diff --git a/app/Modules/Fykos/DefaultModule/temp-solution.json b/app/Modules/Fykos/DefaultModule/temp-solution.json
deleted file mode 100644
index fba35e7f..00000000
--- a/app/Modules/Fykos/DefaultModule/temp-solution.json
+++ /dev/null
@@ -1,36 +0,0 @@
-{
-  "humanResult": {
-    "cs": null,
-    "en": null
-  },
-  "year": 37,
-  "contest": "fykos",
-  "origin": {
-    "cs": "Výprava velrybářská se Radce poněkud vymkla z~rukou.",
-    "en": "The whale expedition got a~bit out of Radka's hands."
-  },
-  "name": {
-    "cs": "Moby Dick",
-    "en": "Moby Dick"
-  },
-  "topics": [
-    "vlneni"
-  ],
-  "studyYear": null,
-  "task": {
-    "cs": "Některé druhy živočichů, jako jsou kytovci, se orientují pomocí echolokace.\nPředpokládejme, že kytovec vydává zvukový signál hrtanem umístěným přesně mezi\nušima vzdálenýma~$a$. Uvažujme, že ve stejné hloubce jako velryba pluje\nponorka. Vydaný zvuk se od~ní odrazí a~k~bližšímu uchu dorazí za čas~$t$ od\nokamžiku vyslání. Je-li časový posun mezi zachycením zvuku pravým a~levým\nuchem~$\\Delta t$, jaká je vzdálenost a~směr k~ponorce?",
-    "en": "Some species, such as~cetaceans, navigate by~echolocation. Let us~assume that\na~cetacean emits a~sound signal through a~larynx located precisely between\nthe~ears at~a~distance~$a$. Consider a~submarine is moving at~the~same depth\nas~the~whale. The~sound bounces off the~submarine and arrives at~the~closer ear\nof~the~whale at~time~$t$ from the moment of~transmission. If the~time delay\nbetween the~sound picked~up by the~right and the~left ear is~$\\Delta t$, what\nis the~distance and direction of~the~submarine?"
-  },
-  "number": 1,
-  "series": 1,
-  "points": 3,
-  "machineResult": null,
-  "authors": {
-    "solution": "krizova",
-    "task": "krizova"
-  },
-  "solution": {
-    "cs": "Nejprve si načrtneme obrázek~\\ref{R37S1U1} dané situace. Jelikož předpokládáme,\nže ponorka i~velryba se nacházejí ve stejné hloubce, můžeme uvažovat pouze ve\ndvou rozměrech. Vzdálenost mezi ušima velryby značíme~$a$, vzdálenost ponorky\na~k~ní bližšího ucha označme jako~$s$. Vzdálenost k~ponorce $l$, kterou\npočítáme, zadefinujeme jako vzdálenost ponorky od velrybího hrtanu. Dále\ndefinujeme ostrý úhel~$\\alpha$, který svírá osa velryby a~spojnice ponorky\ns~velrybím hrtanem, viz obrázek.\\par \\fullfig[htbp]{problem1-1_velryba}{Náčrt situace. Písmeno~$P$ označuje polohu\nponorky. Šipky naznačují směr šíření zvuku.}{R37S1U1}[width=0.8\\textwidth]\\par Označme rychlost šíření zvuku ve vodě jako~$v$. Pro celkový čas šíření signálu~$t$ tak můžeme psát\n\\eq{\n\tl+s=v t \\,.\n}\nPro rozdíl drah mezi pravým a~levým uchem~$\\Delta$ můžeme psát obdobně\n\\eq{\n\t\\Delta=v \\Delta t \\,.\n}\nPovšimněme si, že z~trojúhelníkové nerovnosti plyne~$v\\Delta t \\leq a$.\nVzdálenost ponorky ke vzdálenějšímu uchu potom vyjádříme jako\n\\eq{\n\tS=s+\\Delta \\,.\n}\nNyní můžeme napsat kosinovou větu pro trojúhelník hrtan-bližší ucho-ponorka\n\\eq{\n\ts^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ-\\alpha)\\,.