从上篇文章的例子中我们了解了二分查找的思路和具体代码。但是真正在解决二分查找题目的时候还需要考虑更多细节。比如说以下几个问题：
-
区间的开闭问题：区间应该是左闭右闭区间
$[left, right]$ ，还是左闭右开区间$[left, right)$ ？ -
$mid$ 的取值问题：$mid = \lfloor \frac{left + right}{2} \rfloor$，还是$mid = \lfloor \frac{left + right + 1}{2} \rfloor$ ？ -
出界条件的判断：$left \le right$，还是
$left < right$ ？ -
搜索区间范围的选择：$left = mid + 1$、$right = mid - 1$、
$left = mid$ 、$right = mid$ 应该怎么写？
下面依次进行讲解。
左闭右闭区间、左闭右开区间指的是初始待查找区间的范围。
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左闭右闭区间：初始化时，$left = 0$，$right = len(nums) - 1$。
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$left$ 为数组第一个元素位置，$right$ 为数组最后一个元素位置。 - 区间
$[left, right]$ 左右边界上的点都能取到。
-
-
左闭右开区间：初始化时，$left = 0$，$right = len(nums)$。
-
$left$ 为数组第一个元素位置，$right$ 为数组最后一个元素的下一个位置。 - 区间
$[left, right)$ 左边界点能取到，而右边界上的点不能取到。
-
关于二分查找算法的左闭右闭区间、左闭右开区间，其实在网上都有对应的代码。但是相对来说，左闭右开区间这种写法在解决问题的过程中，会使得问题变得复杂，需要考虑的情况更多，所以不建议使用左闭右开区间这种写法，而是建议：全部使用「左闭右闭区间」这种写法。
在二分查找的实际问题中，最常见的
mid = (left + right) // 2。mid = (left + right + 1) // 2。
式子中 // 所代表的含义是「中间数向下取整」。当待查找区间中的元素个数为奇数个，使用这两种取值公式都能取到中间元素的下标位置。
而当待查找区间中的元素个数为偶数时，使用 mid = (left + right) // 2 式子我们能取到中间靠左边元素的下标位置，使用 mid = (left + right + 1) // 2 式子我们能取到中间靠右边元素的下标位置。
::: tabs#mid
@tab <1>
@tab <2>
:::
把这两个公式分别代入到 704. 二分查找 的代码中试一试，发现都能通过题目评测。这是为什么呢？
因为二分查找算法的思路是：根据每次选择中间位置上的数值来决定下一次在哪个区间查找元素。每一次选择的元素位置可以是中间位置，但并不是一定非得是区间中间位置元素，靠左一些、靠右一些、甚至区间三分之一、五分之一处等等，都是可以的。比如说 mid = (left + right) * 1 // 5 也是可以的。
但一般来说，取区间中间位置在平均意义下所达到的效果最好。同时这样写最简单。而对于这两个取值公式，大多数时候是选择第一个公式。不过，有些情况下，是需要考虑第二个公式的，我们会在「4.2 排除法」中进行讲解。
除了上面提到的这两种写法，我们还经常能看到下面两个公式：
mid = left + (right - left) // 2。mid = left + (right - left + 1) // 2。
这两个公式其实分别等同于之前两个公式，可以看做是之前两个公式的另一种写法。这种写法能够防止整型溢出问题（Python 语言中整型不会溢出，其他语言可能会有整型溢出问题）。
在
mid = left + (right - left) // 2。mid = left + (right - left + 1) // 2。
二分查找算法的写法中，while 语句出界判断条件通常有两种：
left <= right。left < right。
我们究竟应该使用哪一种写法呢？
我们先来判断一下导致 while 语句出界的条件是什么。
- 如果判断语句为
left <= right，并且查找的元素不在有序数组中，则while语句的出界条件是left > right，也就是left == right + 1，写成区间形式就是$[right + 1, right]$ ，此时待查找区间为空，待查找区间中没有元素存在，此时终止循环时，可以直接返回$-1$ 。- 比如说区间
$[3, 2]$ ， 此时左边界大于右边界，直接终止循环，返回$-1$ 即可。
- 比如说区间
- 如果判断语句为
left < right，并且查找的元素不在有序数组中，则while语句出界条件是left == right，写成区间形式就是$[right, right]$ 。此时区间不为空，待查找区间还有一个元素存在，我们并不能确定查找的元素不在这个区间中，此时终止循环时，如果直接返回$-1$ 就是错误的。- 比如说区间
