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在$[t_1, t_2]$区间上定义的非零函数$\phi_1(t)$与$\phi_2(t)$，若满足条件: $$ \int_{t_1}^{t_2}\phi_1(t)\phi_2^*(t)dt=0 $$
则函数$\phi_1(t)$与$\phi_2(t)$为在$[t_1, t_2]$区间的
正交函数。 -
在$[t_1, t_2]$区间上定义的非零函数序列，$\phi_1(t),\phi_2(t),...,\phi_n(t)$其中任意两个函数$\phi_i(t)$与$\phi_j(t)$均满足条件: $$ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \varphi_{i}(t) \varphi_{j}^{*}(t) d_{t}=\left{\begin{array}{ll}{0} & {\mathrm{i} \neq \mathrm{j}} \ {k_{i}} & {\mathrm{i}=\mathrm{j}}\end{array}\right. $$ 式中$k_i$为非零常数，则称函数序列${\phi_1(t),\phi_2(t),...,\phi_n(t)}$为 在区间$[t_1, t_2]$上的
正交函数集。
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$f,g$ 为两个连续时间信号函数， 其卷积定义为: $$ \begin{array}{l}{(f * g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau) g(\tau) d \tau} \ {f(t) * g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau) g(\tau) d \tau}\end{array} $$ 两个信号的卷积是否存在是有条件的:-
$f,g$ 是可积函数 -
$f,g$ 卷积运算得到的结果是有界的
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冲激函数： $$ \left{\begin{array}{c}{\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1} \ {\delta(t)=0 \quad(t \neq 0)}\end{array}\right. $$卷积性质： -
$f(t)*\delta(t)=f(t)$ -
冲激函数能从检验函数中筛选出零点处的函数值。 $$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\phi(t)dt=\phi(0) $$
冲激函数性质：-
对称性：冲激函数是偶函数 $$ \delta(-t)=\delta(t) $$ -
时域压扩性： $$ \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)(a\ne0) $$ -
积分： $$ \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau=u(t) $$ -
抽样特性： $$ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0) $$
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内积：函数$f_1(t)$和$f_2(t)$在$[t_1,t_2]$上的内积: $$ <f_1,f_2>=\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2^*(t)dt $$
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函数的正交分解:当函数$f(t)$在$[t_1,t_2]$ 区间具有连续的一阶导数和逐段连续的二阶导数时，$f(t)$可以用完备的正交函数集${\varphi_i(t}$来表示，即: $$ f(t)=\sum_{i=1}^{\infty}c_i \varphi_i(t) $$其中$c_i$为常数。则称此表示为
函数的正交分解。其中：
$$ c_{i}=\frac{\left(f(t), \varphi_{i}(t)\right)}{\left(\varphi_{i}(t), \varphi_{i}(t)\right)}=\frac{\left(f(t), \varphi_{i}(t)\right)}{k_{i}}=\frac{1}{k_{i}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) \varphi_{i}^{}(t) d_{t} $$ 式中$k_i$为函数$\varphi_i(t)$的内积: $$ k_{i}=\left(\varphi_{i}, \varphi_{i}\right)=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \varphi_{i}(t) \varphi_{i}^{}(t) d_{t}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left|\varphi_{i}(t)\right|^{2} d_{t} $$
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帕斯瓦尔定理(Parseval‘s theorem): $$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}|f(t)|^{2} d t=\sum_{i=1}^{\infty}\left|c_{i}\right|^{2} k_{i} $$表明用一个正交函数集来准确地表示一个信号时，这信号的能量等于相应的正交函数各分量的能量之和。
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三角形式傅里叶级数： $$ f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \omega_{1} t+b_{n} \sin n \omega_{1} t\right) $$$$ \begin{array}{l}{\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} \cos m \omega_{1} t \cos n \omega_{1} t d_{t}=\left{\begin{array}{ll}{\frac{T_{1}}{2}} & {m=n \neq 0} \ {T_{1}} & {m=n=0} \ {0} & {m \neq n}\end{array}\right.} \ {\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} \sin m \omega_{1} t \sin n \omega_{1} t d_{t}=\left{\begin{array}{cl}{\frac{T_{1}}{2}} & {m=n \neq 0} \ {0} & {\text { others }}\end{array}\right.} \ {\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} \sin m \omega_{1} t \cos n \omega_{1} t d t=0 \quad m, n 为任意整数}\end{array} $$
系数计算方法： $$ \begin{aligned} a_{0} &=\frac{1}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{z_{0}+T_{1}} f(t) d t \ a_{n}=& \frac{2}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{z_{0}+T_{1}} f(t) \cos n \omega_{1} t d t \ b_{n}=& \frac{2}{T_{1}} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{1}} f(t) \sin n \omega_{1} t d t \end{aligned} $$ -
