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图

树

树（Tree）是n（n≥0）个有限数据元素的集合。当n＝0 时，称这棵树为空树。在一棵非空树T 中：

  1. 有一个特殊的数据元素称为树的根结点，根结点没有前驱结点。
  2. 除根结点之外的其余数据元素被分成m（m>0）个互不相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是一棵树。树T1，T2，…，Tm 为这个根结点的子树（subtree）。

树具有以下特点：

  1. 每个节点有零个或多个子节点。
  2. 每个非根节点只有一个父节点。
  3. 没有父节点的节点称为根节点。

相关术语（结点、孩子结点等术语忽略）：

  • 祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙；
  • 结点层：规定树的根结点的层数为1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加1；
  • 结点的度：结点子树的个数。

［二叉树与森林的转换］

参考：数据结构之树

二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。二叉树的每个结点至多只有二棵子树，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

图论中二叉树的定义如下：二叉树是一个连通无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。

二叉树的一些不是那么明显的性质：

  1. 对任何一棵二叉树T，度为2的结点数为m，则叶子结点数为：m＋1。
  2. 给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树，其中h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。

几种常用的二叉树：

  • 满二叉树：一棵深度为k，且有2^k - 1个节点的二叉树称为；

  • 完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时。

  • 二叉堆：它一棵完全的二叉树，二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。

    • 最大（小）堆中的最大（小）元素值出现在根结点（堆顶）；
    • 堆中每个父节点的元素值都大（小）于等于其孩子结点（如果存在）。

  • 二叉排序树：是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

    • 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
    • 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
    • 左、右子树也分别为二叉排序树；
    • 没有键值相等的节点。

  • 平衡二叉树（AVL树）：它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

参考：
轻松搞定面试中的二叉树题目
卡特兰数

树与二叉树的转换

如果设定一定规则，就可用二叉树结构表示树，这样对树的操作实现就可以借助二叉树存储，利用二叉树上的操作来实现。

树转换为二叉树：将一棵树转换为二叉树的方法是：

  • 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。
  • 对树中的每个结点，只保留它与第一个孩子结点之间的连线，删去它与其它孩子结点之间的连线。
  • 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针转动一定的角度，使之结构层次分明。

二叉树转换为树或森林的过程如下：

  • 若某结点是其双亲的左孩子，则把该结点的右孩子、右孩子的右孩子……都与该结点的双亲结点用线连起来；
  • 删去原二叉树中所有的双亲结点与右孩子结点的连线；
  • 整理由（1）、（2）两步所得到的树或森林，使之结构层次分明。

参考：树、森林与二叉树的转换

红黑树

红黑树是一种自平衡二叉查找树。它的统计性能要好于平衡二叉树（AVL树），因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除等操作。

详细内容参见：DataStructure_RB_Tree

Hashtable

哈希表就是一种以键-值(key-indexed) 存储数据的结构，我们只要输入待查找的值即 key，即可查找到其对应的值。例如若关键字为k，则其值存放在 f(k) 的存储位置上，由此不需比较便可直接取得所查记录。称这个对应关系 f 为散列函数，按这个思想建立的表为哈希表（散列表）。

哈希查找第一步就是使用哈希函数将键映射成索引，这种映射函数就是哈希（散列）函数。哈希函数需要易于计算并且能够均匀分布所有键。一个好的哈希函数必须在理论上非常的快、稳定并且是可确定的。常用的哈希函数一般基于常见的运算，比如加法、乘法和移位运算，如以下方法：

  1. 直接定址法：取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即或hash(k) = k 或者 hash(k) = a*k +b，其中a, b为常数（这种散列函数叫做自身函数）
  2. 数字分析法：假设关键字是以r为基的数，并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可取关键字的若干数位组成哈希地址。
  3. 平方取中法：取关键字平方后的中间几位为哈希地址。通常在选定哈希函数时不一定能知道关键字的全部情况，取其中的哪几位也不一定合适，而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关，由此使随机分布的关键字得到的哈希地址也是随机的。取的位数由表长决定。
  4. 折叠法：将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分的位数可以不同），然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希地址。
  5. 除留余数法：取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。对p的选择很重要，一般取素数或m，若p选择不好，容易产生冲突。

DEK：Knuth在《编程的艺术 第三卷》的第六章排序和搜索中给出一个 Hash 函数如下：

long DEKHash(string str)
{
    long hash = str.length();
    for(int i = 0; i < str.length(); i++)
    {
        hash = ((hash << 5) ^ (hash >> 27)) ^ str[i];
    }
    return hash;
}


对不同的关键字可能得到同一散列地址，即k1 != k2，而f(k1)=f(k2)，这种现象称为冲突（Collision），避免hash碰撞碰撞的方法有：

  • 拉链法：将大小为M的数组的每一个元素指向一个条链表，链表中的每一个节点都存储散列值为该索引的键值对。
  • 开放定址法：使用大小为M的数组来保存N个键值对，其中M>N，使用数组中的空位解决碰撞冲突。其中最简单的是线性探测法，当碰撞发生时即一个键的散列值被另外一个键占用时，直接检查散列表中的下一个位置即将索引值加1。
  • 再散列：在上次散列计算发生冲突时，利用该次冲突的散列函数地址产生新的散列函数地址，直到冲突不再发生。
  • 建立一个公共溢出区

为什么一般hashtable的桶数会取一个素数？

首先来说假如关键字是随机分布的，那么无所谓一定要模质数。但在实际中往往关键字有某种规律，例如大量的等差数列，那么公差和模数不互质的时候发生碰撞的概率会变大，而用质数就可以很大程度上回避这个问题。

参考
浅谈算法和数据结构: 十一 哈希表
哈希碰撞

bitmap

位图（bitmap）是一种非常常用的结构，在索引，数据压缩等方面有广泛应用，能同时使存储空间和速度最优化。例如可用一个10位长的字符串来表示一个所有元素都小于10的简单的非负整数集合，可以用 01110100100 表示集合 {1,2,4,5,8} ，对应位置数字存在标记为1，否则标记为0。

C 语言位图实现如下：

主要程序如下：

#define SHIFT 5  
#define MASK 0x1F  

//set 设置所在的bit位为1  
//clr 初始化所有的bit位为0  
//test 测试所在的bit为是否为1  

set(int i) {
    a[i>>SHIFT] |=  (1<<(i & MASK)); }  
clr(int i) {
    a[i>>SHIFT] &= ~(1<<(i & MASK)); }  
test(int i){
    return a[i>>SHIFT] & (1<<(i & MASK)); }

字节位置=数据/32 (采用位运算即右移5位)
位位置=数据%32 (采用位运算即跟0X1F进行与操作)。

特定适用场合：

  1. 对10亿个不重复的整数进行排序。
  2. 找出10亿个数字中重复的数字。

如果用普通的排序算法，数据放进内存就需要 ( 10^9 * 4)/( 2^30 ) = 3.7G。改用 Bitmap 的话，一个数字占一位，一共需要 3.7/32 ＝ 0.1 G 内存。

参考：详解bitmap算法