u56e0\u800c\u200b\u6709\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u7684\u200b\u60f3\u6cd5\u200b\uff1a\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u501f\u52a9\u200b\u5148\u524d\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u6765\u200b\u5370\u8bc1\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u70b9\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b\u5230\u200b \\(\\mathbb{R}^2 = \\mathbb{R}\\times \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u66f4\u5f3a\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u4ecd\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b

\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u4e3a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u8d77\u200b\u89c1\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bbe\u200b \\(X_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b

\\[ X = \\prod_{n=1}^\\infty X_n \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(x\\in X\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b

\\[ x = (x_1,x_2,\\cdots,x_n,\\cdots) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(x_i\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b

\\[ x_i = (x_1^{(i)},x_2^{(i)},\\cdots,x_n^{(i)},\\cdots) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u5957\u7528\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{cccc} x_1^{(1)} & x_2^{(1)} & x_3^{(1)} &\\cdots \\\\ x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & x_3^{(2)} & \\cdots \\\\ x_1^{(3)} & x_2^{(3)} & x_3^{(3)} & \\cdots \\end{array} \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u8d70\u200b\u201c\u200b\u4e4b\u200b\u201d\u200b\u5b57\u5f62\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ f(x) = \\left\\lbrace x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_1^{(2)},x_1^{(3)},x^{(2)}_2,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u6cbf\u200b\u4e4b\u5b57\u5f62\u200b\u6392\u200b\u597d\u200b\uff0c\u200b\u540c\u6837\u200b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5224\u65ad\u200b\uff1a

\u200b\u89e3\u9898\u200b\u63d0\u793a\u200b

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u63d0\u4f9b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6784\u9020\u200b\u6620\u5c04\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b \u200b\u7b2c\u4e00\u7ae0\u200b\u4e60\u9898\u200b T22 (ii) \u200b\u7684\u200b\u7075\u611f\u200b\u6765\u6e90\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_8","title":"\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#_9","title":"\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u5939\u200b\u903c","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5939\u200b\u903c\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A_0,A_1,A_2\\) \u200b\u662f\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ A_2 \\subset A_1 \\subset A_0 $$ \u200b\u82e5\u200b \\(A_0 \\sim A_2\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A_0\\sim A_1\\).

\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53c2\u8003\u200b\u6559\u6750\u200b. \uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u6784\u9020\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff09 \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E3%80%81%E5%9F%BA%E6%95%B0/#bernstein","title":"\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4e0e\u200b Bernstein \u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5f15\u5165\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(\\leqslant\\) \uff0c\u200b\u4e00\u822c\u800c\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(|A|\\leqslant|B|\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5177\u6709\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u6027\u8d28\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u601d\u8003\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u6bd4\u8f83\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall A, |A|\\leqslant |A|\\) .
  2. \\(|A|\\leqslant |B|\\) \u200b\u4e14\u200b \\(|B| \\leqslant |C|\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(|A|\\leqslant |C|\\) .
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(|A|\\leqslant |B|\\) \u200b\u4e14\u200b \\(|B|\\leqslant |A|\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(|A|=|B|\\) . (Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b)

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6700\u4e3a\u200b\u91cd\u8981\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u7ed9\u200b\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u6765\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \uff08\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u4e8e\u200b \\(A \\subset B\\) \u200b\u548c\u200b \\(B \\subset A\\) \u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(A=B\\)\uff09.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a (1) \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A \\sim A\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(|A|\\leqslant |A|\\) .

(2) \u200b\u8bbe\u200b \\(A\\sim B_1\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(B_1 \\subset B\\) \uff0c\\(B\\sim C_1\\) \uff0c\\(C_1\\subset C\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5bf9\u200b\u6620\u5c04\u200b\u7684\u200b\u9650\u5236\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(A\\sim C_2\\) \uff0c\\(C_2 \\subset C_1 \\subset C\\) .

(3) Bernstein \u200b\u5b9a\u7406\u200b \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(|A|\\leqslant |B|\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ A\\sim B_1 , B_1 \\subset B \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(|B|\\leqslant |A|\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ B \\sim A_1 , A_1 \\subset A \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(B_1 \\subset B\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ B_1 \\sim A_2 , A_2 \\subset A_1 \\]

\u200b\u6545\u200b \\(A\\sim A_2\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A_2 \\subset A_1 \\subset A\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(A\\sim A_1 \\sim B\\) . \u200b\u6545\u200b \\(|A| = |B|\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\leqslant\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u786e\u5b9a\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0d\u7b49\u4ef7\u200b\u4e14\u200b \\(|A|\\leqslant |B|\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(|A|<|B|\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(|A| = n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u5728\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u96c6\u65cf\u200b \\(\\mathcal{A}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(|\\mathcal{A}| = 2^n\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\mu\\)\uff0c\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u96c6\u65cf\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b\u540c\u6837\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(2^ \\mu\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u9700\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u662f\u5426\u200b\u6052\u6709\u200b \\(\\mu< 2^\\mu\\) \uff1f

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u57fa\u6570\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b\u96c6\u200b

\\[ \\mu< 2^\\mu \\]

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathcal{A}\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\left\\lbrace \\left\\lbrace x \\right\\rbrace : x\\in A\\right\\rbrace\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(\\mathcal{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(|A|\\leqslant \\mathcal{A}\\) . \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e24\u8005\u200b\u4e0d\u7b49\u4ef7\u200b.

\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff1a\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(f: A \\to \\mathcal{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(x\\in A\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c \\(f(x)\\subset A\\) .

\u200b\u4ee4\u200b

\\[ A^* = \\left\\lbrace x\\in A: x\\not\\in f(x) \\right\\rbrace \\] \u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u662f\u200b\u600e\u4e48\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u7684\u200b\uff1f

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u662f\u200b\u7531\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A^* \\subset A\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u6444\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x^*\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(f(x^*) = A^*\\) \uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/","title":"\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u62d3\u6251","text":"

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u5b66\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5df2\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u7684\u200b\u7edd\u5927\u90e8\u5206\u200b\u5185\u5bb9\u200b\uff08\u200b\u5ea6\u91cf\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u4f5c\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e0a\u200b\u624d\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u8865\u5145\u200b.

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\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6709\u4e2a\u200b\u5f88\u200b\u81ea\u7136\u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u533a\u95f4\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\uff0c \u200b\u6709\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u65cf\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5199\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a

\\[ f: (a,b)\\subset \\mathbb{R}\\to (a,b) \\in \\mathbb{R}^2 \\]

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u548c\u200b \\(\\mathbb{R}^2\\) \u200b\u7b49\u52bf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5f00\u7403\u200b\u548c\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#_2","title":"\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4","text":"

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\u200b\u8bbe\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b, \\((a,b)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b, \u200b\u82e5\u200b \\((a,b)\\subset G\\) \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(a\\not\\in G\\) \u200b\u4e14\u200b \\(b\\not\\in G\\) , \u200b\u5219\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u76f4\u89c2\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7531\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7ec4\u6210\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(G = (0,1)\\cup (4,5)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((0,1)\\) \u200b\u548c\u200b \\((4,5)\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in G\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\((x-\\varepsilon,x+\\varepsilon)\\subset G\\) \uff0c\u200b\u73b0\u4ee4\u200b\uff1a

\\[ b = \\sup \\left\\lbrace b'>x : (x,b')\\subset G \\right\\rbrace , a = \\inf\\left\\lbrace a'<x : (a',x)\\subset G \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5219\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\((a,b)\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(x\\in (a,b)\\) \uff08\u200b\u5177\u4f53\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7ec6\u8282\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff09. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff0c\\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u95f4\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#_3","title":"\u758f\u96c6\u200b\u548c\u200b\u7a20\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u758f\u96c6\u200b\u548c\u200b\u7a20\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E \\subset \\mathbb{R}^n\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u5fc5\u6709\u200b\u975e\u7a7a\u5f00\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u758f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u4e0e\u200b \\(E\\) \u200b\u6709\u200b\u975e\u7a7a\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7a20\u96c6\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbb{Z}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u758f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7a20\u96c6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#mathbbr-cantor-cantor","title":"\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u3001Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u548c\u200b Cantor \u200b\u51fd\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#_4","title":"\u5b8c\u5907\u200b\u96c6","text":"

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u4ec5\u200b\u63d0\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u672f\u8bed\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u5728\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u200b. \u200b\u542c\u200b\u8d77\u6765\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e0e\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u5b66\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u5ea6\u91cf\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4ece\u200b\u82f1\u6587\u200b\u6765\u770b\u200b\u4e24\u8005\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5f88\u5927\u200b. \uff08\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b Perfect Set \uff0c\u200b\u800c\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u5ea6\u91cf\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u5219\u200b\u662f\u200b Complete Metric Space \uff09

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u5728\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u62d3\u6251\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u662f\u200b\u4f1a\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u65e0\u9700\u200b\u8fc7\u591a\u200b\u5173\u6ce8\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#mathbbr","title":"\\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6","text":"

\u200b\u8bbe\u200b \\(F \\subset \\mathbb{R}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(F^c\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(F^c\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b

\\[ F^c = \\bigcup_{n=1}^\\infty (a_n,b_n) \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b \\(F\\) \u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u4f53\u73b0\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b.

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(F^c\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(F\\) \u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u800c\u200b\u4e3a\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7efc\u4e0a\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u4e3a\u200b\u4f7f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5145\u5206\u200b\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b \\(F^c =\\mathbb{R}-F\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u4e14\u200b\u65e0\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e3a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6784\u9020\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u63d0\u4f9b\u200b\u4e86\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u57fa\u7840\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#cantor","title":"Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6784\u9020\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6784\u9020\u65b9\u6cd5\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a \u200b\u5728\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u533a\u95f4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e09\u7b49\u5206\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(\\left(\\frac{1}{3},\\frac{2}{3}\\right)\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ f(x) = \\frac{1}{2}, x\\in I_{1,1} \\]

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u7ee7\u7eed\u200b\u4e09\u7b49\u5206\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u8d70\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(I_{2,1} = (\\frac{1}{9},\\frac{2}{9})\\) \u200b\u548c\u200b \\(I_{2,2}=(\\frac{7}{9},\\frac{8}{9})\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ f(x) = \\frac{2k-1}{2^2} ,x\\in I_{2,k} ,k=1,2 \\]

\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b65\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b \\(2^{n-1}\\) \u200b\u4e2a\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\frac{1}{3^{n-1}}\\) \u200b\u7684\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e0a\u53d6\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\frac{1}{3^n}\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b

\\[ f(x) = \\frac{2k-1}{2^n}, x\\in I_{n,k},k=1,2,\\cdots,2^{n-1} \\]

\uff08\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5c31\u662f\u200b\u540e\u7eed\u200b\u8981\u200b\u8bb2\u200b\u5230\u200b\u7684\u200b Cantor \u200b\u51fd\u6570\u200b\uff09 \u200b\u65e0\u9650\u200b\u5730\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e0b\u53bb\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bb0\u200b

\\[ G = \\bigcup_{n=1}^\\infty\\left\\lbrace I_{n,k}:1 \\leqslant k \\leqslant 2^{n-1},k\\in \\mathbb{N} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(I_{n,k}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u516c\u5171\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u4ee5\u200b \\(0,1\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7aef\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ C = \\mathbb{R}-[(-\\infty,0)\\cup G \\cup (0,+\\infty)] = [0,1]-G \\]

\u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b. \u200b\u79f0\u200b \\(C\\) \u200b\u4e3a\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ I_{1,1},I_{2,1},I_{2,2},\\cdots,I_{n,1},\\cdots,I_{n,2^{n-1}},\\cdots \\]

\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u52a0\u200b\u8d77\u6765\u200b\uff1a

\\[ \\frac{1}{3}+ \\frac{2}{3^2}+\\frac{2^2}{3^3} +\\cdots =\\sum\\limits_{n=1}^\\infty\\frac{2^{n-1}}{3^n} = 1 \\]"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#cantor_1","title":"Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5229\u7528\u200b\u53cd\u8bc1\u6cd5\u200b\uff1a\u200b\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x\\not\\in \\overline{G}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(x\\in [0,1]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\forall (x,\\varepsilon),(x,\\varepsilon)\\cap G = \\varnothing . \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u603b\u80fd\u200b\u627e\u5230\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\frac{1}{3^n}<\\varepsilon\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b65\u200b\u7684\u200b\u6784\u9020\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u5269\u4f59\u200b \\(2^n\\) \u200b\u4e2a\u200b \\(\\frac{1}{3^n}\\) \u200b\u957f\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u8d70\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b \\(\\frac{1}{3^n}\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e0e\u200b \\((x,\\varepsilon)\\) \u200b\u4ea4\u4e3a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b. \u200b\u4ece\u800c\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e0e\u200b\u524d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7531\u200b\u5176\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5bfc\u51fa\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b \\(C\\) \u200b\u4f3c\u4e4e\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u591a\u5c11\u200b\u70b9\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aCantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b

\\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u65e0\u9650\u200b\u4e09\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff1a

\\[ x = \\sum\\limits_{n=1}^\\infty \\frac{a_n}{3^n} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(I_{1,1} = (\\frac{1}{3},\\frac{2}{3})\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b \\(x\\)\uff0c\\(a_1=1\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(I_{2,1} = (\\frac{1}{9},\\frac{2}{9})\\) \u200b\u548c\u200b \\(I_{2,2} = (\\frac{7}{9},\\frac{8}{9})\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(a_2=1\\) .

\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\uff0c\\(I_{n,k}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(a_n=1\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5230\u200b\u542b\u6709\u200b \\(1\\) \u200b\u7684\u200b\u9879\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u7531\u200b \\(0,2\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u4e09\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u4e86\u200b \\(C\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b \uff08\u200b\u4ec5\u200b\u7531\u200b \\(0,2\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5230\u200b\u65e0\u9650\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u6570\u5217\u200b\uff09. \\(\\square\\)

Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u5411\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c55\u793a\u200b\u4e86\u200b\uff1a\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \uff08\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff09.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#cantor_2","title":"Cantor \u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u9020\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b \\(C=[0,1]-G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u987a\u5e26\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f(x)\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(g\\) \uff1a

\\[ \\begin{aligned} &g(1)=1, \\\\ &g(x) = \\inf\\left\\lbrace f(y):y>x ,y\\in G\\right\\rbrace,0\\leqslant x <1 \\end{aligned} \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in G\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u663e\u7136\u200b \\(f(x)=g(x)\\) . \\(g(G)\\) \u200b\u662f\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7a20\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(g([0,1])\\) \u200b\u4e3a\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u7684\u200b\u7a20\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(g\\) \u200b\u5728\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e0d\u200b\u8fde\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x_0\\in [0,1]\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ g(x_0-0)< g(x_0+0) \\]

\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(g(x_0-0)\\neq g(x_0)\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(g\\) \u200b\u4e3a\u200b\u9012\u589e\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b

\\[ (g(x_0-0),g(x_0))\\cap g([0,1]) = \\varnothing. \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u548c\u200b \\(g([0,1])\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7a20\u96c6\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u4e3a\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u5373\u200b\u88ab\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\u5230\u200b \\([0,1]\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5355\u589e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Cantor \u200b\u51fd\u6570\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20n%20%E7%BB%B4%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%8B%93%E6%89%91/#mathbbrn_1","title":"\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u957f\u65b9\u4f53","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\u3001\u200b\u534a\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\u3001\u200b\u95ed\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b

\u200b\u8bbe\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(k\\) \uff0c\\(1 \\leqslant k \\leqslant n\\) \uff0c\\(a_k< b_k\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ \\prod_{k=1}^n (a_k,b_k), \\prod_{k=1}^n (a_k,b_k],\\prod_{k=1}^n [a_k,b_k]$$ \u200b\u5206\u522b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\u3001\u200b\u534a\u5f00\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u95ed\u200b\u957f\u65b9\u4f53\u200b. \\(b_k-a_k\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8fb9\u957f\u200b\uff0c\\(\\displaystyle \\prod_{k=1}^n (b_k-a_k)\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4f53\u79ef\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(k \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b \\(\\mathcal{A}_k\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f62\u200b\u5982\u200b

\\[ \\prod_{i=1}^n \\left(\\frac{s_i-1}{2^k},\\frac{s_i}{2^k}\\right] \\]

\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b

\\[ (s_1,s_2,\\cdots,s_n) \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u6574\u6570\u200b\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4e14\u200b\u8fb9\u957f\u200b\u4e3a\u200b \\(\\frac{1}{2^k}\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) .

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\mathbb{R}^n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \uff0c\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u7684\u200b\u601d\u8def\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u6e05\u6670\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b \\(G\\) \u200b\u5148\u200b\u7528\u200b\u4f53\u79ef\u200b\u8f83\u5927\u200b\u7684\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u586b\u5145\u200b\uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u518d\u7528\u200b\u5c0f\u65b9\u4f53\u200b\u586b\u5145\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u65ad\u200b\u8865\u5145\u200b\u7f1d\u9699\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u7528\u200b\u66f4\u200b\u7b26\u53f7\u5316\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff1a\\(\\mathcal{A}_1'\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\mathcal{A}_1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff1b\u200b\u7528\u200b \\(\\mathcal{A}_2'\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\mathcal{A}_2\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(G-\\bigcup \\mathcal{A}_1'\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u2026\u2026

\u200b\u73b0\u5728\u200b

\\[ \\bigcup_{k=1}^\\infty \\mathcal{A}_k' \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u65cf\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u534a\u5f00\u200b\u65b9\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u663e\u7136\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(G\\) .

\u200b\u82e5\u200b \\(x\\in G\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(V(x,\\varepsilon)\\subset G\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b \\(k\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u6709\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u4e00\u5217\u200b\u6574\u6570\u200b \\((s_1,s_2,\\cdots,s_n)\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ x= (x_1,x_2,\\cdots,x_n)\\in \\prod_{i=1}^n \\left(\\frac{s_i-1}{2^k},\\frac{s_i}{2^k}\\right] \\subset V(x,\\varepsilon)\\subset G \\]

\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(x\\) \u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b9\u4f53\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/","title":"Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_1","title":"\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u6570","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u53ea\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u9700\u8981\u200b\u7279\u522b\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ 0\\cdot \\infty \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u662f\u200b \\(0\\) \uff0c\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u200b\u53cd\u200b\u76f4\u89c9\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u5f0f\u5b50\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(0\\) \u200b\u5b83\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u771f\u6b63\u200b\u7684\u200b \\(0\\) \uff0c\u200b\u800c\u662f\u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u4e8e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b.

\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7b80\u5199\u200b \\(+\\infty\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) .

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_2","title":"\u5f15\u8a00\u200b\uff1a\u200b\u6d4b\u5ea6","text":"

\u200b\u5bf9\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5176\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7aef\u70b9\u200b\u7684\u200b\u8ddd\u79bb\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\ell ([0,1]) = 1, \\ell ((0,1)) = 1 , \\ell ([1,+\\infty)) = \\infty \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e0c\u671b\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5230\u200b\u66f4\u200b\u590d\u6742\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u96c6\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u53bb\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\Omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u96c6\u200b\u65cf\u200b\uff0c\\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(m(E)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u957f\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e0c\u671b\u200b\u5b83\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#lebesgue_1","title":"Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#lebesgue_2","title":"Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aLebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(m^*(E)\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200bLebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b $$ m^*(E) = \\inf\\left\\lbrace \\sum\\limits_{n}\\ell(I_n): \\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant1} \\text{ \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u4e14\u200b }E\\subset \\bigcup_{n}I_n \\right\\rbrace $$

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(E = \\left\\lbrace x_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b

\\[ I_n = \\left(x_n - \\frac{\\varepsilon}{2^{n+1}},x_n + \\frac{\\varepsilon}{2^{n+1}}\\right) \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5176\u200b\u533a\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\ell(I_n) =\\dfrac{1}{2^n}\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5bf9\u200b\u5176\u200b\u6c42\u548c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b

\\[ m^*(E) \\leqslant \\varepsilon \\]

\u200b\u7531\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(m^*(E) = 0\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20Lebesgue%20%E5%A4%96%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_3","title":"\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u9996\u5148\u200b\u662f\u200b\u5355\u8c03\u200b\u9012\u589e\u200b\u6027\u200b\uff1a

\\(E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(E_1\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5373\u53ef\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(I\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(m^*(I) = \\ell (I)\\) .

\u200b\u5bf9\u200b\u6709\u754c\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(I = [a,b]\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u7d27\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\u5fc5\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u200b\u8986\u76d6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ \\sum\\limits_{n=1}^\\infty \\ell(I_n)> \\ell (I) \\]

\u200b\u5373\u200b\u6709\u200b \\(m^*(I)\\geqslant \\ell(I)\\) . \u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(I \\subset (a- \\varepsilon, b+ \\varepsilon)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6b63\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6709\u200b

\\[ m^* (I) \\leqslant \\ell (a-\\varepsilon,b+\\varepsilon) = b-a+2\\varepsilon \\]

\u200b\u4f46\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u4efb\u610f\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m^*(I) \\leqslant b-a =\\ell (I)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b\u5de6\u5f00\u200b\u53f3\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ [a+\\varepsilon,b]\\subset (a,b] \\subset [a,b] \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5355\u589e\u6027\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7ed3\u8bba\u200b.

\u200b\u5bf9\u65e0\u754c\u200b\u533a\u95f4\u200b \\([a,+\\infty)\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(b> a\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(I) > b-a \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7c7b\u578b\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\u540c\u7406\u200b. \\(\\square\\)

Remark.

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u5bf9\u200b\u533a\u95f4\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4f38\u7f29\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u975e\u5e38\u200b\u5e38\u7528\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b $$ m^*\\left(\\bigcup_{n}E_n\\right) \\leqslant \\sum\\limits_{n}m^*(E_n). $$

\u200b\u5982\u679c\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(m^*(E_n)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u56e0\u800c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u200b\u8986\u76d6\u200b\u6709\u200b

\\[ E_n \\subset \\bigcup_{k}I_k^{(n)} \\text{ and } \\sum\\limits_{k}\\ell(I_k^{(n)})< m^*(E_n)+ \\dfrac{\\varepsilon}{2^n} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b

\\[ \\bigcup_{n}E_n \\subset \\bigcup_n\\bigcup_k I_k^{(n)} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(m^*\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u77e5\u200b

\\[ \\begin{aligned} m^*\\left(\\bigcup_{n}E_n\\right)&\\leqslant \\sum\\limits_{n}\\sum\\limits_{k}\\ell (I_k^{(n)}) \\\\ &< \\sum\\limits_{n}\\left[m^*(E_n)+ \\frac{\\varepsilon}{2^n}\\right]=\\sum\\limits_{n}m^*(E_n)+\\varepsilon \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\varepsilon\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u5f97\u8bc1\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/","title":"Lebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u4e0e\u200b Lebesgue \u200b\u6d4b\u5ea6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#lebesgue","title":"Lebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aLebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u6709\u200b $$ m^*(A) = m^*(A\\cap E) + m^*(A\\cap E^c) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b Lebesgue \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b. \u200b\u7b80\u79f0\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u7531\u200b Lebesgue \u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b \u200b\u90e8\u5206\u200b\u7684\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(\\geqslant\\) \u200b\u7684\u200b\u65b9\u5411\u200b\u662f\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u5916\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(m^*(E)=0\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\in \\Omega\\) \u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(m(E)=0\\).

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ 0 \\leqslant m^*(A\\cap E) \\leqslant m^*(E) = 0. \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m^*(A \\cap E) =0\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A\\supset A\\cap E^c\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(m(E)=0\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_1","title":"\u533a\u95f4\u200b\u6d4b\u5ea6","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u7b49\u4e8e\u200b\u533a\u95f4\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(E\\) \u200b\u662f\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\in \\Omega\\) \u200b\u4e14\u200b \\(m(E) = \\ell (E)\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(E^c = \\mathbb{R}-E = E_1\\cup E_2\\) \uff0c \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(E_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(E_2\\) \u200b\u53ef\u80fd\u200b\u662f\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \uff08\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(E\\) \u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u6216\u8005\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u8d8b\u8fd1\u200b\u4e8e\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff09.

\u200b\u5229\u7528\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(m^*(A)<\\infty\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace I_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ A\\subset \\bigcup_{n}I_n \\text{ and } m^*(A)+ \\varepsilon > \\sum\\limits_n \\ell(I_n) \\]

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(A\\cap E \\subset \\bigcup\\limits_{n}(I_n \\cap E)\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(I_n\\cap E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} m^*(A\\cap E) &\\leqslant m^* \\left[\\bigcup_n (I_n \\cap E)\\right] \\leqslant\\sum\\limits_{n} m^*(I_n \\cap E) \\\\ &= \\sum\\limits_{n}\\ell (I_n \\cap E) \\end{aligned} \\]

\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u63a8\u7406\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(E_1,E_2\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(I_n\\cap E_1,I_n\\cap E_2,I_n \\cap E\\) \u200b\u662f\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u662f\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(I_n\\) \uff0c\u200b\u6613\u77e5\u200b

\\[ \\ell(I_n\\cap E_1)+\\ell(I_n\\cap E_2)+\\ell(I_n \\cap E) = \\ell (I_n) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ m^*(A\\cap E) +m^*(A\\cap E_1)+m^*(A\\cap E_2) \\leqslant\\sum\\limits_n\\ell (I_n) < m^*(A)+\\varepsilon \\]

\u200b\u53c8\u200b \\(A\\cap E^c = (A\\cap E_1)\\cup (A \\cap E_2)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7531\u6b21\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A\\cap E^c)\\leqslant m^*(A\\cap E_1)+ m^*(A\\cap E_2) \\]

\u200b\u5373\u200b

\\[ m^*(A\\cap E)+m^*(A\\cap E^c) \\leqslant m^*(A) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7531\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u77e5\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u533a\u95f4\u200b \\(E\\) \u200b\u6765\u8bf4\u200b \\(m^*(E) = \\ell (E)\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u957f\u5ea6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_2","title":"\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6","text":"

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u5217\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u4ec5\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5199\u200b\u5e76\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u4ee4\u200b

\\[ E = \\bigcup_{n} E_n \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9996\u5148\u200b\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A) \\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^n m^*(A \\cap E_k) +m^*(A \\cap E^c)\\tag{2.1} \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(n=1\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(E_1^c \\supset E^c\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(E_1\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u53ef\u5f97\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} m^*(A) &\\geqslant m^*(A\\cap E_1)+m^*(A\\cap E_1^*) \\\\ &\\geqslant m^*(A\\cap E_1) +m^*(A\\cap E^c) \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(n=1\\) \u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5bf9\u200b \\(n\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u5f0f\u200b \\((2.1)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u53d6\u5b9a\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b \\(A \\cap E^c_{n+1}\\) \u200b\u4ee3\u66ff\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ m^*(A\\cap E_{n+1}^c) \\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^n m^*(A\\cap E_{n+1}^c \\cap E_k) + m^*(A\\cap E_{n+1}^c \\cap E^c) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(E_{n+1}^c\\cap E_k = E_k\\) \uff0c\u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b \\(E_{n+1}^c\\cap E^c = E^c\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ m^*(A\\cap E_{n+1}^c) \\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^n m^*(A\\cap E_k) + m^*(A \\cap E^c) \\]

\u200b\u53c8\u200b\u4ece\u200b \\(E_{n+1}\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u53ef\u5f97\u200b

\\[ m^*(A)\\geqslant m^*(A\\cap E_{n+1}) + m^*(A\\cap E_{n+1}^c) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ m^*(A)\\geqslant \\sum\\limits_{k=1}^{n+1} m^*(A\\cap E_k) +m^*(A\\cap E^c) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\((2.1)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u4ee4\u200b \\(n\\to \\infty\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ m^*(A) \\geqslant \\sum\\limits_k m^*(A\\cap E_k) + m^*(A\\cap E^c) \\]

\u200b\u53c8\u200b\u6839\u636e\u200b \\(E = \\bigcup\\limits_k E_k\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b

\\[ \\sum\\limits_{k} m^*(A\\cap E_k) \\geqslant m^*(A\\cap E). \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m^*(A) \\geqslant m^*(A\\cap E)+m^*(A\\cap E^c)\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u7531\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

  1. \u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u8865\u96c6\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \uff08\u200b\u53ef\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b\uff09\uff1b
  2. \u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u96c6\u200b\u548c\u200b\u4ea4\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.
"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_3","title":"\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u5217\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b $$ m\\left(\\bigcup_{n}E_n\\right) = \\sum\\limits_{n}m(E_n) $$

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u8bc1\u660e\u200b Cantor \u200b\u5b8c\u5907\u200b\u96c6\u200b \\(C\\) \u200b\u662f\u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u6027\u200b\u7531\u200b\u5f15\u7406\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u5c06\u200b \\((2.1)\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(A\\) \u200b\u53d6\u4e3a\u200b \\(E\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6709\u200b

\\[ m(E) \\geqslant \\sum\\limits_n m(E_n) \\]

\u200b\u800c\u200b\u76f8\u53cd\u200b\u65b9\u5411\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.2%20Lebesgue%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E4%B8%8E%20Lebesgue%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6/#_4","title":"\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650\u200b\u548c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b\u7684\u200b\u6781\u9650","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5f53\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant1}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u4e24\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e4b\u4e00\u200b\u65f6\u6709\u200b $$ \\lim_{n\\to \\infty} m(E_n) = m\\left(\\lim_{n\\to \\infty} E_n\\right) $$

  1. \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u589e\u200b\uff1b
  2. \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u51cf\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(m(E_1)< \\infty\\) .

(1) \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ \\lim_{n\\to \\infty} E_n = \\bigcup_n E_n \\]

\u200b\u82e5\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}m(E_n) = \\infty\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8ba8\u8bba\u200b \\(\\lim\\limits_{n \\to \\infty}m(E_n)< \\infty\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u82e5\u4ee4\u200b \\(E_0 = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ \\bigcup_{n=1}^\\infty E_n = \\bigcup_{n=1}^\\infty (E_n - E_{n-1}) \\]

\u200b\u4e14\u200b \\(E_n-E_{n-1}\\) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b

\\[ m\\left(\\lim_{n\\to \\infty} E_n \\right) = m\\left[ \\bigcup_n (E_n-E_{n-1})\\right] = \\sum\\limits_n [m(E_n)-m(E_{n-1})] \\]

\u200b\u6700\u540e\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty} m(E_n)\\) .

(2) \u200b\u5229\u7528\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}E_n = \\bigcap\\limits_n E_n\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\left\\lbrace E_1-E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u8c03\u200b\u589e\u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.3%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%94%A8%E5%BC%80%E9%9B%86%E5%92%8C%E9%97%AD%E9%9B%86%E6%9D%A5%E9%80%BC%E8%BF%91/","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u7528\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u548c\u200b\u95ed\u96c6\u6765\u200b\u903c\u8fd1","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.3%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%94%A8%E5%BC%80%E9%9B%86%E5%92%8C%E9%97%AD%E9%9B%86%E6%9D%A5%E9%80%BC%E8%BF%91/#_2","title":"\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u903c\u8fd1","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u4e09\u6761\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u200b \\(m^*(G-E)< \\varepsilon\\).
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\)\uff0c\u200b\u6709\u200b\u542b\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)< \\varepsilon\\) .

(1) \\(\\Rightarrow\\) (2) \uff1a \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5206\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u2780 \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b \\(m(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u5217\u200b

\\[ E \\subset \\bigcup I_n \\text{ and } m(E)+\\varepsilon > \\sum\\limits \\ell (I_n) \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(G = \\bigcup I_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\\(E \\subset G\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b

\\[ m(G) \\leqslant \\sum\\limits \\ell (I_n) < m(E)+ \\varepsilon \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m(G-E) = m(G)-m(E) < \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e0b\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e86\u200b\u7ed3\u8bba\u200b.

\u2781 \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b

\\[ E_n = E\\cap [n,n+1), n=0,\\pm 1,\\cdots \\]

\u200b\u5219\u200b \\(\\left\\lbrace E_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u6709\u9650\u200b\u800c\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u96c6\u5217\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b

\\[ E = \\bigcup_n E_n \\]

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \u2780 \u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ E_n \\subset G_n \\text{ and } m(G_n - E_n) < \\frac{\\varepsilon}{2^{|n|+2}} \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(G = \\bigcup G_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(G \\supset \\bigcup E_n = E\\) \uff0c\u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup_n G_n - \\bigcup_n E_n \\subset \\bigcup_n (G_n-E_n) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ m(G-E) \\leqslant \\sum\\limits_n m(G_n - E_n) < \\sum\\limits_n \\frac{\\varepsilon}{2^{|n|+2}}< \\varepsilon . \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b (1) \\(\\Rightarrow\\) (3) \uff1a \u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(E^c\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u4e0a\u200b\u6bb5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E^c\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(G-E^c)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u4f46\u200b \\(G-E^c = E-G^c\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(m(E-G^c)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b \\(F = G^c\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u95ed\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b (3) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b (2) \\(\\Rightarrow\\) (1) \uff1a \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u5f00\u96c6\u200b \\(G_n\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u200b \\(m^*(G_n-E)< \\dfrac{1}{n}\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(G = \\bigcap\\limits_n G_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u5916\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \uff0c\\(G-E \\subset G_n -E\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b

\\[ m^*(G-E)\\leqslant m^*(G_n - E) < \\frac{1}{n} \\]

\u200b\u8fd9\u6837\u200b \\(m^*(G-E)=0\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(G-E\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(E=G-(G-E)\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b.

(3) \\(\\Rightarrow\\) (1) \u200b\u548c\u200b (2) \\(\\Rightarrow\\) (1) \u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u591a\u4f5c\u200b\u8d58\u8ff0\u200b. \u200b\u7efc\u4e0a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8bc1\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(F_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b\u3001\\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(E\\) \u200b\u80fd\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b\uff1b\u200b\u82e5\u200b \\(E\\) \u200b\u80fd\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u56db\u6761\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(F\\) \u200b\u548c\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b $$ F \\subset E \\subset G \\text{ and } m(G-F)< \\varepsilon. $$
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b \\(G_\\delta\\) \u200b\u96c6\u200b \\(G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(G-E)=0\\) \uff1b
  4. \u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e8e\u200b \\(E\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(F_\\sigma\\) \u200b\u96c6\u200b \\(F\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m^*(E-F)=0.\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u4e14\u200b \\(m(E)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\varepsilon>0\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u7aef\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(I_k\\) \uff0c\\(1 \\leqslant k \\leqslant n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(m(E \\Delta G)< \\varepsilon\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(G = \\bigcup\\limits_{k=1}^n I_k\\).

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/","title":"\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\u4e0d\u53d8\u6027\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/#_2","title":"\u5e73\u79fb","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e73\u79fb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E \\subset \\mathbb{R}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(y\\in \\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ E_y = \\left\\lbrace x+y: x\\in E \\right\\rbrace $$ \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(E\\) \u200b\u5173\u4e8e\u200b \\(y\\) \u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7b26\u5408\u200b\u76f4\u89c9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u76f8\u5f53\u4e8e\u200b\u7ed9\u200b\u6574\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5728\u200b\u6570\u8f74\u200b\u4e0a\u200b\u5e73\u79fb\u200b \\(y\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5355\u4f4d\u200b\u957f\u5ea6\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b 2.4.1

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u548c\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(y\\) \uff0c

  1. \\(E\\cap F_y = (E_{-y}\\cap F)_y\\) \uff1b
  2. \\((E^c)_y = (E_y)^c\\) \uff1b
  3. \\(m^*(E) = m^*(E_y)\\).

(1) \u200b\u5bf9\u200b \\(E\\cap F_y\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(x\\in E\\cap F_y\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(z\\in F\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(z+y=x\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(z = x-y\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(z\\in E_{-y}\\cap F\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\in (E_{-y}\\cap F)_y\\) \uff0c\u200b\u53cd\u5411\u200b\u57fa\u672c\u200b\u540c\u7406\u200b.

(2) \\(x\\in (E^c)_y\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(z\\in E^c\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(z+y = x\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(x-y\\notin E\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(x\\notin E_y\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(x\\in (E_y)^c\\) \uff0c\u200b\u53cd\u5411\u200b\u57fa\u672c\u200b\u540c\u7406\u200b.

(3) \u200b\u82e5\u6709\u200b

\\[ E \\subset \\bigcup_{k=1}^\\infty I^{(k)} \\]

\u200b\u53d6\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b \\(I_y^{(k)}\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ E_y \\subset \\bigcup_{k=1}^\\infty I_y^{(k)} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/#_3","title":"\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\u4e0d\u53d8\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\u4e0d\u53d8\u6027\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(y\\) \uff0c\\(E_y\\) \u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(m(E_y) = m(E)\\) .

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.4%20%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E4%B8%8D%E5%8F%98%E6%80%A7%E5%92%8C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%BE%8B/#_4","title":"\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in [0,1]\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ E(x) = \\left\\lbrace y\\in [0,1]: y-x \\in \\mathbb{Q} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff1a

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(E(x_1) =E(x_2)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\(\\sim\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u96c6\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u7406\u89e3\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(F \\subset [0,1]\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\left\\lbrace E(x): x\\in F \\right\\rbrace \\]

\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b \\([0,1]\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b \\(x_1,x_2\\in F\\) \uff0c\\(x_1\\not\\sim x_2\\) . \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u4ee4\u200b \\(\\left\\lbrace r_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant1}\\) \u200b\u662f\u200b \\([-1,1]\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4ee4\u200b \\(F_n\\) \u200b\u662f\u200b \\(F\\) \u200b\u5173\u4e8e\u200b \\(r_n\\) \u200b\u7684\u200b\u5e73\u79fb\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b

\\[ F_n = \\left\\lbrace x+r_n: x\\in F \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(F\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(F_n\\) \u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u4e14\u200b \\(m(F_n) = m(F)\\). \u200b\u6839\u636e\u200b \\(F_n\\) \u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace F_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u548c\u200b\u53ef\u6570\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ 1 = m([0,1])\\leqslant m\\left(\\bigcup_n F_n\\right) = \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m(F_n) \\leqslant m([-1,2]) = 3. \\]

\u200b\u6709\u200b

\\[ 1 \\leqslant \\sum\\limits_{n=1}^\\infty m(F) \\leqslant 3 \\]

\u200b\u4f46\u200b \\(m(F)\\) \u200b\u662f\u200b\u5e38\u503c\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u53d6\u503c\u200b\u8be5\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/","title":"\u4ee3\u6570\u200b\u3001\\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\u4e0e\u200b Borel \u200b\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#sigma","title":"\u4ee3\u6570\u200b\u4e0e\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u3001\\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(X\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u662f\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b (1) \u200b\u548c\u200b (2) \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u200b (1) \u200b\u548c\u200b (3) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff1a

(1) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(F\\in \\mathcal{F}\\) \uff0c\\(F^c = X-F\\in \\mathcal{F}\\) \uff1b

(2) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(F_1,F_2\\in \\mathcal{F}\\) \uff0c\\(F_1\\cup F_2 \\in \\mathcal{F}\\) \uff1b

(3) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b \\(\\left\\lbrace F_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\subset F\\) \uff0c\\(\\bigcup\\limits_n F_n \\in \\mathcal{F}\\).

\u200b\u5373\u200b\u8865\u96c6\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u3001\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u5e76\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff1b\u200b\u8865\u96c6\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u3001\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5e76\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b. \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4ea4\u96c6\u200b\u6765\u200b\u523b\u753b\u200b\u4ee3\u6570\u548c\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u662f\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#borel","title":"Borel \u200b\u96c6\u200b\u53ca\u5176\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#_1","title":"\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570\u200b

\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7531\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A(\\mathcal{F})\\). \u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u4ecd\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7531\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(B(\\mathcal{F})\\) .

\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(A(\\mathcal{F})\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\\(B(\\mathcal{F})\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathcal{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#borel_1","title":"Borel \u200b\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aBorel \u200b\u96c6\u200b

\u200b\u5b9e\u8f74\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Borel \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{B}\\) \uff0c\\(\\mathcal{B}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff0cBorel \u200b\u96c6\u662f\u200b\u7531\u200b\u5f00\u96c6\u200b\u548c\u200b\u95ed\u96c6\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u6b21\u200b\u4ea4\u200b\u3001\u200b\u5e76\u200b\u3001\u200b\u8865\u200b\u3001\u200b\u5dee\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.5%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%81sigma%20%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%B8%8E%20Borel%20%E9%9B%86/#borel_2","title":"Borel \u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aBorel \u200b\u96c6\u53ef\u6d4b\u200b

\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u5168\u4f53\u200b \\(\\Omega\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u200b \\(\\mathcal{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(\\mathcal{B}\\subset \\Omega\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b Borel \u200b\u96c6\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5c3d\u7ba1\u200b \\(\\mathcal{B} \\subset \\Omega\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\Omega \\subset \\mathcal{B}\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u4f1a\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e25\u683c\u200b\u5355\u589e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u4fdd\u6301\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(h\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u4e25\u683c\u200b\u5355\u589e\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(h\\) \u200b\u628a\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e3a\u200b Borel \u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u603b\u7ed3\u200b

\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b = Borel \u200b\u96c6\u200b \\(\\cup\\) \u200b\u96f6\u6d4b\u96c6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.1%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%80%A7%E8%B4%A8/","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e0e\u200b\u6709\u5173\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.1%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_2","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b $$ \\left\\lbrace x\\in D: f(x)> \\alpha \\right\\rbrace $$ \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(f\\) \u200b\u662f\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u901a\u5e38\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace, \\left\\lbrace f=\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u7b49\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u9898\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\u5b9a\u7406\u200b 1.5.15 \uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\left\\lbrace f> \\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u533a\u95f4\u200b\uff0c\\(D^\\circ\\) \u200b\u662f\u200b\u5f00\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b \\(D\\) \u200b\u81f3\u591a\u200b\u76f8\u5dee\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.1%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_3","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u8003\u8651\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5176\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace \\chi_D>\\alpha \\right\\rbrace = \\begin{cases} \\varnothing, & \\alpha \\geqslant 1, \\\\ D, & 0 \\leqslant \\alpha< 1, \\\\ \\mathbb{R}, & \\alpha<0 . \\end{cases} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u53ef\u6d4b\u96c6\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u56db\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(f\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\)\uff0c\\(\\left\\lbrace f<\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.
  4. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(\\alpha\\)\uff0c\\(\\left\\lbrace f \\leqslant\\alpha \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u662f\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u8282\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u4f53\u73b0\u200b\uff1a\u200b\u5229\u7528\u200b\u73b0\u6709\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u51fa\u65b0\u200b\u7684\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

\\[ \\left\\lbrace f \\geqslant \\alpha \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f> \\alpha- \\frac{1}{n} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4f59\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(g\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b

  1. \\(\\left\\lbrace f=\\lambda \\right\\rbrace,\\left\\lbrace \\alpha< f< \\beta \\right\\rbrace\\) \u200b\u7b49\u200b \\(f\\) \u200b\u53d6\u503c\u200b\u5728\u200b\u533a\u95f4\u200b\u5185\u200b\u7684\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\lambda\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u6570\u200b.
  2. \\(\\left\\lbrace f>g \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b.

(1) \u200b\u7531\u200b

\\[ \\left\\lbrace f=\\lambda \\right\\rbrace = \\left\\lbrace f \\geqslant \\lambda \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f> \\lambda \\right\\rbrace \\]

\u200b\u548c\u200b

\\[ \\left\\lbrace f = \\infty \\right\\rbrace = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left\\lbrace f>n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u51fa\u53d1\u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b.

(2) \u200b\u8bbe\u200b \\(\\left\\lbrace r_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b

\\[ \\left\\lbrace f>g \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty [\\left\\lbrace f>r_n \\right\\rbrace\\cap \\left\\lbrace g <r_n \\right\\rbrace] \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.2%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%80%A7%E8%B4%A8/","title":"\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.2%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_2","title":"\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(D\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b\uff0c\\(P(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0e\u200b \\(D\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u6709\u5173\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u9664\u4e86\u200b \\(D\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(E\\) \u200b\u5916\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in D-E\\) \uff0c\u200b\u547d\u9898\u200b \\(P(x)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bf4\u200b \\(P(x)\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7b80\u5199\u200b a.e. (almost every) \u200b\u7528\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\chi_\\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b

\\[ \\chi_\\mathbb{Q}(x) = 0\\quad \\mathrm{a.e.}\\quad x\\in \\mathbb{R} \\]

\u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\chi_\\mathbb{Q}(x)=0\\) \u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(f(D)\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(a_1,\\cdots,a_n\\) \u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bb0\u200b

\\[ E_k = \\left\\lbrace f= a_k \\right\\rbrace, k=1,2,\\cdots,n \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E_k\\) \u200b\u53ef\u6d4b\u200b. \u200b\u8bb0\u200b \\(\\chi_k\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(E_k\\) \u200b\u7684\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b

\\[ f(x) = \\sum\\limits_{k=1}^n a_k \\chi_k(x) \\]

\u200b\u82e5\u200b \\(f,g\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8bbe\u200b \\(\\lambda\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

"},{"location":"MATH-%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0/NKU%20%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0/3.2%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%80%A7%E8%B4%A8/#_3","title":"\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5bf9\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u903c\u8fd1","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5bf9\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u903c\u8fd1\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u5728\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace f_n \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in D\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u6536\u655b\u200b\u4e8e\u200b \\(f(x)\\) . \u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c

  1. \u200b\u5f53\u200b \\(f\\) \u200b\u975e\u200b\u8d1f\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(x\\in D\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u5355\u589e\u200b\u6536\u655b\u200b\u4e8e\u200b \\(f(x)\\) \uff1b
  2. \u200b\u5f53\u200b \\(f\\) \u200b\u6709\u754c\u65f6\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u5728\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u6536\u655b\u200b\u4e8e\u200b \\(f(x)\\).