\n}\nPo úpravě\n\\eq{\n\ts^2=\\frac{a^2}{4}+l^2-a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nKosinovou větu lze psát také pro druhý trojúhelník: hrtan-vzdálenější ucho-ponorka\n\\eq{\n\tS^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ+\\alpha)\\,,\n}\ncož upravíme na\n\\eq{\n\ts^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=\\frac{a^2}{4}+l^2+a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nSečtením těchto dvou rovnic dostaneme\n\\eq{\n\t2s^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=2\\frac{a^2}{4}+2l^2\n}\na~dosazením za~$s$ a~$\\Delta$ pomocí~$t$ a~$\\Delta t$ potom\n\\eq{\n\t2v^2t^2+2l^2-4vtl+2(vt-l) v~\\Delta t+ v^2 (\\Delta t)^2=\\frac{a^2}{2}+2l^2\\,.\n}\nMůžeme si všimnout, že kvadratické členy v~$l$ se odečtou a~ze vzniklé lineární\nrovnice snadno vyjádříme vzdálenost ponorky~$l$ jako\n\\eq{\n\tl=\\frac{v^2t^2-\\frac{a^2}{4}+vtv \\Delta t+ \\frac{v^2 (\\Delta t)^2}{2}}{2vt+v\\Delta t}\\,,\n}\nneboli (vytkneme~$vt/2$)\n\\eq{\n\tl=\\frac{vt}{2}\\frac{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}{1+\\frac{\\Delta t}{2t}}\\,.\n}\nOdečtením dvou kosinových vět naopak získáme rovnici\n\\eq{\n\t2al\\sin\\alpha = 2s\\Delta +\\Delta^2=2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2\\,,\n}\nodkud snadno vyjádříme\n\\eq{\n\t\\sin\\alpha = \\frac{2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2}{2al} = \\frac{v\\Delta t}{a} \\frac{vt-l+ \\frac{v\\Delta t}{2}}{l}\n\t= \\frac{v\\Delta t}{a} \\Big[\\frac{vt}{l}\\Big(1+\\frac{\\Delta t }{2t}\\Big)-1\\Big] \\,.\n}\nPo dosazení za~$l$ a~přímočarých algebraických úpravách získáme konečný výraz\n\\eq{\n\t\\sin\\alpha = \\frac{v\\Delta t}{a}\\frac{1+\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}}{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}\\,.\n}\nObzvlášť zajímavé je zkoumat limitní případ, kdy \n\\eq{\n\t\\frac{a}{vt}=\\frac{a}{s+l}\\ll 1\\,,\n} \nneboli, kdy vzdálenost ponorky je výrazně větší než šířka velryby (jak bychom\nostatně typicky čekali). To zároveň (skrze trojúhelníkovou nerovnost) implikuje\n\\eq{\n\t\\frac{\\Delta t}{t} \\leq \\frac{a}{vt} \\ll 1\\,,\n}\nneboli, že zpoždění signálu~$\\Delta t$~je zanedbatelné oproti celkové době šíření signálu~$t$.\nPři pohledu na výsledky pro~$l$ a~$\\alpha$ v~této limitě dostáváme jednoduché výrazy\n\\eq{\n\tl\\approx s=\\frac{vt}{2}\n}\na~\\eq{\n\\sin\\alpha\\approx \\frac{v\\Delta t}{a}\\,.\n}",
-    "en": "Firstly, let us sketch a~picture \\ref{R37S1U1} of the situation. Considering the submarine and the whale are at the same depth, we can think of the problem as a~two-dimensional problem. We denote the distance of the whale's ears by $a$ and the distance from the submarine to the closer ear as $s$. We want to calculate the distance to the submarine $l$, defined as the distance from the submarine to the whale's larynx. Furthermore, we will define an acute angle $\\alpha$ between the axis of the whale and the line connecting the submarine and the whale's larynx; see the picture below.\\par \\fullfig[htbp]{problem1-1_velryba}{The picture of the situation. The letter $P$ denotes the location of the submarine. Arrows indicate the direction of the sound propagation.}{R37S1U1}[width=0.9\\textwidth]\\par Let us denote the speed of sound in the water by $v$. For the total signal propagation time $t$ we can write\n\\eq{\nl+s=v t \\,.\n}\\par Similarly, for the difference between the right and the left ear $\\Delta$, we can write\n\\eq{\n\\Delta=v \\Delta t \\,.\n}\\par Notice that the triangle inequality implies $v\\Delta t \\leq a$.