$[2, 2]$ ，如果元素$nums[2]$ 刚好就是目标元素$target$ ，此时终止循环，返回$-1$ 就漏掉了这个元素。
- 比如说区间
但是如果我们还是想要使用 left < right 的话，怎么办？
可以在出界之后增加一层判断，判断
# ...
while left < right:
# ...
return left if nums[left] == target else -1此外，while 判断语句用 left < right 有一个好处，就是在跳出循环的时候，一定是 left == right，我们就不用判断此时应该返回
在进行区间范围选择的时候，通常有三种写法：
left = mid + 1，right = mid - 1。left = mid + 1，right = mid。left = mid，right = mid - 1。
我们到底应该如何确定搜索区间范围呢？
这是二分查找的一个难点，写错了很容易造成死循环，或者得不到正确结果。
这其实跟二分查找算法的两种不同思路和三种写法有关。
- 思路 1：「直接法」—— 在循环体中找到元素后直接返回结果。
- 思路 2：「排除法」—— 在循环体中排除目标元素一定不存在区间。
接下来我们具体讲解下这两种思路。
直接法思想：一旦我们在循环体中找到元素就直接返回结果。
这种思路比较简单，其实我们在上篇 「2. 简单二分查找 - 704. 二分查找」 中就已经用过了。这里再看一下思路和代码：
- 设定左右边界为数组两端，即
$left = 0$ ，$right = len(nums) - 1$，代表待查找区间为$[left, right]$ （左闭右闭区间）。 - 取两个节点中心位置
$mid$ ，先比较中心位置值$nums[mid]$ 与目标值$target$ 的大小。- 如果
$target == nums[mid]$ ，则返回中心位置。 - 如果
$target > nums[mid]$ ，则将左节点设置为$mid + 1$ ，然后继续在右区间$[mid + 1, right]$ 搜索。 - 如果
$target < nums[mid]$ ，则将右节点设置为$mid - 1$ ，然后继续在左区间$[left, mid - 1]$ 搜索。
- 如果
- 如果左边界大于右边界，查找范围缩小为空，说明目标元素不存在，此时返回
$-1$ 。
class Solution:
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1
# 在区间 [left, right] 内查找 target
while left <= right:
# 取区间中间节点
mid = left + (right - left) // 2
# 如果找到目标值，则直接范围中心位置
if nums[mid] == target:
return mid
# 如果 nums[mid] 小于目标值，则在 [mid + 1, right] 中继续搜索
elif nums[mid] < target:
left = mid + 1
# 如果 nums[mid] 大于目标值，则在 [left, mid - 1] 中继续搜索
else:
right = mid - 1
# 未搜索到元素，返回 -1
return -1- 这种思路是在一旦循环体中找到元素就直接返回。
- 循环可以继续的条件是
left <= right。 - 如果一旦退出循环，则说明这个区间内一定不存在目标元素。
排除法思想：在循环体中排除目标元素一定不存在区间。
- 设定左右边界为数组两端，即
$left = 0$ ，$right = len(nums) - 1$，代表待查找区间为$[left, right]$ （左闭右闭区间）。 - 取两个节点中心位置
$mid$ ，比较目标元素和中间元素的大小，先将目标元素一定不存在的区间排除。 - 然后在剩余区间继续查找元素，继续根据条件排除目标元素一定不存在的区间。
- 直到区间中只剩下最后一个元素，然后再判断这个元素是否是目标元素。
根据排除法的思路，我们可以写出来两种代码。
class Solution:
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1
# 在区间 [left, right] 内查找 target
while left < right:
# 取区间中间节点
mid = left + (right - left) // 2