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ f_n(x) = \\begin{cases} n, & f(x) \\geqslant n, \\\\ \\dfrac{k-1}{2^n}, & \\dfrac{k-1}{2^n} \\leqslant f(x) < \\dfrac{k}{2^n} , & k=-n2^n +1 , -n2^n +2 ,\\cdots,n2^n , \\\\ -n , & f(x)< -n. \\end{cases} \\]

\u200b\u5f88\u200b\u660e\u663e\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{n \\geqslant 1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u5217\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u56fa\u5b9a\u200b \\(x\\in D\\) .

\u200b\u82e5\u200b \\(f(x)=\\infty\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(f_n(x)=n\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(f_n(x)\\to f(x)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(f(x)=- \\infty\\) \u200b\u60c5\u5f62\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5f53\u200b \\(n\\) \u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u60df\u4e00\u200b\u7684\u200b \\(k_n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(-n2^n +1 \\leqslant k_n \\leqslant n2^n\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b

\\[ \\dfrac{k_n-1}{2^n} \\leqslant f(x) < \\dfrac{k_n}{2^n} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(f_n(x)=\\dfrac{k_n-1}{2^n}\\) \uff0c\\(0 \\leqslant f(x)-f_n(x)< \\dfrac{1}{2^n}\\) . \u200b\u4ee4\u200b \\(n\\to \\infty\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(f_n(x)\\to f(x)\\) .

\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u975e\u8d1f\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(f(x)< \\infty\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(n_0 \\leqslant f(x)<n_0+1\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b \\(n_0 \\geqslant 0\\) . \u200b\u73b0\u82e5\u200b \\(1 \\leqslant n \\leqslant n_0\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(f(x) \\geqslant n\\) \uff0c\\(f_n(x)=n\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace_{1 \\leqslant n \\leqslant n_0}\\) \u200b\u5355\u589e\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(n > n_0\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u60df\u4e00\u200b\u7684\u200b \\(k\\) \uff0c\\(1 \\leqslant k \\leqslant n\\cdot 2^n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ f_{n_0}(x) = n_0 \\leqslant \\frac{k-1}{2^n} \\leqslant f(x) < \\dfrac{k}{2^n}. \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u7531\u200b \\(f_n(x)\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(f_{n+1}(x) \\geqslant f_n(x) \\geqslant f_{n_0}(x)\\) . \u200b\u8fd9\u6837\u200b \\(\\left\\lbrace f_n(x) \\right\\rbrace\\) \u200b\u5355\u589e\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(f\\) \u200b\u6709\u200b\u754c\u200b\uff0c\\(M\\) \u200b\u662f\u200b \\(|f|\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0a\u200b\u754c\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5f53\u200b \\(n > M\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace f \\geqslant n \\right\\rbrace\\) \u200b\u53ca\u200b \\(\\left\\lbrace f< -n \\right\\rbrace\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bf9\u200b\u4e00\u5207\u200b \\(x\\in D\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ |f_n(x)-f(x)| < \\dfrac{1}{2^n} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u6536\u655b\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4ee5\u4e0a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u7b80\u5355\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u91cd\u8981\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(g\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6d4b\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(\\lambda\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\lambda f, |f|,fg\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u5916\u200b\u82e5\u200b \\(f+g,f-g\\) \u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u5904\u5904\u200b\u6709\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6d4b\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5f53\u200b \\(\\lambda \\neq 0\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\forall \\alpha\\in \\mathbb{R}\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace \\lambda f > \\alpha \\right\\rbrace = \\begin{cases} \\left\\lbrace f >\\dfrac{\\alpha}{\\lambda} \\right\\rbrace, & \\lambda >0 \\\\ \\left\\lbrace f < \\dfrac{\\alpha}{\\lambda} \\right\\rbrace, & \\lambda<0 . \\end{cases} \\]

\\(\\lambda=0\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u663e\u7136\u200b\u53ef\u6d4b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace |f| > \\alpha \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\lbrace |f| > \\alpha \\right\\rbrace = \\begin{cases} D , & \\alpha<0 \\\\ \\left\\lbrace f > \\alpha \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace f < - \\alpha \\right\\rbrace, & \\alpha \\geqslant 0 \\end{cases} \\]"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/","title":"\u534a\u7fa4\u200b\u4e0e\u200b\u7fa4","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_2","title":"\u6559\u6750\u200b\u601d\u8003\u9898","text":"

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.5

\u200b\u662f\u5426\u200b\u5b58\u5728\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(S\\) \uff0c \\(S\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u800c\u200b\u65e0\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff1f

\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a\\(S=\\{a,b\\}\\) \uff0c\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases}ab=b \\\\ ba=a \\\\ aa=a \\\\ bb=b \\\\ \\end{cases} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff0c\u200b\u7ed3\u5408\u5f8b\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(a,b\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.6

\u200b\u82e5\u200b\u4e00\u4e2a\u534a\u200b\u7fa4\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u65e2\u6709\u200b\u5de6\u5e7a\u5143\u200b\u53c8\u200b\u6709\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff0c \\(S\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff1f

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(l\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c \\(r\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\u4e0b\u5f0f\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

\\[ l=lr=r \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(l=r\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\\(l\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c \\(S\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.11

\u200b\u662f\u5426\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(S\\) \u200b\u53ca\u200b \\(a\\in S\\) \uff0c\\(a\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u800c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff1f

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u590d\u6742\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6765\u6e90\u200b\u81ea\u200b\u8bfe\u540e\u200b\u4e60\u9898\u200b1.1\u200b\u7684\u200bT3\uff1a \u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a \u200b\u8bb0\u200b \\(M(\\mathbb{N})\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{N}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u53d8\u6362\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(f\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ f(n)=n+1,\\ \\forall n\\in \\mathbb{N} \\]

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(f\\) \u200b\u6709\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u3002

\u200b\u8bbe\u200b\u53d8\u6362\u200b \\(g\\in M(\\mathbb{N})\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u7684\u200b\u590d\u5408\u200b\u3002\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(g\\circ f\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ g(n)= \\begin{cases}n-1,n\\geq1 \\\\ x,n=0\\end{cases} \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((g\\circ f)(n)=n\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6052\u7b49\u200b\u53d8\u6362\u200b \\(\\mathrm{id}\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(g\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u3002 \\(x\\in\\mathbb{N}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u3002

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(h\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\((f\\circ h)(n)=n\\) . \u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(f(h(n))=h(n)+1=n\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(h(n)=n-1\\) . \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e8e\u200b \\(M(\\mathbb{N})\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\uff1a\u200b\u5f53\u200b \\(n=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u8d85\u51fa\u200b \\(\\mathbb{N}\\) \u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b\u3002\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.12

\u200b\u82e5\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(S\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(a\\) \u200b\u65e2\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e5f\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(a\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\uff1f

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(e\\in S\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(S\\) \u200b\u7684\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(b\\) \uff0c\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(c\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ ba=e,ac=e \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} bac&=(ba)c=c\\\\ &=b(ac)=b \\end{aligned} \\]

\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(b=c\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(b\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\u3002

\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b1.1.16

\u200b\u82e5\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5de6\u5e7a\u5143\u4e14\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5143\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u53f3\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b\uff1f

\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b \\(a*b=b\\) \u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u672c\u9898\u200b\u7684\u200b\u53cd\u4f8b\u200b\u3002

\u200b\u6ce8\u8bb0\u200b1.1.20 \u200b\u8bfb\u8005\u200b\u8bc1\u660e\u9898\u200b

\u200b\u8bbe\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b \\(ab\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b\u56fa\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u800c\u200b\u8ba9\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u53d8\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u7fa4\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u3002\u200b\u8bf7\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u53d8\u6362\u200b\u662f\u200b\u5355\u5c04\u53ca\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u3002

\u200b\u9996\u5148\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u5355\u200b\u5c04\u200b\u3002\u200b\u9898\u4e2d\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u7684\u200b\u53d8\u6362\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(\\tau: ab\\in G\\to c\\in G\\) . \u200b\u53ef\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\tau(b)=c\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\tau(b_1)=c_1,\\tau(b_2)=c_2\\) . \u200b\u5047\u5982\u200b \\(b_1\\neq b_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(c_1\\neq c_2\\) . \u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(c_1=c_2\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(ab_1=ab_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5de6\u6d88\u200b\u53bb\u5f8b\u200b\u6709\u200b \\(b_1=b_2\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01

\u200b\u518d\u200b\u8003\u8651\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall c\\in G\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(ax=c\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65b9\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u65b9\u7a0b\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u6709\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(c\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u539f\u50cf\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u3002

\u200b\u6ce8\u8bb0\u200b1.1.20 \u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b1.1.19\u200b\u5bf9\u200b\u65e0\u9650\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b

\u200b\u5c1d\u8bd5\u200b\u4e3e\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5de6\u200b\u3001\u200b\u53f3\u6d88\u200b\u53bb\u5f8b\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff1a \\(\\forall a,b:ab=a+b\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u534a\u7fa4\u200b \\(\\{\\mathbb{N};+\\}\\) \uff0c\u200b\u5de6\u53f3\u200b\u6d88\u53bb\u5f8b\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) . \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(a+b=0\\) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall a>0\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(a>0\\) \u200b\u5747\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5bfc\u81f4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7fa4\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_3","title":"\u6982\u5ff5\u200b\u8fa8\u6790","text":"

\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u3001\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u548c\u200b\u7fa4\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall a,b\\in G\\) \u200b\u6709\u200b \\(a\\circ b\\in G\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\circ\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u3002
  2. \\(\\forall a,b,c\\in G\\) \u200b\u6709\u200b \\((a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u7ed3\u5408\u5f8b\u200b\u3002
  3. \\(\\exists e\\in G\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\forall a\\in G\\) \uff0c \\(e\\circ a=a\\circ e=a\\) . \u200b\u5373\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u3002
  4. \\(\\forall a\\in G,\\exists b\\in G\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(b\\circ a= a\\circ b=e\\) \u200b\u5373\u200b \u200b\u4efb\u610f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u5143\u200b\u3002

\u200b\u6ee1\u8db3\u200b 1. 2. \u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b3.\u200b\u7684\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u534a\u7fa4\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b4.\u200b\u7684\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5229\u7528\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u7684\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5c55\u793a\u200b\u3002

\\[ \\begin{array}{c|cc} ~&a&b\\\\ \\hline a&a&b\\\\ b&a&b \\end{array} \\]

\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u3002\u200b\u7528\u200b\u5b9e\u4f8b\u200b\u6765\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(G=\\{1,-1\\}\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7fa4\u8868\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{c|cc} \\times & 1 & -1\\\\ \\hline 1&1&-1\\\\ -1&-1&1 \\end{array} \\]"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_4","title":"\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u4e0e\u200b\u8fd0\u7b97","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_5","title":"\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5bf9\u200b\u6700\u540e\u200b\u5224\u65ad\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(xa=a\\) \u200b\u5728\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6709\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(e_a\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7684\u200b\u76ee\u6807\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(e_a\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u76ee\u6807\u200b\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\forall c\\in G, e_ac=c\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(ax=c\\) \u200b\u5728\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6709\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(ad=c\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ e_ac=e_a(ad)=(e_aa)d=ad=c \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(e_a\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u540c\u7406\u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b\u53f3\u5e7a\u5143\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u552f\u4e00\u200b\u3002\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a\\) \u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x\\in G\\) \u200b\u6709\u200b \\(xa=e,ax=e\\) .

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#_6","title":"\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u4f8b\u5b50","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%8D%8A%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E7%BE%A4/#klein","title":"Klein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4","text":"

Klein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4\u200b\u9996\u6b21\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e60\u9898\u200b1.2\u200b\u7684\u200bT1\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u3002

Klein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4\u200b

\u200b\u5728\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(K_4=\\{e,a,b,c\\}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a $$ \\begin{array}{c|cccc} &e&a&b&c \\\\ \\hline e&e&a&b&c \\\\ a&a&e&c&b \\\\ b&b&c&e&a \\\\ c&c&b&a&e\\end{array} $$ \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(K_4\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200bKlein\u200b\u56db\u5143\u200b\u7fa4\u200b.

\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6765\u8bf4\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u4e3a\u200b \\(e\\) \uff0c\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u662f\u200b\u5269\u4f59\u200b\u7684\u200b\u90a3\u4e2a\u200b\u975e\u5e7a\u5143\u200b\u5143\u7d20\u200b\u3002

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\u200b\u4e09\u6b21\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u200b

\u200b\u4e09\u6b21\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e09\u5143\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u5230\u200b\u516d\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4e09\u6b21\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(S_3\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a $$ S_3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} $$

\u200b\u89c1\u200b\u5bf9\u79f0\u200b\u7fa4\u200b\u4e0e\u200b\u4ea4\u9519\u200b\u7fa4\u200b\u90e8\u5206\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u3002

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\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u5224\u522b\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u6700\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u5224\u522b\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff0c

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\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u6574\u6570\u200b\u52a0\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(m\\in \\mathbb{N}\\) , \u200b\u5219\u200b \\(m\\mathbb{Z}=\\{mn|n\\in\\mathbb{Z}\\}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{Z}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u90fd\u200b\u5f62\u5982\u200b \\(m\\mathbb{Z}\\).

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\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(H_1\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(H_2\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(H_1\\cap H_2\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u591a\u200b\uff08\u200b\u5305\u62ec\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\uff09\u200b\u4e2a\u5b50\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u4ecd\u200b\u662f\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u8bbe\u200b \\(a_1,b_1\\in H_1\\cap H_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(a_1,b_1\\in H_1,H_2\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002\u200b\u6839\u636e\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\u6709\u200b \\(a_1b_1\\in H_1\\cap H_2\\) \uff0c \\(b_1\\) \u200b\u6709\u200b\u9006\u5143\u200b \\(b_1^{-1}\\in H_1,H_2\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(a_1b_1^{-1}\\in H_1\\cap H_2\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002\u200b\u4efb\u610f\u200b\u591a\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\u3002

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u8be6\u89c1\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u601d\u8003\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b

\u200b\u8bf7\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u8003\u8651\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\uff1a\\(\\{\\mathbb{N}^*;\\times\\}\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff1a\\(2\\mathbb{N}^*,3\\mathbb{N}^*\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u4e4b\u200b\u5e76\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b2\u200b\u7684\u200b\u500d\u6570\u200b\u548c\u200b3\u200b\u7684\u200b\u500d\u6570\u200b\uff0c\u200b\u660e\u663e\u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u3002

\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u5462\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H,K\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ H\\cup K\\leq G\\iff H\\subset K \u200b\u6216\u200b K\\subset H $$

\u200b\u4ec5\u200b\u8bc1\u660e\u200b(\\(\\Rightarrow\\))\u200b\u65b9\u5411\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(h\\in H,k\\in K\\) \u200b\u4e14\u200b \\(h,k\\notin H\\cap K\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b \\(hk\\) \u200b\u6240\u5728\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(hk\\in H\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(h^{-1}hk\\in H\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(k\\in H\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e0e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u9009\u62e9\u200b\u76f8\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\\(hk\\in K\\) \u200b\u540c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(hk\\notin H\\cup K\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(H\\cup K\\) \u200b\u662f\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e0d\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u3002

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u53d6\u6cd5\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u6bd5\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_8","title":"\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_9","title":"\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e4b\u524d\u200b\uff0c\u200b\u5148\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\u8bb0\u53f7\u200b \\(a^n\\) \u200b\u4e0e\u5176\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a \u200b\u6211\u4eec\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\uff1a\\(\\(a^n=a\\cdot a\\cdot a\\cdots \\cdot a(\u200b\u5171\u200bn\u200b\u4e2a\u200ba)\\)\\) \u200b\u6027\u8d28\u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) \uff0c\u200b\u82e5\u6709\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a^n=e\\) \u200b\u800c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(m\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(a^m\\neq e\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u4e14\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u9636\u5143\u200b, \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(o(a)= n\\) \uff1b\u200b\u5426\u5219\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(a^n\\neq e\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u89c4\u5b9a\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \u200b\u4e14\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u9636\u5143\u200b, \\(o(a)=\\infty\\) .

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_10","title":"\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a - \u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b\u6216\u8005\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u3002 - \u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(1\\) \u200b\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(1\\) . \u200b\u4e0a\u9762\u200b\u6027\u8d28\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u7565\u8fc7\u200b\u3002

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7814\u7a76\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u6574\u9664\u200b\u6027\u8d28\u200b

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_11","title":"\u5355\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e0e\u200b\u5e42","text":"

\u200b\u9636\u4e3a\u200b\u65e0\u7a77\u5927\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) , \u200b\u5219\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\forall m\\neq n,m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^m\\neq a^n\\) .

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\Rightarrow\\) \u200b\u65b9\u5411\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b \\(a\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) . \u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(\\exists m<n,m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a^m= a^n\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(a^{n-m}a^m=a^n=a^m\\) , \u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(a^{n-m}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u552f\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(a^{n-m}=e\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u4e0e\u5176\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\infty\\) \u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01 \u200b\u53cd\u200b\u65b9\u5411\u200b\u540c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\exists t\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(a^t=e\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(a^{n-t}a^t=a^n\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u4ea7\u751f\u77db\u76fe\u200b\u3002

\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u6574\u9664\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\) , \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall h\\in \\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^h=e\\iff d\\mid h\\) ;
  2. \\(\\forall m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^m=a^n\\iff d\\mid (m-n)\\iff m\\equiv n\\pmod{d}\\)

1.\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a (\\(\\Rightarrow\\)) \u200b\u5bf9\u200b \\(a^h=e\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(a^d=e\\) , \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(h>d\\) . \u200b\u82e5\u200b \\(d\\nmid h\\) \u200b\u5219\u200b\u5e26\u200b\u4f59\u200b\u9664\u6cd5\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\uff1a\\(h=nd+r\\ (n,r\\in\\mathbb{N^*},d>r)\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ a^h=(a^d)^n\\cdot a^r=a^r=e \\]

\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(d>r\\) , \u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5f15\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b\u3002 \u200b\u53cd\u200b\u65b9\u5411\u200b\u540c\u7406\u53ef\u8bc1\u200b\u3002

2.\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \\(d|(m-n)\\iff m\\equiv n\\pmod{d}\\) \u200b\u6839\u636e\u200b\u5e26\u4f59\u200b\u9664\u6cd5\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\u3002 \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\forall m,n\\in\\mathbb{Z}\\) \u200b\u6709\u200b \\(a^m=a^n\\) \\(\\iff\\) \\(d|(m-n)\\) . \u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(m>n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b \\(a^{m-n}=e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b1.\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u8bc1\u200b\u3002

\u200b\u547d\u9898\u200b3

\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\), \\(k\\in\\mathbb{N}^*\\) , \u200b\u5219\u200b\uff1a

  1. \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle\\frac{d}{(d,k)}\\) , \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\((d,k)\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(d,k\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5927\u200b\u516c\u56e0\u6570\u200b\uff1b
  2. \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(d\\) \\(\\iff\\) \\((d,k)=1\\) .

1.\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(t\\) , \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(a^{kt}=e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u547d\u9898\u200b2\u200b\u6709\u200b \\(d|kt\\) . \u200b\u8bbe\u200b \\(d=(d,k)d_1\\) , \\(k=(d,k)k_1\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\uff1a \\(d_1|k_1t\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\((d_1,k_1)=1\\) , \u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(d_1|t\\) . \u200b\u800c\u200b \\(a^{kd_1}=a^{(d,k)k_1d_1}=a^{dk_1}=e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(t=d_1\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5373\u200b \\(a^k\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle\\frac{d}{(d,k)}\\) . 2.\u200b\u4e3a\u200b1.\u200b\u7684\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5e94\u7528\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_12","title":"\u4e58\u79ef\u200b\u7684\u200b\u5e42\u200b\u4e0e\u200b\u9636","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b4

\u200b\u8bbe\u200b \\(a,b\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\) , \\(b\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) , \\(ab=ba\\) , \\((m,n)=1\\) , \u200b\u5219\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(mn\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\u6839\u636e\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\((ab)^{mn}=a^mb^n=e\\) . \u200b\u8bbe\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(k\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\((ab)^k = a^kb^k = e\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(k|mn\\) . \u200b\u53c8\u200b

\\[ e=(ab)^{km}=a^{km}b^{km}=b^{km} \\]

\u200b\u6545\u7531\u200b\u547d\u9898\u200b2\u200b\u6709\u200b \\(n|km\\) . \u200b\u540c\u7406\u200b\u6709\u200b \\(m|kn\\) . \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\((m,n)=1\\) \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(m|k\\) \u200b\u4e14\u200b \\(n|k\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b \\(nm|k\\) \uff0c\u200b\u8fdb\u800c\u200b \\(nm=k\\) .

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u52a0\u5f3a\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b5

\u200b\u8bbe\u200b \\(a,b\\in G\\) , \\(a\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\) , \\(b\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) , \\(ab=ba\\) , \u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(c\\in G\\) , \\(c\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(m,n\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u516c\u500d\u6570\u200b\u3002

\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u672c\u200b\u547d\u9898\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff08\u200b\u975e\u200b\u4e25\u683c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff09\uff1a\u200b\u5206\u89e3\u200b\u8d28\u56e0\u6570\u200b\uff1a \\(\\displaystyle m =\\prod_{i=1}^n\\alpha_i^{k_i},n =\\prod_{i=1}^n\\alpha_i^{t_i}\\) \uff08\u200b\u82e5\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u8d28\u56e0\u6570\u200b\u5219\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\u4e00\u65b9\u200b\u53d6\u5e42\u200b\u4e3a\u200b0\uff09\u200b\u53d6\u200b

\\[ m'=\\prod_{i,k_i\\geq t_i}\\alpha_i,n'=\\prod_{i,k_i<t_i}\\alpha_i \\]

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u53d6\u6cd5\u200b\u7528\u200b\u66f4\u200b\u5229\u4e8e\u200b\u7406\u89e3\u200b\u7684\u8bdd\u200b\u6765\u8bb2\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e24\u8005\u200b\u7684\u200b\u8d28\u56e0\u6570\u200b\u5206\u79bb\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\((m',n')=1\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u53d6\u200b \\(c=a^{\\frac{m}{m'}}b^{\\frac{n}{n'}}\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b\u4f7f\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_13","title":"\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e0e\u200b\u7fa4\u7684\u9636","text":"

\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b\u7fa4\u7684\u9636\u200b

\u200b\u5bf9\u7fa4\u200b \\(G\\) \uff0c\u200b\u5176\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u5fc5\u200b\u6574\u9664\u200b \\(|G|\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u662f\u200b Lagrange \u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u63a8\u8bba\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_14","title":"\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636","text":"

\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u90fd\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6709\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u90fd\u200b\u6574\u9664\u200b \\(n\\) .

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u5143\u200b\uff0c\\(b\\) \u200b\u662f\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(m\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(m \\nmid n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7d20\u6570\u200b \\(p\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\begin{aligned} &n=p^k n_1,p\\nmid n_1 \\\\ &m=p^sm_1,p\\nmid m_1 \u200b\u4e14\u200b s>k. \\end{aligned} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ |a^{p^k}|=n_1,\\quad |b^{m_1}|=p^s \\]

\u200b\u56e0\u4e3a\u200b \\((p^s,n_1)=1\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(G\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ |a^{p^k}b^{m_1}|=p^sn_1>p^kn_1=n \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u4e0e\u200b\u6700\u5927\u200b\u9636\u5143\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(m\\mid n\\) .

\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u7684\u9636\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b

\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u9636\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a $$ |ab|\\leq |a||b| $$

\u200b\u8bbe\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(a,b\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u5206\u522b\u200b\u4e3a\u200b \\(m,n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(a^m=e,b^n=e\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e58\u79ef\u200b\u6709\u200b

\\[ (ab)^{mn}=e \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b \\(mn\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u5982\u200b\u4e0a\u200b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_15","title":"\u966a\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E7%BE%A4%E8%AE%BA/%E5%AD%90%E7%BE%A4%E4%B8%8E%E9%99%AA%E9%9B%86/#_16","title":"\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u966a\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\\(a\\in G\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b $$ aH={ah|h\\in H}, Ha={ha|h\\in H} $$ \u200b\u5206\u522b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4ee5\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u7edf\u79f0\u200b\u4e3a\u200b\u966a\u96c6\u200b\u3002

\u200b\u5f53\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b Abel \u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u975e\u200b Abel \u200b\u7fa4\u200b\u901a\u5e38\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e5f\u200b\u6709\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u3002\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u5176\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u6b63\u89c4\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u3002

\u200b\u6709\u5173\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8fc7\u4e8e\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e0a\u672c\u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u4ec5\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u3002\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u548c\u200b\u5168\u4f53\u200b\u53f3\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6570\u91cf\u200b\u76f8\u7b49\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5b50\u7fa4\u200b \\(H\\) \u200b\u5728\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6307\u6570\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\((G:H)\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c \\(a,b\\in G\\) , \u200b\u5219\u200b \\(aH\\) \u200b\u548c\u200b \\(bH\\) \u200b\u8981\u4e48\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b\u91cd\u5408\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(aH=bH\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(ab^{-1}\\in H\\) .

\u200b\u901a\u5e38\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b \\(G\\) \u200b\u5206\u89e3\u200b\u4e3a\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u3002\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5206\u89e3\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5e2e\u52a9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a2\u7a76\u200b\u7fa4\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3002\uff08\u200b\u8be6\u89c1\u200bNKU\u200b\u4e60\u9898\u200b1.2T16\uff09

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\u200b\u5206\u5212\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u4e0e\u200b\u6570\u5206\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5206\u5212\u200b\u5341\u5206\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b\u4e00\u53e5\u200b\u8bdd\u200b\u6765\u200b\u6982\u62ec\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a\u200b\u82e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u5212\u200b\u3002\u200b\u7528\u200b\u7b26\u53f7\u8bed\u8a00\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a

\u200b\u5206\u5212\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\{A_i|A_i\\subset A\\}\\) \u200b\u82e5\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5206\u5212\u200b\uff1a

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5f15\u5165\u200b\u5206\u5212\u200b\u5462\u200b\uff1f\u200b\u5206\u5212\u200b\u4e0e\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u8981\u200b\u8bb2\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u6709\u5173\u200b\uff1a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3002\u200b\u5728\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e4b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u6709\u200b\u660e\u786e\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(R\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\times A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c \\(a,b\\in A\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\((a,b)\\in R\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u200b \\(a\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(b\\) \u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\)\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(aRb\\) \u200b\u6216\u200b \\(a\\sim b\\) . \u200b\u4e14\u200b\u79f0\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u3002

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u6765\u200b\u7406\u89e3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9ad8\u7b49\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u77e9\u9635\u200b\u7684\u200b\u5408\u540c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\exists C\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u9006\u200b\u65b9\u9635\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(C^TAC=B\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(B\\) \u200b\u662f\u200b\u5408\u540c\u200b\u7684\u200b\u3002\u200b\u5c06\u200b\u5408\u540c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u89c6\u4e3a\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u8bdd\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{P}^{n\\times n}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u77e9\u9635\u200b\u5bf9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5408\u540c\u200b\u77e9\u9635\u200b\u5bf9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u3002\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(R\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u3002\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u76f8\u62b5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7edf\u4e00\u200b\u5230\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u3002

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\forall a,b,c\\in A\\) \u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u8d77\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5206\u5212\u200b\u4e0e\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b

\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5206\u5212\u200b\u4e0e\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u7cbe\u786e\u200b\u5730\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u5730\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5206\u5212\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u552f\u4e00\u200b\u51b3\u5b9a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed9\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(R\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u5212\u200b\u3002

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u628a\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u5143\u7d20\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6574\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5546\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u5bf9\u200b \\(R\\) \u200b\u7684\u200b\u5546\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A/R\\) .

\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u5f15\u5165\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u591a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u6765\u770b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5177\u4f53\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u3002 \u200b\u8bbe\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A = \\{1,2,3,\\cdots,10\\}\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u6a21\u200b3\u200b\u540c\u4f59\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\u5546\u96c6\u200b\uff1a

\\[ A/R=\\{[1]_R,[2]_R,[3]_R\\} \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\([x]_R\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0e\u200b \\(x\\) \u200b\u6a21\u200b3\u200b\u540c\u4f59\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u3002\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u770b\u5230\u200b\uff0c\\(A/R\\) \u200b\u6070\u597d\u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5212\u5206\u200b\u3002

\u200b\u5229\u7528\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u6765\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\u966a\u96c6\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u4e0e\u200b\u966a\u96c6\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(H\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u200b\\(\\(aRb\\iff a^{-1}b\\in H\\)\\) \u200b\u6240\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(a\\) \u200b\u6240\u5728\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7c7b\u200b \\(\\bar{a}\\) \u200b\u6070\u4e3a\u200b\u4ee5\u200b \\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u5143\u200b\u7684\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b \\(aH\\).

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u5546\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u5bf9\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(G/H\\) \uff0c\\(G/H\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2a\u6570\u200b \\(|G/H|\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(H\\) \u200b\u5728\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6307\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\([G:H]\\).

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\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aLagrange\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(G\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\\(H<G\\)\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b\\(\\(|G|=[G:H]\\cdot|H|\\)\\) \u200b\u4ece\u800c\u200b\u5b50\u7fa4\u200b \\(H\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u662f\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u7684\u200b\u56e0\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b \\(|G|\\) \u200b\u7684\u200b\u56e0\u5b50\u200b\u3002

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a\\in G\\) \u200b\u8003\u8651\u200b\u6620\u5c04\u200b

\\[ \\phi: h\\to ah,\\forall h\\in H \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\u5229\u7528\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u6d88\u53bb\u5f8b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(H\\) \u200b\u5230\u200b \\(aH\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\u4e5f\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e00\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u7531\u6b64\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(|H|=|aH|\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u3002\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \\(G\\) \u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5de6\u200b\u966a\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u5c31\u200b\u5c06\u200b\u662f\u200b \\([G:H]\\) \uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b \\([G:H]\\cdot|H|\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u3002

\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(a\\in G\\) \u200b\u7684\u200b\u9636\u4e3a\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u4ee4\u200b \\(H=\\{e,a,a^2,\\cdots,a^{n-1}\\}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(G\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(|H|=n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200bLagrange\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6709\u200b

\\[ |G|=[G:H]\\cdot n \\]

\\(n\\) \u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b \\(|G|\\) \u200b\u7684\u200b\u56e0\u5b50\u200b\u3002 \u200b\u7531\u6b64\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff1a\u200b\u7fa4\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u9636\u200b\u6574\u9664\u200b\u7fa4\u7684\u9636\u200b\u3002

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\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5206\u7c7b\u200b\u4e0e\u200b\u6982\u7387\u200b\u503c\u200b\u65e0\u5173\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b 0 \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\u3002

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u90fd\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u51b3\u5b9a\u6027\u200b\u73b0\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5176\u200b\u53cd\u9762\u200b\uff1a\u200b\u4e2a\u522b\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u548c\u200b\u89c2\u5bdf\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u5448\u73b0\u200b\u5076\u7136\u6027\u200b\u7684\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u7b80\u79f0\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u3002

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\\[ F_N(A) = \\frac{n}{N} \\]

\u200b\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(N\\) \u200b\u6b21\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u4e2d\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u9891\u7387\u200b.

\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u6709\u200b\u5176\u200b\u5076\u7136\u6027\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9762\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u6709\u200b\u5176\u200b\u5fc5\u7136\u6027\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9762\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u5fc5\u7136\u6027\u200b\u8868\u73b0\u200b\u4e3a\u200b\u5927\u91cf\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u9891\u7387\u200b\u7684\u200b\u7a33\u5b9a\u6027\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u89c4\u5f8b\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u7edf\u8ba1\u200b\u89c4\u5f8b\u6027\u200b\u3002

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b \\(P(A)\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b\u8be5\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u53d1\u751f\u200b\u7684\u200b\u53ef\u80fd\u6027\u200b\u5927\u5c0f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6570\u200b \\(P(A)\\) \u200b\u5c31\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E7%8E%B0%E8%B1%A1%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%A7/#_4","title":"\u9891\u7387\u200b\u4e0e\u200b\u6982\u7387","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.1%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E7%8E%B0%E8%B1%A1%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%A7/#_5","title":"\u9891\u7387\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"
  1. \u200b\u9891\u7387\u200b\u5177\u6709\u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\uff0c\\(F_N(A)\\geqslant 0\\) \uff1b
  2. \u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u9891\u7387\u200b\u6052\u4e3a\u200b \\(1\\) \uff1b
  3. \u200b\u8bb0\u200b \\(A+B\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u6216\u200b \\(B\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u5176\u4e00\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u540c\u65f6\u200b\u53d1\u751f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5e94\u6709\u200b \\(F_N(A+B)=F_N(A)+F_N(B)\\) \uff1b\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u9891\u7387\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b.
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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u548c\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b

\u200b\u7814\u7a76\u200b\u968f\u673a\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u9700\u8981\u200b\u77e5\u9053\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7528\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u5168\u4f53\u200b\u6784\u6210\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u3002

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a\u200b\u7814\u7a76\u200b\u82f1\u6587\u5b57\u6bcd\u200b\u7684\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u5c31\u8981\u200b\u628a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u9009\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\varOmega = \\left\\lbrace A,B,C,\\cdots, Z \\right\\rbrace \\]

\u200b\u603b\u5171\u200b26\u200b\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b.

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\u200b\u674e\u8d24\u5e73\u200b\u6982\u7387\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5bf9\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e00\u4e2a\u70b9\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u786e\u8ba4\u200b\u5176\u5c5e\u200b\u4e0d\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(S\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u662f\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\omega\\in S\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\omega\\not\\in S\\) . \u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varnothing\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b\u67d0\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u53d1\u751f\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b83\u200b\u6240\u200b\u5305\u542b\u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u51fa\u73b0\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6539\u5199\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7565\u8fc7\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_4","title":"\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_5","title":"\u5305\u542b\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u82e5\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b \\(B\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(A\\subset B\\) \uff0c\u200b\u5e76\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u88ab\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e8e\u200b \\(B\\) .

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(A \\subset B\\) \u200b\u548c\u200b \\(B \\subset A\\) \u200b\u540c\u65f6\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u6216\u8005\u200b\u76f8\u7b49\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A=B\\) \uff0c\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u603b\u662f\u200b\u540c\u65f6\u200b\u53d1\u751f\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9006\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u3001\u200b\u5bf9\u7acb\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b\u6240\u6709\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u5728\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u6240\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u6216\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5bf9\u7acb\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\overline{A}\\) . \\(\\overline{A}\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u8868\u793a\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0d\u200b\u53d1\u751f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_6","title":"\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97","text":"

\\(A \\cap B\\) \u200b\u6216\u200b \\(AB\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u540c\u65f6\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\uff0c\\(AB\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u540c\u65f6\u200b\u53d1\u751f\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(AB= \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u79f0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u5bb9\u200b. \u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(A\\cup B\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u53d1\u751f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e3a\u200b\u548c\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(A+B\\) .

\u200b\u7528\u200b \\(A-B\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u5728\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u200b\u5728\u200b \\(B\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u5168\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5dee\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(A\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u800c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0d\u200b\u53d1\u751f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#de-morgan","title":"De Morgan\u200b\u5f8b","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u5076\u539f\u7406\u200b

\\(\\overline{A\\cup B} = \\overline{A}\\cap \\overline{B}\\) \uff0c \\(\\overline{A\\cap B} = \\overline{A}\\cup \\overline{B}\\).

\u200b\u5dee\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u4ea4\u200b\u548c\u200b\u5e76\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a

\\[ A-B = A\\cap \\overline{B} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u53ef\u5217\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u5076\u539f\u7406\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup_{i=1}^\\infty A_i = \\lim_{n\\to \\infty}\\bigcup_{i=1}^n A_i,\\quad \\bigcap_{i=1}^\\infty A_i = \\lim_{n\\to \\infty}\\bigcap_{i=1}^n A_i \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_7","title":"\u8fd0\u7b97\u200b\u5f8b","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.2%20%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8E%E4%BA%8B%E4%BB%B6/#_8","title":"\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b

\u200b\u53ea\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u4e3a\u200b \\(\\omega_1,\\omega_2,\\cdots,\\omega_n\\) \uff0c\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u573a\u5408\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u628a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u4e0e\u200b\u5b83\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6982\u7387\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(P(\\omega_i)\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u975e\u200b\u8d1f\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^n P(\\omega_i)=1 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5c31\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u6982\u7387\u200b\uff0c\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8fd8\u200b\u672a\u200b\u660e\u786e\u200b\u6982\u7387\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u628a\u200b\u5b83\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u6570\u200b\u770b\u5f85\u200b\u3002

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b

\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b \\(P(A)\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5404\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e4b\u200b\u548c\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u6709\u200b \\(0\\leqslant P(A)\\leqslant1\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u540c\u6837\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u5230\u200b\u53ef\u5217\u4e2a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u79bb\u6563\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/","title":"\u53e4\u5178\u200b\u6982\u578b","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_2","title":"\u6a21\u578b\u200b\u4e0e\u200b\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u5177\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7279\u5f81\u200b\uff1a 1. \u200b\u5728\u200b\u8bd5\u9a8c\u200b\u4e2d\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5168\u90e8\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\uff1b 2. \u200b\u5404\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u53d1\u751f\u200b\u6216\u8005\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u662f\u200b\u7b49\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7c7b\u578b\u200b\u7684\u200b\u968f\u673a\u200b\u73b0\u8c61\u200b\u7684\u200b\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u53e4\u5178\u200b\u6982\u578b\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega = \\left\\lbrace \\omega_1,\\omega_2,\\cdots,\\omega_n \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5e94\u6709\u200b

\\[ P(\\omega_1)=P(\\omega_2)=\\cdots=P(\\omega_n)= \\frac{1}{n}. \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u603b\u80fd\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u4e4b\u200b\u548c\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5f97\u5230\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u6570\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(A = \\omega_{i_1}+\\cdots+\\omega_{i_m}\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6709\u200b

\\[ P(A) = \\frac{m}{n} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(\\omega_{i_1},\\cdots,\\omega_{i_m}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u5229\u200b\u573a\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u53e4\u5178\u200b\u5b9a\u4e49\u200b(Laplace, naive definition of probability)

\\[P(A) = \\frac{\u200b\u6709\u5229\u200b\u573a\u5408\u200b\u6570\u76ee\u200b}{\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u603b\u6570\u200b}=\\frac{n(A)}{n(\\varOmega)}.\\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_3","title":"\u8ba1\u6570\u200b\u539f\u7406","text":"

\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u539f\u7406\u200b\u548c\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u539f\u7406\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u7565\u8fc7\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_4","title":"\u6392\u5217","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9009\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5168\u200b\u6392\u5217\u200b

\u200b\u4e0d\u653e\u56de\u200b\u9009\u53d6\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2d\u200b\u9009\u53d6\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u603b\u6570\u200b\u4e3a\u200b $$ A_n^r = \\frac{n!}{(n-r)!} $$ \u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(r=n\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5168\u200b\u6392\u5217\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_5","title":"\u7ec4\u5408","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7ec4\u5408\u200b

\u200b\u4e0d\u653e\u56de\u200b\u9009\u53d6\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e2d\u200b\u53d6\u51fa\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u800c\u200b\u4e0d\u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u200b\u987a\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7ec4\u5408\u200b\uff0c\u200b\u603b\u6570\u200b\u4e3a\u200b $$ \\mathrm{C}_n^r = \\binom{n}{r} = \\frac{A_n^r}{r!} = \\frac{n!}{r!(n-r)!} $$

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_6","title":"\u5206\u5272","text":"

\u200b\u628a\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5206\u4e3a\u200b \\(k\\) \u200b\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e00\u200b\u90e8\u5206\u200b \\(r_1\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u200b\u90e8\u5206\u200b \\(r_2\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(k\\) \u200b\u90e8\u5206\u200b \\(r_k\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5206\u6cd5\u200b\u6709\u200b

\\[ \\frac{n!}{r_1!r_2!\\cdots r_k!} \\]

\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u591a\u9879\u200b\u7cfb\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u5c55\u5f00\u5f0f\u200b \\((x_1+x_2+\\cdots+x_k)^n\\) \u200b\u4e2d\u200b \\(x_1^{r_1}x_2^{r_2}\\cdots x_k^{r_k}\\) \u200b\u7684\u200b\u7cfb\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(k=2\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u9879\u200b\u7cfb\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7ec4\u5408\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_7","title":"\u6709\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570","text":"

\u200b\u5f53\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u7684\u200b\u60c5\u666f\u200b\u53d8\u4e3a\u200b\u6709\u653e\u56de\u200b\u9009\u53d6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b\u53d6\u6cd5\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\binom{n+r-1}{r} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6709\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b.

\u200b\u6709\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u7684\u200b\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5982\u4f55\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a \u200b\u73b0\u5728\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(r=7\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u88c5\u6709\u200b \\(7\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\u7684\u200b\u76d2\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u63d2\u200b\u9694\u677f\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u662f\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u5462\u200b\uff1f\u200b\u5982\u679c\u8bf4\u200b \\(n=3\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u7684\u200b\u653e\u56de\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bb0\u5f55\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7528\u200b \\(2\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5c31\u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u4e86\u200b \\(2\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u4e86\u200b \\(3\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u200b\u7269\u54c1\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u200b\u4e86\u200b \\(2\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(7\\) \u200b\u6b21\u200b\u7684\u200b\u53d6\u6cd5\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u63d2\u5165\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\uff0c\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63d2\u200b\u5230\u200b\u540c\u4e00\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u88ab\u200b\u53d6\u5230\u200b\u8fc7\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n>r\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u540c\u7406\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b \\(r+1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63d2\u5165\u200b\uff08\u200b\u4e24\u7aef\u200b\u4e5f\u200b\u7b97\u200b\uff09\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9694\u677f\u200b\u63d2\u5165\u200b \\(r+1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u89c6\u4e3a\u200b\u6240\u6709\u200b\u9694\u677f\u200b\u548c\u200b\u7403\u200b\u603b\u5171\u200b \\(n+r-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ece\u200b \\(n+r-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u4e2d\u200b\u51b3\u5b9a\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\u7684\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\uff0c\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u9694\u677f\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\binom{n+r-1}{r} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_8","title":"\u4e8c\u9879\u5f0f\u200b\u7cfb\u6570\u200b\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u6839\u636e\u200b

\\[ (1+x)^n = \\sum\\limits_{r=0}^n \\binom{n}{r}x^r \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(x=1\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ 2^n = \\sum\\limits_{i=1}^n \\binom{n}{i} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5229\u7528\u200b

\\[ (1+x)^a(1+x)^b \\]

\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ \\sum\\limits^n_{r=0}\\binom{a}{r}\\binom{b}{n-r}= \\binom{a+b}{n} \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5316\u4e3a\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u95ee\u9898\u200b\u6765\u200b\u8003\u8651\u200b\uff1a\u200b\u5728\u200b \\(a+b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u653e\u200b\u56de\u5730\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\uff0c\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u5206\u5806\u200b\u4e3a\u200b \\(a\\) \u200b\u548c\u200b \\(b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u4e24\u5806\u200b\u7403\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(a\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(0\\) \u200b\u4e2a\u200b\u3001 \\(b\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u2026\u2026\uff0c\\(a\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c \\(b\\) \u200b\u4e2d\u53d6\u200b \\(0\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u65b9\u6848\u200b\u7684\u200b\u603b\u548c\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_9","title":"\u6392\u5217\u7ec4\u5408\u200b\u7684\u200b\u63a8\u5e7f","text":"

\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b9e\u6570\u200b \\(x\\) \uff1a

\\[ A_x^r = x(x-1)(x-2)\\cdots(x-r+1) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\binom{x}{r} = \\frac{A_x^r}{r!}. \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b\u725b\u987f\u200b\u4e8c\u9879\u5f0f\u200b\u6709\u200b

\\[ (1+x)^\\alpha = \\sum\\limits_{r=0}^\\infty \\binom{\\alpha}{r}x^r \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_10","title":"\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b\u4e0e\u200b\u8d85\u200b\u51e0\u4f55\u200b\u5206\u5e03","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_11","title":"\u4e8c\u9879\u5206\u5e03","text":"

\u200b\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u653e\u56de\u200b\u62bd\u6837\u200b\u573a\u5408\u200b\uff0c\u200b\u628a\u200b \\(a+b\\) \u200b\u4ef6\u200b\u4ea7\u54c1\u7f16\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u6709\u653e\u56de\u200b\u62bd\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u6b21\u54c1\u200b\u6b63\u597d\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(k\\) \u200b\u6b21\u200b\u7684\u200b\u6570\u76ee\u200b\u662f\u200b

\\[ \\binom{n}{k}a^k b^{n-k} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b\u53e4\u5178\u200b\u6982\u578b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b

\\[ b_k = \\frac{\\displaystyle\\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}{(a+b)^n} \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_12","title":"\u8d85\u200b\u51e0\u4f55\u200b\u5206\u5e03","text":"

\u200b\u4ece\u200b \\(a+b\\) \u200b\u4ef6\u4ea7\u54c1\u200b\u4e2d\u4e0d\u653e\u56de\u200b\u53d6\u51fa\u200b \\(n\\) \u200b\u4ef6\u4ea7\u54c1\u200b\u7684\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u5168\u4f53\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u603b\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\binom{a+b}{n}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53d6\u200b\u5230\u200b \\(k\\) \u200b\u4ef6\u200b\u6b21\u54c1\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b

\\[ h_k = \\frac{\\displaystyle \\binom{a}{k}\\binom{b}{n-k}}{\\displaystyle\\binom{a+b}{n}} \\]

\u200b\u5f53\u200b\u4ea7\u54c1\u200b\u91cf\u200b\u5927\u200b\uff0c\u200b\u62bd\u6837\u200b\u8f83\u5c11\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u200b\u6765\u200b\u8fd1\u4f3c\u200b\u8d85\u200b\u51e0\u4f55\u200b\u5206\u5e03\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_13","title":"\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5bb9\u65a5\u200b\u539f\u7406\u200b\uff1a

\\[ n(A\\cup B) = n(A)+n(B)-n(AB) \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u6709\u200b

\\[ P(A+B) = P(A)+P(B). \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_14","title":"\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406","text":"
  1. \u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\uff1b
  2. \u200b\u89c4\u8303\u6027\u200b\uff1a\\(P(\\varOmega)=1\\) \uff1b
  3. \u200b\u82e5\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u5219\u200b\u6982\u7387\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u200b\u52a0\u200b\uff1b
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\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u62bd\u53d6\u200b \\(r\\) \u200b\u6b21\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6848\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\uff1a

\u200b\u987a\u5e8f\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u6837\u200b\u65b9\u5f0f\u200b \u200b\u6709\u5e8f\u200b \u200b\u65e0\u5e8f\u200b \u200b\u6709\u653e\u56de\u200b \\(n^r\\) \\(\\displaystyle\\binom{n+r-1}{r}\\) \u200b\u65e0\u653e\u56de\u200b \\(\\dfrac{n!}{r!}\\) \\(\\displaystyle\\binom{n}{r}\\)"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.3%20%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_16","title":"* \u200b\u65e0\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u62d3\u5c55","text":"

\uff08\u200b\u672c\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e3a\u200b\u4e0a\u8bfe\u200b\u8865\u5145\u200b\uff09 \u200b\u6211\u4eec\u200b\u5148\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u627e\u5230\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e0d\u5b9a\u200b\u65b9\u7a0b\u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u89e3\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases} y_i \\in \\mathbb{Z}_+ , & i=1,2,\\cdots,n \\\\ \\sum\\limits_{i=1}^n y_i = r, &r\\geqslant n \\end{cases} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u9694\u677f\u200b\u6cd5\u200b\u66f4\u200b\u7b26\u5408\u200b\u76f4\u89c9\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u76f8\u5f53\u4e8e\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u7403\u7528\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u6321\u677f\u200b\u9020\u200b\u51fa\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(i\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u4ee3\u8868\u200b \\(y_i\\) \u200b\u7684\u200b\u5927\u5c0f\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7b54\u6848\u200b\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle\\binom{r-1}{n-1}\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u65e0\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u53d8\u5f62\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases} y_i \\in \\mathbb{N} , & i=1,2,\\cdots,n \\\\ \\sum\\limits_{i=1}^n y_i = r, &r\\geqslant n \\end{cases} \\]

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u521a\u521a\u200b\u7684\u200b\u9694\u677f\u200b\u6cd5\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u95ee\u9898\u200b\u51fa\u200b\u5728\u200b \\(y_i\\) \u200b\u53d6\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff08\\(0\\) \u200b\u76f8\u90bb\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff09.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5c24\u5176\u200b\u662f\u200b\u5728\u200b\u4ee5\u540e\u200b\u7684\u200b\u89e3\u9898\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u7c7b\u200b\u95ee\u9898\u200b\u8f6c\u5316\u200b\u4e3a\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b\u95ee\u9898\u200b\u662f\u200b\u975e\u5e38\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u505a\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ee4\u200b \\(x_i = y_i +1\\) \uff1a

\\[ \\begin{cases} x_i \\in \\mathbb{Z}_+ , & i=1,2,\\cdots,n \\\\ \\sum\\limits_{i=1}^n x_i = r+n, &r\\geqslant n \\end{cases} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5c31\u200b\u56de\u5230\u200b\u4e86\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7b54\u6848\u200b\u4e3a\u200b\uff1a \\(\\displaystyle \\binom{n+r-1}{n-1}\\) .