\nWe can express the distance from the submarine to the farther ear as \n\\eq{\nS=s+\\Delta \\,.\n}\nNow, by using the law of cosines for the triangle: the larynx~-- the closer ear~-- the submarine we will get\n\\eq{\ns^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ-\\alpha)\\,.\n}\nAfter simplification\n\\eq{\ns^2=\\frac{a^2}{4}+l^2-a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nWe can also use the law of cosines for the second triangle: larynx~-- farther ear~-- submarine\n\\eq{\nS^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ+\\alpha)\\,,\n}\nSimplifying to\n\\eq{\ns^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=\\frac{a^2}{4}+l^2+a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nBy adding these two equations, we get \n\\eq{\n2s^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=2\\frac{a^2}{4}+2l^2 \\,\n}\nand by substituting $t$ and $\\Delta t$ for $s$ and $\\Delta$ we get \n\\eq{\n2v^2t^2+2l^2-4vtl+2(vt-l) v~\\Delta t+ v^2 (\\Delta t)^2=\\frac{a^2}{2}+2l^2\\,.\n}\nNotice quadratic terms with $l$ will cancel out. From the obtained linear equation, we can easily express the distance of the submarine $l$ as\n\\eq{\nl=\\frac{v^2t^2-\\frac{a^2}{4}+vtv \\Delta t+ \\frac{v^2 (\\Delta t)^2}{2}}{2vt+v\\Delta t}\n}\nor (by factoring out $vt/2$)\n\\eq{\nl=\\frac{vt}{2}\\frac{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}{1+\\frac{\\Delta t}{2t}}\n\\,.\n}\\par By subtracting the two law of cosines equations, we get \n\\eq{\n2al\\sin\\alpha = 2s\\Delta +\\Delta^2=2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2\\,,\n}\\par from which we can easily express\n\\eq{\n\\sin\\alpha = \\frac{2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2}{2al} = \\frac{v\\Delta t}{a} \\frac{vt-l+ \\frac{v\\Delta t}{2}}{l} = \\frac{v\\Delta t}{a} \\Big[\\frac{vt}{l}\\Big(1+\\frac{\\Delta t }{2t}\\Big)-1\\Big] \\,.\n}\\par After substituting for $l$ and some straightforward algebraic simplifications, we get the final expression\n\\eq{\n\\sin\\alpha = \\frac{v\\Delta t}{a}\\frac{1+\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}}{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}\\,.\n}\\par It is particularly interesting to examine the limit case when\n\\eq{\n\\frac{a}{vt}=\\frac{a}{s+l}\\ll 1\\,,\n} \\par which also can be interpreted as when the distance of the submarine is much larger than the width of the whale (what is typically expected). This also implies (by using the triangle inequality)\n\\eq{\n\\frac{\\Delta t}{t} \\leq \\frac{a}{vt} \\ll 1\\,,\n}\\par which means that the delay of the signal $\\Delta t$ is negligible compared to the total signal propagation time $t$.\nAssuming this limit, we can simplify more, giving us final results for $l$ and $\\alpha$\n\\eq{\nl\\approx s=\\frac{vt}{2}\n}\nand\n\\eq{\n\\sin\\alpha\\approx \\frac{v\\Delta t}{a}\\,.\n}"
-  }
-}
diff --git a/app/Modules/Fykos/DefaultModule/temp-solution2.json b/app/Modules/Fykos/DefaultModule/temp-solution2.json
deleted file mode 100644
index f6f93eb6..00000000
--- a/app/Modules/Fykos/DefaultModule/temp-solution2.json
+++ /dev/null
@@ -1,36 +0,0 @@
-{
-  "humanResult": {
-    "cs": null,
-    "en": null
-  },
-  "year": 37,
-  "contest": "fykos",
-  "origin": {
-    "cs": "Výprava velrybářská se Radce poněkud vymkla z~rukou.",
-    "en": "The whale expedition got a~bit out of Radka's hands."