# nums[mid] 小于目标值，排除掉不可能区间 [left, mid]，在 [mid + 1, right] 中继续搜索
if nums[mid] < target:
left = mid + 1
# nums[mid] 大于等于目标值，目标元素可能在 [left, mid] 中，在 [left, mid] 中继续搜索
else:
right = mid
# 判断区间剩余元素是否为目标元素，不是则返回 -1
return left if nums[left] == target else -1class Solution:
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1
# 在区间 [left, right] 内查找 target
while left < right:
# 取区间中间节点
mid = left + (right - left + 1) // 2
# nums[mid] 大于目标值，排除掉不可能区间 [mid, right]，在 [left, mid - 1] 中继续搜索
if nums[mid] > target:
right = mid - 1
# nums[mid] 小于等于目标值，目标元素可能在 [mid, right] 中，在 [mid, right] 中继续搜索
else:
left = mid
# 判断区间剩余元素是否为目标元素，不是则返回 -1
return left if nums[left] == target else -1-
判断语句是
left < right。这样在退出循环时，一定有left == right成立，就不用判断应该返回$left$ 还是$right$ 了。此时只需要判断$nums[left]$ 是否为目标元素即可。 -
在循环体中，比较目标元素和中间元素的大小之后，优先将目标元素一定不存在的区间排除，然后再从剩余区间中确定下一次查找区间的范围。
-
在将目标元素一定不存在的区间排除之后，它的对立面（即
else部分）一般就不需要再考虑区间范围了，直接取上一个区间的相反区间。如果上一个区间是$[mid + 1, right]$ ，那么相反区间就是$[left, mid]$ 。如果上一个区间是$[left, mid - 1]$ ，那么相反区间就是$[mid, right]$ 。 -
为了避免陷入死循环，当区分被划分为
$[left, mid - 1]$ 与$[mid, right]$ 两部分时，$mid$ 取值要向上取整。即mid = left + (right - left + 1) // 2。因为如果当区间中只剩下两个元素时（此时right = left + 1），一旦进入left = mid分支，区间就不会再缩小了，下一次循环的查找区间还是$[left, right]$ ，就陷入了死循环。- 比如左边界
$left = 5$ ，右边界$right = 6$ ，此时查找区间为$[5, 6]$ ，$mid = 5 + (6 - 5) // 2 = 5$，如果进入$left = mid$ 分支，那么下次查找区间仍为$[5, 6]$ ，区间不再缩小，陷入死循环。 - 这种情况下，$mid$ 应该向上取整，$mid = 5 + (6 - 5 + 1) // 2 = 6$，如果进入
$left = mid$ 分支，则下次查找区间为$[6, 6]$ 。
- 比如左边界
-
关于边界设置可以记忆为：只要看到
left = mid就向上取整。或者记为：-
left = mid + 1、right = mid和mid = left + (right - left) // 2一定是配对出现的。 -
right = mid - 1、left = mid和mid = left + (right - left + 1) // 2一定是配对出现的。
-
-
直接法：因为判断语句是
left <= right，有时候要考虑返回是$left$ 还是$right$ 。循环体内有 3 个分支，并且一定有一个分支用于退出循环或者直接返回。这种思路适合解决简单题目。即要查找的元素性质简单，数组中都是非重复元素，且==、>、<的情况非常好写的时候。 - 排除法：更加符合二分查找算法的减治思想。每次排除目标元素一定不存在的区间，达到减少问题规模的效果。然后在可能存在的区间内继续查找目标元素。这种思路适合解决复杂题目。比如查找一个数组里可能不存在的元素，找边界问题，可以使用这种思路。