\u200b\u540c\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a

\\[ \\begin{cases}x_i \\geqslant-2 ,i=1,2,3,4 \\\\ x_1+x_2+x_3+x_4 = 2\\end{cases} \\]

\u200b\u7b54\u6848\u200b\u4e3a\u200b \\(\\displaystyle \\binom{13}{3}\\) \uff0c\u200b\u590d\u4e60\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u4e0d\u59a8\u4e00\u8bd5\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/","title":"\u51e0\u4f55\u200b\u6982\u7387","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_2","title":"\u51e0\u4f55\u200b\u6982\u7387\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u4ee5\u200b \\(A_g\\) \u200b\u8bb0\u200b\u201c\u200b\u5728\u200b\u533a\u57df\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e2d\u200b\u968f\u673a\u200b\u5730\u53d6\u200b\u4e00\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u8be5\u200b\u70b9\u200b\u843d\u200b\u5728\u200b\u533a\u57df\u200b \\(g\\) \u200b\u4e2d\u200b\u201d\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6982\u7387\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ P(A_g) = \\frac{g\u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b}{\\varOmega\u200b\u7684\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b} \\]

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u6b64\u5904\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5230\u200b\u4e86\u200b\u6d4b\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u9762\u79ef\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u3002\u200b\u4f46\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u9762\u79ef\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/#buffon","title":"Buffon \u200b\u6295\u9488","text":"

\u200b\u8bbe\u9488\u200b\u7684\u200b\u4e2d\u70b9\u200b\u5230\u200b\u6700\u8fd1\u200b\u7684\u200b\u5e73\u884c\u7ebf\u200b\u7684\u200b\u8ddd\u79bb\u200b\u4e3a\u200b \\(x\\) \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u9488\u200b\u4e0e\u200b\u5e73\u884c\u7ebf\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u89d2\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u9488\u200b\u548c\u200b\u5e73\u884c\u7ebf\u200b\u7684\u200b\u76f8\u4ea4\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\uff1a

\\[ x\\leqslant \\frac{l}{2}\\sin \\varphi \\]

\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u6c42\u200b \\(g\\) \u200b\u7684\u200b\u9762\u79ef\u200b\u6709\u200b \\({2l}\\) . \u200b\u800c\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u9762\u79ef\u200b\u4e3a\u200b \\(\\pi \\dfrac{a}{2}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{2l}{\\pi a}\\) .

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.4%20%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%A6%82%E5%9E%8B/#_3","title":"\u51e0\u4f55\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406","text":"
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  2. \u200b\u89c4\u8303\u200b\u5f62\u200b\uff1b
  3. \u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1b
"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/","title":"\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7ed3\u6784","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_2","title":"\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_3","title":"\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u3001\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u548c\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4","text":"

\u200b\u672c\u200b\u8282\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u7684\u200b\u70b9\u200b \\(\\omega\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5168\u4f53\u200b\u6784\u6210\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u53d1\u751f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u6709\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53d1\u751f\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5c06\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u6d4b\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e5f\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u96be\u4ee5\u514b\u670d\u200b\u7684\u200b\u56f0\u96be\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#sigma","title":"\\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u548c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b

\u200b\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u8981\u6c42\u200b\u7684\u200b\u96c6\u7c7b\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u4ee3\u6570\u200b:

  1. \\(\\varOmega\\in \\mathscr{F}\\) \uff1b
  2. \u200b\u82e5\u200b \\(A\\in \\mathscr{F}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\overline{A}\\in \\mathscr{F}\\) \uff1b
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(A_n\\in \\mathscr{F},n=1,2,\\cdots\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\displaystyle\\bigcup_{n=1}^\\infty A_n \\in \\mathscr{F}\\) .

\\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b\u9006\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b\u53ef\u5217\u6b21\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b De Morgan \u200b\u5f8b\u200b\u548c\u200b\u5dee\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5224\u65ad\u200b\u9006\u200b\u3001\u200b\u5e76\u200b\u3001\u200b\u4ea4\u200b\u3001\u200b\u5dee\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u5217\u6b21\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u3002

\u200b\u4e14\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\overline{\\varOmega} = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u5747\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u200b\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df\u200b\uff0c\\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\varOmega\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\varnothing\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e0e\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u90fd\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u4e86\u200b\u3002\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u672c\u8eab\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\(\\mathscr{F}=\\left\\lbrace \\varnothing,\\varOmega \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4f59\u200b\u7684\u200b\u6837\u672c\u200b\u70b9\u5747\u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\u7c7b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff0c\u200b\u5fc5\u200b\u5b58\u5728\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b \\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a (1) \u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff1b (2) \u200b\u82e5\u6709\u200b\u5176\u5b83\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) . \u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b. \u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\varOmega\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u7c7b\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u6613\u77e5\u200b\u5176\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u5f97\u8bc1\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u53d6\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u96c6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u6761\u200b\u6027\u8d28\u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u4e3a\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b.

\\(\\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u662f\u200b\u7531\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u4ea4\u200b\u51fa\u6765\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\varOmega\\in \\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A\\in \\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u5fc5\u7136\u200b\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathscr{G}\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\overline{A}\\in \\mathfrak{m}(\\mathscr{G})\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u200b\u5e76\u6027\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u662f\u200b\u5229\u7528\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_4","title":"\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u4e0e\u200b\u8fde\u7eed\u6027","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_5","title":"\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027","text":"

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u4e0e\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u6865\u6881\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\lim_{n\\to \\infty} P\\left(\\sum\\limits_{i=1}^n A_i\\right) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i) \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u9700\u8981\u200b\u653e\u5230\u200b\u51fd\u6570\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9700\u8981\u200b\u5f15\u5165\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(P\\)\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5b83\u200b\u5bf9\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace S_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5747\u200b\u6210\u7acb\u200b $$ \\lim_{n\\to \\infty} P(S_n) = P\\left(\\lim_{n\\to \\infty} S_n\\right) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(P\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0b\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7684\u200b. \u200b\u82e5\u200b\u5c06\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b\u6539\u4e3a\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u589e\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_6","title":"\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(P\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(P(\\varOmega) = 1\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u8d1f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b83\u200b\u5177\u6709\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u52a0\u200b\u7684\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e0b\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b\u521a\u624d\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u5c06\u200b\u6781\u9650\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5f80\u200b\u51fd\u6570\u200b\u91cc\u9762\u200b\u632a\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b \\(\\left\\lbrace S_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ \\bigcup_{i=1}^\\infty S_i = \\sum\\limits_{k=1}^\\infty (S_k-S_{k-1}) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u89c4\u5b9a\u200b \\(S_0 = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53f3\u5f0f\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5404\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5c06\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u8f6c\u53d8\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u4ea4\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u5e94\u7528\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1a

\\[ P\\left(\\bigcup_{i=1}^\\infty S_i\\right) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P\\left(S_i -S_{i-1}\\right) = \\lim_{n\\to \\infty}\\sum\\limits_{i=1}^n P(S_i-S_{i-1}) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(P\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6709\u9650\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{i=1}^n P(S_i-S_{i-1}) = P\\left(\\sum\\limits_{i=1}^n S_i-S_{i-1}\\right) = P(S_n) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ P\\left(\\bigcup_{i=1}^\\infty S_i\\right) = P\\left(\\lim_{n\\to \\infty} S_n\\right) = \\lim_{n\\to \\infty}P(S_n) \\]

\u200b\u4e0b\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\u56e0\u800c\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u547d\u9898\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u200b\u8fde\u7eed\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u53d6\u5176\u200b\u5bf9\u7acb\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5373\u53ef\u200b\u5c06\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5217\u200b\u4ece\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u589e\u200b\u53d8\u6210\u200b\u5355\u8c03\u200b\u4e0d\u51cf\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#_7","title":"\u6982\u7387\u200b\u7a7a\u95f4","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/1.5%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%97%B4/#borel","title":"\u4e00\u7ef4\u200b Borel \u200b\u70b9\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u7ef4\u200b Borel \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b

\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5f62\u200b\u5982\u200b \\([a,b)\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u754c\u200b\u5de6\u95ed\u200b\u53f3\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u7c7b\u200b\u6240\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u7ef4\u200b Borel \\(\\sigma\\) \u200b\u57df\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u4e4b\u4e3a\u200b \\(\\mathscr{B}_1\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathscr{B}_1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u7ef4\u200b Borel \u200b\u70b9\u96c6\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\{x\\} = \\bigcap_{n=1}^\\infty \\left[x,x+ \\frac{1}{n}\\right) \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\mathscr{B}_1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b\u3001\u200b\u95ed\u200b\u533a\u95f4\u200b\u3001\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u3001\u200b\u53ef\u5217\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u53ef\u5217\u6b21\u200b\u9006\u200b\u3001\u200b\u5e76\u200b\u3001\u200b\u4ea4\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u800c\u200b\u5f97\u51fa\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u3001\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u3001Bayes \u200b\u516c\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_1","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_2","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\((\\varOmega,\\mathscr{F},P)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6982\u7387\u200b\u7a7a\u95f4\u200b\uff0c\\(B\\in \\mathscr{F}\\) \uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b \\(P(B)>0\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(A\\in \\mathscr{F}\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b $$ P(A\\mid B) = \\frac{P(AB)}{P(B)}$$ \u200b\u5e76\u79f0\u200b \\(P(A\\mid B)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5728\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(B\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u53d1\u751f\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b.

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b \\(P(B)>0\\) \u200b\u662f\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u524d\u63d0\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(P(B)=0\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b \\(P(AB)=0\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b \\(\\frac{0}{0}\\) \u200b\u7684\u200b\u672a\u200b\u5b9a\u578b\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u6682\u65f6\u200b\u8d85\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u76ee\u524d\u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4ee5\u540e\u200b\u7684\u200b\u79d1\u76ee\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u4e2d\u200b\u4f1a\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u5b66\u5230\u200b.

\u200b\u4e58\u5f00\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(AB) = P(B)P(A|B) \\]

\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff08\u200b\u975e\u200b\u8d1f\u6027\u200b\u3001\u200b\u89c4\u8303\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff09

\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5c06\u200b \\(B\\) \u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varOmega\\) \uff0c\u200b\u90a3\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u8fc7\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_3","title":"\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u672c\u6765\u200b\u5df2\u77e5\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u7684\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(A_1A_2\\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2\\mid A_1) \\cdots P(A_n| A_1A_2 \\cdots A_n) \\]

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1aPoly\u00e1 \u200b\u575b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b

\u200b\u575b\u5b50\u200b\u4e2d\u6709\u200b \\(b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9ed1\u7403\u200b\u548c\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7ea2\u7403\u200b\uff0c\u200b\u968f\u673a\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u628a\u200b\u539f\u7403\u200b\u653e\u56de\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u52a0\u8fdb\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u51fa\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b\u540c\u8272\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b \\(c\\) \u200b\u53ea\u200b\uff0c\u200b\u518d\u200b\u6478\u200b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u4e0b\u53bb\u200b\u603b\u5171\u200b\u6478\u200b\u4e86\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u95ee\u200b\u524d\u9762\u200b\u7684\u200b \\(n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u9ed1\u7403\u200b\uff0c\u200b\u540e\u9762\u200b\u7684\u200b \\(n_2=n-n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u662f\u200b\u591a\u5c11\u200b\uff1f

\u200b\u4ee5\u200b \\(A_1\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u4e00\u6b21\u200b\u6478\u51fa\u200b\u9ed1\u7403\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\cdots\\) \uff0c\\(A_{n_1}\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u200b \\(n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u9ed1\u7403\u200b\uff0c\\(A_{n_1+1}\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u200b \\(n_1+1\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b\uff0c\\(\\cdots\\) \uff0c \\(A_n\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6982\u7387\u200b\u66f4\u597d\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u524d\u200b \\(n_1\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u5f97\u5230\u200b\uff1a

\\[ P(A_{n_1} \\mid A_1\\cdots A_{n_1-1}) = \\dfrac{b+(n_1-1)c}{b+r+(n_1-1)c} \\]

\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u5230\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ P(A_n \\mid A_1\\cdots A_{n-1})=\\dfrac{r+(n_2-1)c}{b+r+(n-1)c} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ P(A_1A_2\\cdots A_n) = \\prod_{i=0}^{n_1-1}\\frac{b+ic}{b+r+ic}\\prod_{j=0}^{n_2-1}\\frac{r+jc}{b+r+(n_1+j)c} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_4","title":"\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_5","title":"\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7ec4\u200b

\u200b\u8bbe\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n,\\cdots\\) \u200b\u662f\u200b\u6837\u672c\u7a7a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5206\u5272\u200b\uff0c\u200b\u4ea6\u200b\u79f0\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7ec4\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(A_i(i=1,2,\\cdots,n,\\cdots)\\) \u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u800c\u4e14\u200b $$ \\sum\\limits_{i=1}^\\infty A_i = \\varOmega $$

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7ec4\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(B\\) \uff1a

\\[ B = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty A_iB \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b\u53ef\u5217\u200b\u53ef\u52a0\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ P(B) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i B) \\]

\u200b\u518d\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b

\\[ P(B) = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i)P(B\\mid A_i) \\]"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_6","title":"\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5e94\u7528","text":"

\u200b\u4ece\u200b Poly\u00e1 \u200b\u575b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u66f4\u200b\u4e00\u822c\u200b\u7684\u200b\u6478\u7403\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff1a

\u200b\u575b\u5b50\u200b\u4e2d\u6709\u200b \\(b\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9ed1\u7403\u200b\u548c\u200b \\(r\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7ea2\u7403\u200b\uff0c\u200b\u968f\u673a\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u52a0\u8fdb\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u51fa\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b\u540c\u8272\u200b\u7684\u200b\u7403\u200b \\(s\\) \u200b\u53ea\u200b\uff0c\u200b\u518d\u200b\u6478\u200b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u4e0b\u53bb\u200b\u603b\u5171\u200b\u6478\u200b\u4e86\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{r}{b+r}\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(R_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7b2c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6478\u200b\u51fa\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n=1\\) \u200b\u65f6\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u968f\u540e\u200b\u5bf9\u200b \\(n-1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5bf9\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(R_n) = P(R_1)P(R_n \\mid R_1) + P(\\overline{R_1})P(R_n \\mid \\overline{R_1}) \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(P(R_n \\mid R_1)\\) \u200b\u6982\u7387\u200b\u9700\u200b\u8981\u6c42\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u60f3\u6cd5\u200b\uff1a\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(R_1\\) \u200b\u5df2\u200b\u53d1\u751f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(R_n\\) \u200b\u7684\u200b\u53d1\u751f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u5728\u200b \\(b+r+s-1\\) \u200b\u4e2a\u7403\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(n-1\\) \u200b\u6b21\u200b\u62bd\u51fa\u200b \\(r+s-1\\) \u200b\u4e2a\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u4e86\u200b.

\\[ \\frac{r}{b+r}\\dfrac{r+s-1}{b+r+s-1}+\\frac{b}{b+r}\\frac{r}{b+r+s-1} = \\frac{r}{b+r} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#bayes_1","title":"Bayes \u200b\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ B = \\sum\\limits_{i=1}^\\infty BA_i \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b

\\[ P(A_i B) = P(A_i)P(B\\mid A_i) \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b

\\[ P(A_i \\mid B) = \\frac{P(A_i)P(B\\mid A_i)}{P(B)} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5168\u200b\u6982\u7387\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aBayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b

\\[ P(A_i\\mid B) = \\dfrac{P(A_i)P(B\\mid A_i)}{\\sum\\limits_{i=1}^\\infty P(A_i)P(B\\mid A_i)} \\]

\u200b\u5728\u200b\u4f7f\u7528\u200b Bayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e4b\u524d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u826f\u597d\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u5206\u6790\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1aBayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b

\u200b\u888b\u4e2d\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7403\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u7ea2\u7403\u200b\u5c31\u662f\u200b\u767d\u7403\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u7b49\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u51fa\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u518d\u200b\u5f80\u200b\u888b\u4e2d\u200b\u653e\u5165\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u767d\u7403\u200b. \u200b\u73b0\u5728\u200b\u968f\u673a\u200b\u5730\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7403\u200b\uff0c\u200b\u6070\u4e3a\u200b\u767d\u7403\u200b. \u200b\u8bd5\u7403\u200b\u888b\u4e2d\u200b\u539f\u6765\u200b\u5c31\u662f\u200b\u767d\u7403\u200b\u7684\u200b\u6982\u7387\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b\u539f\u6765\u200b\u4e3a\u200b\u767d\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b \\(P(A)=\\dfrac{1}{2}\\) . \u200b\u8bbe\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u7684\u200b\u7403\u4e3a\u200b\u767d\u7403\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8981\u6c42\u200b\u51fa\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b \\(P(A\\mid B)\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b Bayes \u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ P(A\\mid B) = \\dfrac{P(B\\mid A)P(A)}{P(B\\mid A)P(A)+P(B\\mid \\overline{A})P(\\overline{A})} \\]

\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dfrac{2}{3}\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_7","title":"\u72ec\u7acb\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u72ec\u7acb\u6027\u200b (Independence)

\u200b\u5bf9\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b $$ P(AB) = P(A)P(B) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u662f\u200b\u7edf\u8ba1\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u7b80\u79f0\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a

  1. \\(P(A) = 0\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(A,B\\) \u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b.
  2. \\(P(A)=1\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b \\(P(AB) = P(A)+P(B)-P(A\\cup B)\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(A,B\\) \u200b\u72ec\u7acb\u200b.

\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7ec6\u6263\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u672f\u8bed\u200b\u5dee\u522b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/NKU%20%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E7%AC%94%E8%AE%B0/2.1%20%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%20Bayes%20%E5%85%AC%E5%BC%8F/#_8","title":"\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u548c\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u548c\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb\u200b

\u200b\u82e5\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u4ec5\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j) (i,j=1,2,\\cdots,n,i\\neq j) $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u72ec\u7acb\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u968f\u673a\u200b\u4e8b\u4ef6\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u7684\u200b\u7ec4\u5408\u200b \\(1 \\leqslant i<j<k \\leqslant n\\) \u200b\u90fd\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a $$ \\begin{aligned}&P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j) \\\\ &P(A_iA_jA_k) = P(A_i)P(A_j)P(A_k) \\\\ & \\qquad\\vdots \\\\ & P(A_1A_2,\\cdots,A_n) = P(A_1)P(A_2)\\cdots P(A_n) \\end{aligned} $$ \u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u548c\u200b\u672f\u8bed\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u533a\u5206\u200b\u5373\u53ef\u200b.

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95Index/","title":"\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b Intro","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95Index/#_1","title":"\u63d0\u9192","text":"

\u200b\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u5728\u200b NKU \u200b\u8bfe\u7a0b\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4ee5\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e3a\u4e3b\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8bfe\u5802\u200b\u4e0a\u200b\u4e0d\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u5230\u200b\u4ee3\u7801\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u5b9e\u73b0\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u7ed3\u5408\u200b\uff0c\u200b\u4e13\u95e8\u200b\u8bbe\u7f6e\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee3\u7801\u200b\u4ed3\u5e93\u200b\u5b58\u653e\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u7801\u200b\u5b9e\u73b0\u200b\uff1a\u200b\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u4ee3\u7801\u200b\u5b9e\u73b0\u200b

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/","title":"\u6392\u5217\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_2","title":"\u6392\u5217","text":"

\u200b\u4ee4\u200b \\(S\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u901a\u5e38\u200b\u4ee4\u200b

\\[ S = \\left\\lbrace 1,2,\\cdots,n \\right\\rbrace \\]

\\(S\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b (permutation) \u200b\u662f\u200b\u5c06\u200b \\(1,2,\\cdots,n\\) \u200b\u6309\u200b\u987a\u5e8f\u200b\u6392\u6210\u4e00\u5217\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u8bb0\u4f5c\u200b\uff1a

\\[ \\pi = \\pi_1 \\pi_2 \\cdots \\pi_3 \\]

\u200b\u4ee4\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b \\(S_n\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b \\(|S_n| = n!\\) .

\u200b\u6392\u5217\u200b\u53ef\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(1234\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a

\\[ \\pi : 3124 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\pi(1) = 3\\) \u200b\u7b49\u7b49\u200b.

\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u77e9\u9635\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u77e9\u9635\u200b\uff1a

\\[ \\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\end{pmatrix} \\]

\u200b\u4e00\u822c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6392\u5217\u200b\u77e9\u9635\u200b.

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_3","title":"\u62d3\u5c55\u200b\uff1a\u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635","text":"

\u200b\u8bbe\u200b\u77e9\u9635\u200b \\(M = (m_{ij})\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

  1. \\(m_{ij}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u8d1f\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff1b
  2. \u200b\u6bcf\u884c\u200b\u6bcf\u5217\u200b\u7684\u200b\u548c\u200b\u4e3a\u200b \\(1\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b\u77e9\u9635\u200b \\(M\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u4e8c\u7ef4\u200b\u77e9\u9635\u200b\uff1a

\\[ \\begin{pmatrix}1-a & a \\\\ a & 1-a\\end{pmatrix},0<a<1 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b\u548c\u200b\u6392\u5217\u200b\u77e9\u9635\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b \\(n\\times n\\) \u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b\u53ef\u200b\u770b\u4f5c\u200b \\(\\mathbb{R}^{n^2}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7ecf\u5178\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u662f\u200b\uff1a \u200b\u6240\u6709\u200b \\(n\\times n\\) \u200b\u53cc\u200b\u968f\u673a\u200b\u77e9\u9635\u200b\u6784\u6210\u200b \\(\\mathbb{R}^{n^2}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51f8\u200b\u591a\u9762\u4f53\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u9876\u70b9\u200b\u6070\u4e3a\u200b\u6240\u6709\u200b \\(n\\) \u200b\u7ef4\u200b\u6392\u5217\u200b\u77e9\u9635\u200b.

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e8c\u7ef4\u200b\u77e9\u9635\u200b\u6765\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5178\u578b\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a

\\[ \\begin{pmatrix}1-a & a \\\\ a & 1-a\\end{pmatrix} = (1-a)\\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\\end{pmatrix} + a \\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\\end{pmatrix} \\]"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_4","title":"\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u548c\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7f6e\u6362\u200b \\((1\\ 3\\ 6)\\) :

graph LR\n1 --> 3\n3 --> 6\n6 --> 1

\u200b\u5728\u200b\u79bb\u6563\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u53ca\u5176\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u4e2d\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a\u200b.

\u200b\u548c\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a\u200b\u7684\u200b\u4e58\u79ef\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b, \\(\\pi = 6517234\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\pi = (1\\ 3\\ 6)(4\\ 7)(2\\ 5) \\]

\u200b\u4e0e\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u5173\u5fc3\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5708\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u800c\u200b\u6709\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u200b

\\(S_n\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5177\u6709\u200b \\(k\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5708\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u79f0\u4f5c\u200b\uff08\u200b\u65e0\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff09\u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u200b \uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(c(n,k)\\) \uff1a $$ c(n,k) = \\big|\\left\\lbrace \\pi\\in S_n| \\pi \\text{\u200b\u7684\u200b\u5708\u200b\u8868\u793a\u200b\u6070\u6709\u200b} n \\text{\u200b\u4e2a\u5708\u200b} \\right\\rbrace \\big|$$

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n=3\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b

\\[ 123 = (1)(2)(3) \\]

\\(n=3\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53ea\u6709\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u662f\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(c(3,3) = 1\\) .

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u6570\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e1c\u897f\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathrm{C}_3^1=3\\) \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(c(3,1)=2\\) .

\u200b\u5982\u4f55\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u542f\u53d1\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53bb\u200b\u601d\u8003\u200b\u6709\u6ca1\u6709\u200b\u6f5c\u5728\u200b\u7684\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7b2c\u4e00\u7c7b\u200b Stirling \u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\\[ c(n,k) = (n-1)c(n-1,k)+ c(n-1,k-1) \\]

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8003\u8651\u200b \\(n-1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53ea\u200b\u591a\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a (1) \u200b\u5982\u679c\u200b\u6070\u597d\u200b\u6709\u200b \\(k-1\\) \u200b\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u591a\u52a0\u200b\u4e00\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5708\u200b\u4e5f\u200b\u4ec5\u200b\u80fd\u200b\u662f\u200b \\((n)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8fd9\u90e8\u5206\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(c(n-1,k-1)\\) . (2) \u200b\u5982\u679c\u200b\u6070\u597d\u200b\u6709\u200b \\(k\\) \u200b\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u9700\u8981\u200b\u5c06\u200b \\(n\\) \u200b\u585e\u5165\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5708\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b

\\[ \\pi = (\\cdot)(\\cdot )\\cdots(\\cdot) \\]

\u200b\u4ece\u4e2d\u200b\u9009\u53d6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(m\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u5708\u200b\uff0c\u200b\u5171\u6709\u200b \\(m\\) \u200b\u79cd\u200b\u52a0\u5165\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff08\u200b\u4e24\u200b\u6570\u95f4\u200b\u7684\u200b\u7a7a\u9699\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u548c\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7a7a\u9699\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5171\u6709\u200b \\(n-1\\) \u200b\u4e2d\u200b\u52a0\u5165\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\((n-1)c(n-1,k)\\) .

\u200b\u6839\u636e\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u539f\u7406\u200b\u5c06\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u65b9\u6848\u200b\u76f8\u52a0\u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.1%20%E6%8E%92%E5%88%97%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%96%B9%E6%B3%95/#_5","title":"\u201c\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u201d","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u73b0\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u66f4\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u89c2\u5bdf\u200b \\(c(n,k)\\) \u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u5148\u770b\u200b \\(n=3\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff1a

\\[ c(3,3) = 1, c(3,2) = 3,c(3,1) = 2 \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b\u548c\u200b\u5f0f\u200b \\(\\sum\\limits_{k=1}^n c(n,k) x^k\\) \u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ x^3+3x^2+2x =(x+2)(x+1)x \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(n=2\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ x^2+x = (x+1)x \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u201c\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u201d

\\[ \\sum\\limits_{k=1}^n c(n,k)x^k = (x+n-1)(x+n-2)\\cdots(x+1)x \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bbe\u200b

\\[ F(n) = (x+n-1)(x+n-2)\\cdots (x+1)x = \\sum\\limits_{k=1}^nb(n,k)x^k \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} F(n) &= (x+n-1)F(n-1) \\\\ &= (x+n-1)\\sum\\limits_{k=1}^{n-1} b(n-1,k)x^k \\\\ &= \\sum\\limits_{k=1}^{n-1} b(n-1,k)x^{k+1} +(n-1)\\sum\\limits_{k=1}^{n-1} b(n-1,k)x^k \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7cfb\u6570\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\\[ b(n,k) = (n-1)b(n-1,k)+b(n-1,k-1) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u9012\u63a8\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u548c\u200b \\(c(n,k)\\) \u200b\u9012\u63a8\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u521d\u503c\u200b\u4e5f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/","title":"\u9006\u200b\u5e8f\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_2","title":"\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\pi= \\pi_1 \\pi_2\\cdots \\pi_n\\in S_n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\pi\\)\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b $$ (\\pi_i,\\pi_j) ,1\\leqslant i< j \\leqslant n$$ \u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\pi\\) \u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \uff1a $$ \\mathrm{inv}(\\pi) = |\\left\\lbrace (\\pi_i,\\pi_j) | 1\\leqslant i< j \\leqslant n \\text{ and } \\pi_i> \\pi_j \\right\\rbrace| $$

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\pi = 2413\\) \uff0c\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ (2,1) , (4,1) , (4,3) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\mathrm{inv}(\\pi)=3\\) .

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_3","title":"\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u89c2\u5bdf\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ \\sum\\limits_{\\pi\\in S_n} q^{\\mathrm{inv}(\\pi)} = ? \\]

\u200b\u5bf9\u200b \\(n=3\\) \uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\mathrm{inv}(123) = 0,\\mathrm{inv}(132)=1 , \\mathrm{inv}(213)=1 \\\\ \\mathrm{inv}(231)=2, \\mathrm{inv}(312)=2, \\mathrm{inv}(321)=3 \\end{aligned} \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\sum\\limits_{\\pi\\in S_3} q^{\\mathrm{inv}(\\pi)} &= 1+2q+2q^2 +q^3 \\\\ &= 1\\cdot (1+q)(1+q+q^2) \\end{aligned} \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(q=1\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u548c\u200b\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u6070\u597d\u200b\u4e3a\u200b \\(|S_3|=1\\cdot 2\\cdot 3 = 6\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u200b \\(k \\geqslant 1\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\([k]=1+q+q^2+\\cdots+ q^{k-1}\\) . \u200b\u5219\u200b $$ \\sum\\limits_{\\pi\\in S_n} q^{\\mathrm{inv}(\\pi)}=[1]\\cdot[2]\\cdots[n] = [n]!$$

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u8bb0\u200b

\\[ I_n = \\left\\lbrace (a_1,a_2,\\cdots,a_n)|0 \\leqslant a_i \\leqslant n-i \\right\\rbrace \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(I_n\\) \u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\sum\\limits_{(a_1,a_2,\\cdots,a_n)\\in I_n} q^{a_1+a_2+\\cdots+a_n}\\\\ &= \\left(\\sum\\limits_{i=0}^{n-1} q^i\\right) \\left(\\sum\\limits_{i=0}^{n-2} q^i\\right)\\cdots \\left(\\sum\\limits_{i=0}^{0} q^i\\right) \\\\ &=[n]\\cdot [n-1]\\cdots [1] = [n]! \\end{aligned} \\]

\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a

\\[ \\varphi: S_n \\to I_n, \\varphi(\\pi) = (a_1,\\cdots,a_n) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(1\\leqslant i \\leqslant n\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ a_i = |\\left\\lbrace j | i<j \\leqslant n, \\pi_i > \\pi_j \\right\\rbrace| \\]

\u200b\u6bd4\u5982\u200b\uff1a\\(\\pi = 2413\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7b2c\u4e00\u4f4d\u200b\u7684\u200b \\(2\\) \uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u540e\u9762\u200b\u7684\u200b \\(1\\) \u200b\u6bd4\u200b\u5b83\u200b\u5c0f\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u7b2c\u4e8c\u4f4d\u200b\u7684\u200b \\(4\\) \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(1,3\\) \u200b\u6bd4\u200b\u5b83\u200b\u5c0f\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff1a

\\[ \\varphi(\\pi) = (1,2,0,0) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{inv}(\\pi) = \\sum\\limits_{i=1}^n a_i\\) .

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff1a \u200b\u6784\u9020\u200b\u9006\u6620\u5c04\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a\\(\\varphi^{-1} : (a_1,a_2,\\cdots,a_n) \\to \\pi\\) \uff0c\u200b\u6620\u5c04\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6d41\u7a0b\u200b\uff1a

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u6620\u5c04\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.2%20%E9%80%86%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_4","title":"\u62d3\u5c55\u200b\uff1a\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u200b\u6307\u6807","text":"

\\(\\pi = \\pi_1 \\pi_2 \\cdots \\pi_n \\in S_n\\) \u200b\u7684\u200b\u4e3b\u200b\u6307\u6807\u200b (major index) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\mathrm{maj}(\\pi) = \\sum\\limits_{1 \\leqslant i < n, \\pi_i > \\pi_{i+1}} i \\]

\u200b\u6bd4\u5982\u200b\uff0c\\(\\mathrm{maj}(2431)=2+3=5\\) .

\u200b\u5176\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u57fa\u672c\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.3%20%E6%8E%92%E5%88%97%E7%9A%84%E7%BE%A4%E7%BB%93%E6%9E%84/","title":"\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u53c2\u8003\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b. \uff08\u200b\u5077\u61d2\u200b\uff09

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.4%20%E9%87%8D%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%88%97/","title":"\u91cd\u96c6\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.4%20%E9%87%8D%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%88%97/#_2","title":"\u91cd\u96c6\u200b\u53ca\u5176\u200b\u6392\u5217","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u96c6\u200b

\u200b\u5141\u8bb8\u200b\u5143\u7d20\u200b\u91cd\u590d\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u91cd\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u901a\u5e38\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b $$ \\left\\lbrace 1^{m_1}, 2^{m_2},\\cdots,n^{m_2} \\right\\rbrace $$ \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(m_i\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(i\\) \u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b \\(m_i\\) \u200b\u6b21\u200b.

\u200b\u91cd\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u5728\u200b\u6982\u7387\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u5c31\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u63a2\u8ba8\u200b\u8fc7\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u4f5c\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\uff1a \u200b\u91cd\u96c6\u200b \\(\\left\\lbrace 1^{m_1}, 2^{m_2},\\cdots,n^{m_2} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\frac{(m_1+m_2+\\cdots+ m_n)!}{m_1! m_2 ! \\cdots m_n !} \\]"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/1.4%20%E9%87%8D%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%88%97/#_3","title":"\u91cd\u96c6\u200b\u6392\u5217\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u91cd\u96c6\u200b\u4e0a\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1a\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u7b97\u200b\u8fdb\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4f59\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u666e\u901a\u200b\u6392\u5217\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b

\\[ \\pi = 2121 \\]

\u200b\u9006\u5e8f\u200b\u6570\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{inv}(\\pi) = 3\\) .

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u96c6\u200b\u6392\u5217\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u91cd\u96c6\u200b \\(\\left\\lbrace 1^{m_1}, 2^{m_2},\\cdots,n^{m_2} \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0a\u200b\u6392\u5217\u200b\u7684\u200b\u9006\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u751f\u6210\u200b\u51fd\u6570\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a $$ \\sum\\limits_{\\pi}q^{\\mathrm{inv}(\\pi)} = \\frac{[m_1+m_2+\\cdots+m_n]!}{[m_1]![m_2]!\\cdots [m_n]!} $$

"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/","title":"\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u53ca\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u5206\u6790","text":""},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_2","title":"\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b Stack sorting algorithm \uff08\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\uff09\uff0c\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u6d41\u7a0b\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a \u200b\u73b0\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\uff1a

\\[ \\pi_1 \\pi_2 \\pi_3 \\cdots \\pi_n \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u9020\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6808\u200b\uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5c06\u200b \\(\\pi_1\\) \u200b\u653e\u5165\u200b\u6808\u4e2d\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5c06\u200b \\(\\pi_2\\) \u200b\u653e\u5165\u200b\u6808\u4e2d\u200b\uff1a
  3. \u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6d41\u7a0b\u200b\u548c\u200b\u4e0a\u8ff0\u60c5\u51b5\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u8ba9\u200b\u5c06\u8981\u200b\u5165\u6808\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u6808\u9876\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u624d\u80fd\u200b\u5165\u6808\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u5c31\u200b\u4e00\u76f4\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b\u5143\u7d20\u200b.
  4. \u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5c06\u8981\u200b\u5165\u6808\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5c06\u200b\u6240\u6709\u200b\u6808\u5185\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4f9d\u6b21\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b.
"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_3","title":"\u6a21\u62df\u200b\u7a0b\u5e8f\u4ee3\u7801","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7a0b\u5e8f\u200b\u6a21\u62df\u200b\u4ee3\u7801\u200b\uff0c\u200b\u57fa\u672c\u200b\u517c\u5bb9\u200b\u6700\u65b0\u7248\u200b\u76f8\u5173\u200b\u914d\u7f6e\u200b.

PythonMATLAB 
from itertools import permutations\n\ndef if_sorted(t:list) -> bool:\n    # \u200b\u68c0\u9a8c\u200b\u662f\u5426\u200b\u6392\u5217\u200b\u6210\u529f\u200b\n    for i in range(len(t)):\n        if i+1 != t[i]:\n            return False\n    return True\n\n\ndef stack_sorting(t:iter) -> None:\n    result = [] \n    stack = []\n    for item in t:\n        while stack and item >= stack[-1]:\n            result.append(stack.pop())\n        stack.append(item)\n\n    # \u200b\u5c06\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5168\u90e8\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b\n    while stack:\n        result.append(stack.pop())\n\n    return result\n\nif __name__ == '__main__':\n\n    # \u200b\u5bf9\u200b 1~n-1 \u200b\u7684\u200b\u6570\u5217\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\n    n = 10\n\n    # permutations \u200b\u7528\u4e8e\u200b\u751f\u6210\u200b\u6240\u6709\u200b\u6392\u5217\u200b\n    arrs = permutations(range(1,n))\n    max_iters = 0\n    for arr in arrs:\n        a = stack_sorting(arr)\n        iters = 1\n        while not if_sorted(a):\n            iters += 1\n            a = stack_sorting(a)\n\n        max_iters = iters if max_iters < iters else max_iters\n        print(f\"{arr} \u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u6b21\u6570\u200b\u4e3a\u200b {iters}\")\n\n    print(f\"\u200b\u6700\u5927\u200b\u8fed\u4ee3\u200b\u6b21\u6570\u200b\u4e3a\u200b{max_iters}\")\n
% \u200b\u63d0\u4f9b\u8005\u200b\uff1aMadeceline\nclc;clear;close all;\n%%\nnum=4;\nPerm=perms(1:num);\n[x,~]=size(Perm);\nfor i=1:x\n    in=Perm(i,:);\n    out=stack_code(in);\n    disp(['\u200b\u8f93\u5165\u200b\uff1a',num2str(in),'\uff0c\u200b\u8f93\u51fa\u200b\uff1a',num2str(out),'\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u4f4d\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a',num2str(isequal(out,1:num))])\nend\n\n\nfunction [Output]=stack_code(input)\n    stack0=[];Output=[];\n    for i=1:length(input)\n        passenger=input(i);\n        m=find(stack0-passenger<0);\n        if isempty(m)\n            k=1;\n        else\n            k=m(end)+1;\n        end\n        Out=stack0(1:k-1);\n        stack0=[passenger,stack0(k:end)];\n        Output=[Output,Out];\n    end\n    Output=[Output,stack0];\nend\n
"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_4","title":"\u7b97\u6cd5\u200b\u5206\u6790\u200b\u4e0e\u200b\u8bc1\u660e","text":"

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6240\u8c13\u200b\u7684\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u201c\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u201d\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7ed9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u90fd\u200b\u6392\u597d\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(231\\) \uff0c\u200b\u4ece\u5de6\u5230\u53f3\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u5148\u200b\u51fa\u6808\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u8fbe\u5230\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u6548\u679c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u4e2d\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5931\u8d25\u200b\u4e86\u200b\u3002

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5173\u5fc3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a

  1. \u200b\u4ec0\u4e48\u6837\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\uff08\u200b\u6392\u5217\u200b\uff09\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\uff1f
  2. \u200b\u5728\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b \\(231\\) \u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u540e\u200b\u4f1a\u200b\u53d8\u6210\u200b \\(213\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u518d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u6b21\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\u4e3a\u200b \\(123\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u662f\u5426\u200b\u610f\u5473\u7740\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u6709\u9650\u200b\u6b21\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\uff1f\u200b\u5982\u679c\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u201c\u200b\u6709\u9650\u200b\u6b21\u200b\u201d\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u9650\u200b\u662f\u200b\u591a\u5c11\u200b\uff1f
"},{"location":"MATH-%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%BB%93%E6%9E%84%E5%8F%8A%E5%85%B6%E7%AE%97%E6%B3%95/2.1%20%E5%A0%86%E6%A0%88%E6%8E%92%E5%BA%8F/#_5","title":"\u4e00\u6b21\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u80fd\u200b\u6210\u529f\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u5728\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u7684\u200b\u63a2\u8ba8\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u200b\u8003\u8651\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u4e2d\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u200b\u5c06\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u90fd\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e3a\u200b \\(1,2,\\cdots,n\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6392\u5217\u200b.

\u200b\u5728\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u80fd\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u5e76\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a

\\[ \\cdots \\pi_{i_1}\\cdots \\pi_{i_2} \\cdots \\pi_{i_3}\\cdots \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(i_1<i_2<i_3\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u80fd\u200b\u5f52\u7ed3\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u5f53\u200b \\(\\pi_{i_3}<\\pi_{i_1}<\\pi_{i_2}\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u529f\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(\\pi_{i_3}\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u6bd4\u200b \\(\\pi_{i_1}\\) \u200b\u8981\u200b\u66f4\u200b\u5148\u5f39\u200b\u51fa\u5230\u200b\u76ee\u6807\u200b\u6570\u7ec4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\pi_{i_2}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\\(\\pi_{i_1}\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u5f39\u200b\u51fa\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5bfc\u81f4\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u5931\u8d25\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u662f\u5426\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a

\u200b\u731c\u60f3\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u6b21\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a $$ \\pi_1 \\pi_2\\cdots \\pi_n $$ \u200b\u80fd\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u4e00\u6b21\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u540e\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\uff1a\\(\\forall i_1,i_2,i_3 (1\\leqslant i_1< i_2 < i_3 \\leqslant n)\\) \uff0c\\(\\pi_{i_3}<\\pi_{i_1}<\\pi_{i_2}\\) \u200b\u90fd\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5fc5\u8981\u6027\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u5145\u5206\u6027\u200b\uff1a \u200b\u5728\u200b \\(n=3\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u6392\u5217\u200b\uff1a

\\[ 123,132,213,312,321 \\]

\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u6392\u5217\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u6210\u529f\u200b\uff0c\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u8bba\u8bc1\u200b\u7565\u53bb\u200b\uff1b

\u200b\u5728\u200b \\(n> 3\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\pi_{i_1},\\pi_{i_2},\\pi_{i_3}\\) \u200b\u6709\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u548c\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u6392\u5217\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8bba\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u5806\u6808\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5728\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e2d\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u670d\u4ece\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\pi_{i_2}<\\pi_{i_1}<\\pi_{i_3}\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\u5230\u200b \\(\\pi_{i_2}\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u53ef\u80fd\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u5b83\u200b\u7684\u200b\u56db\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6392\u5e8f\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u90fd\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u731c\u60f3\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/","title":"\u547d\u9898\u200b\u8bed\u8a00\u200b(The Propositional Language)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_1","title":"\u96c6\u5408\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u4e0e\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8ba1\u7b97\u673a\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u4e2d\u200b\u6cbf\u7528\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u66fe\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff08\u200b\u4ea4\u200b\u5e76\u200b\u8865\u5dee\u200b\u3001\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0d\u591a\u200b\u505a\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b \\(X\\) \u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(X^{<\\omega}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u76f4\u79ef\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u62e5\u6709\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u200b\u5b57\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u76f4\u79ef\u200b\u540e\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u662f\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.