-  },
-  "name": {
-    "cs": "Moby Dick",
-    "en": "Moby Dick"
-  },
-  "topics": [
-    "vlneni","vlneni","vlneni"
-  ],
-  "studyYear": null,
-  "task": {
-    "cs": "Některé druhy živočichů, jako jsou kytovci, se orientují pomocí echolokace.\nPředpokládejme, že kytovec vydává zvukový signál hrtanem umístěným přesně mezi\nušima vzdálenýma~$a$. Uvažujme, že ve stejné hloubce jako velryba pluje\nponorka. Vydaný zvuk se od~ní odrazí a~k~bližšímu uchu dorazí za čas~$t$ od\nokamžiku vyslání. Je-li časový posun mezi zachycením zvuku pravým a~levým\nuchem~$\\Delta t$, jaká je vzdálenost a~směr k~ponorce?",
-    "en": "Some species, such as~cetaceans, navigate by~echolocation. Let us~assume that\na~cetacean emits a~sound signal through a~larynx located precisely between\nthe~ears at~a~distance~$a$. Consider a~submarine is moving at~the~same depth\nas~the~whale. The~sound bounces off the~submarine and arrives at~the~closer ear\nof~the~whale at~time~$t$ from the moment of~transmission. If the~time delay\nbetween the~sound picked~up by the~right and the~left ear is~$\\Delta t$, what\nis the~distance and direction of~the~submarine?"
-  },
-  "number": 6,
-  "series": 1,
-  "points": 12,
-  "machineResult": null,
-  "authors": {
-    "solution": "krizova",
-    "task": "krizova"
-  },
-  "solution": {
-    "cs": "Nejprve si načrtneme obrázek~\\ref{R37S1U1} dané situace. Jelikož předpokládáme,\nže ponorka i~velryba se nacházejí ve stejné hloubce, můžeme uvažovat pouze ve\ndvou rozměrech. Vzdálenost mezi ušima velryby značíme~$a$, vzdálenost ponorky\na~k~ní bližšího ucha označme jako~$s$. Vzdálenost k~ponorce $l$, kterou\npočítáme, zadefinujeme jako vzdálenost ponorky od velrybího hrtanu. Dále\ndefinujeme ostrý úhel~$\\alpha$, který svírá osa velryby a~spojnice ponorky\ns~velrybím hrtanem, viz obrázek.\\par \\fullfig[htbp]{problem1-1_velryba}{Náčrt situace. Písmeno~$P$ označuje polohu\nponorky. Šipky naznačují směr šíření zvuku.}{R37S1U1}[width=0.8\\textwidth]\\par Označme rychlost šíření zvuku ve vodě jako~$v$. Pro celkový čas šíření signálu~$t$ tak můžeme psát\n\\eq{\n\tl+s=v t \\,.\n}\nPro rozdíl drah mezi pravým a~levým uchem~$\\Delta$ můžeme psát obdobně\n\\eq{\n\t\\Delta=v \\Delta t \\,.\n}\nPovšimněme si, že z~trojúhelníkové nerovnosti plyne~$v\\Delta t \\leq a$.\nVzdálenost ponorky ke vzdálenějšímu uchu potom vyjádříme jako\n\\eq{\n\tS=s+\\Delta \\,.\n}\nNyní můžeme napsat kosinovou větu pro trojúhelník hrtan-bližší ucho-ponorka\n\\eq{\n\ts^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ-\\alpha)\\,.\n}\nPo úpravě\n\\eq{\n\ts^2=\\frac{a^2}{4}+l^2-a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nKosinovou větu lze psát také pro druhý trojúhelník: hrtan-vzdálenější ucho-ponorka\n\\eq{\n\tS^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ+\\alpha)\\,,\n}\ncož upravíme na\n\\eq{\n\ts^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=\\frac{a^2}{4}+l^2+a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nSečtením těchto dvou rovnic dostaneme\n\\eq{\n\t2s^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=2\\frac{a^2}{4}+2l^2\n}\na~dosazením za~$s$ a~$\\Delta$ pomocí~$t$ a~$\\Delta t$ potom\n\\eq{\n\t2v^2t^2+2l^2-4vtl+2(vt-l) v~\\Delta t+ v^2 (\\Delta t)^2=\\frac{a^2}{2}+2l^2\\,.\n}\nMůžeme si všimnout, že kvadratické členy v~$l$ se odečtou a~ze vzniklé lineární\nrovnice snadno vyjádříme vzdálenost ponorky~$l$ jako\n\\eq{\n\tl=\\frac{v^2t^2-\\frac{a^2}{4}+vtv \\Delta t+ \\frac{v^2 (\\Delta t)^2}{2}}{2vt+v\\Delta t}\\,,\n}\nneboli (vytkneme~$vt/2$)\n\\eq{\n\tl=\\frac{vt}{2}\\frac{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}{1+\\frac{\\Delta t}{2t}}\\,.\n}\nOdečtením dvou kosinových vět naopak získáme rovnici\n\\eq{\n\t2al\\sin\\alpha = 2s\\Delta +\\Delta^2=2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2\\,,\n}\nodkud snadno vyjádříme\n\\eq{\n\t\\sin\\alpha = \\frac{2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2}{2al} = \\frac{v\\Delta t}{a} \\frac{vt-l+ \\frac{v\\Delta t}{2}}{l}\n\t= \\frac{v\\Delta t}{a} \\Big[\\frac{vt}{l}\\Big(1+\\frac{\\Delta t }{2t}\\Big)-1\\Big] \\,.\n}\nPo dosazení za~$l$ a~přímočarých algebraických úpravách získáme konečný výraz\n\\eq{\n\t\\sin\\alpha = \\frac{v\\Delta t}{a}\\frac{1+\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}}{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}\\,.\n}\nObzvlášť zajímavé je zkoumat limitní případ, kdy \n\\eq{\n\t\\frac{a}{vt}=\\frac{a}{s+l}\\ll 1\\,,\n} \nneboli, kdy vzdálenost ponorky je výrazně větší než šířka velryby (jak bychom\nostatně typicky čekali). To zároveň (skrze trojúhelníkovou nerovnost) implikuje\n\\eq{\n\t\\frac{\\Delta t}{t} \\leq \\frac{a}{vt} \\ll 1\\,,\n}\nneboli, že zpoždění signálu~$\\Delta t$~je zanedbatelné oproti celkové době šíření signálu~$t$.\nPři pohledu na výsledky pro~$l$ a~$\\alpha$ v~této limitě dostáváme jednoduché výrazy\n\\eq{\n\tl\\approx s=\\frac{vt}{2}\n}\na~\\eq{\n\\sin\\alpha\\approx \\frac{v\\Delta t}{a}\\,.\n}",
-    "en": "Firstly, let us sketch a~picture \\ref{R37S1U1} of the situation. Considering the submarine and the whale are at the same depth, we can think of the problem as a~two-dimensional problem. We denote the distance of the whale's ears by $a$ and the distance from the submarine to the closer ear as $s$. We want to calculate the distance to the submarine $l$, defined as the distance from the submarine to the whale's larynx. Furthermore, we will define an acute angle $\\alpha$ between the axis of the whale and the line connecting the submarine and the whale's larynx; see the picture below.\\par \\fullfig[htbp]{problem1-1_velryba}{The picture of the situation. The letter $P$ denotes the location of the submarine. Arrows indicate the direction of the sound propagation.}{R37S1U1}[width=0.9\\textwidth]\\par Let us denote the speed of sound in the water by $v$. For the total signal propagation time $t$ we can write\n\\eq{\nl+s=v t \\,.