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\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Symb}\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u5b57\u7b26\u200b.

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\mathrm{Symb}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b57\u7b26\u200b\u7684\u200b\u7ec4\u5408\u200b\uff08\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff09\uff0c\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u56e0\u800c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\mathrm{Expr} = \\mathrm{Symb}^{< \\omega} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e0b\u6807\u200b\u6765\u200b\u6807\u8bc6\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u8bbe\u200b \\(E\\) \u200b\u4e3a\u200b\u82f1\u8bed\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\\[ \\mathrm{Symb}_E = \\left\\lbrace a,b,c,\\cdots,x,y,z \\right\\rbrace \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l","title":"\\(L\\) \u200b\u8868\u8fbe\u5f0f","text":"

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u56fa\u5b9a\u200b\u4e3a\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u7528\u200b \\(L\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\mathrm{Symb}_L = \\left\\lbrace p_0,p_1,\\cdots \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace \\neg , \\lor,\\land, \\to, \\leftrightarrow \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b\uff0c\\(\\lor\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6216\u200b\uff0c\\(\\land\\) \u200b\u4e3a\u4e14\u200b\uff0c\\(\\to\\) \u200b\u4e3a\u200b\u63a8\u5bfc\u200b(implies)\uff0c\\(\\leftrightarrow\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b(If and only if). \u200b\u8fd9\u200b \\(5\\) \u200b\u79cd\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(p_i\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b26\u53f7\u200b(sentence symbol).

\u200b\u8fd9\u200b \\(5\\) \u200b\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u5426\u5b9a\u200b\u3001\u200b\u5408\u53d6\u200b\u3001\u200b\u6790\u53d6\u200b\u3001\u200b\u8574\u6db5\u200b\u548c\u200b\u53cc\u5411\u200b\u8574\u6db5\u200b.

\\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathrm{Expr}_L\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\neg (p_1 \\lor p_2)\\land p_3 \\]

\u200b\u6b64\u5916\u200b\u8fd8\u6709\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b (\\(L\\)-atomic sentence)

\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u4ec5\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b.

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(p_0,p_1,\\cdots\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_3","title":"\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f","text":"

\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u89c4\u907f\u200b\u4e86\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff08\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff09\u200b\u9700\u8981\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u7684\u200b\u7f3a\u70b9\u200b.

\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b

\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u57fa\u672c\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u5728\u200b\u547d\u9898\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u638c\u63e1\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u8bfb\u5199\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u4e66\u5199\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u522b\u200b\u8650\u5f85\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u7528\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u5199\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b\u4e86\u200b (doge).

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff1a

\u200b\u6839\u636e\u200b\u56fe\u50cf\u200b\uff0c\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b

\\[ \\lor \\neg p_2 \\land p_4 \\neg p_1 \\]

\u200b\u8f6c\u5316\u200b\u4e3a\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\neg p_2 \\lor (p_4 \\land (\\neg p_1)) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u627e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bd5\u7740\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u5012\u200b\u5f04\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5c31\u884c\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-l-sentence","title":"\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b (\\(L\\)-Sentence)","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\mathrm{Sent}_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u4f53\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

  1. \\(\\mathrm{Sent}_0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u4f53\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1b
  2. \\(\\mathrm{Sent}_{n+1} := \\mathrm{Set}_{n}\\cup \\left\\lbrace \\neg \\varphi : \\varphi\\in \\mathrm{Sent}_n \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace \\bullet \\varphi \\psi : \\varphi, \\psi\\in \\mathrm{Sent}_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\bullet\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff1b
  3. \\(\\mathrm{Sent}_L := \\displaystyle\\bigcup_{n\\in \\omega}\\mathrm{Sent}_n\\) .

\\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b

\\[ \\varphi\\in \\mathrm{Sent}_n ,\\varphi\\not\\in \\mathrm{Sent}_{n-1} \\]

\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a\\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b

\\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathrm{Sent}_0\\) \u200b\u4e14\u200b\u5728\u200b \\(5\\) \u200b\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b (closed) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e0d\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(m\\) \u200b\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(p = \\max(m,n)\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_p\\) \uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\u52a0\u4e0a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u540e\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_{p+1}\\) . \u200b\u4ece\u800c\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5177\u6709\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(\\mathrm{Sent}_{n} \\subseteq \\Gamma\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L \\subseteq \\Gamma\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_4","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u4e0e\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5f15\u5165\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6b63\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u672c\u8eab\u200b\u7684\u200b\u5c01\u95ed\u6027\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u5177\u6709\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u624d\u80fd\u200b\u6709\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b.

\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6982\u62ec\u200b\u4e3a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5728\u200b \\(n=1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u547d\u9898\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(n+1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e5f\u200b\u5c06\u200b\u6210\u7acb\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5b8c\u6210\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9488\u5bf9\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\uff1a

  1. (\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b) \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff1b
  2. (\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u6b65\u9aa4\u200b) \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\bullet \\psi\\) \u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff08\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\bullet\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff09\uff1b

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u548c\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u4e2d\u200b \u201c\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\mathrm{Sent}_0\\) \u201d \u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\u5219\u200b\u548c\u200b \u201c\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u201d \u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l_1","title":"\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ (\\neg p)\\land (q\\lor r) \\]

\u200b\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9605\u8bfb\u200b\u5e76\u200b\u62c6\u5206\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5206\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b + \\(\\land\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u8ba9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u601d\u8003\u200b\u662f\u5426\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1f\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u53ea\u6709\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u5206\u89e3\u200b\u65b9\u5f0f\u200b\uff1f

\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u80fd\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u552f\u4e00\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u6027\u8d28\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u6b67\u4e49\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\theta\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(\\theta\\) \u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1b
  2. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\neg \\varphi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u5426\u5b9a\u200b.
  3. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\lor \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u6790\u53d6\u200b.
  4. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\land \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b.
  5. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\to \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u8574\u6db5\u200b.
  6. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta = \\leftrightarrow \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5411\u200b\u8574\u6db5\u200b.

\u200b\u66f4\u8fd1\u200b\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b 2~6 \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5229\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.

\u200b\u5206\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u5047\u5b9a\u200b\uff1a

(1) \u200b\u516d\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b. (2) \u200b\u516d\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u81f3\u591a\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b. (3) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b 2~6 \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u65b9\u6cd5\u200b\uff0c(2) \u200b\u5047\u5b9a\u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5c31\u200b\u6709\u6240\u4e0d\u540c\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5047\u5b9a\u200b (1) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u4e3a\u200b \u201c\u200b\u516d\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\u201d.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n=1\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u60c5\u5f62\u200b 1 \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u52a0\u4e0a\u200b\u4e00\u4e2a\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4e0e\u200b 2~6 \u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u52a0\u4e0a\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u5219\u200b\u53ef\u200b\u4e0e\u200b 1 \u200b\u5bf9\u5e94\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u8bc1\u660e\u200b (3) \uff0c\u200b\u9700\u8981\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6280\u672f\u6027\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u6280\u672f\u6027\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ca\u5176\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\u200b\u5f15\u5165\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\varphi_0,\\cdots,\\varphi_k\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi_0,\\cdots,\\psi_l\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b \\(\\varphi_0\\cdots \\varphi_k\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi_0\\cdots \\psi_l\\) \u200b\u4e00\u81f4\u200b\uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u662f\u200b\u628a\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u653e\u5728\u200b\u4e00\u8d77\u200b\u5f62\u6210\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff09\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(k=l\\) \u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(i\\leqslant k\\) \uff0c\\(\\varphi_i = \\psi_i\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.

\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0d\u5fc5\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u66f4\u957f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u6bb5\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b (1) \u200b\u548c\u200b (2) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b \\(\\varphi_0\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b 1~6 \u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi_0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\\(\\psi_0\\) \u200b\u5c31\u200b\u56e0\u800c\u200b\u4e5f\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5c06\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7f29\u77ed\u200b\u4e3a\u200b \\(k-1\\) \u200b\u957f\u5ea6\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi_0 = \\neg \\theta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\psi_0\\) \u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e5f\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u662f\u200b \\(\\neg\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\psi = \\neg \\chi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53bb\u6389\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7f29\u77ed\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(\\varphi_0 = \\bullet \\theta \\theta'\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi_0 = \\bullet \\chi \\chi'\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\theta \\theta' \\varphi_1 \\cdots \\varphi_k = \\chi \\chi' \\psi_1\\cdots \\psi_l\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53c8\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u4e86\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5f15\u7406\u200b\u8bc1\u660e\u200b (3) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5f0f\u5b50\u200b\uff1a

\\[ \\bullet \\varphi \\psi = \\bullet \\varphi' \\psi' \\]

\u200b\u80fd\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\varphi = \\varphi', \\psi = \\psi'\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_5","title":"\u8bed\u4e49\u200b\u4e0e\u200b\u4e8c\u503c\u200b\u903b\u8f91\u7cfb\u7edf","text":"

\u200b\u521a\u624d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e86\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u8bed\u6cd5\u200b (syntax)\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b (semantics)\uff0c\u200b\u5f53\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8d4b\u503c\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\u3001\u200b\u5047\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u5f62\u6210\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u503c\u200b\u903b\u8f91\u7cfb\u7edf\u200b.

(1) \u200b\u5bf9\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bbe\u8ba1\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b (truth assignment)\uff0c\u200b\u83b7\u5f97\u200b\u771f\u5047\u200b\u503c\u200b\uff1a\\(V_0: \\mathrm{Sent}_0 \\to \\left\\lbrace \\mathrm{T},\\mathrm{F} \\right\\rbrace\\) . (2) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b 2 \u200b\u9636\u53ca\u200b\u4ee5\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6216\u975e\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u7b80\u5355\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u8d58\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8574\u6db5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\\[ V(\\to \\varphi \\psi) = \\begin{cases}\\mathrm{T},\\text{if }V(\\varphi) = \\mathrm{F} \\text{ or } V(\\psi) = \\mathrm{T}; \\\\ \\mathrm{F},\\text{Otherwise.}\\end{cases} \\]

\u200b\u800c\u200b \\(\\leftrightarrow\\) \u200b\u5219\u200b\u5728\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u65f6\u624d\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u5047\u200b.

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u8574\u6db5\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{ccc} \\varphi & \\psi & \\varphi\\to \\psi \\\\ \\hline \\mathrm{T} & \\mathrm{T} & \\mathrm{T} \\\\ \\mathrm{T} & \\mathrm{F} & \\mathrm{F} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{T} & \\mathrm{T} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{F} & \\mathrm{T} \\end{array} \\]

\u200b\u524d\u9762\u200b\u4e24\u884c\u200b\u90fd\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u89e3\u91ca\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u540e\u9762\u200b\u4e24\u884c\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u53cd\u200b\u65e5\u5e38\u200b\u903b\u8f91\u200b\uff1a\u200b\u4f60\u200b\u80fd\u200b\u60f3\u8c61\u200b\u5047\u200b\u547d\u9898\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u547d\u9898\u200b\u5417\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u77db\u76fe\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u8574\u542b\u200b\u602a\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u8bba\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u89e3\u91ca\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u90fd\u200b\u4f1a\u200b\u89c9\u5f97\u200b\u4e0e\u200b\u65e5\u5e38\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u76f8\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u6682\u4e14\u200b\u53ea\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u771f\u503c\u200b\u7b97\u5b50\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\uff1a

\\[ p \\to q \\iff \\neg p \\lor q \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.1%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_6","title":"\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5ef6\u62d3","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u5ef6\u62d3\u200b

\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5ef6\u62d3\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(p_0\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V_0(p_0)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u771f\u503c\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a

\\[ V_{n} : \\mathrm{Sent}_n \\to \\left\\lbrace \\mathrm{T},\\mathrm{F} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ V_{n+1}(\\neg\\varphi) = \\begin{cases} \\mathrm{T}, \\text{if }V(\\varphi) = \\mathrm{F}; \\\\ \\mathrm{F}, \\text{Otherwise}. \\end{cases} \\] \\[ V_{n+1}(\\varphi \\land \\psi) = \\begin{cases} \\mathrm{T}, \\text{if }V(\\varphi) = \\mathrm{T} \\text{ and } V(\\psi) = \\mathrm{T}; \\\\ \\mathrm{F}, \\text{Otherwise}. \\end{cases} \\]

\u200b\u6216\u200b\u3001\u200b\u8574\u6db5\u200b\u3001\u200b\u53cc\u5411\u200b\u8574\u6db5\u200b\u540c\u7406\u200b\u53ef\u200b\u5199\u51fa\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u4e0d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(V: \\mathrm{Sent}_L \\to \\left\\lbrace \\mathrm{T}, \\mathrm{F} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(V(\\theta) = V_n(\\theta)\\) \uff0c\\(\\theta\\in \\mathrm{Sent}_n\\) \u200b\u4f46\u200b \\(\\theta\\not\\in \\mathrm{Sent}_{n-1}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u6bd5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(W_n\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(V_n(\\varphi) = W_n(\\varphi)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5728\u200b\u9012\u5f52\u200b\u65f6\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} V_n(\\land\\varphi\\psi) &\\iff V_n(\\varphi) = \\mathrm{T}\\text{ and } V_n(\\psi) = \\mathrm{T} \\\\ &\\iff W_n(\\varphi) = \\mathrm{T} \\text{ and } W_n(\\psi) = \\mathrm{T} \\\\ &\\iff W_n(\\land \\varphi \\psi) \\end{aligned} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u4e5f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(V=W\\) \uff0c\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u5f97\u8bc1\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.2%20%E5%BD%92%E7%BA%B3%E4%B8%8E%E9%80%92%E5%BD%92/","title":"\u5f52\u7eb3\u200b\u4e0e\u200b\u9012\u5f52\u200b(Induction and Recursion)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.2%20%E5%BD%92%E7%BA%B3%E4%B8%8E%E9%80%92%E5%BD%92/#induction-system","title":"\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b (induction system)","text":"

\u200b\u5728\u200b\u5b66\u5b8c\u200b\u6570\u5b66\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u548c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8003\u8651\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u51fa\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathcal{P}(n)\\) \uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u56fa\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\\(\\mathcal{P}(n)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u51fa\u200b \\(\\mathcal{P}(n+1)\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b

\\[ Y_{\\mathcal{P}} = \\left\\lbrace n \\in \\omega : \\mathcal{P}(n) \\right\\rbrace \\]

\uff08\u200b\u6ce8\u610f\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b\uff09 \u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u6b65\u9aa4\u200b\u5b9e\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(Y_{\\mathcal{P}}\\) \u200b\u662f\u200b\u5c01\u95ed\u200b\u7684\u200b. \u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(Y_{\\mathcal{P}}=\\omega\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e5f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u6982\u62ec\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b (Induction System)

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e09\u5143\u7ec4\u200b \\(\\mathcal{X}=(X,X_0,\\mathcal{H})\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(X\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(X_0 \\subset X\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathcal{H}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u51fd\u6570\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u6709\u9650\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u6307\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(H \\in \\mathcal{H}\\) \uff0c\\(H\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(X^{k_H}\\to X\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u5173\u8054\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u9012\u63a8\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ X_{n+1} := X_n \\cup \\left\\lbrace H(x_0,\\cdots,x_{k_H-1}):H\\in \\mathcal{H} \\text{ and } x_0,\\cdots,x_{k_H-1}\\in X_n \\right\\rbrace $$ \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\overline{X} := \\bigcup\\limits_{n\\in \\omega}X_n\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(X_0\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathcal{H}\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b. \u200b\u6574\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\overline{X}\\) \u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u628a\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u7eb3\u5165\u200b\u5230\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6846\u67b6\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\omega\\) \uff0c\u200b\u6784\u9020\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\uff1a

\\[ \\mathcal{X}_\\omega = (\\mathbb{R},\\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace,\\left\\lbrace \\mathrm{Sc} \\right\\rbrace) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\mathrm{Sc}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\mathrm{Sc}(n)=n+1\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b\uff1a

\\[ X_n = \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\overline{X} = \\omega\\) .

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7cfb\u7edf\u200b \\(\\mathcal{X} = (X,X_0,\\mathcal{H})\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(X_0\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathcal{H}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b \\(\\overline{X}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(X_n\\) \u200b\u90fd\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.3%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E4%B9%89/","title":"\u547d\u9898\u200b\u8bed\u4e49\u200b(Propositional Semantics)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.3%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E4%B9%89/#_1","title":"\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\uff08\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff09\u200b\u4e0e\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u82e5\u6709\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u548c\u200b \\(W\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e2d\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(p_n\\) \uff0c\u200b\u82e5\u6052\u6709\u200b \\(V(p_n) = W(p_n)\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(V = _{\\varphi}W\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u548c\u200b \\(W\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(V = _{\\varphi}W\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(V(\\varphi) = W(\\varphi)\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.3%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E8%AF%AD%E4%B9%89/#_2","title":"\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u548c\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u3001\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

(1) \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u4e0b\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \u200b\u6052\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u6c38\u771f\u5f0f\u200b(tautology) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u4e3a\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u6c38\u5047\u5f0f\u200b.

(2) \u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\varphi) = V(\\psi)\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff08\u200b\u91cd\u8a00\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff09\u200b\u7684\u200b. \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\mid\\!\\equiv\\!\\mid \\psi\\) .

(3) \u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(V(\\psi) = \\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b(tautological consequence) . \u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b(Propositional Theories)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#gamma-gamma","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u3001\\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u6982\u5ff5","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#gamma","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\)\uff0c

  1. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \uff1b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\psi)= \\mathrm{T}\\) .

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\psi\\in \\Gamma\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bf7\u6c42\u200b\u51fa\u200b \\(\\Gamma = \\left\\lbrace p_{n+1}\\to p_n : n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) \u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\forall n \\in \\omega\\) \u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u6709\u200b \\(V(p_n) = \\mathrm{T}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5269\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u90fd\u200b\u8981\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(V(p_{n+1}\\to p_n) = \\mathrm{T}\\) \uff0c \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u67d0\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ V(p_i) = \\begin{cases} \\mathrm{T} , i \\leqslant n \\\\ \\mathrm{F} , i > n . \\end{cases} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5217\u4e3e\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u6a21\u578b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6027\u8d28\u200b

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\mid\\!\\equiv\\psi \\iff \\varnothing \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n,\\psi\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a
    1. \\(\\left\\lbrace \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff1b
    2. \\(\\varphi_0 \\land \\cdots \\land \\varphi_n \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff1b
    3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(i<n\\) \uff0c\\(\\left\\lbrace \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_{i-1} \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\varphi_i \\land \\cdots \\land \\varphi_n \\to \\psi\\)

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5bfc\u51fa\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e0e\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Delta\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \uff0c

  1. \\(\\Gamma \\subseteq \\Delta \\Rightarrow \\mathrm{Mod}(\\Delta) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) .
  2. \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\psi)\\) .
  3. \u200b\u82e5\u200b \\(\\Gamma \\subseteq \\Delta\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Delta \\mid\\!\\equiv \\psi\\) ;
  4. \\(\\Gamma \\cup \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\psi\\iff \\Gamma \\mid\\!\\equiv \\varphi \\to \\psi\\).
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_1","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_2","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e0e\u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u518d\u200b\u770b\u200b \\(\\Gamma \\mid\\!\\equiv \\psi\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u770b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a\u201c\u200b\u5728\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u5047\u5b9a\u200b\uff08\u200b\u516c\u7406\u200b\uff09\u200b\u4e0b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u51fa\u200b \\(\\psi\\)\u201d. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u82e5\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(T\\) \u200b\u5728\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b (Propositional Theory)\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) ,\u200b\u6052\u6709\u200b $$ T \\mid!\\equiv \\varphi \\Rightarrow \\varphi\\in T. $$ \\(T\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e5f\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Theorem).

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u516c\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Th}(\\Gamma) = \\left\\lbrace \\psi: \\Gamma \\mid!\\equiv \\psi \\right\\rbrace .$$ \u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \u200b\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u524d\u9762\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_3","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_4","title":"\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u548c\u200b\u5b8c\u5168\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c

(i) \u200b\u82e5\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b (consistent) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b (inconsistent).

(ii) \u200b\u82e5\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c \\(\\varphi\\in\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u603b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b8c\u5168\u200b (Complete) \u200b\u7684\u200b. \u200b\u5426\u5219\u200b\u5219\u200b\u4e3a\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b (Incomplete) \u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_5","title":"\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\\(V\\) \u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Th}(V) = \\left\\lbrace \\psi: V(\\psi)=\\mathrm{T} \\right\\rbrace $$

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c

(i) \\(\\mathrm{Th}(V)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e14\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(V\\) \u200b\u662f\u200b\u5176\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b.

(ii) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(W\\) \uff0c\\(V=W\\iff \\mathrm{Th}(V) = \\mathrm{Th}(W)\\) .

\\(\\mathrm{Th}(V)\\) \u200b\u6709\u200b \\(V\\) \u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\in \\mathrm{Th}(V)\\) \uff0c\\(V(\\varphi) = \\mathrm{T} \\iff V(\\neg\\varphi) = \\mathrm{F}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b83\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(W\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(V(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6709\u200b \\(W(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\uff1a

\\[ V(\\varphi)=\\mathrm{F} \\Rightarrow V(\\neg \\varphi)=\\mathrm{T}\\Rightarrow W(\\neg \\varphi) = \\mathrm{T} \\Rightarrow W(\\varphi) =\\mathrm{F} \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(V=W\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_6","title":"\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u52bf","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(E =\\left\\lbrace T: T \\text{ is a propositional theory} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u662f\u200b\u591a\u5c11\u200b\uff1f

\u200b\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b\u63a8\u8bba\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(E\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u4e3a\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\\(T \\subseteq \\mathrm{Sent}_L\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(E \\subseteq \\mathcal{P}(\\mathrm{Sent}_L)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathcal{P}(A)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u5e42\u96c6\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u4e0d\u200b\u8d85\u8fc7\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b\uff0c\u200b\u5408\u200b\u8d77\u6765\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(E\\) \u200b\u7684\u200b\u52bf\u200b\u662f\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u52bf\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_7","title":"\u5b8c\u5168\u200b\u5ef6\u62d3","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e14\u200b \\(\\Gamma\\subseteq T\\) .\uff08\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\uff09
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(V\\) \uff0c\\(T=\\mathrm{Th}(V)\\) .

\u200b\u7559\u4e2a\u200b\u5751\u200b\u65e5\u540e\u200b\u518d\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_8","title":"\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7c7b","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7c7b\u200b \\(K\\) \uff0c\\(K\\) \u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Th}(K) = \\left\\lbrace \\psi: V(\\psi)=\\mathrm{T} \\text{ for all } V\\in K\\right\\rbrace $$

\u200b\u8bf4\u767d\u4e86\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e00\u5806\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5f52\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4ea4\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u7c7b\u200b \\(K\\) ,

  1. \\(\\mathrm{Th}(K)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(V\\in K\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\mathrm{Th}(K)\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(K\\) \u200b\u81f3\u5c11\u200b\u6709\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{Th}(K)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#compactness","title":"\u7d27\u6027\u200b (Compactness)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#pct","title":"PCT","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7d27\u6027\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Propositional Compactness Theorem, PCT)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(T\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff1a\\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \uff0c\\(\\Gamma_0 \\mid\\!\\equiv \\psi\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\uff0c\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5f15\u5165\u200b \\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi\\) \uff0c\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma_0\\mid\\!\\equiv \\psi\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b PCT \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b80\u5355\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi \\iff \\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_9","title":"\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#apct","title":"APCT","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aAPCT (Alternative Propositional Compactness Theorem)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\)\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\psi\\) \uff1a

\\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#apct-pct","title":"APCT \u200b\u548c\u200b PCT \u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6027","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b APCT \u200b\u548c\u200b PCT \u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6027\u200b.

\u200b\u4ece\u200b APCT \u200b\u5230\u200b PCT \uff1a\\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b APCT \u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u524d\u9762\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv^* \\psi\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u4ece\u200b PCT \u200b\u5230\u200b APCT \uff1a\\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma_0\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u7531\u200b PCT \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\Gamma\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.4%20%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA/#_10","title":"\u76f8\u5bb9\u200b\u3001\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u3001\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b+\u200b\u5b8c\u5168\u200b=\u200b\u76f8\u5bb9\u200b

\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u4e14\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.5%20%E5%8F%AF%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%80%A7%E4%B8%8E%E6%9C%89%E6%95%88%E8%BF%AD%E4%BB%A3%20%28Decidability%20and%20effective%20enumerability%29/","title":"\u53ef\u5224\u5b9a\u6027\u200b\u4e0e\u200b\u6709\u6548\u200b\u8fed\u4ee3\u200b (Decidability and effective enumerability)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/1.5%20%E5%8F%AF%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%80%A7%E4%B8%8E%E6%9C%89%E6%95%88%E8%BF%AD%E4%BB%A3%20%28Decidability%20and%20effective%20enumerability%29/#_1","title":"\u5f15\u5165","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u78b0\u5230\u200b\u4e86\u200b\u5f88\u591a\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X\\) \u200b\u548c\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u90fd\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) . \u200b\u4f46\u662f\u200b\u5f88\u591a\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u65e0\u6cd5\u8bf4\u660e\u200b \\(X\\) \u200b\u548c\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u6709\u4e9b\u200b\u65f6\u5019\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u5177\u5907\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) .

\u200b\u4e3e\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u5bf9\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e92\u7d20\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u66f4\u200b\u591a\u200b\u63cf\u8ff0\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in X: \\mathcal{P}(x) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b. \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathcal{P}(x)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(x\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) . \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u66f4\u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u662f\u200b\u7b97\u6cd5\u200b (algorithm) \uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u80fd\u200b\u5e2e\u52a9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u662f\u5426\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u8fdc\u200b\u6bd4\u200b\u53ea\u200b\u77e5\u9053\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u66f4\u4e3a\u91cd\u8981\u200b.

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\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u60f3\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u662f\u5426\u200b\u6709\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\u65b9\u6cd5\u200b (algorithmic solutions)\uff0c\u200b\u80fd\u5426\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7684\u200b\u7b97\u6cd5\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u95ee\u9898\u200b\u90fd\u200b\u5f15\u5bfc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7814\u7a76\u200b\u53ef\u8ba1\u7b97\u6027\u200b\u7406\u8bba\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u5224\u5b9a\u6027\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5143\u7d20\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b (decision procedure) \uff0c\u200b\u80fd\u200b\u5224\u65ad\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(x\\in X\\) \u200b\u662f\u5426\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\).

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(X\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u901a\u8fc7\u200b $$ (\\mathcal{P}(x): \\iff x\\in A) $$ \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b. \uff08\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u5c31\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\)\uff09 \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u4e0d\u53ef\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(F: X\\to Z\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6709\u6548\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7684\u200b (effectively calculable)\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u6548\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b (effective procedure)\uff0c\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(x\\in X\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u51fa\u200b \\(F(x)\\). \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(A\\subseteq X\\) \uff0c\u200b\u5176\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b (characteristic function) \\(\\mathrm{K}_A: X\\to \\left\\lbrace 0,1 \\right\\rbrace\\) \u200b\u88ab\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b $$ \\mathrm{K}_A(x) := \\begin{cases} 0, & x\\notin A \\ 1, & x\\in A\\end{cases} $$

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u90fd\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e2d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u57fa\u672c\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u751a\u81f3\u200b\u7528\u200b\u5927\u767d\u8bdd\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u8bb2\u6e05\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u5c31\u200b\u770b\u200b\u4f60\u200b\u77e5\u4e0d\u77e5\u9053\u200b\u91cc\u9762\u200b\u6709\u200b\u54ea\u4e9b\u200b\u5143\u7d20\u200b.

\u200b\u4ece\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A \\subseteq X\\) \uff0c

  1. \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u7279\u5f81\u51fd\u6570\u200b \\(\\mathrm{K}_A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6709\u6548\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u7684\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(X\\) \u200b\u4e2d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b.
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\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e86\u89e3\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u53ef\u9009\u62e9\u6027\u200b\u5730\u770b\u200b\uff0c\u200b\u591a\u6570\u200b\u90fd\u200b\u548c\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\u6709\u5173\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Sent}_L\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathrm{Expr}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b

\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u6548\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u53ef\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u51fa\u200b \\(V(\\varphi)\\) .

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b

\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5728\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e2d\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

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\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u8282\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u65b0\u540d\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u5bf9\u7167\u8868\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u540d\u8bcd\u200b \u200b\u7ffb\u8bd1\u200b expression \u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b term \u200b\u9879\u200b formula \u200b\u516c\u5f0f"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_2","title":"\u8bed\u6cd5\u200b\u90e8\u5206","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_3","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u5e38\u200b\u80fd\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u62bd\u8c61\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5176\u200b\u76f4\u79ef\u200b \\(R\\subseteq A^k\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff08\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u76f4\u79ef\u200b\uff09\uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a\\(F:A^k\\to A\\) \uff0c\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u4e0e\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(a\\in A\\) \u200b\u7b49\u7b49\u200b...... \u200b\u6211\u4eec\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\mathfrak{A} = \\left\\lbrace A,R,S,\\cdots,F,G,\\cdots,a,b,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u54e5\u7279\u200b\u4f53\u200b\u7684\u200b \\(A\\) \uff0c\\(\\LaTeX\\) \u200b\u4ee3\u7801\u200b\u4e3a\u200b \\mathfrak{A} .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a

\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b

  1. \u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3001\u200b\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b.
  2. \u200b\u6700\u200b\u5e38\u89c1\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5f80\u5f80\u200b\u662f\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\subseteq A\\times A\\) \uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\((\\omega,<_{\\omega})\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6392\u5217\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5c06\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u9610\u8ff0\u200b\u4e00\u4e0b\u200b. \u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5728\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\\(a\\) \u200b\u4e0e\u200b \\(b\\) \u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u53ef\u80fd\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(aRb\\) \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5199\u4e3a\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b \\((a,b)\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u504f\u5e8f\u200b (Partial Order)

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8be5\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e0a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b(Relation) \\(R\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x\\in X\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\((x,x)\\in R\\) \uff08\u200b\u81ea\u53cd\u6027\u200b\uff09\uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(x,x'\\in X\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\((x,x')\\in R, (x',x)\\in R\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x= x'\\) \uff08\u200b\u53cd\u5bf9\u79f0\u6027\u200b\uff09.
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a,b,c\\in X\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\((a,b)\\in R, (b,c)\\in R\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((a,c)\\in R\\) \uff08\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff09.

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A} = (A,R)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(R\\) \u200b\u662f\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u7684\u200b (Partial Ordering) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b (Chain/Totally Ordered Set)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b \\((X,\\leqslant)\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u5176\u4e3a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(x,x'\\) \u200b\u5fc5\u6709\u200b \\(x\\leqslant x'\\) \u200b\u6216\u200b \\(x'\\leqslant x\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A} = (A,R)\\) \u200b\u7684\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u6216\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u7684\u200b (Linear Ordering or Total)

\u200b\u4ec5\u200b\u5728\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\u7684\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(a\\in A\\) \uff0c\\((a,a)\\not\\in R\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u73b0\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5bf9\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u660e\u786e\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u501f\u52a9\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_4","title":"\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u901a\u5e38\u200b\u7531\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8868\u793a\u200b

  1. \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b \\(L\\)-\u200b\u5173\u7cfb\u200b \u200b\u7b26\u53f7\u200b \uff08\\(\\mathrm{Rs}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b Relation Symbol\uff09\uff1b
  2. \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b \\(L\\)-\u200b\u51fd\u6570\u200b \u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff08\\(\\mathrm{Fs}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b Function Symbol\uff09\uff1b
  3. \u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b \\(L\\)-\u200b\u5e38\u503c\u200b \u200b\u7b26\u53f7\u200b \uff08\\(\\mathrm{Cs}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b Constant Symbol\uff09.
  4. \u200b\u5143\u6570\u200b (Arity) \u200b\u51fd\u6570\u200b\uff1a\\(\\nu: \\mathcal{R}\\cup \\mathcal{F}\\to \\mathbb{N}^*\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u6307\u5b9a\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u548c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b\u5143\u6570\u200b.

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(\\mathrm{Rs}_L,\\mathrm{Fs}_L,\\mathrm{Cs}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u4e0d\u4ea4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u9664\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff08\u200b\u6216\u79f0\u200b initial symbol \uff0c\u200b\u521d\u59cb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff09\u200b\u5916\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u9700\u8981\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

  1. \u200b\u53d8\u5143\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff08\u200b\u53ef\u6570\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff09\uff1a \\(\\mathrm{Vb} = \\left\\lbrace v_n: n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) ( Variable ).
  2. \u200b\u7b49\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(=\\) .
  3. \u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) .
  4. \u200b\u5b58\u5728\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\uff1a\\(\\exists\\) .

\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9009\u62e9\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b. \u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u9009\u62e9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\forall\\) \u200b\u548c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\exists\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b OK \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9009\u62e9\u200b\u4e86\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\exists\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u719f\u6089\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u80fd\u200b\u901a\u8fc7\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5bfc\u51fa\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} (x\\neq y ) &:= \\neg(x =y ) \\\\ \\forall x \\varphi &:=\\neg \\exists x (\\neg \\varphi) \\\\ (x\\land y) &:= \\neg (\\neg x\\lor \\neg y) \\\\ (x\\to y ) &:= \\neg x\\lor y \\end{aligned} \\]

\u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7b49\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u91c7\u7528\u200b

\\[ \\dot{=} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u7b80\u5316\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e0d\u200b\u6df7\u6dc6\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff08\u200b\u5728\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u57fa\u672c\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u7b49\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\uff09\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u91c7\u7528\u200b \\(=\\) \u200b\u7b26\u53f7\u200b.

\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e2d\u6587\u200b\u6559\u6750\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6709\u65f6\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u5b66\u5230\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8865\u5145\u200b

\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6dfb\u52a0\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u79cd\u200b\uff1a

  1. \u200b\u8bed\u6cd5\u200b\u9017\u53f7\u200b\uff1a ,
  2. \u200b\u8bed\u6cd5\u200b\u62ec\u53f7\u200b\uff1a( \u200b\u548c\u200b )

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8865\u5145\u200b\u7684\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u662f\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u56fa\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\u4f53\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5b83\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u907f\u514d\u200b\u62ec\u53f7\u200b\u7684\u200b\u4f7f\u7528\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u4eca\u540e\u200b\uff0c\u200b\u4e3a\u200b\u7b80\u6d01\u200b\u8d77\u200b\u89c1\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u4e66\u5199\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u7684\u200b\u7b80\u6d01\u200b\uff0c\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4f1a\u200b\u5199\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_5","title":"\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u793a\u4f8b","text":"
  1. \u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_=\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\mathrm{Rs}_{L_=}=\\mathrm{Fs}_{L_=} = \\mathrm{Cs}_{L_=} = \\varnothing\\) \uff0c\\(L_=\\) \u200b\u6ca1\u6709\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4e66\u5199\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u53ea\u80fd\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7b26\u53f7\u200b.
  2. \u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u662f\u200b \\(L_G\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u6709\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(\\dot{*}\\) \u3001\\(\\dot{^{-1}}\\) \u3001\\(\\dot{e}\\) \uff0c \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\dot{*}\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u662f\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(\\dot{^{-1}}\\) \u200b\u662f\u200b\u9006\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u662f\u200b\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u200b. \u200b\u800c\u200b \\(\\dot{e}\\) \u200b\u662f\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \u200b\u73af\u8bba\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e3a\u200b \\(L_R\\) .
  3. \u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u662f\u200b \\(L_\\Omega\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff1a\\(\\mathrm{Rs}_{L_{\\Omega}} = \\left\\lbrace \\dot{<} \\right\\rbrace; \\mathrm{Fs}_{L_\\Omega} = \\left\\lbrace \\dot{+},\\dot{\\times},\\dot{\\mathrm{S}} \\right\\rbrace; \\mathrm{Cs}_{L_{\\Omega}} = \\left\\lbrace \\dot{0} \\right\\rbrace\\) \u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\dot{\\mathrm{S}}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\dot{\\mathrm{S}}(n) = n+1\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5728\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e2d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbb{Z}_5\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u89c4\u5b9a\u200b \\(\\dot{\\mathrm{S}}(\\overline{4}) = \\overline{0}\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u770b\u200b\u5168\u57df\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-","title":"\\(L\\)-\u200b\u9879","text":"

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b (atomic term) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u4e14\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8981\u4e48\u200b\u662f\u200b\u5e38\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b\u662f\u200b\u53d8\u91cf\u200b.

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\\[ \\varphi\\in \\mathrm{Cs}_L\\cup \\mathrm{Vb}_L \\]

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b

\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Te}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

  1. \u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(ft_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b. (\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(f\\) \u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e8e\u200b\u8fd9\u200b \\(\\nu_L(f)\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u751f\u6210\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b)

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u597d\u200b\u4e86\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u80fd\u200b\u660e\u767d\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u6784\u6210\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u548c\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u5728\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e0b\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b. \u200b\u4ee5\u524d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u79cd\u79cd\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u51fd\u6570\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_1","title":"\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027","text":"

\u200b\u548c\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e00\u6837\u200b\uff0c\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u4e5f\u200b\u5e94\u8be5\u200b\u6709\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u5c06\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u6b67\u4e49\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \uff0c\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\uff1a

  1. \\(t\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b.
  2. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(u_0,\\cdots,u_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(t\\) \u200b\u662f\u200b \\(fu_0\\cdots u_{\\nu_L(f)-1}\\).

\u200b\u66f4\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(f\\) \u200b\u548c\u200b \\(u_k\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\uff08\u200b\u6b64\u5904\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7559\u4f5c\u200b\u4e60\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u6316\u5751\u200b\uff09. \\(\\square\\)

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u518d\u4e3e\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dot{*}\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(x,y\\) \uff1a

\\[ (x\\dot{*}y)^{-1} \\]

\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u4ea7\u751f\u200b\u6b67\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b \\(x\\) \u200b\u548c\u200b \\(y\\) \u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u53d6\u200b\u9006\u5143\u200b. \u200b\u5199\u4e3a\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u4e3a\u200b \\(\\dot{^{-1}}\\dot{*}xy\\) . \u200b\u4e00\u822c\u200b\u5730\u200b\uff0c\\(L_G\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u603b\u80fd\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ x_0^{\\pm 1}\\dot{*} \\cdots \\dot{*} x_k^{\\pm 1} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f53\u73b0\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_2","title":"\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_3","title":"\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u53ea\u6709\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u3001\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u539f\u6765\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u548c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u53bb\u200b\u54ea\u200b\u4e86\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u628a\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u4e5f\u200b\u7eb3\u5165\u200b\u5230\u200b\u4f53\u7cfb\u200b\u5f53\u4e2d\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u8c08\u200b\u516c\u5f0f\u200b (formula) \u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u5c0f\u200b\u5230\u200b\u5927\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u5f62\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\cdots \\overset{?}\\sim \\cdots \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b \\(\\sim\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5927\u90e8\u5206\u200b\u5b66\u5230\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u6709\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7fa4\u200b\u540c\u6001\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ G / \\mathrm{Ker}(G) \\simeq \\mathrm{Im}(G) \\]

\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8349\u7a3f\u7eb8\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u8fc7\u7a0b\u200b\u800c\u5df2\u200b\uff0c\u200b\u7ed9\u200b\u4e0d\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u4fe1\u606f\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b (\\(L\\)-atomic formulas)

\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{AtFm}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff08\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u67d0\u79cd\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff09\uff1a

  1. \\(=tu\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b \\(u\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b.
  2. \\(pt_0\\cdots t_{\\nu_L(p)-1}\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c\\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(p)-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(=tu\\) \u200b\u662f\u200b\u524d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b. \u200b\u800c\u200b \\(p\\) \u200b\u5728\u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u504f\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b49\u200b\u7279\u6b8a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u5199\u200b \\(< tu\\) \u200b\u800c\u200b\u5199\u200b \\(t<u\\) .

\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a

  1. \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(x=y\\) \u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(x,y\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u91cf\u200b.
  2. \u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u4e3a\u200b \\(t=u\\) \u200b\u6216\u200b \\(t\\dot{<}u\\) \uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a\\(\\dot{\\mathrm{S}}x\\dot{+}y=\\dot{\\mathrm{S}}(x\\dot{+}y)\\) . \u200b\u5b83\u200b\u8868\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u548c\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b.
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_4","title":"\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e0e\u5176\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b (\\(L\\)-formula)

\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Fm}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

  1. \u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor \\varphi \\psi\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e14\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\exists x \\varphi\\) \u200b\u662f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b\u975e\u5e38\u200b\u5e7f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5904\u5904\u200b\u627e\u5230\u200b\u4f8b\u5b50\u200b.

\u200b\u5728\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e3a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u76f8\u7b49\u200b \\(=\\) \uff0c\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(<\\) \uff08\u200b\u5927\u4e8e\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(>\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u8bb0\u5f55\u200b\u7684\u200b\u987a\u5e8f\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u9700\u200b\u518d\u6b21\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff09\uff0c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(-\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u76f8\u51cf\u200b\uff0c\u200b\u7edd\u5bf9\u503c\u200b \\(|\\cdot|\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b.

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u6570\u5217\u200b\u6781\u9650\u200b \\(\\lim\\limits_{n\\to \\infty}x_n=a\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\varepsilon-N\\) \u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff1a $$ \\forall \\varepsilon>0, \\exists N> 0, \\forall n>N, |x_n-a|<\\varepsilon $$ \u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1f

\u200b\u5728\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e00\u4e2a\u4e2a\u200b\u63d0\u53d6\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u6210\u5206\u200b\uff1a \\(\\varepsilon,N,n,x_n\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u53d8\u5143\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(a\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e38\u503c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(|\\cdot|\\) \u3001\\(-\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\\(<,>\\) \u200b\u662f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u57fa\u672c\u200b\u548c\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u4e86\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\theta\\) \uff0c\u200b\u603b\u6709\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \uff1b
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi,\\psi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\lor\\varphi\\psi\\) \uff1b
  4. \u200b\u5b58\u5728\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\exists x \\varphi\\) \uff1b

\u200b\u66f4\u8fd1\u200b\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b 2~4 \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u8fd8\u6709\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b

\u200b\u8bf7\u200b\u5199\u51fa\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\uff1a\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A,B\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u7b49\u4e8e\u200b \\(B\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(x\\) \uff0c\\(x\\in A\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in B\\) .

\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ [\\neg \\exists z (z\\in x \\land z\\in y) \\land \\neg \\exists z (z\\in y \\land \\neg z \\in x)] \\to x=y \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\in\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4f5c\u8005\u200b\u90a3\u6837\u200b\u60f3\u8981\u200b\u628a\u200b\u4e00\u5207\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5199\u4e3a\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u6267\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9879\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Term Recursion Theorem) \u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Formula Recursion Theorem) \u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u9610\u8ff0\u200b\u4e86\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_5","title":"\\(L\\) - \u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u7ecf\u8fc7\u200b\u4e86\u200b\u5982\u6b64\u200b\u6f2b\u957f\u200b\u7684\u200b\u524d\u7f6e\u200b\u51c6\u5907\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ec8\u4e8e\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u4e25\u683c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7531\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u7ec4\u6210\u200b\uff1a

  1. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(|\\mathfrak{A}|\\) .
  2. \u200b\u5173\u7cfb\u200b\u96c6\u200b \\(\\mathrm{Rs}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(p\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p^\\mathfrak{A}\\subseteq A^{\\nu_L(p)}\\).
  3. \u200b\u51fd\u6570\u200b\u96c6\u200b \\(\\mathrm{Fs}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(f\\)\uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f^{\\mathfrak{A}}: A^{\\nu_L(f)}\\to A\\) .
  4. \u200b\u4e92\u5f02\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(\\mathrm{Cs}_L\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(c\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b \\(c^\\mathfrak{A}\\in A\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u7406\u8bba\u200b\u6765\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\\[ \\Omega := (\\omega,<,+,\\times , \\mathrm{Sc},0) \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\\(p^\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u901a\u5e38\u200b\u628a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(p^\\mathfrak{A}\\) . \u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a\\(<\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ (1,2)\\in p^\\mathfrak{A}, (2,1)\\notin p^{\\mathfrak{A}} \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_6","title":"\u8bed\u4e49\u200b\u90e8\u5206","text":"

\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b\u8bed\u6cd5\u200b\u5c42\u9762\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8d4b\u4e88\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u610f\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u91c7\u7528\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u7814\u7a76\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#mathfraka-","title":"\\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5c31\u662f\u6307\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\alpha: \\mathrm{Vb}\\to A\\) .