\n}\\par Similarly, for the difference between the right and the left ear $\\Delta$, we can write\n\\eq{\n\\Delta=v \\Delta t \\,.\n}\\par Notice that the triangle inequality implies $v\\Delta t \\leq a$.\nWe can express the distance from the submarine to the farther ear as \n\\eq{\nS=s+\\Delta \\,.\n}\nNow, by using the law of cosines for the triangle: the larynx~-- the closer ear~-- the submarine we will get\n\\eq{\ns^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ-\\alpha)\\,.\n}\nAfter simplification\n\\eq{\ns^2=\\frac{a^2}{4}+l^2-a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nWe can also use the law of cosines for the second triangle: larynx~-- farther ear~-- submarine\n\\eq{\nS^2=\\Big(\\frac{a}{2}\\Big)^2+l^2-2 \\frac{a}{2} l \\cos (90^\\circ+\\alpha)\\,,\n}\nSimplifying to\n\\eq{\ns^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=\\frac{a^2}{4}+l^2+a l \\sin (\\alpha)\\,.\n}\nBy adding these two equations, we get \n\\eq{\n2s^2+2s \\Delta+ \\Delta^2=2\\frac{a^2}{4}+2l^2 \\,\n}\nand by substituting $t$ and $\\Delta t$ for $s$ and $\\Delta$ we get \n\\eq{\n2v^2t^2+2l^2-4vtl+2(vt-l) v~\\Delta t+ v^2 (\\Delta t)^2=\\frac{a^2}{2}+2l^2\\,.\n}\nNotice quadratic terms with $l$ will cancel out. From the obtained linear equation, we can easily express the distance of the submarine $l$ as\n\\eq{\nl=\\frac{v^2t^2-\\frac{a^2}{4}+vtv \\Delta t+ \\frac{v^2 (\\Delta t)^2}{2}}{2vt+v\\Delta t}\n}\nor (by factoring out $vt/2$)\n\\eq{\nl=\\frac{vt}{2}\\frac{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}{1+\\frac{\\Delta t}{2t}}\n\\,.\n}\\par By subtracting the two law of cosines equations, we get \n\\eq{\n2al\\sin\\alpha = 2s\\Delta +\\Delta^2=2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2\\,,\n}\\par from which we can easily express\n\\eq{\n\\sin\\alpha = \\frac{2(vt-l)v\\Delta t+v^2\\Delta t^2}{2al} = \\frac{v\\Delta t}{a} \\frac{vt-l+ \\frac{v\\Delta t}{2}}{l} = \\frac{v\\Delta t}{a} \\Big[\\frac{vt}{l}\\Big(1+\\frac{\\Delta t }{2t}\\Big)-1\\Big] \\,.\n}\\par After substituting for $l$ and some straightforward algebraic simplifications, we get the final expression\n\\eq{\n\\sin\\alpha = \\frac{v\\Delta t}{a}\\frac{1+\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}}{1-\\frac{a^2}{4v^2t^2}+\\frac{\\Delta t}{t}+\\frac{(\\Delta t)^2}{2t^2}}\\,.\n}\\par It is particularly interesting to examine the limit case when\n\\eq{\n\\frac{a}{vt}=\\frac{a}{s+l}\\ll 1\\,,\n} \\par which also can be interpreted as when the distance of the submarine is much larger than the width of the whale (what is typically expected). This also implies (by using the triangle inequality)\n\\eq{\n\\frac{\\Delta t}{t} \\leq \\frac{a}{vt} \\ll 1\\,,\n}\\par which means that the delay of the signal $\\Delta t$ is negligible compared to the total signal propagation time $t$.\nAssuming this limit, we can simplify more, giving us final results for $l$ and $\\alpha$\n\\eq{\nl\\approx s=\\frac{vt}{2}\n}\nand\n\\eq{\n\\sin\\alpha\\approx \\frac{v\\Delta t}{a}\\,.\n}"
-  }
-}