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5728\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u53d8\u5143\u200b\u6240\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u7684\u200b\u4e1c\u897f\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\dot{\\mathrm{S}}0\\) \u200b\u662f\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b

\\[ x+\\dot{\\mathrm{S}}0 \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e86\u200b \\(x\\) \u200b\u624d\u80fd\u200b\u77e5\u9053\u200b\u662f\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u542b\u4e49\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u9996\u5148\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7ed9\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \u200b\u8d4b\u503c\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u662f\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u505a\u200b\u7684\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\alpha(x)= 0\\) .

\u200b\u7136\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u7ed9\u200b\u9879\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff0c\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b

\\[ V_{\\mathfrak{A},\\alpha}: \\mathrm{Te}_L \\to A \\]

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4eb2\u7231\u200b\u7684\u200b\u4f5c\u8005\u200b \ud83e\udd2f \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\u4e0d\u200b\u559c\u6b22\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4ed6\u200b\u8981\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u91cc\u9762\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ed6\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff1a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b

\\[ t = x+\\dot{\\mathrm{S}}0 \\]

\u200b\u5728\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e86\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u9879\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(t^{\\mathfrak{A}}[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u8868\u793a\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b.

\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u662f\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u5e76\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c\\(x^{\\mathfrak{A}}[\\alpha] = \\alpha(x)\\) \uff1b
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\\(c^\\mathfrak{A}[\\alpha]=c^\\mathfrak{A}\\) \uff1b
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(f)-1}\\in \\mathrm{Te}_L\\)\uff0c\u200b\u6709\u200b
\\[ (ft*0\\cdots t*{\\nu*L(f)-1})^\\mathfrak{A}[\\alpha] = f^{\\mathfrak{A}}(t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha],\\cdots,t^{\\mathfrak{A}}*{\\nu_L(f)-1}[\\alpha]). \\]

\u200b\u7b80\u800c\u8a00\u4e4b\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u53d8\u5143\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u7531\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u51b3\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u5e38\u503c\u200b\u548c\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u65e0\u5173\u200b\uff0c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u7b49\u4e8e\u200b\u5b83\u200b\u4f5c\u7528\u200b\u7684\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b \\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u540e\u200b \\(f\\) \u200b\u4f5c\u7528\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6765\u770b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b9e\u4f8b\u200b\uff1a

\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u8ba1\u7b97\u200b

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b \\(\\alpha(x)=3\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha(y)=7\\) \uff0c\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\uff1a $$ (\\dot{\\mathrm{S}}x\\times \\dot{\\mathrm{S}}\\dot{\\mathrm{S}}y)^\\Omega [\\alpha] $$

\u200b\u9996\u5148\u200b\u62c6\u5206\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u7136\u540e\u200b\u5728\u200b\u5206\u90e8\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} (\\dot{\\mathrm{S}}x\\times \\dot{\\mathrm{S}}\\dot{\\mathrm{S}}y)^\\Omega [\\alpha] &= (\\dot{\\mathrm{S}}x)^\\Omega [\\alpha] \\times (\\dot{\\mathrm{S}}\\dot{\\mathrm{S}}y)^\\Omega [\\alpha] \\\\ &=\\mathrm{Sc}(\\alpha(x))\\times \\mathrm{Sc}(\\mathrm{Sc}(\\alpha(y))) \\\\ &= \\mathrm{Sc(3)}\\times \\mathrm{Sc}(\\mathrm{Sc}(7)) = 4\\times 9 = 36 \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#l-_6","title":"\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V_{\\mathfrak{A},\\alpha}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5728\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u8bf4\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u6b63\u786e\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u9519\u8bef\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u771f\u5047\u200b\u503c\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff1a

  1. \u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b \\(u\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ V_{\\mathfrak{A},\\alpha}(t = u) = \\begin{cases}\\mathrm{T}, &\\text{if }t^{\\mathfrak{A}}[\\alpha]=u^{\\mathfrak{A}}[\\alpha], \\\\ \\mathrm{F}, &\\text{otherwise}.\\end{cases} $$
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(p)-1}\\in \\mathrm{Te}_L\\) \uff0c
\\[ V*{\\mathfrak{A},\\alpha}(pt_0\\dots t*{\\nu*L(p)-1})= \\begin{cases}\\mathrm{T},&\\text{if } (t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha],\\cdots,t^\\mathfrak{A}*{\\nu_L(p)-1}[\\alpha])\\in p^\\mathfrak{A} \\\\ \\mathrm{F},&\\text{otherwise}.\\end{cases} \\]

\u200b\u6700\u540e\u200b\u5c31\u200b\u53ea\u200b\u5269\u4e0b\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7167\u642c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u90e8\u5206\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) \u200b\u6211\u4eec\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u7565\u53bb\u200b\u4e0d\u8868\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5b58\u5728\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u518d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\uff1a\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b \\(\\alpha_{x\\to a}\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff08\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff09

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ V*{\\mathfrak{A},\\alpha}({\\exists x \\varphi}) := \\begin{cases}\\mathrm{T},&\\text{if for some }a\\in A, V*{\\mathfrak{A},\\alpha\\_{x\\to a}}(\\varphi)=\\mathrm{T} \\\\ \\mathrm{F}, &\\text{otherwise}.\\end{cases} \\]

\u200b\u5728\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u66fe\u7ecf\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8fc7\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(\\mid\\!\\equiv\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e5f\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u7684\u200b\u8bb0\u53f7\u200b \\(\\models\\) . \u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bb0\u53f7\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha] \\]

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u6ee1\u8db3\u200b (satisfies) \u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\), \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \uff1a

  1. \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha]\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V_{\\mathfrak{A},\\alpha}(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b (satisfies) \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\).
  2. \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi[\\alpha]\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V_{\\mathfrak{A},\\alpha}(\\varphi)=\\mathrm{F}\\) .

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a

\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b Proposition 2.1.25 \u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u663e\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5199\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\Omega\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\underset{\\Omega}{|\\!\\!\\!=}\\ x< \\dot{\\mathrm{S}}y \\to (x< y\\lor x=y)[\\alpha]; \\]

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u540e\u7ee7\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(m<n+1\\) \uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b \\(m=n\\) \u200b\u8981\u4e48\u200b \\(m<n\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.1%20%E4%B8%80%E9%98%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80/#_7","title":"\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u3001\u200b\u57fa\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u3001\u200b\u57fa\u6570\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b \uff08\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff09\uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u5408\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff08\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff09.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u5408\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) (\\kappa)\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(L\\) \u200b\u4e3a\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\kappa\\) .

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a\u200b\u5373\u4f7f\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u591a\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff1a

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{Te}_L,\\mathrm{AtFm}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathrm{Fm}_L\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u65e0\u9650\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u6709\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathrm{AtFm}_L\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathrm{Fm}_L\\) \u200b\u662f\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u9700\u8981\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u611f\u5174\u8da3\u200b\u7684\u8bdd\u200b\u770b\u200b\u82f1\u6587\u200b\u539f\u6587\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u5269\u4f59\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u662f\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u6709\u6548\u6027\u200b (effectiveness) \u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u81ea\u6b64\u200b\u6253\u4f4f\u200b\u65e5\u540e\u200b\u518d\u200b\u6765\u770b\u200b. \uff08\u200b\u53cd\u6b63\u200b\u8001\u5e08\u200b\u4e5f\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u518d\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u4f55\u5fc5\u200b\u903c\u200b\u81ea\u5df1\u200b \ud83d\ude2b\uff09

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/","title":"\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u4e49\u200b (Basic Semantics)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_1","title":"\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_2","title":"\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u8fd8\u6709\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b (logically valid) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\models \\varphi\\) .
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha] \\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\psi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b49\u4ef7\u200b (logically equivalent)\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\models\\hspace{-5pt}|~ \\psi\\) .
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha] \\Rightarrow \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\psi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b (logical consequence)\uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi \\models \\psi\\) .
  4. \u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b.
  5. \\(\\Gamma\\) \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\).

\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u662f\u200b\u7b80\u5355\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a

\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_3","title":"\u91cd\u8a00\u5f0f","text":"

\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u201c\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u201d\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\u5177\u6709\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bef\u5bfc\u6027\u200b\uff0c\u200b\u8f6c\u800c\u200b\u91c7\u7528\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u6765\u200b\u6307\u4ee3\u200b tautlogy .

\u200b\u5f15\u5165\u200b \\(L\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff1a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(V:\\mathrm{Fm}_L\\to \\left\\lbrace \\mathrm{T},\\mathrm{F} \\right\\rbrace\\) \u200b\u5c06\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u3001\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b

  1. \u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff1a\\(\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(V(\\varphi) = \\mathrm{T}\\) .
  2. \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a\\(\\varphi\\mid\\!\\equiv\\!\\mid \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V(\\varphi) = V(\\psi)\\) .
  3. \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff1a\\(\\varphi\\mid\\!\\equiv \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(V(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\(V(\\psi)=\\mathrm{T}\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u6709\u4e2a\u200b\u975e\u5e38\u5bb9\u6613\u200b\u9677\u5165\u200b\u7684\u200b\u8bef\u533a\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u73b0\u5728\u200b\u4e0d\u200b\u628a\u200b tautlogy \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ x=x \\]

\u200b\u5b83\u200b\u662f\u5426\u662f\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\uff1f\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u5b83\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u7528\u200b\u201c\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\u201d\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u7684\u8bdd\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u975e\u5e38\u200b\u4ee4\u4eba\u200b\u8ff7\u60d1\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u5398\u6e05\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u94fe\u6761\u200b\uff1a

\u200b\u6240\u4ee5\u200b\uff0c\u200b\u7efc\u4e0a\u200b \\(V(x=x)=\\mathrm{F}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6307\u5b9a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b 2.2.4 \u200b\u8868\u660e\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u4e49\u200b\uff08\u200b\u91cd\u8a00\u200b\u3001\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff09\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u5bfc\u200b\u51fa\u200b\u903b\u8f91\u200b\uff08\u200b\u6709\u6548\u200b\u3001\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u3001\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff09.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_4","title":"\u7b49\u200b\u8bcd\u200b\u516c\u7406","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_5","title":"\u7b49\u200b\u8bcd\u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9","text":"

\u200b\u7b49\u200b\u8bcd\u200b\u516c\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t,u,\\cdots\\) \u200b\u548c\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c

  1. \\(\\models t=t\\) \uff1b\uff08\u200b\u81ea\u200b\u53cd\u200b\uff09
  2. \\(\\models t=u \\to u=t\\) \uff1b\uff08\u200b\u4ea4\u6362\u200b\uff09
  3. \\(\\models t=u \\land u=v \\to t=v\\) \uff1b\uff08\u200b\u4f20\u9012\u200b\uff09
  4. \\(\\models (t_0=u_0)\\land \\cdots \\land (t_{\\nu_L(f)-1} = u_{\\nu_L(f)-1})\\to\\) \\(ft_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1} = fu_0\\cdots u_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff1b
  5. \\(\\models (t_0=u_0)\\land \\cdots \\land (t_{\\nu_L(p)-1} = u_{\\nu_L(p)-1})\\to\\) \\([pt_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1} \\leftrightarrow pu_0\\cdots u_{\\nu_L(f)-1}]\\) \uff1b

\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u90fd\u200b\u662f\u4ece\u200b \\(=\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b \\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b49\u503c\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u6765\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_6","title":"\u5e38\u89c1\u200b\u7684\u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u548c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u627f\u5f0f","text":"

\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u90e8\u5206\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u66fe\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u8fd9\u65b9\u9762\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e5f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f8\u4e92\u200b\u8f6c\u5316\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\forall x (\\varphi\\land \\psi) \\models\\!\\!\\!| \\forall x \\varphi \\land \\forall x \\psi \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b

\\[ \\mid\\!\\equiv \\theta \\land \\chi \\iff \\mid\\!\\equiv \\theta \\text{ and } \\mid\\!\\equiv \\chi \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u7684\u200b translation \u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u4ece\u200b\u91cd\u8a00\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6765\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\text{for all } V [V (\\theta) = \\mathrm{T}\\text{ and } V(\\chi) = \\mathrm{T}] \\\\ &\\iff\\text{for all } V[V(\\theta)=\\mathrm{T}] \\text{ and for all } V[V(\\chi)=\\mathrm{T}]. \\end{aligned} \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_7","title":"\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u3001\u200b\u53d7\u200b\u56ff\u200b\u53d8\u91cf","text":"

\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u53bb\u200b\u601d\u8003\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u662f\u5426\u200b\u548c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1f\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\exists x(x\\dot{+}y=z) \\]

\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u91cc\u9762\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u5426\u200b\u6210\u7acb\u200b\u548c\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u53d6\u503c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4ec0\u4e48\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b\u4e00\u79cd\u200b\u5360\u4f4d\u200b\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u597d\u50cf\u200b\u5b9a\u200b\u79ef\u5206\u200b

\\[ \\int_0^2 f(x)\\mathrm{d}x \\]

\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(x\\) \u200b\u4e00\u6837\u200b. \u200b\u8fd9\u79cd\u200b\u7406\u89e3\u200b\u5e26\u6765\u200b\u7684\u200b\u6548\u679c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b83\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6362\u5143\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u597d\u50cf\u200b \\(\\displaystyle\\int_0^1 f(x)\\mathrm{d}x = \\int_0^1 f(u)\\mathrm{d}u\\) \u200b\u4e00\u6837\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6362\u5143\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\uff1a

\\[ \\exists x(x\\dot{+}y=z) = \\exists u(u\\dot{+}y=z) \\]

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8981\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u4e25\u8c28\u200b\u5730\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u8fd9\u4ef6\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5f15\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) \u200b\u7531\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u751f\u6210\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\\(\\mathrm{Fv}(\\varphi) = \\left\\lbrace x:x \\text{ \u200b\u5728\u200b } \\varphi \\text{ \u200b\u4e2d\u200b\u51fa\u73b0\u200b} \\right\\rbrace\\).
  2. \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)=\\mathrm{Fv}(\\neg \\varphi)\\) \uff1b
  3. \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi\\lor \\psi) = \\mathrm{Fv}(\\varphi)\\cup \\mathrm{Fv}(\\psi)\\) \uff1b
  4. \\(\\mathrm{Fv}(\\exists x \\varphi)=\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\sim \\left\\lbrace x \\right\\rbrace\\).

\u200b\u5f53\u200b \\(x\\in \\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u200b \\(x\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e2d\u200b\u81ea\u7531\u200b\u51fa\u73b0\u200b (occurs free). \u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u4e4b\u5916\u200b\u7684\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7edf\u79f0\u200b\u4e3a\u200b\u53d7\u200b\u56ff\u200b\u53d8\u91cf\u200b (Bounded variables) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Bv}(\\varphi)\\) .

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bbe\u200b $$ \\varphi = (\\exists x(x=y+z))\\lor (\\exists y (y=u+x)) $$ \u200b\u8bd5\u6c42\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) .

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u7684\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(x,y,z,u\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8bc1\u660e\u200b

\\[ \\mathrm{Fv}(\\varphi) = \\left\\lbrace x,y,z,u \\right\\rbrace \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#l-","title":"\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi) = \\varnothing\\) .

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u518d\u6b21\u200b\u8ba8\u8bba\u4e00\u4e0b\u200b \\(x=x\\) \u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u8bed\u53e5\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\exists x(x=x)\\) \u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\beta\\) .

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u5728\u200b \\(t\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha(x)=\\beta(x)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ t^\\mathfrak{A} [\\alpha] = t^\\mathfrak{A}[\\beta] $$
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(x\\in \\mathrm{Fv}(\\varphi)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha(x) = \\beta(x)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\varphi[\\beta] $$

\u200b\u5229\u7528\u200b\u9879\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#undersetmathfrakamodels-varphi","title":"\\(\\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\ \\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6027\u8d28","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#mathfraka","title":"\u4e0d\u200b\u4f9d\u8d56\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u4e0d\u200b\u4f9d\u8d56\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u6307\u6d3e\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha,\\beta\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\beta] $$ \u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u8981\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5168\u90e8\u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u5747\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\).

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#l","title":"\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u5047","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u771f\u5047\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathrm{Fv}(\\varphi)\\subseteq \\left\\lbrace x_0,\\cdots,x_{k-1} \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\varphi_{x_0,\\cdots,x_{k-1}}[a_0,\\cdots,a_{k-1}] $$ \u200b\u6216\u8005\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[a_0,\\cdots,a_{k-1}]\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\uff08\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4efb\u610f\u200b\uff09\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(i<k\\) \uff0c\\(\\alpha(x_i)=a_i\\) \u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6709\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi[\\alpha]\\) .\u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u5199\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\varphi\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u660e\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u771f\u200b \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5047\u200b.

\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b 2.2.11 \u200b\u662f\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u5ef6\u7eed\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u5fc5\u200b\u591a\u8a00\u200b.

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u9700\u8981\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u624d\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff1f\u200b\u5728\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e86\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u540e\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u6709\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u624d\u80fd\u200b\u660e\u786e\u200b\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5728\u200b \\((\\mathbb{R},<,+,1)\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\u200b\u65e0\u8bba\u662f\u200b\u76f4\u89c9\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u7406\u8bba\u200b\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u524d\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u5224\u65ad\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u200b\u662f\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u5224\u65ad\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5b58\u5728\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(y\\) \uff0c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u660e\u786e\u200b \\(y\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u771f\u5047\u200b\u6027\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_8","title":"\u771f\u5047\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u90fd\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u91cd\u8981\u200b\uff0c\u200b\u5efa\u8bae\u200b\u90fd\u200b\u8bb0\u5fc6\u200b.

(1) \u200b\u903b\u8f91\u200b\u6709\u6548\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u53cd\u4e4b\u200b\uff0c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u9519\u8bef\u200b (logically false) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e2d\u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u5047\u200b.

(2) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n \\geqslant 2\\) \uff0c\u200b\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53e5\u5b50\u200b\u6765\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\exists^{\\geqslant n}\\) \uff1a

\\[ \\exists x_0 \\cdots \\exists x_{n-1} [\\neg (x_0 = x_1)\\land \\neg (x_0=x_2) \\land \\cdots \\land \\neg (x_{n-2}=x_{n-1})] \\]

\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n\\) \u200b\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e24\u200b\u4e24\u200b\u4e92\u4e0d\u200b\u76f8\u7b49\u200b. \u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u7b80\u6d01\u200b\u5730\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\exists x_0\\cdots \\exists x_{n-1} \\bigwedge_{i<j<n} \\neg (x_i=x_j) \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(n=1\\) \uff0c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\exists^{\\geqslant 1} = \\exists x[x=x]\\) .

\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=}\\ \\exists^{\\geqslant n} \\iff |A|\\geqslant n \\]

(3) \u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u975e\u81ea\u200b\u53cd\u6027\u200b\uff1a

\\[ \\theta_{\\mathrm{irrefl}} = \\forall x (\\neg x < x) \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5177\u6709\u200b\u975e\u81ea\u200b\u53cd\u6027\u200b. \u200b\u540c\u6837\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u6709\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\u3001\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u6027\u200b (connected) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u7a20\u5bc6\u6027\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{trans}},\\theta_{\\mathrm{conn}},\\theta_{\\mathrm{dense}}\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b (strict linear ordering) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\theta_{\\mathrm{SLO}} = \\theta_{\\mathrm{irrefl}}\\land \\theta_{\\mathrm{trans}}\\land \\theta_{\\mathrm{conn}} \\]

\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b (dense linear ordering)\uff1a

\\[ \\theta_{\\mathrm{DLO}} = \\theta_{\\mathrm{SLO}}\\land \\exists^{\\geqslant 2} \\land \\theta_{\\mathrm{dense}} \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_9","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u6a21\u578b","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_10","title":"\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u6a21\u578b\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)\uff0c

  1. \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u771f\u200b.
  2. \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u4e3a\u200b\u771f\u200b.

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5bf9\u200b\u4e0d\u200b\u5bf9\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8981\u200b\u770b\u200b\u5b83\u200b\u6240\u5728\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u50cf\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u7684\u200b\u6b63\u786e\u200b\u4e0e\u5426\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u80cc\u666f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u8bf4\u200b\u5728\u200b\u5168\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{R}^2\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e3a\u200b \\(1\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u547d\u9898\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_11","title":"\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd9\u6b21\u200b\u6298\u8fd4\u200b\u56de\u6765\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff1a\u200b\u7fa4\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{G} = (G,*,^{-1},e)\\) . \u200b\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5728\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\mathfrak{G}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma_{\\mathrm{Gp}} := \\left\\lbrace \\theta_{\\mathrm{assoc}},\\theta_{\\mathrm{ident}},\\theta_{\\mathrm{inverse}} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u7ed3\u5408\u5f8b\u200b\u3001\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5e7a\u200b\u5143\u200b\u3001\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5b58\u5728\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6559\u6750\u200b\u6709\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u5185\u5bb9\u200b\u4e0d\u200b\u591a\u200b\u8d58\u8ff0\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u62ff\u6389\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u9006\u5143\u200b\u8fd0\u7b97\u7b26\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{G} = (G,*,e)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e5f\u200b\u4f1a\u200b\u6709\u6240\u200b\u53d8\u5316\u200b\uff1a

\\[ \\theta'_{\\mathrm{inverse}} = \\forall x \\exists y [x*y = e \\land y*x=e] \\]

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c $$ \\Gamma \\models \\psi \\iff \\text{\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b } \\Gamma \\text{ \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b } \\psi \\text{ \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b}.$$

\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u4e0a\u9762\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\\[ \\Gamma_{\\mathrm{Gp}}\\models \\varphi \\]

\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7fa4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b. \u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u8fc7\u6765\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u7fa4\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u90fd\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e3a\u200b\u771f\u200b. \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.2%20%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%AD%E4%B9%89%20%28Basic%20Semantics%29/#_12","title":"\u4ee3\u6362\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5","text":"

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ec8\u4e8e\u200b\u8981\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4ee3\u6362\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ea\u8981\u200b\u8bf4\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u7528\u9879\u200b\u53bb\u200b\u4ee3\u6362\u200b\u53d8\u5143\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4ee3\u6362\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(u\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(y\\) \uff0c$$ y_x(u) := \\begin{cases}u ,&\\text{\u200b\u5982\u679c\u200b } y\\text{ \u200b\u662f\u200b }x, \\ y, & \\text{\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u60c5\u51b5\u200b}. \\end{cases} $$
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5e38\u91cf\u200b \\(c\\) \uff0c\\(c_x(u)\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(c\\) .
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t_0,\\cdots,t_{\\nu_L(f)-1}\\)\uff0c
\\[ (ft_0\\cdots t_{\\nu_{L}(f)-1})(u) := f(t_0)_x(u)\\cdots(t_{\\nu_L(f)-1})_x(u) \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b (Structure)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#isomorphism","title":"\u540c\u6784\u200b (Isomorphism)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_1","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6570\u5b66\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53cc\u5c04\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \u200b\u4e14\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1}\\in |\\mathfrak{A}|\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ p^\\mathfrak{A}(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1})\\iff p^\\mathfrak{B} (\\eta(a_0),\\cdots,\\eta(a_{\\nu_L(p)-1})) $$
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \u200b\u548c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1}\\in |\\mathfrak{A}|\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\eta \\left(f^\\mathfrak{A}(a_0,\\cdots,a_{\\nu_L(p)-1})\\right) = f^\\mathfrak{B} (\\eta(a_0),\\cdots,\\eta(a_{\\nu_L(p)-1})) $$
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\\(\\eta(c^\\mathfrak{A}) = c^\\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u548c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u7fa4\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u975e\u5e38\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b\uff1a\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathfrak{A} = (\\mathbb{R},<,+,0)\\) \uff0c\\(\\mathfrak{B} = (\\mathbb{R}^{>0},<,\\times ,1)\\) \uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u6784\u9020\u200b\u53cc\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b\uff1a

\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u7531\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u7684\u200b Cauchy \u200b\u65b9\u7a0b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b \\(\\eta(x) = a^x\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u68c0\u9a8c\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u8fd9\u200b\u786e\u5b9e\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_2","title":"\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u6709\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi \\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi $$ \u200b\u4ece\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u5b83\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u4ece\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6765\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u770b\u8d77\u6765\u200b\u548c\u200b\u540c\u6784\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f1a\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6bd4\u200b\u540c\u6784\u200b\u8981\u5f3a\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_3","title":"\u8bf1\u5bfc\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u3001\u200b\u4f9d\u4ece","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8bf1\u5bfc\u200b\u6307\u6d3e\u200b\u3001\u200b\u4f9d\u4ece\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \uff0c

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u8bf1\u5bfc\u200b \\(\\mathfrak{B}\\)-\u200b\u6307\u6d3e\u200b (induced assignment) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a$$ \\alpha^\\eta (x) = \\eta(\\alpha(x)) $$
  2. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b (respect) \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b $$ \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta]; $$
  3. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha^\\eta]$$

\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b respect \u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u201c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u201d\u200b\u662f\u200b\u672c\u4eba\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\uff0c\u200b\u6211\u200b\u5e76\u4e0d\u77e5\u9053\u200b\u662f\u5426\u200b\u6709\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6b63\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u8bd1\u540d\u200b.

\u200b\u4f8b\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathfrak{A} = (\\mathbb{R},<,+,0)\\) \uff0c\\(\\mathfrak{B} = (\\mathbb{R}^{>0},<,\\times ,1)\\).

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u548c\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u57fa\u672c\u4e00\u81f4\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u6b21\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(t\\) \u200b\u4e3a\u9879\u200b \\(x*(y*c)\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha(x) = \\pi, \\alpha(y) = 7\\) .

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u662f\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u53d6\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b\u53cc\u5c04\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = \\eta(\\pi+(7+0)) \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5176\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\eta(\\pi+(7+0)) &= \\eta(\\pi)\\times (\\eta(7)\\times \\eta(0)) \\\\ &= t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u4e8e\u9879\u200b \\(t\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_4","title":"\u540c\u6784\u200b\u548c\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(\\eta: \\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6240\u6709\u200b \\(L\\)-\u200b\u9879\u200b\u548c\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5f88\u200b\u7e41\u590d\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4f9d\u6b21\u200b\u5c06\u200b\u9879\u200b\u548c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b \u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3001\u200b\u5b58\u5728\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u548c\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u53c2\u8003\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u6559\u6750\u200b\u5f15\u7406\u200b 2.3.6 \u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u7531\u4e8e\u200b Hinman \u200b\u8bf4\u200b\uff1a

The calculation for other atomic formulas is similar, and the induction steps for \u00ac and \u2228 are straightforward; we leave them to the reader.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u7ec3\u4e60\u200b\u5427\u200b. \u200b\u7528\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u5f53\u4f5c\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u57fa\u4e8e\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi,\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} (\\neg\\varphi)[\\alpha] &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi[\\alpha] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi[\\alpha^\\eta] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} (\\neg\\varphi)[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\u5bf9\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u91cd\u8981\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u540c\u6784\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u5fc5\u5b9a\u200b\u4f9d\u4ece\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi &\\iff \\text{\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6307\u6d3e\u200b } \\alpha, \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\\\ &\\iff \\text{\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6307\u6d3e\u200b } \\alpha, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha^\\eta] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#l_","title":"\\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784","text":"

\u200b\u5728\u200b \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e76\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u53ea\u200b\u9700\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b\u5168\u57df\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u4ee5\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5168\u57df\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\((A)\\)\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u975e\u5e38\u5bb9\u6613\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b \\(L_=\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\((A)\\) \u200b\u548c\u200b \\((B)\\) . \u200b\u6709\u200b $$ (A)\\simeq (B) \\iff |A| = |B| $$

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b \\((A)\\equiv (B)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\exists^{=n}\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u547d\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\((A)\\simeq (B)\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b Corollary 2.3.9 \u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5728\u200b\u9610\u8ff0\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\((A)\\equiv (B)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\((A)\\simeq (B)\\) . \u200b\u66f4\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u548c\u200b\u540c\u6784\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b\u7528\u200b\u7b26\u53f7\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8868\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(\\theta^{(A)} = \\exists^{=n}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bf4\u660e\u200b

\\[ (A)\\simeq (B) \\iff \\underset{(B)}{\\models} \\theta^{(A)} \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_5","title":"\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u3001\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff09\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5176\u200b\u5168\u57df\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u9650\u200b\uff08\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u3001\u200b\u53ef\u6570\u200b\uff09\u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u597d\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u200b\u4e86\u200b.

\u200b\u5728\u200b \\(L_=\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7528\u200b

\\[ (A)\\simeq (B) \\iff \\underset{(B)}{\\models} \\theta^{(A)} \\]

\u200b\u6765\u200b\u8868\u73b0\u200b\u51fa\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\theta^{(A)}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u5426\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u770b\u4f3c\u200b\u4f9d\u8d56\u200b\u4e86\u200b \\(L_=\\) \u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f9d\u8d56\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u548c\u200b \\(B\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u6027\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u80fd\u200b\u63a8\u5e7f\u200b\u5230\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e0e\u200b\u540c\u6784\u200b\u3001\u200b\u523b\u753b\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff08\u200b\u5373\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6709\u9650\u200b\uff09 \\(L\\) \u200b\u548c\u200b\u6709\u9650\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff1b
  2. \u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\theta^\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c06\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u523b\u753b\u200b (characterizes) \u200b\u5230\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u610f\u601d\u200b\u662f\u200b\u8bf4\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c $$ \\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\theta^\\mathfrak{A} $$

\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u7684\u200b\u7ae0\u8282\u200b\u4e2d\u200b\u518d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u4e86\u89e3\u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u76ee\u524d\u200b\u4e5f\u200b\u4ec5\u4ec5\u200b\u662f\u200b\u5728\u200b\u6709\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5f31\u5316\u200b\u8bc1\u660e\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_6","title":"\u5b50\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b

  1. \\(|A|\\) \u200b\u662f\u200b \\(|B|\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(p\\in \\mathrm{Rs}_L\\) \uff0c\\(p^\\mathfrak{A} = p^\\mathfrak{B}\\cap |\\mathfrak{A}|^{\\nu_L(p)}\\) \uff1b
  3. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\\(f^\\mathfrak{A} = f^\\mathfrak{B}\\upharpoonright |\\mathfrak{A}|^{\\nu_L(f)}\\) \uff1b
  4. \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\) \uff0c\\(c^\\mathfrak{A} = c^\\mathfrak{B}\\) \uff1b

\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u8bf4\u660e\u200b

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\upharpoonright\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u9650\u5236\u200b. \u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(f \\upharpoonright A\\) \u200b\u5c31\u662f\u6307\u200b\u5c06\u200b \\(f\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u9650\u5236\u200b\u5230\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b. \u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u4e8e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u62d3\u6251\u200b\u4e2d\u200b\u770b\u5230\u200b\u7684\u200b \\(f|_A\\) .

\u200b\u7b80\u5355\u200b\u6765\u8bf4\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u5e38\u91cf\u200b. \u200b\u770b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a

\u200b\u662f\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\u4e5f\u200b\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u200b\uff1a\u200b\u524d\u8005\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u53d8\u5316\u200b\uff0c\u200b\u540e\u8005\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u53d8\u5316\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b \\(A\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u80fd\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u6761\u200b\u5747\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(f\\in \\mathrm{Fs}_L\\) \uff0c\\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(f^\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b.
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e38\u91cf\u200b \\(c\\in \\mathrm{Cs}_L\\)\uff0c\\(c^\\mathfrak{B}\\in A\\).

\u200b\u5176\u5b9e\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u6210\u4eba\u200b\u8bdd\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u5f97\u200b\u5728\u200b\u5168\u57df\u200b\u91cc\u9762\u200b\u3002\u200b\u51fd\u6570\u200b\u503c\u200b\u4e5f\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u8dd1\u200b\u51fa\u200b\u5168\u57df\u200b.

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u54ea\u4e9b\u200b\u662f\u200b \\((\\mathbb{R},<,\\cos,\\pi)\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff1f

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u5728\u200b\u5168\u57df\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5c3d\u7ba1\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\cos\\) \u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u88ab\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5176\u503c\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u8dd1\u200b\u51fa\u200b\u5168\u57df\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b \uff08\\(\\cos \\pi = -1\\)\uff09\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ea\u6709\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u662f\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_7","title":"\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(X\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6709\u200b \\(X\\neq \\varnothing\\) \u200b\u6216\u200b \\(\\mathrm{Cs}_L\\neq \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u6700\u200b\u5c0f\u5b50\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\left\\langle X \\right\\rangle_\\mathfrak{B} \\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(X \\subseteq |\\left\\langle X \\right\\rangle|_\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6700\u200b\u5c0f\u5b50\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(X\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(X\\) \u200b\u548c\u200b \\(L\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\left\\langle X \\right\\rangle_\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u7ed9\u5b9a\u200b\u7684\u200b \\(X \\subseteq |\\mathfrak{B}|\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4ee4\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a

\\[ X \\cup \\left\\lbrace c^\\mathfrak{B}: c\\in \\mathrm{Cs}_L \\right\\rbrace\\subseteq A \\]

\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(A\\) \u200b\u8981\u200b\u5728\u200b \\(f^\\mathfrak{B} \\ (f\\in \\mathrm{Fs}_L)\\) \u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(A \\neq \\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4ee4\u200b \\(|\\left\\langle X \\right\\rangle_\\mathfrak{B}| = A\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(X\\cup \\left\\lbrace c^\\mathfrak{B}: c\\in \\mathrm{Cs}_L \\right\\rbrace\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\left\\lbrace f^\\mathfrak{B}: f\\in \\mathrm{Fs}_L \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u95ed\u5305\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u6c42\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(\\left\\lbrace 30,42 \\right\\rbrace\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7fa4\u200b \\((\\mathbb{Z},+,-,0)\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b.

\u200b\u5229\u7528\u200b\u52a0\u51cf\u6cd5\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b97\u51fa\u200b\u7531\u200b \\(30,42\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b97\u200b\u51fa\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(6\\) \u200b\u7684\u200b\u500d\u6570\u200b\uff0c\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ (\\left\\lbrace 6n:n\\in \\mathbb{Z} \\right\\rbrace,+,-,0) \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#quantifier-free-formulas","title":"\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b (Quantifier-free formulas)","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e03\u5c14\u200b\u7ec4\u5408\u200b\u3001\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u5176\u200b\u5e03\u5c14\u200b\u7ec4\u5408\u200b (Boolean Combinations) \\(\\mathrm{Bool}(\\Gamma)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u5305\u542b\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\mathrm{T} \\right\\rbrace\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b\u4e3a\u200b $$ \\mathrm{QF} := \\mathrm{Bool}(\\mathrm{AtFm}_L) $$

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7ed9\u200b\u51e0\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff1a - \u200b\u65e0\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) . \u200b\u65e0\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\\(\\mathrm{T}\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u5305\u542b\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(\\mathrm{QF}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5305\u542b\u200b\u6709\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u975e\u5e38\u200b\u79bb\u8c31\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u5f97\u200b\u63a5\u53d7\u200b\uff0c\u200b\u539f\u6587\u200b\u662f\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u5199\u200b\u7684\u200b\uff1a

The special sentence T must actually contain a quantifier, so QF is not completely free of quantifiers. This will never cause any problems.

\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u5f15\u8d77\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff08\u200b\u8feb\u771f\u200b\uff09.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u9879\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(t^\\mathfrak{A}[\\alpha] = t^\\mathfrak{B}[\\alpha]\\).

\u200b\u5229\u7528\u200b\u9879\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\u200b\u7ec6\u8282\u200b\u53c2\u8003\u4e66\u200b\u672c\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u540c\u65f6\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(|\\mathfrak{A}| \\subseteq |\\mathfrak{B}|\\) .
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\uff1a $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$

\u200b\u8981\u200b\u505a\u200b\u7684\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u9010\u9879\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b. \u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u9010\u4e00\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b.

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\u200b\uff1a - \u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u200b\u9700\u8981\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1b - \u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u91cc\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u9700\u8981\u200b\u7684\u200b\u53ea\u662f\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_8","title":"\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u3001\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728\u200b

  1. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u5168\u79f0\u200b (universal) \u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u6216\u8005\u200b\u5b58\u5728\u200b (existential) \u200b\u7684\u200b\uff09\uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(y_0,\\cdots,y_{n-1}\\) \uff0c\\(\\psi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\forall y_0 \\cdots \\forall y_{n-1} \\theta (\\exists y_0\\cdots \\exists y_{n-1}\\theta)\\) .
  2. \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b (logically universal) \u200b\u7684\u200b\u6216\u8005\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728\u200b (logically existential) \u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u5168\u79f0\u200b\u7684\u200b\u6216\u8005\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(\\models \\varphi\\leftrightarrow \\psi\\) .
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#upwarddownward-persistent","title":"\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b/\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b (upward/downward persistent)","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b/\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b (upward persistent) \u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\Rightarrow \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$ \u200b\u53cd\u5411\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b (downward persistent) \uff1a $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\Leftarrow \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$

\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u6211\u200b\u4e2a\u4eba\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6709\u200b\u66f4\u597d\u200b\u7684\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u8bf7\u200b\u6307\u51fa\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u548c\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u5411\u4e0a\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u5168\u79f0\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u5411\u4e0b\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4ec5\u200b\u8003\u8651\u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a\\(\\models \\varphi\\leftrightarrow \\exists x \\theta\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\theta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha] &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\exists x \\theta [\\alpha] \\\\ &\\iff \\text{for some }a\\in A, \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\theta[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\text{for some }a\\in A, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\theta[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\Longrightarrow \\text{for some }a\\in B, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\theta[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha]. \\end{aligned} \\]

\\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_9","title":"\u540c\u6001\u200b\u548c\u200b\u5d4c\u5165","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_10","title":"\u540c\u6001\u200b\u4e0e\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u540c\u6001\u200b\u548c\u200b\u5d4c\u5165\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \uff0c

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b \u200b\u540c\u6001\u200b (homomorphism)\uff08\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\eta:\\mathfrak{A}\\to \\mathfrak{B}\\)\uff09 \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u5728\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\u53bb\u6389\u200b\u5355\u5c04\u200b\u6216\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b.
  2. \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5d4c\u5165\u200b (embedding) \uff08\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\hookrightarrow_0 \\mathfrak{B}\\)\uff09\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u200b\u540c\u6001\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b\u540c\u6784\u200b\u53bb\u6389\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff09. \u200b\u540c\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5d4c\u5165\u200b (embeddable) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u6620\u5c04\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\hookrightarrow_0 \\mathfrak{B}\\).

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u540c\u6001\u200b \\(\\eta :\\mathfrak{A}\\to \\mathfrak{B}\\) \uff0c

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b (respect) \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u89c1\u200b\u8ba1\u7b97\u673a\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b2c\u56db\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_11","title":"\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: |\\mathfrak{A}|\\to \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4e0b\u5217\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff1b
  2. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5b58\u5728\u200b\uff08\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\uff09\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}'\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\eta: \\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{A}'\\).

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u76f8\u5173\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u603b\u7ed3\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_12","title":"\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u4e0e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u6269\u5f20","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u3001\u200b\u521d\u7b49\u200b\u6269\u5f20\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\)\uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u6216\u8005\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u6269\u5f20\u200b \uff08\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\)\uff09\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u6761\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(|\\mathfrak{A}| \\subseteq |\\mathfrak{B}|\\) .
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \uff1a $$ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] $$

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b \u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b+\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b \u200b\u8981\u5f31\u200b\u4e8e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b.

\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u662f\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u5f31\u5316\u200b\u7248\u200b\uff08\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4ec5\u200b\u8981\u6c42\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff09. \u200b\u800c\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b+\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u5f31\u4e8e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\).

\u200b\u53cd\u8fc7\u6765\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53cd\u4f8b\u200b\uff1a

\u200b\u53cd\u4f8b\u200b

\\(\\mathfrak{A} = (\\omega \\sim \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace, \\leqslant)\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathfrak{B} = (\\omega,\\leqslant)\\) .

\\(\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u540e\u8005\u200b\u7531\u200b\u540c\u6784\u200b\u63a8\u51fa\u200b\uff09\uff0c\u200b\u7136\u800c\u200b\uff0c\\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\forall y (x \\leqslant y)[1] \\]

\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(1\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{B}}{|\\!\\!\\!\\neq} \\forall y (x \\leqslant y) [1] \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f8b\u9898\u200b\uff1a\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathfrak{A} = (\\mathbb{R}^+,<)\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B} = (\\mathbb{R},<)\\)\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8981\u8bc1\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\]

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u4e3a\u200b \\(x_0,\\cdots,x_{k-1}\\) \uff0c\\(\\alpha(x_i) = a_i (i=0,1,\\cdots,k-1)\\) \uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{k-1}]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{k-1}] \\]

\u200b\u6784\u9020\u200b\u540c\u6784\u200b \\(y:\\mathbb{R}^+\\to \\mathbb{R}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(y(a_i)=a_i\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#tarski-lowenhiem-skolem-mathrmclsdownarrow","title":"Tarski \u200b\u5224\u522b\u200b\u6cd5\u200b\u548c\u200b\u53ef\u6570\u200b\u4e0b\u884c\u200b L\u00f6wenhiem-Skolem \u200b\u5b9a\u7406\u200b (\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\))","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#tarski","title":"Tarski \uff08\u200b\u5854\u65af\u200b\u57fa\u200b\uff09\u200b\u5224\u522b\u200b\u6cd5","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aTarski \u200b\u5224\u522b\u200b\u6cd5\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathfrak{A}\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u548c\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b\u53d8\u5143\u200b \\(x\\) \uff0c $$ \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} (\\exists x \\psi)[\\alpha] \\iff \\text{\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e9b\u200b }a\\in |\\mathfrak{A}|, \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\psi[\\alpha_{x\\to a}]$$ \u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[\\alpha]\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha] \\]

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u4e0d\u9700\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u6709\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\varphi = \\exists x \\psi\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi [\\alpha] &\\iff \\text{for some } a\\in |\\mathfrak{A}| , \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\psi[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\text{for some } a\\in |\\mathfrak{A}| , \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\psi[\\alpha_{x\\to a}] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi[\\alpha]. \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#lowenhiem-skolem-mathrmclsdownarrow","title":"\u53ef\u6570\u200b\u4e0b\u884c\u200b L\u00f6wenhiem-Skolem \u200b\u5b9a\u7406\u200b (\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\))","text":"

\uff08\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u8f83\u96be\u200b\uff0c\u200b\u65e5\u540e\u200b\u518d\u200b\u8865\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff09

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(X\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(X\\subseteq |\\mathfrak{A}|\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\) .

\u200b\u63a8\u8bba\u200b\uff1a\\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\) \u200b\u7684\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(L\\) \u200b\u662f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(|\\mathfrak{A}|\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff09.

\u200b\u4f8b\u200b

\\(\\mathfrak{R} = (\\mathbb{R},<,+,\\times,0,1)\\)

\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\mathrm{CLS}\\downarrow\\) \uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u7ed3\u6784\u200b

\\[ \\mathfrak{A} = (A,<,+,\\times ,0,1) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4fdd\u6301\u200b\u4e86\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u9006\u5143\u200b\uff0c\u200b\u56db\u5219\u8fd0\u7b97\u200b\u548c\u200b \\(n\\) \u200b\u6b21\u200b\u6839\u53f7\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(A\\) \u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u4ee3\u6570\u200b\u6570\u200b.

\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u63a8\u8fdb\u200b\uff0c\u200b\u6570\u5b66\u5206\u6790\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u786e\u200b\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u754c\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b Dedekind \u200b\u5206\u5272\u200b\u5bf9\u200b\u5b9e\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u786e\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u77e5\u9053\u200b\uff1a\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u4e14\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u786e\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u7684\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u6709\u80fd\u200b\u8868\u8fbe\u200b\u51fa\u786e\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b. \u200b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u200b\uff0c\\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6709\u200b\u754c\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u786e\u200b\u6709\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b\u54ea\u4e9b\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u5f15\u51fa\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u3001\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u542b\u6709\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(x_0,x_1,\\cdots,x_{m-1}\\) \u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b \\(m\\) \u200b\u5143\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a $$ \\varphi^\\mathfrak{A} := \\left\\lbrace (a_0,\\cdots,a_{m-1})\\in A^m : \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{m-1}] \\right\\rbrace $$ \u200b\u5b83\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7531\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u8bbe\u200b \\(R \\subseteq A^k\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(R = \\varphi^\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(R\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e2d\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u66f4\u200b\u5e7f\u6cdb\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u5728\u200b \\(x_0,\\cdots,x_{m-1}\\) \u200b\u4e14\u200b \\(y_0,\\cdots,y_{n-1}\\) \u200b\u4e2d\u6709\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b

\\[ \\varphi^\\mathfrak{A}_{b_0,\\cdots,b_{n-1}} := \\left\\lbrace (a_0,\\cdots,a_{m-1})\\in A^m : \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\varphi[a_0,\\cdots,a_{m-1},b_0,\\cdots,b_{n-1}] \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5728\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u57fa\u7840\u200b\u4e0a\u200b\uff0c\\(m\\) \u200b\u5143\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(F: A^m \\to A\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u56fe\u50cf\u200b (graph) \uff1a $$ \\left\\lbrace a_0,\\cdots,a_{m-1},c: F(a_0,\\cdots,a_{m-1}) = c \\right\\rbrace $$ \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b.

\\(A\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\left\\lbrace a \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u957f\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u6765\u200b\u68b3\u7406\u200b\u4e00\u4e0b\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u548c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u901a\u5e38\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5728\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6709\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u5176\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5c31\u662f\u200b\u770b\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u548c\u200b\u503c\u57df\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\u662f\u5426\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\uff0c\u200b\u5143\u7d20\u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u770b\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5355\u4f8b\u200b (singleton) \u200b\u662f\u5426\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u9700\u8981\u200b\u843d\u200b\u5728\u200b\u542b\u6709\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e0a\u200b.

\\(<\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\\(\\mathfrak{A} = (\\omega,+,0)\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\\(<\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u9700\u8981\u200b\u5229\u7528\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u6765\u9020\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\"\\(x<y\\)\" \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8868\u793a\u200b\uff1a

\\[ \\varphi: \\exists z (\\neg (z = 0) \\land y = x+z) \\]

\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u533a\u95f4\u200b

\\((3,\\infty)\\) \u200b\u533a\u95f4\u200b\u5728\u200b \\((\\mathbb{R},<)\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u5230\u200b\u6211\u4eec\u200b\u521a\u624d\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e2d\u6709\u200b\u5e38\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u9700\u8981\u200b\u53c2\u6570\u200b \\(3\\) \uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace a\\in \\mathbb{R}: \\underset{(\\mathbb{R,<})}{\\models} (y<x)[a,3] \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e2d\u62ec\u53f7\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4f4d\u7f6e\u200b\u5206\u522b\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u5e94\u200b \\(x,y\\) \u200b\u7684\u200b\u6307\u6d3e\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u5143\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u201c\u200b\u5728\u200b \\((3,\\infty)\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u4e2d\u200b\u201d. \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u533a\u95f4\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(y<x\\) .

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u4e86\u200b\uff1a

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u7d20\u6570\u200b\u96c6\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b \\((\\Omega,\\times,\\dot{\\mathrm{S}},0)\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b\uff1a

\\[ \\forall y\\forall z [y\\times z = x \\to (y=x)\\lor (z=x)] \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_15","title":"\u4e8c\u9636\u200b\u903b\u8f91","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u56de\u987e\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u6709\u5173\u200b\u786e\u754c\u200b\u539f\u7406\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ee5\u200b \\(x\\) \u200b\u548c\u200b \\(y_0,\\cdots,y_{n-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi_{\\mathrm{ub}}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\forall z (x <z \\to \\neg \\varphi_x (z)). \\]

\uff08\u200b\u6211\u200b\u77e5\u9053\u200b\u4f60\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u4e0d\u200b\u8bb0\u5f97\u200b \\(\\varphi_x\\) \u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u4ee3\u6362\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(z\\) \u200b\u662f\u200b\u9879\u200b\uff09 \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u5c31\u662f\u200b

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_16","title":"\u540c\u6784\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b\uff1a\u200b\u540c\u6784\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\eta:\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4ee5\u200b \\(x_0,\\cdots,x_{m-1}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\varphi^\\mathfrak{B} := \\left\\lbrace (\\eta(a_0),\\cdots,\\eta(a_m)): (a_0,\\cdots,a_{m-1})\\in \\varphi^\\mathfrak{A} \\right\\rbrace. $$

\u200b\u7279\u522b\u200b\u5730\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi^\\mathfrak{A} = \\eta(\\varphi^\\mathfrak{A})\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u79f0\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4fdd\u6301\u200b (preserve) \u200b\u4e86\u200b \\(\\varphi^\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u65e0\u9700\u200b\u53c2\u6570\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(p\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(p\\) \u200b\u5c31\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u9700\u200b\u53c2\u6570\u200b\u7684\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53c2\u8003\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_17","title":"\u4e0d\u53ef\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u4e0d\u542b\u200b\u53c2\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\\((\\omega,\\times,1)\\) \u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u4e0d\u542b\u200b\u53c2\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b.

\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\uff1a

\\[ \\eta: 2^m \\times 3^n \\times p \\mapsto 2^n \\times 3^m \\times p \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(p\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b \\(2,3\\) \u200b\u500d\u6570\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u200b \\(0\\) \u200b\u548c\u200b \\(1\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53d8\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53c2\u8003\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u683c\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{ccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ \\eta(k) & 0 &1 & 3 & 2 \\end{array} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u4fdd\u6301\u200b \\(<\\) \u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.3%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%20%28Structure%29/#_18","title":"\u521d\u7b49\u200b\u5d4c\u5165","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5d4c\u5165\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta:|\\mathfrak{A}|\\to |\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u5982\u679c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5d4c\u5165\u200b. \u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4e0a\u200b\u8bb0\u4e3a\u200b \\(\\eta: \\mathfrak{A} \\hookrightarrow \\mathfrak{B}\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/","title":"\u6570\u5b66\u200b\u7406\u8bba\u200b (Theories)","text":"

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u548c\u200b\u547d\u9898\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u547d\u9898\u200b\u7406\u8bba\u200b(Propositional Theories)\u200b\u662f\u200b\u975e\u5e38\u200b\u76f8\u4f3c\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#l","title":"\\(L\\) \u200b\u7406\u8bba","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_1","title":"\u7406\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\\(L\\)-\u200b\u7406\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5728\u200b\u903b\u8f91\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff1a$$ \\Gamma\\models \\psi \\text{ and }\\psi\\text{ is a sentence}\\Rightarrow \\psi\\in \\Gamma; $$ \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b.

\\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u5199\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\left\\lbrace \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n \\right\\rbrace)\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u5199\u200b \\(\\mathrm{Mod}( \\varphi_0,\\cdots,\\varphi_n )\\).

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c

  1. \\(\\Gamma \\models \\psi \\iff \\mathrm{Mod}(\\Gamma) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\psi)\\) \uff1b
  2. \\(\\Gamma \\subseteq \\Delta \\Rightarrow \\mathrm{Mod}(\\Delta) \\subseteq \\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\) \uff1b
  3. \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathrm{Mod}(\\Gamma)\\neq \\varnothing\\).

\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u7406\u8bba\u200b\u548c\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u57fa\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u800c\u975e\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u662f\u56e0\u4e3a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u672c\u8eab\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u4e0d\u200b\u4f9d\u8d56\u4e8e\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u8d4b\u503c\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_2","title":"\u516c\u7406","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u3001\u200b\u516c\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b $$ \\mathrm{Th}(\\Gamma) = \\left\\lbrace \\psi: \\psi \\text{ is a sentence and } \\Gamma\\models \\psi \\right\\rbrace $$ \u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u7531\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \u200b\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u200b.

\u200b\u4e3e\u4f8b\u200b\uff1a

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_3","title":"\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7406\u8bba","text":"

\u200b\u5982\u679c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u88ab\u8868\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7406\u8bba\u200b (axiomatic theory).

\u200b\u7531\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u200b\u5f97\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(\\Gamma = \\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7406\u8bba\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b (finitely axiomatizable) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(T=\\mathrm{Th}(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b. \uff08\u200b\u89c1\u200b\u53ef\u5224\u5b9a\u6027\u200b\u7684\u200b\u7b14\u8bb0\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff09.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_4","title":"\u76f8\u5bb9\u200b\u3001\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6","text":"

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff0c\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff1a

  1. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff1b
  2. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u6781\u5927\u200b\u76f8\u5bb9\u200b (maximal consistent) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u610f\u601d\u200b\u5c31\u662f\u8bf4\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6bd4\u200b\u5b83\u200b\u66f4\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.
  3. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(T = \\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\)\uff1b
  4. \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{B}\\) .

(1) \\(\\Rightarrow\\) (3) : \u200b\u5173\u952e\u200b\u662f\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b\u540e\u200b\u534a\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\\(T \\subseteq \\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\) \u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b. \u200b\u5bf9\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b9\u5411\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\varphi\\in \\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\varphi\\notin T\\) .

(4) \\(\\Rightarrow\\) (1) : \u200b\u53cd\u8bc1\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(T\\) \u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u7ed3\u5408\u200b \\(T\\) \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\varphi\\notin T\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\neg \\varphi\\notin T\\) \uff0c\u200b\u5373\u200b \\(T\\not\\models \\varphi\\) \u200b\u4e14\u200b \\(T \\not\\models \\neg \\varphi\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!\\neq}\\ \\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{A}}{|\\!\\!\\!=} \\ \\neg\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{B}}{|\\!\\!\\!\\neq} \\neg\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\underset{\\mathfrak{B}}{\\models} \\varphi\\) .

\u200b\u8fd9\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(\\mathfrak{A} \\not\\equiv \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_5","title":"\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A},\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u53ea\u8981\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u7684\u200b\u521d\u7b49\u200b\u5b50\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b (model complete) \u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#dense-linear-orderings","title":"\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b (Dense Linear Orderings)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#_6","title":"\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u7814\u7a76","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u56de\u987e\u200b \u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u4e49\u200b(Basic Semantics) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u63d0\u5230\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\uff08\u200b\u4e25\u683c\u200b\uff09\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7b80\u8981\u200b\u63d0\u4e86\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} \\theta_{\\mathrm{DLO}} \\iff \\mathfrak{A} \\text{ \u200b\u662f\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\uff08\u200b\u4e25\u683c\u200b\uff09\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b}. \\]

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u518d\u200b\u5199\u200b\u4e25\u683c\u200b\uff0c\u200b\u6211\u200b\u5199\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u76ee\u7684\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u57fa\u4e8e\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7684\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u7528\u200b\u5f3a\u8c03\u200b.

\u200b\u4ece\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{DLO}}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u751f\u6210\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T_{\\mathrm{DLO}}\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5b8c\u5168\u6027\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(T_{\\mathrm{DLO}}\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f88\u200b\u660e\u663e\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5e38\u89c1\u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\theta_{\\mathrm{least}} := \\exists x\\forall y \\neg y < x \\\\ & \\theta_{\\mathrm{greatest}} := \\exists x\\forall y \\neg x < y \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u503c\u200b\u548c\u200b\u6700\u5927\u503c\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u6216\u8005\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u5426\u5b9a\u200b\u5728\u200b \\(T_\\mathrm{DLO}\\) \u200b\u4e2d\u200b.

\u200b\u8fd9\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\uff0c\\((\\mathbb{Q},<_\\mathbb{Q})\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u6700\u503c\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(((0,1],<_{(0,1]})\\) \u200b\u6ca1\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u503c\u200b\u800c\u200b\u6709\u200b\u6700\u5927\u503c\u200b.

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u200b\u5173\u6ce8\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u95ee\u9898\u200b (What is the motivation?)\uff1f\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u662f\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u786e\u5b9a\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\((\\mathbb{Q},<_\\mathbb{Q})\\equiv (\\mathbb{R},<_\\mathbb{R})\\) .

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.4%20%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA%20%28Theories%29/#cantor","title":"Cantor \u200b\u5b9a\u7406","text":"

\u200b\u6839\u636e\u200b\u6559\u6750\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} &\\theta_{[\\mathrm{DLO}]}:=\\theta_{\\text {DLO }} \\wedge \\theta_{\\text {least }} \\wedge \\theta_{\\text {greatest }} ; \\quad &T_{[\\mathrm{DLO}]}=\\operatorname{Th}\\left(\\theta_{[\\mathrm{DLO}]}\\right) \\\\ &\\theta_{[\\mathrm{DLO})}:=\\theta_{\\text {DLO }} \\wedge \\theta_{\\text {least }} \\wedge \\neg \\theta_{\\text {greatest }} ; \\quad &T_{[\\mathrm{DLO})}=\\operatorname{Th} \\left(\\theta_{[\\mathrm{DLO})}\\right) \\\\ &\\theta_{(\\mathrm{DLO}]}:=\\theta_{\\mathrm{DLO}} \\wedge \\neg \\theta_{\\text {least }} \\wedge \\theta_{\\text {greatest }} ; \\quad & T_{(\\mathrm{DLO}]}=\\operatorname{Th}\\left(\\theta_{(\\mathrm{DLO}]}\\right) \\\\ &\\theta_{(\\mathrm{DLO})} := \\theta_{\\mathrm{DLO}}\\land \\neg \\theta_{\\mathrm{least}} \\land \\neg \\theta_{\\mathrm{greatest}} ; & T_{(\\mathrm{DLO})} = \\mathrm{Th}(\\theta_{(\\mathrm{DLO})}) \\\\ \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c06\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u7684\u200b\u5f3a\u5316\u200b\uff0c\u200b\u6700\u540e\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5229\u7528\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u5f15\u51fa\u200b Cantor \u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aCantor \u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5728\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T_{[\\mathrm{DLO}]},T_{[\\mathrm{DLO})},T_{(\\mathrm{DLO}]},T_{(\\mathrm{DLO})}\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6a21\u578b\u200b\u662f\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.5%20%E7%AE%97%E6%95%B0%20%28Arithmetic%29/","title":"\u7b97\u6570\u200b (Arithmetic)","text":"

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u662f\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u6807\u51c6\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff1a

\\[ \\Omega := (\\omega,<,+,\\times ,\\mathrm{Sc},0) \\]

\u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_\\Omega\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6709\u200b \\(\\dot{<},\\dot{+},\\dot{\\times},\\dot{\\mathrm{S}},\\dot{0}\\) . \u200b\u4e00\u9636\u200b\u7b97\u6570\u200b\u7406\u8bba\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Omega)\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u590d\u6742\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6570\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7814\u7a76\u200b\u7684\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b83\u200b\uff0c\u200b\u5373\u4f7f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u90fd\u200b\u96be\u4ee5\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u771f\u4f2a\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u6570\u8bba\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b Open Problem \u200b\u5c31\u662f\u200b\u662f\u5426\u200b\u5b58\u5728\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u4e2a\u200b\u7d20\u6570\u200b \\(p\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(p,p+2\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u7d20\u6570\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{TP}}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u76ee\u524d\u200b\u552f\u4e00\u200b\u80fd\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4ef6\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\theta_{\\mathrm{TP}}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg \\theta_{\\mathrm{TP}}\\) \u200b\u603b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Omega)\\) \u200b\u5b8c\u5168\u200b\u5e26\u6765\u200b\u7684\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.5%20%E7%AE%97%E6%95%B0%20%28Arithmetic%29/#peano-postulate","title":"Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b (Postulate)","text":"

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6682\u4e14\u200b\u4e0d\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u590d\u6742\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u653e\u5bbd\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\mathrm{Th}((\\omega,\\mathrm{Sc},0))\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L_{\\mathrm{Sc},0}\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u53ea\u6709\u200b \\(0\\) \u200b\u548c\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b.

Dedekind \u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u5c06\u200b\u903b\u8f91\u5b66\u200b\u57fa\u7840\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\uff0c\u200b\u63d0\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u79f0\u4e3a\u200b Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c06\u200b \\((\\omega,\\mathrm{Sc},0)\\) \u200b\u523b\u753b\u200b\u5230\u200b\u540c\u6784\u200b\uff1a

  1. \\(0\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u7684\u200b\u540e\u7ee7\u200b. (P1)
  2. \u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u5355\u5c04\u200b. (P2)
  3. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(X \\subseteq \\omega\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(0\\in X\\) \u200b\u4e14\u200b \\(X\\) \u200b\u5728\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(X = \\omega\\) . (P3)

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u4e09\u6761\u200b\u4e3a\u200b Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b. \u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u524d\u200b\u4e24\u6761\u200b\u6362\u200b\u4e3a\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall x (\\neg 0 = \\dot{\\mathrm{S}} x)\\) . (S1)
  2. \\(\\forall x \\forall y (\\dot{\\mathrm{S}}x=\\dot{\\mathrm{S}}y\\to x=y)\\) . (S2)

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u6761\u200b\u5728\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\((\\omega,\\mathrm{Sc}_k,0)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathrm{Sc}_k(m)=m+k\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u9700\u200b\u7b2c\u4e09\u6761\u200b.

\u200b\u7b2c\u200b \\(3\\) \u200b\u6761\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u4e3a\u200b \\(L_{\\mathrm{Sc,0}}\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5982\u540c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e8c\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u200b \\(3\\) \u200b\u6761\u200b\u6d89\u53ca\u200b\u5230\u200b\u4e86\u200b\u5bf9\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u4efb\u610f\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u7684\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u4f5c\u7528\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u9648\u8ff0\u200b. \u200b\u6682\u4e14\u200b\u4e0d\u200b\u8003\u8651\u200b\u6b63\u5f0f\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u5199\u4e3a\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u91cc\u200b \\(p\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u5143\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(p\\) \u200b\u6307\u4ee3\u200b\u4e86\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b. \u200b\u4ece\u800c\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b (S1) \uff0c(S2) \u200b\u548c\u200b (P3') \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\((A,\\mathrm{Sc}_A,0_A)\\) \u200b\u90fd\u200b\u548c\u200b \\((\\omega,\\mathrm{Sc},0)\\) .

\u200b\u9012\u5f52\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(\\eta: \\omega\\to A\\) \u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ \\eta(0) = 0_A \\text{ and } \\eta(\\mathrm{Sc}(n)) = \\mathrm{Sc}_A(\\eta(n)). \\]

\u200b\u5148\u200b\u8bc1\u660e\u5355\u200b\u540c\u6001\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta(n) = \\eta(m)\\) \uff0c\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u53ea\u6709\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e3a\u200b \\(0\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\u662f\u200b\u663e\u7136\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\eta(\\mathrm{Sc}(n')) = \\eta(\\mathrm{Sc}(m'))\\) \u200b\u6709\u200b

\\[ \\mathrm{Sc}_A(\\eta(n')) = \\mathrm{Sc}_A(\\eta(m')) \\]

\u200b\u7531\u200b \\(\\mathfrak{A} = (A,\\mathrm{Sc}_A,0_A)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b Peano \u200b\u5047\u8bbe\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\eta(n') = \\eta(m')\\) \uff0c\u200b\u4ece\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u7684\u200b\u89d2\u5ea6\u770b\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c06\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5f80\u56de\u200b\u63a8\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u9012\u63a8\u200b\u53ef\u5f97\u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b.

\u200b\u518d\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u662f\u200b\u6ee1\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(B = \\left\\lbrace \\eta(n): n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(0_A\\in B\\) \u200b\u4e14\u200b \\(B\\) \u200b\u5728\u200b \\(\\mathrm{Sc}_A\\) \u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5c01\u95ed\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u662f\u200b (P3') \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(B=A\\) . \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/2.5%20%E7%AE%97%E6%95%B0%20%28Arithmetic%29/#_1","title":"\u8303\u7574","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u8303\u7574\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff1a

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b (categorical)
  2. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u57fa\u6570\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u57fa\u6570\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\simeq \\mathfrak{B}\\)\uff0c\u200b\u5219\u200b\u79f0\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\kappa\\)-\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b (\\(\\kappa\\)-categorical) .

\\(\\kappa\\) (kappa) \u200b\u8303\u7574\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b\u5982\u679c\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7b49\u4e8e\u200b \\(\\kappa\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u76f8\u4e92\u4e4b\u95f4\u200b\u540c\u6784\u200b\u8fd9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b. Hinman \u200b\u4e00\u4e66\u4e2d\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u7684\u200b\u53ef\u6570\u200b\u57fa\u6570\u200b\u4e3a\u200b \\(\\aleph_0\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6cbf\u7528\u200b\u5176\u200b\u8bb0\u53f7\u200b.

\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\) \u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \uff0c

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\u4e14\u200b\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e14\u200b \\(T\\) \u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(T\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(L\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b\uff0c\\(T\\) \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u8fd8\u662f\u200b \\(\\aleph_0\\) \u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.
  4. \u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(L_=\\) \u200b\u7406\u8bba\u200b\u662f\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\kappa\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4efb\u610f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u57fa\u6570\u200b.
  5. \\(T_{\\mathrm{DLO}}\\) \u200b\u7684\u200b\u56db\u4e2a\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u5ef6\u62d3\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\aleph_0\\) \u200b\u8303\u7574\u200b\u7684\u200b.
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/","title":"\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7d27\u6027\u200b (Countable Compactness)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#cct","title":"\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7d27\u6027\u200b\u5b9a\u7406\u200b (CCT)","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7d27\u6027\u200b\u5b9a\u7406\u200b (Countable Compactness Theorem, CCT)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\Gamma \\models \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma, \\Gamma_0 \\models \\psi\\) .

\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \u201c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma_0\\models \\psi\\)\u201d \u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b CCT \u200b\u5176\u5b9e\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4ef6\u200b\u4e8b\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\Gamma\\models^* \\psi \\iff \\Gamma \\models \\psi \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Th}^*(\\Gamma)\\) \uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\Gamma)= \\mathrm{Th}^*(\\Gamma)\\) .

\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\uff0c\u200b\u5148\u200b\u8865\u5145\u200b \\(L\\) \u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u6982\u5ff5\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \uff0c\\(\\Gamma_0\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(\\Gamma\\models^* \\psi \\iff \\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\Gamma_0 \\subseteq \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma_0 \\models \\psi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\Gamma_0\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b. \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\Gamma_0\\models \\psi\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\Gamma_0\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#acct","title":"ACCT","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#acct_1","title":"ACCT \u200b\u4ecb\u7ecd","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1aACCT (Alternative Countable Compactness Theorem)

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u53ef\u6570\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(L\\)-\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b.

\uff08\u200b\u4ece\u200b ACCT \u200b\u8bc1\u660e\u200b CCT\uff09\uff1a

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\Gamma\\models \\psi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\Gamma\\cup \\left\\lbrace \\neg \\psi \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b ACCT \u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u521a\u624d\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\models^* \\psi\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#acct_2","title":"ACCT \u200b\u5e94\u7528","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u51fa\u200b ACCT \u200b\u5e94\u7528\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#_1","title":"\u6a21\u578b\u200b\u95ee\u9898","text":"

\u200b\u4f8b\u200b\uff1aACCT \u200b\u5e94\u7528\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u6b63\u6574\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(|A|\\geqslant n\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\\(\\Gamma = \\Gamma_{\\mathrm{Gp}}\\cup \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\Gamma_{\\mathrm{Gp}}\\) \u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u200b\uff0c\\(\\varphi = \\forall x(x*x = e)\\) . \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\bigoplus_{i=1}^n \\mathbb{Z}_2 \\tag{1} \\]

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\uff1a - \\(\\oplus\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u76f4\u200b\u548c\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u53ea\u5b66\u8fc7\u200b\u62bd\u8c61\u4ee3\u6570\u200b \u2160 \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5b66\u5230\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7fa4\u200b \\(G\\) \u200b\u548c\u200b \\(H\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u4ea4\u6362\u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\\(G\\times H\\) \u200b\u5c31\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u76f4\u200b\u548c\u200b. \u200b\u7fa4\u200b\u7684\u200b\u76f4\u200b\u548c\u200b\u4f9d\u65e7\u200b\u662f\u200b\u7fa4\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u8ba1\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u6bcf\u4f4d\u200b\u4f9d\u6b21\u200b\u8ba1\u7b97\u200b. - \u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7684\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u4e3a\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u4f4d\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u8fdb\u5236\u200b\u6570\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8fdb\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\overline{1}+\\overline{1} = \\overline{0}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\overline{0}+\\overline{0}=\\overline{0}\\) \uff0c\\(x+x=e\\) \u200b\u662f\u200b\u6b63\u786e\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b (1) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u7b26\u5408\u200b\u9898\u610f\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b. \u200b\u7531\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u63a8\u8bba\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u8c31\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u6709\u200b\u65e0\u9650\u200b\u6a21\u578b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/3.1%20%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AF%E6%95%B0%E7%B4%A7%E6%80%A7/#_2","title":"\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u95ee\u9898","text":"

\u200b\u4f8b\u200b\uff1aACCT \u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u6027\u8d28\u200b \"\\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\" \u200b\u4e0d\u662f\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b&\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u548c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7c7b\u200b \\(\\mathcal{K} \\subseteq \\mathrm{Mod}_L(T)\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathcal{K}\\) \u200b\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\\(\\mathcal{K} = \\mathrm{Mod}_L(T\\cup \\Gamma)\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u662f\u200b\u6709\u9650\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b.

\u200b\u6b64\u5916\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff1a\\(\\left\\lbrace \\varphi: \\models \\varphi \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u7b80\u5355\u200b\u79f0\u200b \\(\\mathcal{K}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u6216\u200b\u53ef\u200b\u6709\u9650\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u547d\u9898\u200b

\u200b\u5bf9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L_<\\) \u200b\u7ed3\u6784\u200b\u7c7b\u200b \\((A,<_A)\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(<_A\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u200b\u516c\u7406\u5316\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b \\((X,\\leqslant)\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u4efb\u610f\u200b\u975e\u7a7a\u200b \\(A\\subseteq X\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u79f0\u200b \\((X,\\leqslant)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b.

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\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u5206\u652f\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \u200b\u975e\u6b63\u5f0f\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b (Informal Set Theory, IST)

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(\u200b\u9009\u200b\u81ea\u200b Kunen) \u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e4b\u540e\u200b\u7684\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u9700\u8981\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5148\u524d\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u7684\u200b\u6570\u7406\u903b\u8f91\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5728\u200b\u7814\u7a76\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u9700\u8981\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u200b.

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\u200b\u7b2c\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b Cantor \u200b\u7684\u200b\u6982\u62ec\u200b\u539f\u5219\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x\\in A : P(x) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bf4\u200b \\(P\\) \u200b\u662f\u200b\u201c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u201d\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u201c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u201d\u200b\u4f9d\u65e7\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u7cca\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\u8bf4\u200b\u201c \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u5f00\u5fc3\u200b\u7684\u200b\u201d\u200b\u662f\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u53c8\u200b\u597d\u50cf\u200b\u8d85\u51fa\u200b\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7406\u89e3\u200b\u7684\u200b\u8303\u56f4\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5982\u679c\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7cbe\u786e\u5316\u200b\u201c\u200b\u6027\u8d28\u200b\u201d\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u8868\u8fbe\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b.

\u200b\u7b2c\u4e8c\u200b\uff0c\u200b\u5373\u4f7f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e86\u200b ZFC \uff0c\u200b\u5982\u4f55\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4ece\u200b ZFC \u200b\u51fa\u53d1\u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b CH \uff08\u200b\u8fde\u7eed\u200b\u7edf\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff09\uff1f

\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u610f\u5473\u7740\u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u90fd\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u201c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(x,y,z\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(x\\in y\\land y\\in z\\) \u201d\u200b\u7684\u200b\u53ef\u8bfb\u6027\u200b\u8d77\u7801\u200b\u6bd4\u200b

\\[ \\exists x(\\exists y (\\exists z(x\\in y \\land y\\in z))) \\]

\u200b\u8981\u200b\u66f4\u597d\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#zf_1","title":"ZF \u200b\u516c\u7406","text":"

(\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u53d6\u200b Kunen \u200b\u5b9a\u4e49\u200b) \u200b\u6211\u4eec\u200b\u63a5\u4e0b\u6765\u200b\u9010\u4e00\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b ZF \u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b 0~9 \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u6bcf\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u5185\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u7406\u89e3\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u516c\u7406\u200b\u4e3a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e26\u6765\u200b\u4e86\u200b\u4ec0\u4e48\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_4","title":"\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u3001\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\u3001\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f","text":"

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b ZF \u200b\u516c\u7406\u200b\u7cfb\u7edf\u200b\uff1a

\u200b\u516c\u7406\u200b 0 \uff1a \u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b

\\[ \\exists x (x=x) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b\u662f\u975e\u200b\u7a7a\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u516c\u7406\u200b 1 \uff1a \u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b

\\[ \\forall x\\forall y (\\forall z(z\\in x \\leftrightarrow z\\in y)\\to x=y). \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff0c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u7531\u200b\u5b83\u200b\u5305\u542b\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u786e\u5b9a\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5305\u542b\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5b8c\u5168\u76f8\u540c\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u516c\u7406\u200b 3 \uff1a \u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\uff08\u200b\u6982\u62ec\u200b\u516c\u7406\u200b\uff09 \u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi(u)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a \\(y = \\left\\lbrace u\\in x| \\varphi(u) \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\forall x\\exists y \\forall u (u\\in y \\leftrightarrow u\\in x\\land \\varphi(u)) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5e94\u200b\u7684\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\u2014\u2014\u200b\u5b83\u200b\u6307\u4ee3\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u7a77\u7684\u200b\u516c\u7406\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u4e3a\u4e86\u200b\u89c4\u907f\u200b\u7f57\u7d20\u200b\u6096\u8bba\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u6709\u200b \\(Y\\) .

\u200b\u5728\u200b\u73b0\u6709\u200b\u7684\u200b\u4e09\u6761\u200b\u516c\u7406\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(\\varnothing\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b

\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(y\\) \uff1a $$ \\forall x(x\\not\\in y). $$

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u7a7a\u96c6\u200b \\(\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b

\\[ \\neg \\exists z \\forall x (x\\in z) \\]

\u200b\u5229\u7528\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(z\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x\\in z : x\\notin x \\right\\rbrace = \\left\\lbrace x: x\\notin x \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bbe\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4e3a\u200b \\(a\\) \uff0c\u200b\u5728\u200b\u8003\u8651\u200b \\(a\\in a\\) \u200b\u548c\u200b \\(a\\notin a\\) \u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b Russell \u200b\u6096\u8bba\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u7c7b\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi(u)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\\(\\left\\lbrace u\\mid\\varphi(u) \\right\\rbrace\\) \u200b\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u7c7b\u200b (class). \u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u771f\u7c7b\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_5","title":"\u65e0\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u3001\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u3001\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406","text":"

\u200b\u516c\u7406\u200b 4 \uff1a \u200b\u65e0\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u516c\u7406\u200b

\\[ \\forall x\\forall y \\exists z(x\\in z\\land y\\in z). \\]

\u200b\u5373\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u96c6\u5408\u200b\u540c\u65f6\u200b\u5305\u542b\u200b \\(x,y\\) .

\u200b\u516c\u7406\u200b 5 \uff1a \u200b\u5e76\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b

\\[ \\forall \\mathscr{F} \\exists A \\forall Y \\forall x (x\\in Y\\land Y \\in \\mathscr{F}\\to x\\in A). \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u523b\u753b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u65cf\u200b\uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(Y\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u505a\u200b\u5e76\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u200b\u523b\u753b\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathscr{F}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b.

\u200b\u7528\u200b\u6570\u5b66\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u6709\u200b\uff1a

\\[ \\bigcup \\mathscr{F} = \\left\\lbrace x : \\exists Y \\in \\mathscr{F} (x\\in Y) \\right\\rbrace ; \\]

\u200b\u516c\u7406\u200b 6 \uff1a \u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u4ee5\u200b \\(Y\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e3a\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff1a

\\[ \\forall x\\in A \\exists !y \\varphi(x,y) \\to \\exists Y \\forall x\\in A \\exists y \\in Y \\varphi(x,y). \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi(x,y)\\) \u200b\u786e\u5b9a\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7c7b\u200b \\(F\\) \uff0c\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u200b\u53cd\u6620\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u4e8b\u60c5\u200b\uff1a\u200b\u82e5\u200b \\(F\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(F\\) \u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8c61\u200b \\(F(A)\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#cartesian","title":"\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u548c\u200b Cartesian \u200b\u79ef","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b

\\[ \\left\\langle x,y \\right\\rangle = \\left\\lbrace \\left\\lbrace x \\right\\rbrace \\left\\lbrace x,y \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u5199\u51fa\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8868\u8fbe\u200b \\(z=\\left\\langle x,y \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u53ea\u200b\u4f7f\u7528\u200b \\(\\in\\) \u200b\u548c\u200b \\(=\\) .

\\(z= \\left\\langle x,y \\right\\rangle\\) \u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b \\(z = \\left\\lbrace u,v \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(u=\\left\\lbrace x \\right\\rbrace, v = \\left\\lbrace x,y \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5148\u200b\u5199\u51fa\u200b \\(z=\\left\\lbrace u,v \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\varphi_1 = \\forall t (t\\in z\\leftrightarrow (t=u)\\lor (t=v)) \\]

\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(z\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u662f\u200b \\(u,v\\) .

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5199\u200b\u6e05\u695a\u200b \\(u=\\left\\lbrace x \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\varphi_2 = \\forall t (t\\in u \\leftrightarrow t=x) \\]

\u200b\u6700\u540e\u200b\u8868\u8fbe\u200b \\(v=\\left\\lbrace x,y \\right\\rbrace\\) \uff1a

\\[ \\varphi_3 = \\forall t (t\\in v\\leftrightarrow (t=x)\\lor (t=y)) \\]

\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5c31\u662f\u200b\uff1a

\\[ \\exists u\\exists y (\\varphi_1\\land \\varphi_2 \\land \\varphi_3) \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1aCartesian \u200b\u79ef\u200b

\\[ A\\times B = \\left\\lbrace \\left\\langle x,y \\right\\rangle : x\\in A \\land x\\in B \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5e26\u6765\u200b\u7684\u200b\u9ebb\u70e6\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5b83\u200b\u751f\u6210\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u3002

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b Cartesian \u200b\u79ef\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a \u200b\u9996\u5148\u200b\u8003\u8651\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(y\\in B\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(A\\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a \u200b\u4ece\u200b \\(y\\) \u200b\u51fa\u53d1\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b \\(z=\\left\\lbrace y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ y\\in z \\land \\neg(x\\in z \\land \\neg(x=y)) \\]

\u200b\u7136\u540e\u200b \\(A\\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace = \\left\\lbrace \\left\\langle a_1,y \\right\\rangle,\\cdots \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(a \\in A\\) \u200b\u90fd\u200b\u80fd\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\left\\lbrace a \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u80fd\u200b\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\left\\lbrace \\left\\lbrace a \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u540c\u65f6\u200b\u6839\u636e\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\u6709\u200b \\(\\left\\lbrace a,y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ \\left\\lbrace \\left\\lbrace a \\right\\rbrace , \\left\\lbrace a,y\\right\\rbrace\\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c31\u200b\u80fd\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(A\\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b. \uff08\u200b\u5728\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e0a\u200b\u5199\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{prod}(A,y)\\)\uff09.

\u200b\u518d\u200b\u5229\u7528\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u5230\u200b

\\[ \\left\\lbrace A \\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace : y\\in B \\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b.

\u200b\u6700\u540e\u200b\u5229\u7528\u200b\u5e76\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ A\\times B = \\bigcup \\left\\lbrace A \\times \\left\\lbrace y \\right\\rbrace : y\\in B\\right\\rbrace \\]

\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_6","title":"\u5173\u7cfb\u200b\u4e0e\u200b\u51fd\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_7","title":"\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5173\u7cfb\u200b

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff1a

\\[ \\mathrm{dom} (R) = \\left\\lbrace x: \\exists y ( \\left\\langle x,y \\right\\rangle) \\in R\\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ee5\u53ca\u200b

\\[ \\mathrm{ran} (R) = \\left\\lbrace y: \\exists x ( \\left\\langle x,y \\right\\rangle) \\in R\\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ece\u200b\u5b9e\u9645\u610f\u4e49\u200b\u4e0a\u200b\u6765\u770b\u200b\uff0c\\(\\mathrm{dom}(R)\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5728\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u4e2d\u200b\u4f5c\u4e3a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u5de6\u4fa7\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5219\u200b\u521a\u597d\u200b\u76f8\u53cd\u200b.

\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(R \\subset \\mathrm{dom}(R)\\times \\mathrm{ran}(R)\\) . \u200b\u9006\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b

\\[ R^{-1} = \\left\\lbrace \\left\\langle x,y \\right\\rangle : \\left\\langle y,x \\right\\rangle\\in R \\right\\rbrace \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_8","title":"\u51fd\u6570","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u51fd\u6570\u200b

\u200b\u51fd\u6570\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7279\u6b8a\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ \\forall x\\in \\mathrm{dom}(f)\\exists ! y \\in \\mathrm{ran}(f)(\\left\\langle x,y \\right\\rangle\\in f). $$

\u200b\u5728\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\\(\\mathrm{dom}(f)\\) \u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u4e0d\u597d\u200b\u7ed9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u786e\u5207\u200b\u7684\u200b\u540d\u5b57\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u51fd\u6570\u200b\u90e8\u5206\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u5b66\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u8054\u7cfb\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\uff0c\\(\\mathrm{dom}(f)\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b (domain)\uff0c\\(\\mathrm{ran}(f)\\) \u200b\u81ea\u7136\u200b\u5c31\u662f\u200b\u503c\u57df\u200b (range).

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_9","title":"\u5168\u5e8f\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u826f\u5e8f\u96c6","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_10","title":"\u5168\u5e8f\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b

\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\uff1a\\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u79f0\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u200b \\(R\\) \u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b\u5168\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff1a

  1. \\(\\forall x,y,z \\in A (x R y \\land y R z \\to x R z)\\) \uff08transitive, \u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff09
  2. \\(\\forall x,y \\in A (x=y\\lor x R y \\lor yRx)\\)\uff08trichotomy, \u200b\u4e09\u5206\u200b\u6027\u200b\uff09
  3. \\(\\forall x \\in A (\\neg (x Rx))\\) \uff08irreflexive, \u200b\u975e\u81ea\u200b\u53cd\u6027\u200b\uff09

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8bb0\u200b \\(x R y\\) \u200b\u6765\u200b\u8868\u793a\u200b \\(\\left\\langle x,y \\right\\rangle \\in R\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u5168\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(B \\subset A\\) \uff0c\\(\\left\\langle B,R \\right\\rangle\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5168\u5e8f\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_11","title":"\u826f\u5e8f\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b

\\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u5168\u5e8f\u200b\u7684\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(R\\)-\u200b\u6700\u5c0f\u200b \u200b\u5143\u7d20\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_12","title":"\u5168\u5e8f\u200b\u3001\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5168\u5e8f\u96c6\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(A,B\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\\(R,S\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle B,S \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(f: A\\to B\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u4e14\u200b\u6ee1\u8db3\u200b $$ \\forall x,y \\in A (x R y \\leftrightarrow f(x)S f(y)) $$ \\(f\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b

\\[ \\mathrm{pred}(A,x,R) = \\left\\lbrace y\\in A: yRx \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bb0\u53f7\u200b\u901a\u5e38\u200b\u7528\u4e8e\u200b\u89e3\u51b3\u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b. \u200b\u5b83\u200b\u8868\u793a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u5728\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b \\(R\\) \u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u201c\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u201d \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b. \u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u524d\u6bb5\u200b.

\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u540c\u6784\u200b\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u524d\u6bb5\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\not\\cong \\left\\langle \\mathrm{pred}(A,x,R),R \\right\\rangle\\) .

\u200b\u5229\u7528\u200b\u53cd\u8bc1\u200b\uff1a\u200b\u5047\u5982\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b\u5b58\u5728\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ \\forall x\\forall y ((x\\in A)\\land (y\\in A)\\land xR y \\leftrightarrow f(x)Rf(y)) \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5229\u7528\u200b\u5206\u79bb\u200b\u516c\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ S = \\left\\lbrace a\\in A : f(a) \\neq a \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(S\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u5b50\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(S\\) \u200b\u6709\u200b \\(R\\) \u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(\\alpha\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(xR \\alpha\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(x)=x\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f(\\alpha) \\neq \\alpha\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\alpha R f(\\alpha)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540c\u6784\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(f(\\beta)= \\alpha\\) \u200b\u7684\u200b \\(\\beta\\) .

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha R \\beta\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b \\(\\alpha R f(\\alpha)\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(f(\\beta)R f(\\alpha)\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01 \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle, \\left\\langle B,S \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6070\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a

  1. \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle B,S \\right\\rangle\\) \uff1b
  2. \\(\\exists y\\in B (\\left\\langle A,R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle \\mathrm{pred}(B,y,S),S \\right\\rangle)\\) \uff1b
  3. \\(\\exists x\\in A (\\left\\langle \\mathrm{pred}(A,x,R) , R \\right\\rangle \\cong \\left\\langle B,S \\right\\rangle)\\) .

Remark.

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u5f88\u200b\u91cd\u8981\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u8868\u660e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u662f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u7684\u200b. \u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\u540c\u6784\u200b\u4e8e\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u524d\u6bb5\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.1%20ZF%20%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20I%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%88%86%E7%A6%BB%E5%85%AC%E7%90%86%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E5%85%AC%E7%90%86/#_13","title":"\u9009\u62e9\u200b\u516c\u7406","text":"

\u200b\u516c\u7406\u200b 9 \uff1a \u200b\u9009\u62e9\u200b\u516c\u7406\u200b (Choice)

\\[ \\forall A \\exists R (R \\text{ well-orders } A) \\]

\u200b\u5728\u200b Kunen \u200b\u7684\u200b\u4e66\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u4e0a\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u9009\u62e9\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u591a\u6570\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e66\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u5b9a\u7406\u200b. \u200b\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u200b\u4e24\u8005\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u3002

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/","title":"ZF\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b II \u2014\u2014 \u200b\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406\u200b\u3001\u200b\u5e8f\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#ordinals","title":"\u5e8f\u6570\u200b (Ordinals)","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_1","title":"\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u4e0e\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b (transitive)

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(x\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\\[ 0,\\left\\lbrace 0\\right\\rbrace, \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0\\right\\rbrace \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(x = \\left\\lbrace x \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u5e38\u200b\u53e4\u602a\u200b\u7684\u200b\u7814\u7a76\u200b\u5bf9\u8c61\u200b. \u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b\u6b63\u5219\u200b\u516c\u7406\u200b\u6709\u5173\u200b\uff08\u200b\u5728\u200b\u540e\u7eed\u200b\u4f1a\u200b\u8be6\u7ec6\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff09.

\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u7684\u200b\u4f20\u9012\u200b\u6765\u6e90\u4e8e\u200b \\(\\in\\) \u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\forall y (y\\in x\\to y \\subset x) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b

\\[ \\forall u\\forall v (u\\in v\\in x\\to u\\in x) \\]

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e8f\u6570\u200b

\\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u96c6\u200b\u4e14\u200b\u5728\u200b \\(\\in\\) \u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u826f\u5e8f\u200b.

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c

\\[ \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\left\\lbrace \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b \\(0\\in \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\in \\left\\lbrace \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(0\\notin \\left\\lbrace \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_2","title":"\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28","text":"

\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b (Kunen)

  1. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(y\\in x\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(y\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(y=\\mathrm{pred}(x,y)\\) .
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x,y\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(x\\cong y\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x=y\\) .
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x,y\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e09\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e4b\u4e00\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a\\(x=y,x\\in y, y\\in x\\) .
  4. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(x,y\\) \u200b\u548c\u200b \\(z\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\\(x\\in y\\) \u200b\u4e14\u200b \\(y\\in z\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(x\\in z\\) .
  5. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(C\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4ec5\u200b\u5305\u542b\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u975e\u200b\u7a7a\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\exists x\\in C \\forall y\\in C (x\\in y \\lor x=y)\\) .

(1) \u200b\u5148\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b \\(y\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\in_y\\) \u200b\u5c06\u200b \\(y\\) \u200b\u826f\u5e8f\u200b.

\u200b\u5148\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b \\(y\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\uff0c\\(\\forall u\\forall v\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(u\\in v\\in y\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(v\\in y\\in x\\) \u200b\u53ca\u200b \\(x\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(v\\in x\\) \uff0c\u200b\u518d\u200b\u7531\u200b \\(u\\in v\\in x\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(u\\in x\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(u,v,y\\in x\\) . \u200b\u7531\u200b \\(\\in_x\\) \u200b\u662f\u200b \\(x\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5168\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b \\(u\\in v\\in y\\) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(u\\in y\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(y\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b.

\u200b\u518d\u8bc1\u200b \\(\\in_y\\) \u200b\u5c06\u200b \\(y\\) \u200b\u826f\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u7531\u200b \\(y\\in x\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b \\(x\\) \u200b\u4f20\u9012\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(y\\subset x\\) \uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b \\(\\in_y\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\in_x\\) \u200b\u5728\u200b \\(y\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u9650\u5236\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u4fdd\u6301\u200b.

(4) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4f20\u9012\u6027\u200b\uff0c\u200b\u663e\u7136\u200b.

\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b (Jech)

  1. \\(0=\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(\\beta \\in \\alpha\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha \\neq \\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha \\subset \\beta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha\\in \\beta\\) .
  4. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8981\u4e48\u200b \\(\\alpha \\subset \\beta\\) \uff0c\u200b\u8981\u4e48\u200b \\(\\beta \\subset \\alpha\\).

(4) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u53cd\u8bc1\u200b \u200b\u4ee4\u200b \\(\\gamma = \\alpha\\cap \\beta\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\alpha \\subset \\beta\\) \u200b\u6216\u8005\u200b \\(\\beta \\subset \\alpha\\) \uff0c\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b

\\[ \\gamma \\neq \\alpha, \\gamma \\neq \\beta \\]

\u200b\u53c8\u200b \\(\\gamma \\subset \\alpha\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\gamma \\subset \\beta\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b\u6839\u636e\u200b (3) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u77e5\u9053\u200b

\\[ \\gamma\\in \\alpha, \\gamma \\in \\beta \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\gamma \\in \\gamma\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\in\\) \u200b\u4e3a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u6240\u6709\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u662f\u200b\u771f\u7c7b\u200b

\\[ \\neg \\exists z\\forall x (x\\text{ is an ordinal }\\to x\\in z) \\]

\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6240\u6709\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b \\(ON\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b Jech \u200b\u5e8f\u6570\u200b\u6027\u8d28\u200b (2) \uff0c\\(ON\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(ON \\in ON\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\in\\) \u200b\u662f\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_3","title":"\u5e8f\u6570\u200b\u548c\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb","text":"

\u200b\u5b9a\u7406\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\left\\langle A,R \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b58\u5728\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(C\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b $$ \\left\\langle A,R \\right\\rangle\\cong C. $$

\u200b\u9996\u5148\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u5fc5\u200b\u76f8\u7b49\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b

\\[ B = \\left\\lbrace a\\in A : \\exists x \\text{ \u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4f7f\u5f97\u200b } \\left\\langle \\mathrm{pred}(A,a,R),R \\right\\rangle\\cong x \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6784\u9020\u200b \\(B\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(f\\) \uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(f(a)= x\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\(C = \\mathrm{ran}(f) \\subset ON\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(C\\) \u200b\u4e3a\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b \\(C\\) \u200b\u662f\u200b\u4f20\u9012\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(C\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b. \u200b\u4e0d\u96be\u200b\u770b\u5230\u200b \\(f\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\left\\langle B,R \\right\\rangle\\) \u200b\u548c\u200b \\(C\\) \u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u7684\u200b\u540c\u6784\u200b. \u200b\u82e5\u200b \\(a\\in B\\) \uff0c\\(a'\\in A\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(a' R a\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(a' \\in B\\) .

\u200b\u5206\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\uff1a \u2780 \\(B=A\\) \uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u5f97\u8bc1\u200b.

\u2781 \\(B \\neq A\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u65f6\u200b \\(B\\) \u200b\u662f\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u771f\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(A \\setminus B\\) \u200b\u7684\u200b \\(R\\) \u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(b\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(B = \\mathrm{pred}(A,b,R)\\) \uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u7531\u200b \\(\\left\\langle B,R \\right\\rangle \\cong C\\) \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(b\\in B\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01 \\(\\square\\)

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(C = \\mathrm{type}(\\left\\langle A,R \\right\\rangle)\\) . \u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u5176\u4e3a\u200b\u5e8f\u578b\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u7279\u6b8a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u505a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b\uff1a

\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u7ea6\u5b9a\u200b

  1. \u200b\u7528\u200b\u5e0c\u814a\u5b57\u6bcd\u200b\u4ee3\u8868\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\alpha,\\beta,\\gamma\\) .
  2. \u200b\u7528\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u6765\u200b\u4ee3\u66ff\u200b \\(\\alpha \\in \\beta\\) .
  3. \u200b\u7528\u200b \\(\\alpha \\leqslant \\beta\\) \u200b\u4ee3\u66ff\u200b \\(\\alpha\\in \\beta\\lor \\alpha = \\beta\\) .
"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_4","title":"\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u200b\u786e\u754c","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u786e\u200b\u754c\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(X\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b $$ \\mathrm{sup}(X) = \\bigcup X $$ \u200b\u5982\u679c\u200b \\(X\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\min (X) = \\bigcap X. $$

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_5","title":"\u540e\u7ee7","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u540e\u7ee7\u200b

\\[ S(\\alpha) = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha \\right\\rbrace. \\]

\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8868\u683c\u200b\u5c55\u793a\u200b\u4e86\u200b\u9012\u63a8\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{cccc} 0 & S(0) & S(S(0)) & S(S(S(0))) \\\\ \\hline 0 & \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace & \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace & \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace, \\left\\lbrace 0, \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\right\\rbrace \\end{array} \\]

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u7684\u200b\u89d2\u5ea6\u200b\u6765\u770b\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e0d\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5417\u200b\uff1f\u200b\u6240\u4ee5\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\uff08\u200b\u901a\u4fd7\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff09

\\[ 1=S(0),2=S(1),3=S(2),\\cdots \\]

\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ 1= \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace,2 = \\left\\lbrace 0,1 \\right\\rbrace, 3 = \\left\\lbrace 0,1,2 \\right\\rbrace \\cdots \\]

\u200b\u5f53\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u8fd8\u200b\u53ea\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u901a\u4fd7\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u200b\u9700\u8981\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u6982\u5ff5\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b (successor)\u3001\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b (limit ordinal)

\\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\exists \\beta (\\alpha = S(\\beta))\\) .

\\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\neq 0\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b.

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b

\\(\\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b $$ \\forall \\beta \\leqslant \\alpha( \\beta =0 \\lor \\beta \\text{ \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b}) $$

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_6","title":"\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406\u200b\u3001\u200b\u81ea\u7136\u6570","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_7","title":"\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406","text":"

\u200b\u516c\u7406\u200b 7 \uff1a \u200b\u65e0\u7a77\u200b\u516c\u7406\u200b

\\[ \\exists x (0 \\in x\\land \\forall y \\in x(S(y)\\in x)) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u516c\u7406\u200b\u63cf\u8ff0\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(x\\) \uff1a\u200b\u82e5\u200b \\(0\\in x\\) \u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(y\\in x\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u5176\u200b\u540e\u7ee7\u200b \\(S(y)\\in x\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u79f0\u200b \\(x\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u96c6\u200b (induction set).

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u662f\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u96c6\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_8","title":"\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b

\\(\\omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u96c6\u200b.

\\(\\omega\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b.

Peano \u200b\u516c\u7406\u200b

Peano \u200b\u516c\u7406\u200b\u5df2\u200b\u5728\u200b\u4e00\u9636\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7684\u200b\u7b97\u6570\u200b\u90e8\u5206\u200b\u63d0\u200b\u8fc7\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6b64\u200b\u7565\u8fc7\u200b.

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\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u52a0\u6cd5\u200b

\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff1a $$ \\alpha+\\beta = \\mathrm{type}(\\alpha\\times \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\cup \\beta \\times \\left\\lbrace 1 \\right\\rbrace,R) $$ \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(R\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff1a

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u770b\u7740\u200b\u6709\u70b9\u200b\u8ba9\u200b\u4eba\u200b\u6478\u4e0d\u7740\u5934\u8111\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u7a0d\u5fae\u200b\u591a\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e00\u4e0b\u200b\u3002

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0cKunen \u200b\u6559\u6750\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u5c06\u200b \\(2\\) \u200b\u4e2a\u200b\u82f9\u679c\u200b\u548c\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\u9999\u8549\u200b\u653e\u5728\u200b\u4e00\u8d77\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(5\\) \u200b\u4e2a\u200b\u6c34\u679c\u200b. \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u901a\u4fd7\u200b\u8bf4\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u533a\u5206\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u79cd\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6709\u5e8f\u200b\u5bf9\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u6570\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(R\\) \uff0c\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8981\u662f\u200b\u8fd9\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u5e76\u200b\uff1f\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u4e86\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5143\u7d20\u200b\u5bf9\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\u662f\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5bf9\u200b \\(1\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b \\(\\alpha+\\beta\\) \u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6574\u4f53\u200b\u7684\u200b\u826f\u5e8f\u200b.

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6838\u5fc3\u200b\u5c31\u662f\u200b\u201c\u200b\u600e\u4e48\u200b\u6570\u200b\u201d\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\\(2+3\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u5148\u6570\u200b \\(2\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\u200b\u518d\u6570\u200b \\(3\\) \u200b\u4e2a\u200b\uff0c\\(\\alpha+\\beta\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u5148\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u518d\u6570\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b

\\[ \\left\\langle 0,0 \\right\\rangle < \\left\\langle 1,0 \\right\\rangle < \\cdots < \\left\\langle 0,1 \\right\\rangle < \\left\\langle 1,1 \\right\\rangle < \\cdots \\]

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\alpha, \\beta, \\gamma\\) \uff0c

  1. \\((\\alpha+\\beta)+\\gamma = \\alpha+(\\beta+\\gamma)\\) \uff1b
  2. \\(\\alpha+0 = \\alpha\\)\uff1b
  3. \\(\\alpha+1 = S(\\alpha)\\) \uff1b
  4. \\(\\alpha+S(\\beta) = S(\\alpha+\\beta)\\).
  5. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha+\\beta = \\sup\\left\\lbrace \\alpha+\\xi: \\xi< \\beta \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u9700\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ea4\u6362\u5f8b\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} & 1+ \\omega = \\omega \\\\ & \\omega+1 = S (\\omega) \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5730\u65b9\u200b\u76f8\u5bf9\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u96be\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u901a\u8fc7\u200b\u56fe\u793a\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u672c\u8d28\u200b\u4e0a\u200b\u548c\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u578b\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8fd0\u7b97\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u6700\u200b\u91cd\u8981\u200b\u7684\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u8981\u200b\u843d\u5230\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b.

\u200b\u4e0a\u56fe\u200b\u662f\u200b\u5bf9\u200b \\(1+\\omega\\) \u200b\u5f97\u5230\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u7684\u200b\u7406\u89e3\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b \\(1\\) \u200b\u653e\u5728\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u826f\u5e8f\u200b\u96c6\u200b\u7684\u200b\u5f00\u59cb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u5728\u200b\u6570\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b\u9519\u5f00\u200b\u4e86\u200b\u4e00\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u80fd\u200b\u5c06\u200b\u5176\u200b\u4e0e\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u4f5c\u200b\u540c\u6784\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\omega+1\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u4e0a\u200b\u56fe\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u662f\u200b\u5728\u200b \\(\\omega\\) \u200b\u7684\u200b\u540e\u9762\u200b\u52a0\u4e0a\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u4e48\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b83\u200b\u7406\u5e94\u200b\u4e0e\u200b \\(S(\\omega)\\) \u200b\u540c\u6784\u200b. \uff08\u200b\u6700\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u7684\u200b\u539f\u56e0\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u5728\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u6570\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5143\u7d20\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u4e4b\u540e\u200b\uff09.

\u200b\u4f60\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u8fd8\u662f\u200b\u4f1a\u200b\u89c9\u5f97\u200b\uff1a\u200b\u540e\u8005\u200b\u96be\u9053\u200b\u4e0d\u200b\u4e5f\u200b\u80fd\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5417\u200b\uff1f\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8981\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u975e\u200b\u57fa\u6570\u200b\u7684\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u96c6\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u548c\u200b\u57fa\u6570\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u672c\u8d28\u533a\u522b\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u6709\u200b\u4e86\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u5c31\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e58\u6cd5\u200b \\(\\alpha\\cdot \\beta\\) \u200b\u8868\u793a\u200b\u628a\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6570\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u6b21\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u662f\u200b

\\[ \\alpha+ \\alpha+\\cdots+ \\alpha \\]

\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u5171\u6709\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e2a\u200b \\(\\alpha\\) .

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u4e58\u6cd5\u200b

\\[ \\alpha\\cdot \\beta = \\mathrm{type}(\\beta\\times \\alpha, R) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(R\\) \u200b\u662f\u200b \\(\\beta\\times \\alpha\\) \u200b\u5e8f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a

\\[ \\left\\langle \\xi,\\eta \\right\\rangle R \\left\\langle \\xi',\\eta' \\right\\rangle \\leftrightarrow (\\xi< \\xi' \\lor (\\xi = \\xi'\\land \\eta< \\eta')) \\]

\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u540c\u6837\u200b\u4e0d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4ea4\u6362\u5f8b\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} & 2 \\cdot \\omega = \\omega \\\\ & \\omega\\cdot 2 = \\omega + \\omega \\end{aligned} \\]

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u6027\u8d28\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\alpha,\\beta,\\gamma\\) \uff1a

  1. \\(\\alpha\\cdot (\\beta\\cdot \\gamma) = (\\alpha\\cdot \\beta)\\cdot \\gamma\\) .
  2. \\(\\alpha\\cdot 0 = 0\\) ;
  3. \\(\\alpha\\cdot 1=1\\) ;
  4. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\\(\\alpha\\cdot \\beta= \\sup\\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\xi: \\xi< \\beta \\right\\rbrace\\) ;
  5. \\(\\alpha\\cdot(\\beta+\\gamma) = \\alpha\\cdot \\beta+ \\alpha\\cdot \\gamma\\) .

\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u7684\u200b\u987a\u5e8f\u200b\uff0c\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u200b\u65b9\u5411\u200b\u7684\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff1a

\\[ (1+1)\\cdot \\omega = \\omega \\neq 1\\cdot \\omega+ 1\\cdot \\omega = \\omega+ \\omega \\]

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

$$ \\alpha+\\beta = \\omega\\cdot \\omega+1 $$ \u200b\u6709\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u591a\u7ec4\u200b \\((\\alpha,\\beta)\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u4e0a\u200b\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u8bd5\u7740\u200b\u5168\u90e8\u200b\u627e\u200b\u51fa\u6765\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u663e\u7136\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{cases} \\alpha = \\omega\\cdot \\omega, \\\\ \\beta = 1 \\end{cases}, \\begin{cases} \\alpha = \\omega\\cdot \\omega +1 , \\\\ \\beta = 0 \\end{cases} \\]

\u200b\u4e14\u200b\u4e8c\u8005\u200b\u4e2d\u95f4\u200b\u4e0d\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u518d\u6709\u200b \\(\\omega\\cdot \\omega +1\\) \u200b\u7684\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u4e86\u200b. \u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\omega\\cdot \\omega\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\omega\\cdot \\omega\\) \u200b\u53ca\u5176\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta = \\omega\\cdot \\omega\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\alpha+\\omega\\cdot \\omega =\\omega\\cdot \\omega\\) \uff0c\u200b\u4e0e\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e0d\u7b26\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\alpha=\\beta\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\alpha+\\beta = \\omega\\cdot \\omega+\\omega\\cdot \\omega\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u4e0e\u200b\u7ed3\u679c\u200b\u4e0d\u7b26\u200b.

\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta = \\omega\\cdot \\omega+1\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha < \\omega\\cdot \\omega\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\alpha+ \\beta = \\omega\\cdot \\omega+1\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6240\u6709\u200b \\(\\alpha < \\omega\\cdot \\omega, \\beta= \\omega\\cdot \\omega+1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5176\u89e3\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f8b\u9898\u200b

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b $$ \\alpha+\\beta = \\beta+\\alpha $$ \u200b\u5219\u200b \\(\\alpha = 0\\) .

\u200b\u627e\u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha+\\beta = \\beta\\) \uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u7531\u200b

\\[ \\alpha+ \\beta = \\beta + \\alpha \\]

\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\beta = \\beta+\\alpha\\) \uff0c\u200b\u8fdb\u800c\u200b\u7531\u200b\u8ba1\u7b97\u673a\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u4e0e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b2c\u516d\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\alpha = 0\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u95ee\u9898\u200b\u6765\u200b\u4e86\u200b\uff0c\u200b\u5982\u4f55\u200b\u6784\u9020\u200b\u8fd9\u6837\u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff1f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7ed3\u5408\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u6765\u200b\u64cd\u4f5c\u200b\uff0c\u200b\u4ee4\u200b \\(\\beta = \\omega\\cdot \\alpha\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_11","title":"\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217","text":""},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#_12","title":"\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49","text":"

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b

  1. \\(A^n\\) \u200b\u662f\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u5230\u200b \\(A\\) \u200b\u6240\u6709\u200b\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b.
  2. \\(A^{< \\omega} = \\bigcup \\left\\lbrace A^n: n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) .

\u200b\u5c3d\u7ba1\u200b \\(A^2\\) \u200b\u548c\u200b \\(A\\times A\\) \u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b\u4e1c\u897f\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u53cc\u200b\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\eta : A^2 \\to A\\times A, \\eta(f) = \\left\\langle f(0),f(1) \\right\\rangle \\end{aligned} \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(A^n\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(f\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4ece\u200b \\(n\\) \u200b\u5230\u200b \\(A\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u8fd8\u200b\u80fd\u200b\u770b\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u957f\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u5217\u200b\uff1a

\\[ f(0),f(1),\\cdots,f(n-1) \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u5408\u7406\u6027\u200b\u4ecd\u7136\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5e42\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u5e76\u200b\u4e0d\u200b trivial \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u66ff\u6362\u200b\u516c\u7406\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi(n,y)\\) \uff1a

\\[ \\forall s (s\\in y \\leftrightarrow s\\text{ \u200b\u662f\u4ece\u200b }n \\text{ \u200b\u5230\u200b } A\\text{ \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b}) \\]

\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5728\u200b\u540c\u6784\u200b\u7684\u200b\u610f\u4e49\u200b\u4e0b\u200b \\(A^{n+1}\\) \u200b\u548c\u200b \\(A^n \\times A\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\forall n \\in \\omega \\exists y \\varphi(n,y) \\]

\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u7531\u200b\u5916\u5ef6\u516c\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b \\(A^{< \\omega}\\) \u200b\u7528\u200b\u5e76\u200b\u96c6\u200b\u516c\u7406\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(n\\) \uff0c\\(\\left\\langle x_0,\\cdots,x_{n-1} \\right\\rangle\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u6027\u8d28\u200b\u7684\u200b \\(\\mathrm{dom}(s)=n\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s\\) \uff1a $$ s(0)=x_0,s(1)=x_1,\\cdots,s(n-1)=x_{n-1}. $$

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.2%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20II%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%85%AC%E7%90%86%E3%80%81%E5%BA%8F%E6%95%B0/#concatenate","title":"\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u7684\u200b\u62fc\u63a5\u200b (concatenate)","text":"

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathrm{dom}(s)=\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u662f\u200b\u957f\u4e3a\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathrm{dom}(t)=\\beta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b \\(s\\) \u200b\u548c\u200b \\(t\\) \u200b\u62fc\u63a5\u200b\u5728\u200b\u4e00\u8d77\u200b\uff0c\u200b\u5f62\u6210\u200b\u65b0\u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s^\\frown t\\) \uff0c\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u4e3a\u200b \\(\\alpha+\\beta\\) \uff0c\u200b\u66f4\u200b\u4e25\u683c\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\uff1a\u200b\u6709\u9650\u200b\u5e8f\u5217\u200b\u62fc\u63a5\u200b

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(s\\) \u200b\u548c\u200b \\(t\\) \u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\mathrm{dom}(s)=\\alpha\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\mathrm{dom}(t)=\\beta\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b9a\u4e49\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(\\alpha+\\beta\\) \u200b\u7684\u200b\u51fd\u6570\u200b \\(s^\\frown t\\) \u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

  1. \\((s^\\frown t)\\upharpoonright \\alpha = s\\) \uff1b
  2. \\((s^\\frown t)(\\alpha+\\xi) = t(\\xi),\\forall \\xi< \\beta\\) .

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u6bd4\u8f83\u200b\u76f4\u63a5\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u591a\u4f5c\u200b\u4ecb\u7ecd\u200b.

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\u200b\u73b0\u5728\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5df2\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4f5c\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u8bf4\u660e\u200b. \u200b\u6211\u4eec\u200b\u81ea\u59cb\u81f3\u7ec8\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u57fa\u672c\u200b\u5730\u4f4d\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u6bb5\u200b\u5b66\u4e60\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e86\u200b\u5f88\u591a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5374\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u4f5c\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u662f\u200b \\(=,\\in\\) \u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e9b\u200b\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u89c4\u5b9a\u200b\u597d\u200b\u7684\u200b\u5728\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u6846\u67b6\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e24\u79cd\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5bf9\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u7ec6\u8bf4\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u4f5c\u200b\u8865\u5145\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(x \\subset y\\) \uff0c\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u7f29\u5199\u200b\uff1a

\\[ \\forall z (z\\in x \\to z\\in y) \\]

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace : \\cdots \\right\\rbrace\\) \u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7b26\u53f7\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u9700\u8981\u200b\u4f5c\u200b\u7279\u522b\u200b\u7684\u200b\u8bf4\u660e\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b

\\[ \\left\\lbrace x: \\varphi(x,y_1,\\cdots,y_n) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b83\u200b\u5c31\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(z\\) \uff1a

\\[ \\forall x (x\\in z \\leftrightarrow \\varphi(x,y_1,\\cdots,y_n)) \\]"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.3%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20III%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E8%B6%85%E9%99%90%E5%BD%92%E7%BA%B3%E3%80%81%E8%B6%85%E9%99%90%E9%80%92%E5%BD%92/","title":"ZF\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b III \u2014\u2014 \u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3","text":"

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\\[ \\left\\lbrace x: \\varphi(x) \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6709\u200b\u9664\u4e86\u200b \\(x\\) \u200b\u4ee5\u5916\u200b\u7684\u200b\u81ea\u7531\u200b\u53d8\u91cf\u200b.

\u200b\u672c\u7ae0\u200b\u5bf9\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u7edf\u4e00\u200b\u91c7\u7528\u200b\u76f4\u7acb\u200b\u7684\u200b\u7c97\u4f53\u200b\u5b57\u6bcd\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(\\mathbf{ABCD}\\) .

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\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5c06\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5df2\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u548c\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u91cd\u65b0\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4e00\u904d\u200b\uff1a

\u200b\u5b9a\u4e49\u200b

\\[\\begin{aligned}&\\mathbf{V} = \\left\\lbrace x: x=x \\right\\rbrace \\\\ & \\mathbf{ON}= \\left\\lbrace x: x\\text{ is an ordinal} \\right\\rbrace. \\end{aligned}\\]

\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u7c7b\u200b\u662f\u200b\u6211\u4eec\u200b\u66fe\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u8fc7\u200b\u7684\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u5305\u542b\u200b\u6240\u6709\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b.

\u200b\u4e00\u822c\u800c\u8a00\u200b\uff0c\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u548c\u200b\u7c7b\u200b\u57fa\u672c\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u533a\u522b\u200b\uff0c\u200b\u9664\u4e86\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u7684\u200b\u8868\u793a\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u6709\u6240\u4e0d\u540c\u200b. \u200b\u5728\u200b\u7c7b\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5c06\u200b\u4ee5\u524d\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u7b26\u53f7\u200b\u6cbf\u7528\u200b\u8fc7\u6765\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a

\\[ \\mathbf{ON}\\cap y = \\left\\lbrace x\\in y : x \\text{ is an ordinal} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\u524d\u6bb5\u200b\u548c\u200b\u51fd\u6570\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u518d\u200b\u7406\u89e3\u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7c7b\u200b.

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\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b (Kunen)

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\mathbf{C}\\subset \\mathbf{ON}\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(\\mathbf{C}\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b.

\u200b\u5728\u200b Kunen \u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u548c\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b 7.3(5) \u200b\u662f\u200b\u51e0\u4e4e\u200b\u4e00\u81f4\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u53ea\u4e0d\u8fc7\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff0c\u200b\u800c\u662f\u200b\u7c7b\u200b. \u200b\u5229\u7528\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0d\u662f\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u5728\u200b \\(\\alpha\\cap \\mathbf{C}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(\\beta\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6bd4\u8f83\u663e\u8457\u200b\u7684\u200b\u5dee\u522b\u200b\u662f\u200b\uff1a\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\u662f\u200b ZFC \u200b\u6846\u67b6\u200b\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u96c6\u5408\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u6765\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b\u7c7b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u5883\u200b\u4e0b\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u662f\u200b ZFC \u200b\u7684\u200b\u5bf9\u8c61\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u6765\u200b\u8868\u8fbe\u200b\uff0c\u200b\u800c\u662f\u200b\u5e94\u8be5\u200b\u7528\u200b\u5b9a\u7406\u200b\u6a21\u5f0f\u200b\u6765\u200b\u8868\u8ff0\u200b.

\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\\(\\star\\) \u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b (Jech) 1

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff1a

  1. \\(0\\in \\mathbf{C}\\) \uff1b
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha+1\\in \\mathbf{C}\\) \uff1b
  3. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b \\(0\\) \u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\beta< \\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\beta\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) .

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b \\(\\mathbf{ON}\\) .

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u662f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha\\notin \\mathbf{C}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u662f\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5426\u5219\u200b\u6839\u636e\u200b 2. \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\alpha\\notin \\mathbf{C}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5e8f\u6570\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u4e3a\u200b\u975e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b.

\u200b\u4f46\u662f\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\alpha\\notin \\mathbf{C}\\) \u200b\u7684\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u6240\u6709\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\beta< \\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u90fd\u200b\u5c5e\u4e8e\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b 3. \u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\alpha\\in \\mathbf{C}\\) \uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01\\(\\square\\)

\u200b\u770b\u8d77\u6765\u200b\u975e\u5e38\u7b80\u5355\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b \\(\\mathbf{C}\\) \u200b\u4ee3\u8868\u200b\u4e86\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u7ed9\u200b\u6211\u4eec\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u542f\u793a\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u7528\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u8868\u793a\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5229\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6269\u5c55\u200b\u5230\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u4e0a\u53bb\u200b. \u200b\u4e0b\u9762\u200b\u7ed9\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u66f4\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a

\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\varphi(x)\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u5bf9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\uff1a

\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(\\beta < \\alpha\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(\\varphi(\\beta)\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi(\\alpha)\\) \uff0c

\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\varphi(\\alpha)\\) \u200b\u5bf9\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91/6.3%20ZF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%20III%20%E2%80%94%E2%80%94%20%E8%B6%85%E9%99%90%E5%BD%92%E7%BA%B3%E3%80%81%E8%B6%85%E9%99%90%E9%80%92%E5%BD%92/#_4","title":"\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u64cd\u4f5c","text":"

\u201c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u201d\u200b\u7684\u200b\u542b\u4e49\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0a\u8ff0\u200b\u8f83\u4e3a\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b Kunen \u200b\u7684\u200b\u4e66\u200b\u4e2d\u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ (\\forall \\beta< \\alpha \\psi(\\beta)) \\to \\psi (\\alpha)\\tag{1.1} \\]

\u200b\u82e5\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\forall \\alpha \\psi(\\alpha)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u4e3a\u4ec0\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u66f4\u4e3a\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u4e0e\u200b Kunen \u200b\u548c\u200b Jech \u200b\u7684\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u662f\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff1f\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\psi(\\alpha)\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\neg \\psi(\\alpha)\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u7c7b\u200b\u5177\u6709\u200b\u6700\u5c0f\u200b\u5143\u200b \\(\\alpha\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5bf9\u6bd4\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u5c0f\u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u5229\u7528\u200b (1.1) \u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\psi(\\alpha)\\) \u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u9645\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u76f4\u63a5\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u66f4\u4e3a\u200b\u6613\u7528\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u5c31\u200b\u597d\u200b.

  1. \u200b\u6709\u200b\u7684\u200b\u6559\u6750\u200b\u4e5f\u200b\u79f0\u4e4b\u4e3a\u200b\u8d85\u7a77\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b.\u00a0\u21a9

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/1.%20NKU%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e00\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

Exercise 1.1.11

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b \\(\\phi = s_0s_1\\cdots s_k\\)\uff0c\\(\\phi\\) \u200b\u7684\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u5c31\u662f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(l<k\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(s_0s_1\\cdots s_l\\)\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u4e0d\u4f1a\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u7528\u200b\u5b83\u200b\u66ff\u6362\u200b\u5f15\u7406\u200b 1.1.5 \u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b (4) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5f15\u7406\u200b 1.1.5.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff1a \u200b\u8bbe\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u4e3a\u200b \u201c\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u201d.

\uff08\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\uff09 \u200b\u5bf9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u5b57\u7b26\u200b\u548c\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u5b57\u7b26\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a

\u200b\u8bbe\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff08\u200b\u5373\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\)\uff09\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff1a (i) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53d6\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b \\(\\neg \\varphi_0\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5b83\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi_0\\) \u200b\u81ea\u8eab\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u200b\u6784\u6210\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u8fdd\u53cd\u200b\u4e86\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b.

(ii) \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\bullet \\varphi \\psi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u53d6\u5230\u200b\u7684\u200b\u6070\u5f53\u200b\u521d\u59cb\u200b\u5b57\u7b26\u4e32\u200b\u5f62\u200b\u5982\u200b \\(\\bullet \\varphi \\psi_0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e2d\u7f00\u200b\u8868\u8fbe\u5f0f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\((\\varphi) \\bullet (\\psi_0)\\) \uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u800c\u200b \\(\\psi_0\\) \u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b. \uff08\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u8fd9\u91cc\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6316\u5751\u200b\u4ee5\u540e\u200b\u586b\u200b\uff09

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c\\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\bullet \\varphi \\psi\\) \u200b\u5747\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) . \u200b\u6839\u636e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u547d\u9898\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u4e0b\u9762\u200b\u5229\u7528\u200b\u8be5\u200b\u547d\u9898\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u547d\u9898\u200b 1.1.5\uff1a

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\theta = \\bullet \\varphi \\psi\\) \u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u552f\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(\\bullet \\varphi'\\psi '\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varphi',\\psi'\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\varphi'\\) \u200b\u7684\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u5927\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u200b\u4e60\u9898\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff01\u200b\u82e5\u200b \\(\\varphi'\\) \u200b\u957f\u5ea6\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\varphi'\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u4e3a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\varphi' = \\varphi\\) . \\(\\square\\)

Exercise 1.3.19

\u200b\u4ee4\u200b \\(|\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5177\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7684\u200b\u4e8c\u5143\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\uff1a $$ V(\\phi \\mid \\psi) = \\begin{cases} \\mathrm{T},\\text{if }V(\\phi) = \\mathrm{F} \\text{ or } V(\\psi) = \\mathrm{F} \\ \\mathrm{F},\\text{Otherwise.}\\end{cases} $$

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8fde\u63a5\u8bcd\u200b\u79f0\u4e3a\u200b nand \uff08\u200b\u4e0e\u975e\u200b\uff09\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\\(\\left\\lbrace | \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u7684\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e3a\u200b \\(p,q\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg , \\lor \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8003\u8651\u200b\u8868\u793a\u200b\u51fa\u200b \\(\\neg\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\lor\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b\uff1a

\\[ \\neg p = p\\mid p \\] \\[ p\\lor q = ((\\neg p)\\mid (\\neg q)) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\left\\lbrace \\mid \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

Exercise 1.3.21

\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg, \\leftrightarrow \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u4e3a\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u539f\u5b50\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u4e3a\u200b \\(p_0,p_1,\\cdots p_n\\) \u200b\u7684\u200b \\(L\\)-\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\\(V(\\psi)\\) \u200b\u5728\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{T}\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u53ef\u80fd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6570\u4e3a\u200b\u5076\u6570\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg, \\leftrightarrow \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace p_0,p_1,\\cdots,p_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u5747\u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u57fa\u672c\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u60c5\u5f62\u200b \uff0c\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u8868\u200b\uff1a

\\[ \\begin{array}{ccccc} p_0 & p_1 & \\neg p_0 & \\neg p_1 & p_0 \\leftrightarrow p_1 \\\\ \\hline \\mathrm{T} & \\mathrm{T} &\\mathrm{F}& \\mathrm{F} & \\mathrm{T}\\\\ \\mathrm{T} & \\mathrm{F} &\\mathrm{F}& \\mathrm{T} & \\mathrm{F} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{T} &\\mathrm{T}& \\mathrm{F} & \\mathrm{F} \\\\ \\mathrm{F} & \\mathrm{F} &\\mathrm{T}& \\mathrm{T} & \\mathrm{T} \\end{array} \\]

\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u90fd\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u57fa\u7840\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(n\\) \u200b\u9636\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\psi\\) \uff0c\u200b\u8bbe\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff1a (1) \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg\\psi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6539\u53d8\u200b\u771f\u503c\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e2a\u6570\u200b\u7684\u200b\u5947\u5076\u6027\u200b\uff1b (2) \\(\\varphi\\leftrightarrow \\psi\\) \u200b\u540c\u6837\u200b\u4e0d\u200b\u6539\u53d8\u200b\u5947\u5076\u6027\u200b\uff1b \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5747\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u6545\u53ef\u200b\u8ba4\u4e3a\u200b \\(\\left\\lbrace \\neg, \\leftrightarrow \\right\\rbrace\\cup \\left\\lbrace p_0,p_1,\\cdots,p_n \\right\\rbrace\\) \u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5747\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) .

\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(p_0 \\land p_1\\) \u200b\u4e0d\u200b\u5177\u6709\u200b\u6027\u8d28\u200b \\(\\mathcal{P}\\) \uff0c\u200b\u56e0\u4e3a\u200b\u5728\u200b\u56db\u79cd\u200b\u771f\u503c\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5171\u6709\u200b 3 \u200b\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{F}\\) \uff0c1 \u200b\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u53d6\u503c\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{T}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4e0d\u200b\u5b8c\u5907\u200b\u6027\u8bc1\u200b\u6bd5\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/2.%20NKU%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

\u200b\u9898\u200b1

\u200b\u79f0\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u6070\u597d\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u76f8\u540c\u200b\u7684\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b\uff1b\u200b\u79f0\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u6ca1\u6709\u200b \\(\\varphi\\in \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) . \uff08\\(\\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5dee\u96c6\u200b\uff09

(i) \u200b\u63d0\u4f9b\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5355\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff08\u200b\u5355\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7ec4\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff09\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\uff1b

(ii) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u6240\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e2\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u53c8\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1b

(iii) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u65e0\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u5b83\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u65e2\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u53c8\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

(i) \u200b\u8bbe\u5355\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\sim\\left\\lbrace \\varphi \\right\\rbrace\\) \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b \\(\\varnothing\\mid\\!\\equiv \\varphi\\) \u200b\u4e0d\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\varphi\\) \u200b\u4e0d\u4e3a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b.

(ii) \u200b\u5982\u679c\u200b\u5176\u200b\u672c\u8eab\u200b\u5c31\u662f\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5b83\u200b\u81ea\u5df1\u200b\u5c31\u200b\u7b26\u5408\u200b\u9898\u610f\u200b.

\u200b\u82e5\u4e0d\u7136\u200b\uff0c\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi_1\\in \\Gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1 \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\varphi_1\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u53d6\u5176\u200b\u5b50\u96c6\u200b

\\[ \\Gamma_1 = \\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(\\Gamma_1\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u662f\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u4e86\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b\u8fd8\u200b\u4e0d\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\varphi_2\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b \\(\\Gamma_2\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1 \\right\\rbrace \\mid\\!\\equiv \\varphi_2\\) \uff0c\u200b\u53d6\u200b

\\[ \\Gamma_2 = \\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1,\\varphi_2 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u6700\u7ec8\u200b\u603b\u80fd\u200b\u5f97\u5230\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma_n = \\Gamma\\sim \\left\\lbrace \\varphi_1,\\varphi_2,\\cdots,\\varphi_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma_n = \\varnothing\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u7531\u200b (i) \uff0c\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e2d\u200b\u5168\u4e3a\u200b\u6c38\u771f\u5f0f\u200b\uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\Gamma_n\\) \u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\Gamma_n\\) \u200b\u975e\u7a7a\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u662f\u200b\u4fdd\u6301\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(\\Gamma_n\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u7b26\u5408\u200b\u9898\u610f\u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

(iii) \u200b\u8003\u8651\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u96c6\u5408\u200b\uff1a

\\[ S = \\left\\lbrace \\varphi_1,\\varphi_1 \\land \\varphi_2,\\varphi_1\\land \\varphi_2 \\land \\varphi_3,\\cdots \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\varphi_k\\) \u200b\u5747\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u6c38\u200b\u771f\u7684\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5355\u53e5\u200b\u96c6\u5747\u200b\u4e0d\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u72ec\u7acb\u200b.

\u200b\u800c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u4e0d\u540c\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff1a

\\[ \\psi_1 = \\bigwedge_{i=1}^m \\varphi_i , \\psi_2 = \\bigwedge_{j=1}^n \\varphi_j \\]

\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u4ee4\u200b \\(m<n\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u96be\u200b\u53d1\u73b0\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u771f\u503c\u200b\u6307\u6d3e\u200b \\(V\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(V(\\psi_2)=\\mathrm{T}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(V(\\psi_1)=\\mathrm{T}\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5305\u542b\u200b\u4e86\u200b\u8fd9\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u6ca1\u6709\u200b \\(\\Gamma-\\left\\lbrace \\psi_1 \\right\\rbrace\\mid\\!\\equiv \\psi_1\\) .

\u200b\u6839\u636e\u200b\u9009\u53d6\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u6027\u200b\uff0c\\(S\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u72ec\u7acb\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u9898\u200b2

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u4e09\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1a

  1. \u200b\u76f8\u5bb9\u200b
  2. \u200b\u5b8c\u5168\u200b
  3. \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b (is a theory)

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u54ea\u200b\u4e00\u5bf9\u200b\u6027\u8d28\u200b\u80fd\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u53e6\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff1f

\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u548c\u200b\u7406\u8bba\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u76f8\u5bb9\u200b.

\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u4e0d\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b Hinman \u200b\u547d\u9898\u200b 1.4.17 \uff0c\u200b\u6240\u6709\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u8bed\u4e49\u200b\u540e\u200b\u627f\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u90fd\u200b\u5728\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u5185\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b \\(\\Delta\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u663e\u7136\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b.

\uff082024/3/22 \u200b\u4fee\u6b63\u200b\uff09 \u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u548c\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u4e5f\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u63a8\u51fa\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u7406\u8bba\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b \\(T\\) \u200b\u548c\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\varphi\\) \uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(T \\mid\\!\\equiv \\varphi\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5b8c\u5168\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \u200b\u5fc5\u987b\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5728\u200b \\(T\\) \u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u662f\u200b \\(\\neg \\varphi\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u81f3\u5c11\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(V\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(V(\\neg \\varphi) = V(\\varphi)=\\mathrm{T}\\) . \u200b\u8fd9\u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/3.%20NKU%E7%AC%AC%E4%B8%89%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e09\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

\u200b\u9898\u200b1

\u200b\u4ee4\u200b \\(L\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b\uff0c\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u8c31\u200b (spectrum) \uff1a \u200b\u5373\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\uff08\u200b\u96c6\u200b\uff09\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u57fa\u6570\u200b\u6784\u6210\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b. \u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi) = \\left\\lbrace |A|: A\\models \\varphi, A \\text{ is finite} \\right\\rbrace\\).

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff1a\u200b\u4ee4\u200b \\(L\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(L_=\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\exists x(x=x))=\\omega\\backslash \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace\\) \uff0c\\(\\mathrm{Sp}(\\exists^{\\geqslant 4}) = \\left\\lbrace n\\in \\omega | n \\geqslant 4 \\right\\rbrace\\) \uff0c\\(\\mathrm{Sp}(\\exists^{=4}) = \\left\\lbrace 4 \\right\\rbrace\\).

\u200b\u4ee4\u200b \\(\\mathrm{Rs}_L = \\mathrm{Cs}_L = \\varnothing\\) \uff0c\\(\\mathrm{Fs}_L = \\left\\lbrace f \\right\\rbrace,\\nu_L(f)=1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b $$ \\varphi = \\forall x (f(f(x)) = x)\\land (\\neg f(x) = x) $$ \u200b\u6c42\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi)\\) .

\u200b\u9996\u5148\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u6709\u200b

\\[ f(x)\\ne x, f(f(x)) = x \\]

\u200b\u4ee4\u200b \\(y = f(x)\\) \uff0c\u200b\u5bb9\u6613\u200b\u77e5\u9053\u200b \\(f(y)\\ne y\\) \u200b\u4e14\u200b \\(f(f(y)) = y\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(x\\ne y\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u5747\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u7684\u200b \\(y = f(x)\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5fc5\u987b\u200b\u6210\u200b\u5bf9\u200b\u51fa\u73b0\u200b.

\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b \\(n\\) \uff0c\u200b\u603b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u6784\u9020\u200b\u51fa\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5168\u57df\u200b \\(A\\) \uff1a

\\[ A = \\left\\lbrace x_1,x_2,\\cdots,x_n ,y_1,\\cdots,y_n \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(y_i = f(x_i)\\) . \u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(|A| = 2n\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5168\u4f53\u200b\u5076\u6570\u200b\u5747\u200b\u5728\u200b\u8c31\u200b\u4e2d\u200b. \u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\mathrm{Sp}(\\varphi) = \\left\\lbrace 2n: n\\in \\omega \\backslash \\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace \\right\\rbrace\\) . \\(\\square\\)

\u200b\u9009\u505a\u9898\u200b

\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u548c\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(L\\) \u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u7684\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\uff1a $$ \\mathrm{Sp}(\\varphi) = \\left\\lbrace k^2|k=1,2,\\cdots \\right\\rbrace $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e00\u9636\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u7684\u200b signature \u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ (<,\\cdot,+,1) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(<\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u81ea\u7136\u6570\u200b\u7684\u200b\u5c0f\u4e8e\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\\(+,\\cdot\\) \u200b\u5206\u522b\u200b\u4e3a\u200b\u4e09\u5143\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u548c\u200b\u4e09\u5143\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c \\(1\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e38\u91cf\u200b.

\u200b\u8003\u8651\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b\uff1a

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u7684\u200b\u5408\u53d6\u200b\u8bb0\u200b\u4e3a\u200b \\(\\psi\\) . \u200b\u9996\u5148\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u4fdd\u8bc1\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b\u5e73\u65b9\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5176\u6b21\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u5176\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(A\\) \uff0c\\(1\\in A\\) \uff0c\u200b\u82e5\u4ec5\u200b\u6709\u200b \\(1\\) \uff0c\\(|A|=1\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5e73\u65b9\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u968f\u540e\u200b\u53ef\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u6709\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff1a

\\[ A = \\left\\lbrace 1,2 ,\\cdots,n^2 \\right\\rbrace,n\\in \\mathbb{N} \\]

\u200b\u82e5\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b\u5143\u7d20\u200b\u4e0d\u200b\u4e3a\u200b\u5e73\u65b9\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5c31\u200b\u548c\u200b\u7b2c\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u51fa\u73b0\u200b \\(1<k< n^2\\) \u200b\u4e14\u200b \\(k\\notin A\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u4e0e\u200b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b\u8bed\u53e5\u200b \\(\\psi\\) \u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u9898\u610f\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/4.%20NKU%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u56db\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

Lemma 2.3.28

\u200b\u9a8c\u8bc1\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u4efb\u610f\u200b\u540c\u6001\u200b \\(\\eta :\\mathfrak{A}\\to \\mathfrak{B}\\) \uff0c

  1. \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b (respect) \u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u200b\u4ee5\u53ca\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.
  2. \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a (1) \u200b\u9996\u5148\u200b\u5229\u7528\u200b\u9879\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u200b\uff1a\u200b\u5982\u679c\u200b \\(t\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u53d8\u91cf\u200b \\(x\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ \\eta(t^\\mathfrak{A} [\\alpha]) = \\eta(\\alpha(x)) = \\alpha^\\eta (x) = t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta]. \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(t\\) \u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e38\u91cf\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b

\\[ \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = \\eta(c^\\mathfrak{A}) = c^\\mathfrak{B} = t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta]. \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(t\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u51fd\u6570\u200b\u503c\u200b \\(ft_0\\cdots t_{\\nu_L(f)-1}\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff0c

\\[ \\begin{aligned} \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) &= \\eta(f^\\mathfrak{A}(t^\\mathfrak{A}_0 [\\alpha],\\cdots,t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(f)-1}[\\alpha])) \\\\ &=f^\\mathfrak{B}(\\eta(t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha]),\\cdots,\\eta(t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(f)-1}[\\alpha])) \\\\ &= f^\\mathfrak{B}(t^\\mathfrak{B}_0 [\\alpha^\\eta],\\cdots,t^\\mathfrak{B}_{\\nu_L(f)-1}[\\alpha^\\eta]) \\\\ &= t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\u200b\u6839\u636e\u200b\u9879\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u9879\u662f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\varphi\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(p^\\mathfrak{A}(t_0^\\mathfrak{A},\\cdots,t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(f)-1})\\) . \u200b\u5219\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha] &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} p^\\mathfrak{A}(t_0^\\mathfrak{A}[\\alpha],\\cdots,t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(p)-1}[\\alpha]) \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} p^\\mathfrak{B}(\\eta(t^\\mathfrak{A}_0[\\alpha]),\\cdots,\\eta(t^\\mathfrak{A}_{\\nu_L(p)-1})) \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models} p^\\mathfrak{B}(t^\\mathfrak{B}_0[\\alpha^\\eta],\\cdots,t^\\mathfrak{B}_{\\nu_L(p)-1}[\\alpha^\\eta])) \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{B}}{\\models}\\varphi[\\alpha^\\eta] \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6210\u7acb\u200b\u7684\u200b.

(2) \u200b\u7531\u200b (1) \u200b\u4ec5\u200b\u9700\u200b\u8003\u8651\u200b\u5305\u542b\u200b \\(=\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u6700\u200b\u7b80\u5355\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a\\(\\varphi\\) \u200b\u4e3a\u200b\u539f\u5b50\u516c\u5f0f\u200b \\(t=u\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(t\\) \u200b\u548c\u200b \\(u\\) \u200b\u5747\u200b\u4e3a\u200b \\(L\\) \u200b\u9879\u200b. \u200b\u90a3\u4e48\u200b\uff1a

\\[ \\begin{aligned} \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi[\\alpha] &\\iff t^\\mathfrak{A}[\\alpha] = u^\\mathfrak{A}[\\alpha] \\\\ &\\iff \\eta(t^\\mathfrak{A}[\\alpha]) = \\eta(u^\\mathfrak{A}[\\alpha]) \\\\ &\\iff t^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] = u^\\mathfrak{B}[\\alpha^\\eta] \\\\ &\\iff \\underset{\\mathfrak{A}}{\\models}\\varphi [\\alpha^\\eta]. \\end{aligned} \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u91cc\u9762\u200b\u7684\u200b\u7b2c\u4e8c\u6b65\u200b\u57fa\u4e8e\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5d4c\u5165\u200b\u7684\u200b\u6761\u4ef6\u200b. \u200b\u6839\u636e\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\uff0c\\(\\eta\\) \u200b\u4f9d\u4ece\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u65e0\u200b\u91cf\u8bcd\u200b\u516c\u5f0f\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/5.%20NKU%E7%AC%AC%E4%BA%94%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u4e94\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

T1

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\mathfrak{Q} = (\\mathbb{Q},+)\\).

  1. \u200b\u627e\u5230\u200b \\(\\mathfrak{Q}\\) \u200b\u4e2d\u200b \\(4\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u4ed6\u4eec\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b.
  2. \u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5728\u200b \\(\\mathfrak{Q}\\) \u200b\u4e2d\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5176\u4ed6\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b.

(1) \u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u56db\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a \u2780 \\(\\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\u4e3a\u200b \\(x+x=x\\) .

\u2781 \u200b\u57fa\u4e8e\u200b \u2780\uff0c\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5b9a\u4e49\u200b\u5e38\u91cf\u200b \\(0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\mathbb{Q}\\sim\\left\\lbrace 0 \\right\\rbrace\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ \\neg(x = 0) \\]

\u2782 \\(\\varnothing\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u516c\u5f0f\u200b \\(\\neg(x=x)\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b.

\u2783 \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u516c\u5f0f\u200b\uff1a

\\[ (x=0)\\lor (\\neg (x=0)) \\]

(2) \u200b\u8bbe\u200b \\(\\mathbb{Q}\\) \u200b\u7684\u200b\u67d0\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u4e3a\u200b \\(A\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u8bbe\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(p\\neq 0\\) \u200b\u4e14\u200b \\(p\\in A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b \\(A = \\eta(A)\\) .

\u200b\u8003\u8651\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b \\(\\eta_n : x\\to nx,(n\\neq 0 \\text{ and } n\\in \\mathbb{Q})\\) \uff08\u200b\u5229\u7528\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b\u7684\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b\u5373\u53ef\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5176\u4e3a\u200b\u81ea\u540c\u6784\u200b\uff09\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(p\\in A\\) \uff0c\u200b\u5fc5\u6709\u200b \\(np\\in A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(q\\neq 0\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u627e\u5230\u200b\u6709\u7406\u6570\u200b \\(n = \\dfrac{q}{p}\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(q\\in A\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5fc5\u4e3a\u200b\u4ee5\u4e0b\u200b\u51e0\u79cd\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff1a

\u200b\u5373\u200b (1) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(4\\) \u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u5b9a\u4e49\u200b\u5b50\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

T2

\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b (model complete) \u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6240\u6709\u200b\u7684\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\mathfrak{A} \\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\prec \\mathfrak{B}\\).

\u200b\u4f8b\u5982\u200b\uff0c\u200b\u65e0\u7aef\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u7a20\u5bc6\u200b\u7ebf\u5e8f\u200b\u7406\u8bba\u200b \\(T_{\\text{(DLO)}}\\) \u200b\u662f\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.

\\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \u200b\u88ab\u200b\u79f0\u4e3a\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b (prime model) \uff0c\u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5d4c\u5165\u200b.

\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u52d8\u8bef\u200b

\u200b\u4e4b\u524d\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7ffb\u8bd1\u200b\u6709\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u73b0\u5728\u200b\u7684\u200b\u624d\u200b\u662f\u200b\u6b63\u786e\u200b\u7684\u200b\u4e2d\u6587\u7ffb\u8bd1\u200b.

\u200b\u8bbe\u200b \\(T\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6709\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u4e3b\u6a21\u578b\u200b\u4e3a\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7406\u8bba\u200b\u7684\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u6761\u4ef6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u8bc1\u660e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u53d6\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\mathfrak{M}\\) \u200b\u5230\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u5747\u200b\u6709\u200b\u5d4c\u5165\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\mathfrak{A}'\\subseteq \\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}'\\subseteq \\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\mathfrak{A}'\\simeq \\mathfrak{M} \\simeq \\mathfrak{B}' \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathfrak{M}\\equiv \\mathfrak{A}'\\equiv \\mathfrak{B}'\\) \uff0c\u200b\u800c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u6a21\u578b\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u6240\u4ee5\u200b \\(\\mathfrak{A}' \\prec \\mathfrak{A}\\) \uff0c\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u6709\u200b \\(\\mathfrak{A}\\equiv \\mathfrak{M}\\) \uff0c\u200b\u540c\u7406\u200b \\(\\mathfrak{B}\\equiv \\mathfrak{M}\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6a21\u578b\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b

\\[ \\mathfrak{A} \\equiv \\mathfrak{B} \\]

\u200b\u6545\u200b \\(T\\) \u200b\u662f\u200b\u5b8c\u5168\u200b\u7684\u200b. \\(\\square\\)

T3

\u200b\u5047\u5b9a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8bed\u8a00\u200b \\(L\\) \u200b\u4ec5\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u975e\u200b\u903b\u8f91\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(P\\) \uff0c\\(P\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\u200b\u7b26\u53f7\u200b. \u200b\u4ee4\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5168\u57df\u200b\u4e3a\u200b \\(|\\mathfrak{A}|=\\mathbb{Z}\\) \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b \\((a,b)\\in P^\\mathfrak{A}\\) \u200b\u5f53\u4e14\u200b\u4ec5\u200b\u5f53\u200b \\(|a-b|=1\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\mathfrak{A}\\) \u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u89c6\u4e3a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u65e0\u7a77\u200b\u56fe\u200b\uff1a $$ \\cdots \\leftrightarrow \\bullet \\leftrightarrow \\bullet \\leftrightarrow \\bullet \\leftrightarrow \\cdots $$ \u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u521d\u7b49\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u7684\u200b\u7ed3\u6784\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5b83\u200b\u4e0d\u662f\u200b\u8fde\u901a\u200b\u7684\u200b (connected) .

\u200b\u8fde\u901a\u200b (connected)

\u200b\u8fde\u901a\u200b\u7684\u200b \u200b\u610f\u200b\u4e3a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(|\\mathfrak{B}|\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b\u4efb\u610f\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u8def\u5f84\u200b (path)\uff1b\u200b\u800c\u200b\u4ece\u200b \\(a\\) \u200b\u5230\u200b \\(b\\) \u200b\u7684\u200b\uff08\u200b\u957f\u4e3a\u200b \\(n\\) \u200b\u7684\u200b\uff09\u200b\u8def\u5f84\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5e8f\u5217\u200b \\(\\left\\langle p_0,p_1,\\cdots,p_n \\right\\rangle\\) \uff0c\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(p_0=a,p_n=b\\) \uff0c\u200b\u5e76\u4e14\u200b \\((p_i,p_{i+1})\\in P^\\mathfrak{B}\\) \u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(i\\in \\left\\lbrace 0,1,\\cdots,n-1 \\right\\rbrace.\\)

\u200b\u63d0\u793a\u200b\uff1a\u200b\u52a0\u5165\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \uff0c\u200b\u5e76\u200b\u5199\u4e0b\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \u200b\u76f8\u8ddd\u200b\u8f83\u200b\u8fdc\u200b (far apart) \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u7d27\u6027\u200b.

\u200b\u5f15\u5165\u200b\u5e38\u91cf\u200b\u7b26\u53f7\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \uff0c\u200b\u8bb0\u200b \\(\\varphi_n\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b

\\[ \\varphi_n = \\neg\\exists x_1\\exists x_2\\cdots \\exists x_n\\left(\\bigwedge_{i=1}^{n-1} Px_ix_{i+1}\\right) \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(x_1=c,x_n=d\\) \uff0c\u200b\u8be5\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u5373\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u4e00\u4e2a\u200b \\(n\\) \u200b\u957f\u200b\u7684\u200b\u8def\u5f84\u200b\u8fde\u901a\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) . \u200b\u4ee4\u200b \\(\\Gamma = T\\cup \\left\\lbrace \\varphi_n : n \\in \\omega \\right\\rbrace\\) . \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(\\mathrm{Th}(\\mathfrak{A})\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b\u5176\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff1a

\\[ \\Gamma_{n_0} = T'\\cup \\left\\lbrace \\varphi_{n}: n \\leqslant n_0\\right\\rbrace \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(T'\\) \u200b\u4e3a\u200b \\(T\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b \\(\\Gamma'\\)\uff0c\u200b\u90fd\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(n_0\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\Gamma' \\subseteq \\Gamma_{n_0}\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b \\(\\Gamma_{n_0}\\) \u200b\u4e5f\u200b\u4e3a\u200b\u6709\u9650\u200b\u8bed\u53e5\u200b\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(c\\) \u200b\u548c\u200b \\(d\\) \u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u8db3\u591f\u200b\u8fdc\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u4efb\u610f\u200b \\(n_0\\) \uff0c \\(\\Gamma_{n_0}\\) \u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b.

\u200b\u8fd9\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6240\u6709\u200b\u6709\u9650\u200b\u5b50\u96c6\u200b\u90fd\u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5373\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u6709\u9650\u200b\u76f8\u5bb9\u200b\uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b ACCT \uff0c\\(\\Gamma\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u6709\u200b\u6a21\u578b\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\Gamma\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b\u8fde\u901a\u200b\u56fe\u4e3a\u200b\u5176\u200b\u6a21\u578b\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(c,d\\) \u200b\u8fde\u901a\u200b\uff0c\u200b\u5176\u200b\u8def\u5f84\u200b\u957f\u5ea6\u200b\u5fc5\u7136\u200b\u6709\u9650\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u548c\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\left\\lbrace \\varphi_n:n\\in \\omega \\right\\rbrace\\) \u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\Gamma\\) \u200b\u5b58\u5728\u200b\u975e\u200b\u8fde\u901a\u200b\u56fe\u4e3a\u200b\u5176\u200b\u6a21\u578b\u200b. \u200b\u8be5\u200b\u975e\u200b\u8fde\u901a\u200b\u56fe\u200b \\(\\mathfrak{B}\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u9898\u200b\u4e2d\u6240\u200b\u9700\u200b\u6a21\u578b\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"MATH-%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E4%BD%9C%E4%B8%9A/6.%20NKU%20%E7%AC%AC%E5%85%AD%E6%AC%A1%E4%BD%9C%E4%B8%9A/","title":"NKU \u200b\u7b2c\u516d\u6b21\u200b\u4f5c\u4e1a","text":"

T1

\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u53ef\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\(\\gamma+ \\alpha< \\gamma+\\beta\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha+ \\gamma \\leqslant \\beta+ \\gamma\\) . \u200b\u5e76\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u7684\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u7528\u200b \\(<\\) \u200b\u6765\u200b\u66ff\u4ee3\u200b. \u200b\u540c\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a $$ \\alpha \\leqslant \\beta\\to \\exists ! \\delta (\\alpha+ \\delta = \\beta). $$

\u200b\u8003\u8651\u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5229\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c

\\(\\beta=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\beta=\\delta+1\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha \\leqslant \\delta\\) \uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6709\u200b

\\[ \\gamma+ \\alpha \\leqslant \\gamma+ \\delta < \\gamma + \\delta +1 = \\gamma+(\\delta+1) = \\gamma+\\beta \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b

\\[ \\gamma+\\alpha < \\gamma + (\\alpha+1) \\leqslant\\sup\\left\\lbrace \\gamma + \\delta,\\delta< \\beta \\right\\rbrace = \\gamma + \\delta \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\alpha < \\beta \\to \\gamma+\\alpha < \\gamma+\\beta\\) . \\(\\alpha+\\gamma \\leqslant \\beta+ \\gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u4e5f\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u8981\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\gamma\\) \u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u76f8\u7b49\u200b\u7684\u200b\u60c5\u51b5\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(1<2\\) \u200b\u65e0\u6cd5\u200b\u63a8\u51fa\u200b \\(1+ \\omega < 2+\\omega\\) .

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6700\u540e\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\alpha=\\beta\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7684\u200b \\(\\delta=0\\) \u200b\u5373\u200b\u4e3a\u200b\u552f\u4e00\u200b\u89e3\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha,\\beta\\) \u200b\u6709\u200b $$ \\alpha+ \\beta = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta \\mid \\delta < \\beta \\right\\rbrace $$

\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\\(\\beta=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8bbe\u200b \\(\\beta = \\gamma+1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\alpha+ \\beta & = \\alpha+ \\gamma +1 \\\\ & = (\\alpha+ \\gamma)+1 \\\\ & = \\alpha+ \\gamma \\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta \\mid \\delta< \\gamma \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta\\mid \\delta \\leqslant \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha \\cup \\left\\lbrace \\alpha+\\delta \\mid \\delta < \\beta \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u82e5\u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u8003\u8651\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\alpha+ \\beta & = \\bigcup_{\\delta < \\beta} \\alpha+\\delta \\\\ & = \\alpha\\cup \\bigcup_{\\gamma < \\beta} \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta \\mid \\delta < \\gamma \\right\\rbrace \\\\ & = \\alpha\\cup \\left\\lbrace \\alpha+ \\delta\\mid \\delta< \\beta \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u6545\u7531\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\alpha+\\gamma\\) \uff0c\u200b\u603b\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u200b\u5230\u200b\u8db3\u591f\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b \\(\\delta\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ \\alpha<\\beta \\leqslant \\alpha+ \\delta \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6b64\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\beta = \\alpha+\\delta\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u65f6\u5019\u200b\u5c31\u200b\u5df2\u7ecf\u200b\u627e\u5230\u200b \\(\\delta\\) \uff0c\u200b\u82e5\u200b \\(\\beta < \\alpha+ \\delta\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u4e0a\u8ff0\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff0c\\(\\beta\\in \\left\\lbrace \\alpha+\\gamma \\mid \\gamma < \\delta \\right\\rbrace\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u5373\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\gamma\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha+\\gamma = \\beta\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b \\(\\delta' \\neq \\delta\\) \u200b\u4e5f\u200b\u6ee1\u8db3\u200b\u8be5\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u5927\u5c0f\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u7684\u200b\u4e09\u6b67\u6027\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(\\delta< \\delta'\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6709\u200b

\\[ \\beta = \\alpha+ \\delta < \\alpha+ \\delta' = \\beta \\]

\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

T2

\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\gamma>0\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u53ef\u200b\u63a8\u5f97\u200b \\(\\gamma\\cdot \\alpha< \\gamma\\cdot \\beta\\) \u200b\u4e14\u200b \\(\\alpha\\cdot \\gamma \\leqslant \\beta\\cdot \\gamma\\) \uff0c\u200b\u5e76\u200b\u7ed9\u51fa\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b\u8bf4\u660e\u200b \\(\\leqslant\\) \u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u66ff\u6362\u200b\u4e3a\u200b \\(<\\) \uff0c\u200b\u5e76\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a $$ (\\alpha \\leqslant \\beta \\land \\alpha>0)\\to \\exists ! \\delta, \\xi(\\xi<\\alpha \\land \\alpha\\cdot \\delta + \\xi = \\beta). $$

\u200b\u5229\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u5e94\u7528\u200b\uff0c\\(\\beta=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u81ea\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u4e3a\u200b\uff1a\\(\\alpha< \\beta\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b\u5bf9\u200b\u4efb\u610f\u200b\u7684\u200b \\(\\delta< \\beta\\) \uff0c\u200b\u5747\u200b\u6709\u200b \\(\\gamma\\cdot \\alpha< \\gamma\\cdot \\delta\\) .

\u200b\u5f53\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\beta = \\delta+1\\) \uff0c\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha \\leqslant \\delta\\) \uff0c\u200b\u6545\u200b

\\[ \\gamma \\cdot \\alpha \\leqslant \\gamma\\cdot \\delta < \\gamma \\cdot \\delta+ \\gamma\\cdot 1 = \\gamma \\cdot ( \\delta +1) = \\gamma\\cdot \\beta \\]

\u200b\u5176\u4e2d\u200b\u8fd0\u7528\u200b\u4e86\u200b\u4e58\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u5de6\u200b\u5206\u914d\u5f8b\u200b.

\u200b\u5f53\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c

\\[ \\gamma\\cdot \\alpha < \\gamma\\cdot \\alpha + \\gamma \\cdot 1 \\leqslant \\sup\\left\\lbrace \\gamma\\cdot \\delta ,\\delta< \\beta \\right\\rbrace = \\gamma\\cdot \\beta \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u7531\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\alpha \\cdot \\gamma \\leqslant \\beta \\cdot \\gamma\\) \uff0c\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\u7c7b\u4f3c\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b\u5728\u200b \\(\\gamma\\) \u200b\u5145\u5206\u200b\u5927\u200b\u7684\u200b\u65f6\u5019\u200b\uff0c\u200b\u5c31\u200b\u4f1a\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b \\(1<2\\) \uff0c\u200b\u4f46\u662f\u200b

\\[ 1\\cdot \\omega = \\omega = 2\\cdot \\omega \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u7b49\u200b\u53f7\u200b\u4e0d\u80fd\u200b\u53bb\u6389\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6700\u540e\u200b\u7684\u200b\u8bed\u53e5\u200b\uff0c\\(\\alpha=\\beta\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b \\(\\delta=1,\\xi=0\\) \u200b\u5373\u53ef\u200b. \u200b\u5f53\u200b \\(\\alpha< \\beta\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\xi=0\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u662f\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u6709\u9650\u200b\u6b21\u200b\u540e\u7ee7\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b T1 \u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5f97\u51fa\u200b \\(\\xi\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8ba8\u8bba\u200b \\(\\alpha\\cdot \\delta = \\beta\\) \uff0c\\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b. \u200b\u8003\u8651\u200b\u5229\u7528\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f15\u7406\u200b\uff1a

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4efb\u610f\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha,\\beta\\) \u200b\u6709\u200b $$ \\alpha\\cdot \\beta = \\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\xi + \\eta \\mid \\xi< \\beta\\land \\eta < \\alpha \\right\\rbrace $$

\u200b\u5f15\u7406\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a \u200b\u5bf9\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff1a\\(\\beta=0\\) \u200b\u65f6\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u663e\u7136\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b \\(\\beta = \\gamma+1\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u5229\u7528\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\alpha\\cdot \\beta & = \\alpha \\cdot (\\gamma+1) \\\\ & = \\alpha\\cdot \\gamma + \\alpha \\\\ & = \\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\xi+ \\eta \\mid \\xi< \\gamma \\land \\eta < \\alpha \\right\\rbrace \\cup \\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\gamma + \\delta \\mid \\delta < \\alpha \\right\\rbrace \\\\ & = \\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\xi + \\eta\\mid \\xi < \\beta \\land \\eta < \\alpha \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\\(\\beta\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b

\\[ \\begin{aligned} \\alpha\\cdot \\beta & = \\bigcup_{\\delta < \\beta, \\gamma < \\alpha} (\\alpha\\cdot \\delta + \\gamma) \\\\ & = \\left\\lbrace \\alpha\\cdot \\xi + \\eta \\mid \\xi < \\beta\\land \\eta < \\alpha \\right\\rbrace \\end{aligned} \\]

\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f15\u7406\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6709\u200b

\\[ \\alpha\\cdot \\xi_1 + \\eta_1 = \\alpha\\cdot \\xi_2 + \\eta_2 = \\beta \\]

\u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\xi_1=\\xi_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u6839\u636e\u200b\u52a0\u6cd5\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\u53ef\u200b\u5f97\u200b \\(\\eta_1=\\eta_2\\) . \u200b\u5982\u679c\u200b \\(\\xi_1\\neq \\xi_2\\) \uff0c\u200b\u4e0d\u59a8\u200b\u8bbe\u200b \\(\\xi_1 < \\xi_2\\) \uff0c\u200b\u90a3\u4e48\u200b \\(\\xi_1 +1 \\leqslant \\xi_2\\) \uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b

\\[ \\alpha\\cdot (\\xi_1+1)+ \\eta_2 \\leqslant \\alpha\\cdot \\xi_2 +\\eta_2 = \\beta = \\alpha\\cdot \\xi_1 + \\eta_1 \\]

\u200b\u6545\u200b \\(\\alpha+\\eta_2 \\leqslant \\eta_1\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u548c\u200b \\(\\eta_1 < \\alpha\\) \u200b\u662f\u200b\u77db\u76fe\u200b\u7684\u200b. \u200b\u6545\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b. \\(\\square\\)

T3

\u200b\u8bc1\u660e\u200b Cantor \u200b\u5e8f\u6570\u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u5b9a\u7406\u200b\uff1a\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b\u975e\u200b \\(0\\) \u200b\u7684\u200b\u5e8f\u6570\u200b \\(\\alpha\\) \uff0c\u200b\u5b83\u4eec\u200b\u5747\u200b\u53ef\u8868\u4e3a\u200b\u5982\u4e0b\u200b\u7684\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff1a $$ \\alpha = \\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot l_n $$ \u200b\u5176\u4e2d\u200b \\(1 \\leqslant n < \\omega,\\alpha \\geqslant \\beta_1 > \\cdots > \\beta_n\\) \uff0c\u200b\u4e14\u200b \\(1\\leqslant l_i< \\omega,i=1,\\cdots,n\\) \uff0c\u200b\u66f4\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u8868\u793a\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4f7f\u7528\u200b\u8d85\u9650\u200b\u5f52\u7eb3\u6cd5\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\alpha=1\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(\\alpha = \\omega^0\\) . \u200b\u5bf9\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u8bbe\u200b

\\[ \\alpha= \\gamma+1 = \\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot l_n +1 = \\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot l_n+ \\omega^0\\cdot 1 \\]

\u200b\u4ece\u800c\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\u6210\u7acb\u200b\uff0c\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u53d6\u200b\u6700\u5927\u200b\u7684\u200b \\(\\beta\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\omega^\\beta \\leqslant \\alpha\\) \uff0c\u200b\u6839\u636e\u200b T2 \u200b\u7ed3\u8bba\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b \\(\\delta\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b \\(\\alpha = \\omega^\\beta\\cdot \\delta+ \\eta\\) .\u200b\u800c\u200b\u6839\u636e\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\uff0c\\(\\eta\\) \u200b\u53ef\u5199\u200b\u4e3a\u200b Cantor \u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u6b64\u65f6\u200b\u53ef\u5199\u200b\u4e3a\u200b Cantor \u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b. \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8be5\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u7684\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b.

\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(\\alpha = 1\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(\\alpha=\\omega^0\\) \u200b\u663e\u7136\u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\uff0c\\(\\alpha\\) \u200b\u4e3a\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\\(\\alpha = \\gamma+1\\) \u200b\u7531\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u6709\u200b \\(\\gamma\\) \u200b\u7684\u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u552f\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b \\(\\alpha\\) \u200b\u7684\u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u5730\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\alpha= \\gamma+1 = \\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot l_n +1 = \\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot l_n+ \\omega^0\\cdot 1 \\]

\u200b\u5f53\u200b \\(\\beta_n = 0\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u540e\u5f0f\u200b\u8fd8\u200b\u53ef\u200b\u8fdb\u4e00\u6b65\u200b\u5199\u4e3a\u200b \\(\\omega^{\\beta_1}\\cdot l_1+\\cdots + \\omega^{\\beta_n}\\cdot (l_n+1)\\) . \u200b\u56e0\u6b64\u200b\u540e\u7ee7\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u552f\u4e00\u6027\u200b\u6210\u7acb\u200b. \u200b\u6700\u540e\u200b\u6781\u9650\u200b\u5e8f\u6570\u200b\u7684\u200b\u60c5\u5f62\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b\u6027\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u5229\u7528\u200b T2 \u200b\u7684\u200b\u7ed3\u8bba\u200b\u53ef\u77e5\u200b \\(\\delta\\) \u200b\u548c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u662f\u200b\u552f\u4e00\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b \\(\\eta\\) \u200b\u6839\u636e\u200b\u5f52\u7eb3\u200b\u5047\u8bbe\u200b\u53ef\u77e5\u200b\u6b63\u5219\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u552f\u4e00\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u8868\u793a\u200b\u5f62\u5f0f\u200b\u552f\u4e00\u200b. \\(\\square\\)

"},{"location":"blog/","title":"Blog","text":""},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/","title":"Havard Stat 110 Lecture 2","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#story-proofs-axioms-of-probability","title":"Story Proofs, Axioms of Probability","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#some-hints","title":"Some hints","text":"

Some hints and comments:

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#order-does-not-matter-with-replacement","title":"Order does not matter with replacement","text":"

13:15

Pick \\(k\\) times from set of \\(n\\) objects where order does not matter with replacement.

There are about \\(\\binom{n+k-1}{k}\\) ways to pick.

22:40 Imagine put \\(k\\) balls into \\(n\\) boxes.

29:30 Extra: Bose-Einstein condensate (Bose-Einstein \u200b\u51dd\u805a\u6001\u200b)

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#story-proof","title":"Story Proof","text":"

31:16

Example 1

Use story proof to prove \\(\\displaystyle\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}\\)

This is easy as we can consider divide \\(n\\) people into two teams: one contains \\(k\\) people and the other one contains \\(n-k\\) people.

32:14

example 2

Prove $$ n\\binom{n-1}{k-1} = k\\binom{n}{k} $$

Consider the story below:

Pick \\(k\\) people out of \\(n\\) , with \\(1\\) designated as President.

The solution is obviously

\\[ k\\binom{n}{k} \\]

And transform the view of the problem:

35:06

Example 3 (Vander Monde)

Prove $$ \\binom{m+n}{k} = \\sum\\limits_{j=0}^k \\binom{m}{j}\\binom{n}{k-j} $$

The left annotation means: choose \\(k\\) people from \\(m+n\\) people.

Then we consider divide \\(m+n\\) people into two groups: first contains \\(m\\) people and second contains \\(n\\) people. Next choose \\(j\\) people from first one and \\(k-j\\) people second one.

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/18/havard-stat-110-lecture-2/#non-naive-probability-axioms","title":"Non-naive Probability Axioms","text":"

39:15 Non-naive definition

Non-naive Definition of Probability

A Probability Sample consists of \\(S\\) and \\(P\\), where \\(S\\) is a sample space and \\(P\\) is a function which takes an event \\(A\\subset S\\) as input, returns \\(P(A)\\in [0,1]\\) as outputs such that:

  1. \\(P(\\varnothing) = 0\\) , \\(P(S)=1\\) .
  2. \\(\\displaystyle P\\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty A_n\\right) = \\sum\\limits_{n=1}^\\infty P(A_n)\\) if \\(A_j\\) are disjoint.
","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/","title":"Havard Stat 110 Lecture 3","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/#birthday-problem","title":"Birthday Problem","text":"

00:49 \\(K\\) people, find probability that share same birthday. Exclude Feb. 29th and assume other 365 days equally likely and independence.

Obviously if \\(K>365\\) , the probability is \\(1\\).

Let \\(K\\leqslant 365\\) , consider \\(P(\\text{no match})\\) :

\\[ P(\\text{no match}) = \\dfrac{365\\times 364\\times \\cdots (365-K+1)}{365^K} \\]

So \\(1-P(\\text{no match}) = P(\\text{match})\\) .

Compute this result and we can get that:

\\[ P(\\text{match}) = \\begin{cases}50.7\\% , &K=23 \\\\ 97\\% , &K=50 \\\\ 99.999\\% , &K=100 \\end{cases} \\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/#properties-of-probability","title":"Properties of Probability","text":"

22:46

  1. \\(P(\\overline{A}) = 1-P(A)\\) .
  2. If \\(A\\subseteq B\\) (If \\(A\\) occurs that \\(B\\) occurs), then \\(P(A)\\leqslant P(B)\\) .
  3. \\(P(A\\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\\) . (For proof, consider \\(P(A\\cup B) = P(A)+P(B\\cap \\overline{A})\\)) .
  4. \\[ \\begin{aligned}P(A\\cup B\\cup C) &= P(A)+P(B)+P(C) \\\\ &- P(A\\cap B)-P(A\\cap C)-P(B\\cap C)\\\\ &+P(A\\cap B\\cap C)\\end{aligned} \\]
","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/19/havard-stat-110-lecture-3/#de-montmorts-problem","title":"de Montmort's Problem","text":"

38:48 \\(n\\) cards, labeled \\(1,2,\\cdots,n\\) . Let \\(A_j\\) be the event \"\\(j\\)-th card matches\". So we need to compute \\(P(A_1\\cup A_2\\cdots \\cup A_n)\\) .

\\(P(A_j) = \\dfrac{1}{n}\\) since all position equally likely for card labled \\(j\\) .

\\(P(A_1\\cap A_2) = \\dfrac{(n-2)!}{n!}\\) as we can consider the first and the second one are fixed.

So \\(\\displaystyle P\\left(\\bigcap_{k=1}^n A_k\\right) = \\dfrac{(n-k)!}{n!}\\) .

Thus we can compute that:

\\[ \\begin{aligned} P(A_1\\cup A_2\\cdots \\cup A_n) &= n\\frac{1}{n}- \\frac{n(n-1)}{2!}\\frac{1}{n(n-1)}\\cdots+(-1)^{n+1}\\binom{n}{n}\\frac{(n-n)!}{n!} \\\\ &= 1- \\frac{1}{2!}+ \\frac{1}{3!}-\\cdots+(-1)^{n+1} \\frac{1}{n!} \\\\ &\\approx 1-\\frac{1}{\\mathrm{e}} \\end{aligned} \\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/","title":"Havard Stat 101 Lecture 4 - Conditional Probability","text":"","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/#independence","title":"Independence","text":"

10:49

Definition: Independence

Events \\(A\\), \\(B\\) are independent if \\(P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\) .

Note

It is completely different from disjointness.

\\(A,B,C\\) are independent if

\\[ \\begin{aligned} &P(AB) = P(A)P(B), \\\\ &P(BC) = P(B)P(C), \\\\ &P(AC) = P(A)P(C), \\\\ &P(ABC) = P(A)P(B)P(C). \\end{aligned} \\]

Similarly for events \\(A_1,A_2,\\cdots,A_n\\) , means all multiply rules hold.

","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/#newton-pepys-problem-1693","title":"Newton-Pepys Problem (1693)","text":"

18:22 We have a fair dice, which is most likely below?

  1. A. At least one \\(6\\) with \\(6\\) dices;
  2. B. At least two \\(6\\) with \\(12\\) dices;
  3. C. At least three \\(6\\) with \\(18\\) dices;

The answer is A. Here is the calculation:

\\[ P(A) = 1-\\left(\\frac{5}{6}\\right)^6 \\approx 0.665 \\] \\[ P(B) = 1-\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{12} - 12\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{11} \\frac{1}{6}\\approx 0.619 \\] \\[ P(C) = 1- \\sum\\limits_{k=0}^2 \\binom{18}{k}\\left( \\frac{1}{6}\\right)^k \\left(\\frac{5}{6}\\right)^{18-k} \\approx 0.597 \\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/02/20/havard-stat-101-lecture-4---conditional-probability/#conditional-probability","title":"Conditional Probability","text":"

32:35

Definition: Conditional Probability

\\[P(A|B) = \\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\]","tags":["Probability Theory","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/04/16/%E8%83%A1%E9%80%82%E8%80%95%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%A0%E9%A2%98--%E5%8F%AF%E6%95%B0%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98/","title":"\u80e1\u9002\u200b\u8015\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e60\u9898\u200b \u2014\u2014 \u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b\u95ee\u9898","text":"

\u200b\u672c\u6587\u200b\u4e3b\u8981\u200b\u8ba8\u8bba\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u4e60\u9898\u96c6\u200b\u4e2d\u200b\u6709\u5173\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027\u200b\u5224\u5b9a\u200b\u7684\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u95ee\u9898\u200b\u3002

","tags":["\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570","\u6570\u5b66"]},{"location":"blog/2024/04/16/%E8%83%A1%E9%80%82%E8%80%95%E5%AE%9E%E5%8F%98%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B9%A0%E9%A2%98--%E5%8F%AF%E6%95%B0%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98/#_2","title":"\u5224\u5b9a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u6027","text":"

\u200b\u4e24\u4e2a\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\uff1a

  1. \u200b\u53d6\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b \\(B\\) \u200b\u8bc1\u660e\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A \\subset B\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b.
  2. \u200b\u5206\u89e3\u200b \\(A\\) \u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u4e4b\u200b\u5e76\u200b\u6216\u200b\u6709\u9650\u200b\u4e2a\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\u4e4b\u79ef\u200b.

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\u200b\u5355\u200b\u589e\u51fd\u6570\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u7684\u200b\u95f4\u65ad\u200b\u70b9\u96c6\u200b \\(D\\) \u200b\u53ef\u6570\u200b.

\u200b\u9996\u5148\u200b\u5e94\u8be5\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u5230\u200b\uff1a\u200b\u589e\u51fd\u6570\u200b\u7684\u200b\u95f4\u65ad\u200b\u70b9\u200b \\(x\\) \u200b\u4ee5\u200b\u5176\u200b\u8df3\u8dc3\u200b \\(f(x^+)-f(x)>0\\) \u200b\u4e3a\u200b\u7279\u5f81\u200b\uff0c\u200b\u4e8e\u662f\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(x\\in D\\) \u200b\u552f\u4e00\u200b\u5bf9\u5e94\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u5f00\u533a\u95f4\u200b \\(\\delta_x = (f(x^-),f(x^+))\\) .

\u200b\u4e14\u200b\u5f53\u200b \\(x,y\\in D,x<y\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(f(x^+)\\leqslant f(y^-)\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(\\delta_x\\cap \\delta_y=\\varnothing\\) \uff0c\u200b\u53d6\u5b9a\u200b \\(r_x\\in \\mathbb{Q}\\cap \\delta_x\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b \\(D\\to \\mathbb{Q}\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u4ece\u800c\u200b\u53ef\u6570\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.22

\u200b\u8bbe\u200b \\(A \\subset \\mathbb{R}\\) \u200b\u7684\u200b\u6bcf\u200b\u4e00\u70b9\u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u5bf9\u200b \\(x\\in A\\) \uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b \\(x\\) \u200b\u4e3a\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5b58\u5728\u200b \\(\\delta_x\\) \u200b\u4f7f\u5f97\u200b

\\[ B(x,\\delta_x)\\cap A = \\left\\lbrace x \\right\\rbrace \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u8003\u8651\u200b \\(r_x \\in B(x,\\delta_x)\\cap \\mathbb{Q}\\) \uff0c\u200b\u6211\u4eec\u200b\u6784\u5efa\u200b\u4e86\u200b \\(A\\to \\mathbb{Q},x\\to r_x\\) \u200b\u7684\u200b\u5355\u5c04\u200b\uff0c\u200b\u6545\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u6839\u636e\u200b\u672c\u9898\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.23

\u200b\u8bbe\u200b \\(A \\subset \\mathbb{R}\\) \uff0c\\(A'\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b \\(A\\) \u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b.

\u200b\u7531\u200b

\\[ A \\subset (A\\setminus A')\\cup A' \\]

\u200b\u53f3\u4fa7\u200b\u5206\u522b\u200b\u662f\u200b\u805a\u70b9\u200b\u548c\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5b64\u7acb\u200b\u70b9\u96c6\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\\(A'\\) \u200b\u4e5f\u200b\u662f\u200b\u53ef\u200b\u6570\u96c6\u200b\uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b \\(A\\) \u200b\u81f3\u591a\u200b\u53ef\u6570\u200b. \\(\\square\\)

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\u200b\u8bc1\u660e\u200b\uff1a\u200b\u82e5\u200b\u4efb\u4f55\u200b\u5706\u5468\u200b\u90fd\u200b\u542b\u6709\u200b\u7406\u70b9\u200b\uff0c\u200b\u5219\u200b\u5706\u5468\u200b

\\[ S_r = \\left\\lbrace x\\in \\mathbb{R}^2: |x| = r \\right\\rbrace (r > 0) \\]

\u200b\u4e0a\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u53d6\u51fa\u200b\u6709\u7406\u200b\u70b9\u200b \\(x_r\\) \uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(0<r<s< \\infty\\) \u200b\u65f6\u5fc5\u200b \\(x_r\\neq x_s\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ \\mathscr{A} = \\left\\lbrace S_r: r>0 \\right\\rbrace \\]

\u200b\u4e0e\u200b\u533a\u95f4\u200b \\((0,\\infty)\\) \u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u5efa\u7acb\u200b\u4e00\u4e00\u5bf9\u5e94\u200b\u5173\u7cfb\u200b\uff0c\u200b\u4f46\u200b \\((0,+\\infty)\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u5c31\u200b\u51fa\u73b0\u200b\u4e86\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.29

\u200b\u8bbe\u200b \\(a,b\\in \\mathbb{R}^2\\setminus \\mathbb{Q}^2\\) \uff0c\\(a\\neq b\\) \uff0c\u200b\u5219\u200b\u5b58\u5728\u200b\u8fde\u63a5\u200b \\(a,b\\) \u200b\u4e14\u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u6709\u7406\u200b\u70b9\u200b\u7684\u200b\u6298\u7ebf\u200b.

\u200b\u4f5c\u200b \\(ab\\) \u200b\u7684\u200b\u4e2d\u5782\u7ebf\u200b \\(L\\) \uff0c\u200b\u8003\u8651\u200b \\(\\forall x\\in L\\) \uff0c\u200b\u7531\u200b \\(ax,xb\\) \u200b\u7ec4\u6210\u200b\u4e00\u200b\u6298\u7ebf\u200b \\(\\Gamma_x\\) \uff0c\u200b\u53ea\u200b\u9700\u200b\u8bc1\u660e\u200b\u5fc5\u6709\u200b\u67d0\u4e2a\u200b \\(\\Gamma_x\\) \u200b\u4e0d\u200b\u5305\u542b\u200b\u6709\u7406\u200b\u70b9\u200b.

\u200b\u82e5\u200b\u6bcf\u4e2a\u200b \\(\\Gamma_x\\) \u200b\u90fd\u200b\u542b\u6709\u200b\u7406\u70b9\u200b \\(r_x\\)\uff0c\u200b\u5f53\u200b \\(x,y\\in L\\) \uff0c\\(x\\neq y\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\u200b\u6709\u200b \\(r_x\\neq r_y\\) \uff0c\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u5f97\u5230\u200b\u5355\u5c04\u200b \\(L\\to \\mathbb{Q}^2,x\\to r_x\\) \uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u4e0e\u200b \\(L\\) \u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u77db\u76fe\u200b. \\(\\square\\)

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\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u90e8\u5206\u200b\u662f\u200b NKU \u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5f3a\u8c03\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4ec5\u200b\u5728\u200b\u4e60\u9898\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\u6709\u200b\u4e00\u4e2a\u200b\u4f8b\u5b50\u200b. \u200b\u8868\u8ff0\u200b\u5982\u4e0b\u200b\uff1a\u200b\u8bbe\u200b \\(f(x)\\) \u200b\u548c\u200b \\(f_n(x) (n \\geqslant 1)\\) \u200b\u90fd\u200b\u662f\u200b \\(\\mathbb{R}\\) \u200b\u4e0a\u200b\u7684\u200b\u5b9e\u200b\u51fd\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6c42\u8bc1\u200b\uff1a

\\[ \\left\\lbrace x: \\lim_{n\\to \\infty} f_n(x) = f(x) \\right\\rbrace = \\bigcap_{r=1}^\\infty \\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcap_{k=n}^\\infty \\left\\lbrace x: |f_k(x) -f(x)|< \\frac{1}{r} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u8fd9\u4e2a\u200b\u7c7b\u578b\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5229\u7528\u200b\u96c6\u5408\u8bba\u200b\u7684\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u6765\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u6211\u4eec\u200b\u5e38\u7528\u200b\u7684\u200b\u5b9a\u4e49\u200b. \u200b\u89e3\u51b3\u200b\u8fd9\u200b\u7c7b\u200b\u95ee\u9898\u200b\u7684\u200b\u65b9\u6cd5\u200b\u5728\u4e8e\u200b\uff1a

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.7

\u200b\u7528\u200b\u96c6\u5408\u200b \\(A_{nk} \\triangleq \\left\\lbrace f_n \\geqslant k \\right\\rbrace,(n,k \\in \\mathbb{N})\\) \uff0c\u200b\u8868\u200b\u51fa\u200b $$ A \\triangleq \\left\\lbrace f_n \\to \\infty \\right\\rbrace $$

\\(f_n \\to \\infty\\) \u200b\u53ef\u200b\u8868\u793a\u200b\u4e3a\u200b

\\[ \\forall k > 0, \\exists m \\in \\mathbb{N}, \\forall n \\geqslant m, f_n(x) \\geqslant k \\]

\u200b\u90a3\u4e48\u200b\u4e5f\u200b\u5c31\u200b\u8bf4\u660e\u200b

\\[ x\\in A \\iff x\\in \\bigcap_{k=1}^\\infty \\bigcup_{m=1}^\\infty \\bigcap_{n=m}^\\infty \\left\\lbrace x: f_n(x) \\geqslant k \\right\\rbrace \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u9700\u8981\u200b\u8bf4\u660e\u200b\u7684\u200b\u662f\u200b\uff0c\u200b\u4e0d\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\u4e00\u4e9b\u200b\u53d8\u91cf\u200b\u9700\u8981\u200b\u6539\u52a8\u200b\u4e3a\u200b\u53ef\u6570\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u624d\u200b\u65b9\u4fbf\u200b\u6211\u4eec\u200b\u8fdb\u884c\u200b\u8bf4\u660e\u200b.

\u200b\u7136\u540e\u200b\u5c31\u662f\u200b\u5bf9\u4e8e\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\uff0c\u200b\u5c24\u5176\u200b\u8981\u200b\u6ce8\u610f\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b\uff0c\u200b\u4f8b\u5982\u200b

\\[ \\left\\lbrace x\\in X : f_n(x) \\text{\u200b\u65e0\u200b\u754c\u200b} \\right\\rbrace \\]

\u200b\u5b9e\u9645\u4e0a\u200b\u5c31\u662f\u200b\u4e0a\u200b\u6781\u9650\u200b\u662f\u200b\u65e0\u7a77\u200b\uff0c\u200b\u5b83\u200b\u548c\u200b \\(f_n(x)\\to \\infty\\) \u200b\u662f\u200b\u4e0d\u200b\u4e00\u6837\u200b\u7684\u200b.

NKU \u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b \u200b\u4e60\u9898\u200b1 T44

\u200b\u5bf9\u200b $$ \\left\\lbrace x:\\varliminf_{k\\to \\infty} f_k(x)>0 \\right\\rbrace $$ \u200b\u4f5c\u200b\u96c6\u5408\u200b\u5206\u89e3\u200b.

\u200b\u7528\u200b\u903b\u8f91\u200b\u8bed\u8a00\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u6709\u200b

\\[ \\exists n \\geqslant 1, \\exists m \\geqslant 1, \\forall k \\geqslant m, f_k(x) \\geqslant \\frac{1}{n} \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b

\\[ \\left\\lbrace x: \\varliminf_{k \\to \\infty} f_k(x) > 0 \\right\\rbrace = \\bigcup_{n=1}^\\infty \\bigcup_{m=1}^\\infty \\bigcap_{k=m}^\\infty \\left\\lbrace x: f_k(x) \\geqslant \\frac{1}{n} \\right\\rbrace \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u5229\u7528\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u66f4\u597d\u200b\u5730\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u6781\u9650\u200b\u672c\u8eab\u200b\u7684\u200b\u6027\u8d28\u200b\uff0c\u200b\u8fd9\u200b\u662f\u56e0\u4e3a\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u603b\u662f\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\uff0c\u200b\u800c\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u662f\u200b.

\u200b\u80e1\u9002\u200b\u8015\u200b 1.11

\u200b\u5206\u89e3\u200b\uff1a $$ A \\triangleq \\left\\lbrace x\\in X: \\lim_{n} f_n(x) \\text{ \u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b.} \\right\\rbrace $$

\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7b49\u4ef7\u200b\u4e8e\u200b\uff1a\u200b\u5f53\u200b \\(n \\to \\infty\\) \u200b\u65f6\u200b\uff0c\\(f_n(x)\\) \u200b\u5728\u200b\u5b83\u200b\u7684\u200b\u4e0a\u4e0b\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e4b\u95f4\u200b\u632f\u8361\u200b.

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\u53ef\u4ee5\u200b\u8868\u8ff0\u200b\u4e3a\u200b\uff1a

\\[ \\exists a,b\\in \\mathbb{Q} , \\forall n \\in \\mathbb{N},\\exists k,l \\geqslant n, f_k(x) \\leqslant a < b \\leqslant f_l(x) \\]

\u200b\u56e0\u6b64\u200b\uff0c

\\[ A = \\bigcup_{a,b\\in \\mathbb{Q},a<b} \\bigcap_{n=1}^\\infty \\bigcup_{k,l \\geqslant n} (\\left\\lbrace f_k \\leqslant a \\right\\rbrace - \\left\\lbrace f_l \\leqslant b \\right\\rbrace) \\]

\\(\\square\\)

\u200b\u53d1\u6563\u200b\u3001\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u7684\u200b\u95ee\u9898\u200b

\u200b\u5728\u200b\u5b9e\u53d8\u200b\u51fd\u6570\u200b\u5f53\u4e2d\u200b\uff0c\u200b\u7531\u4e8e\u200b\u5f15\u5165\u200b\u4e86\u200b\u5e7f\u4e49\u200b\u5b9e\u6570\u200b\uff0c\u200b\u6b64\u65f6\u200b\u6781\u9650\u200b\u4e0d\u200b\u5b58\u5728\u200b\u548c\u200b\u53d1\u6563\u200b\u5c31\u200b\u6ca1\u6709\u200b\u5173\u7cfb\u200b\u4e86\u200b.

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