复指数形式傅里叶级数： $$ \begin{array}{l}{f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}-j b_{n}}{2} e^{j n \omega_{1} t}+\frac{a_{n}+j b_{n}}{2} e^{-j n \omega_{1} t}\right]} \ {f(t)=F(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\left[F\left(n \omega_{1}\right) e^{j n \omega_{1} t}+F\left(-n \omega_{1}\right) e^{-j n \omega_{1}^{2}}\right]}\end{array} $$ 简写为： $$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega_1t} $$ 其中，$F(0)=a_0,F_n=F(n\omega_1)$系数计算方法： $$ F_{n}=\frac{1}{T_{1}} \int_{T_{1}} f(t) e^{-j n \omega_{1} t} d t $$
**$F\left[e^{j \omega_{0} t}\right]=2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}\right)$ **(!!!重要)
IFT:
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唯一性：如果两个函数的FT或IFT相等，则两个函数必然相等可逆性： $$ \mathscr{F}[f(t)]=F(\omega) \Leftrightarrow \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=f(t) $$
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FT是线性运算：对一个信号求FT，等于对其分量(信号)求FT然后再组合 $$ \begin{array}{l}{\mathscr{F}[a f(t)]=a \mathscr{F}[f(t)]} \ {\mathscr{F}\left[f_{1}(t)+f_{2}(t)\right]=\mathscr{F}\left[f_{1}(t)\right]+\mathscr{F}\left[f_{2}(t)\right]}\end{array} $$$$ \Rightarrow \mathscr{F}\left[\sum_{n} a_{n} f_{n}(t)\right]=\sum_{n} a_{n} \mathscr{F}\left[f_{n}(t)\right] $$
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FT 的反褶和共轭性：时域 频域 反褶 $f(-t)$ $F(-\omega)$ 共轭 $f^*(t)$ $F^*(-\omega)$ 反褶 && 共轭 $f^*(-t)$ $F^*(\omega)$ -
IFT和FT的对偶性： $$ F(t) \Leftrightarrow 2\pi f(-\omega) $$ -
FT尺度变换特性： $$ \mathscr{F}[f(a t)]=\frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right),(a \neq 0) $$-
压扩变化是相反的： $$ f(at) \Leftrightarrow F(\frac{\omega}{a}) $$
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幅度也发生变化，是原先的1/a (或 -1/a)倍。 $$ \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a}) $$
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$f(t)$ 与$F(w)$所覆盖的面积分别等于$F(w)$与$2\pi f(t)$在零点的数值$F(0)$与$2\pi f(0)$。 $$ F(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt\ f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega $$等效脉宽：$\tau=F(0)/f(0)$等效带宽：$B_f=f(0)/F(0)$ -
FT的时移特性：时域延时，频域则是相位变化，不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。 $$ \mathscr{F}[f(t-t_0)]=F(\omega)e^{-j\omega t_0}=\mathscr{F}[f(t)]e^{-j\omega t_0} $$ 与尺度变换结合 $$ \mathscr{F}[f(at-t_0)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})e^{\frac{-j\omega t}{a}},(a\ne0) $$FT的频移特性：相位增加，频谱右移 $$ \mathscr{F}[f(t)e^{j\omega_0 t}]=F(\omega-\omega_0) $$ 与尺度变换结合 $$ \mathscr{F}[\frac{1}{|a|}f(\frac{t}{a})e^{\frac{-j\omega t}{a}}]=F(a\omega-\omega_0),(a\ne0) $$-
理论上，时域信号乘以一个复指数信号，原信号的频谱将被搬移到复指数信号的频率处。
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实际应用中，利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。
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- 采样的数学模型：时域上$$x_p(t) = x(t)p(t) $$ 频域上
$$X_p(j\omega )= \frac1 {2\pi }X(j\omega ) * P(j\omega )$$
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理想采样： $$ p(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(t-nT) $$
$$ x_p(t)=x(t)p(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT) $$ 其中T为采样间隔
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在时域上对连续信号进行理想采样，就相当于在频域将连续信号的频谱以$\omega_s$为周期进行沿拓。 $$ P(j \omega) = \frac{2\pi}T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi}{T}n) $$
$$ X_p(j\omega)=\frac1{2\pi}X(j\omega) * P(j\omega)\
=\frac1T \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(j(\omega-k\omega_s)) $$
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因此，为了让采样后信号恢复原信号时不失真，在周期性沿拓时不能发生频谱的混叠。 此时需要满足以下特点：
- x(t)有限制，设最高频率分量为$\omega_m$
- 采样间隔不能任意，必须保证采样频率$\omega_s \geq 2\omega_m$
此为奈奎斯特定律。
定义奈奎斯特空间
$[-\frac{\omega_s}2 ,\frac{\omega_s}2 ]$ 如果满足以上的要求，则该空间中的一切频率$\omega$，满足$T\hat{F}(\omega)=F(\omega)$ 如果混叠发生，则该空间内混有其它部分扩展的频谱密度分布，上式不满足！
$$ \hat{F}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)e^{-j\omega nT} $$ 通过抽样值的序列计算出理想的抽样信号的频谱密度函数 从序列值求出的密度函数依旧是周期函数 其逆变换为 $$ f(nT)=\frac{1}{\omega_s}\int_{-\frac{\omega_s}2}^{\frac{\omega_s}2}\hat{F}(\omega)e^{jn\omega T}d\omega $$ 因此，得到以下的 $$ F(\omega)=T\hat{F}(\omega)=T\sum_{n=- \infty}^{\infty}f(nT)e^{-j\omega nT}，其中\omega在Nyquist空间里 $$ 为了方便期间，采样频率归一之后，将其抽象为单位时间，在数学上用1表示。
因此，称时间间隔归一的离散信号为数字信号，频谱为数字频谱
数字频率下，奈氏空间为$[-\pi, \pi]$，FT/IFT变换的表述为
1.宽为L的矩形窗 $$ X_L(\omega) = \sum_{n=0}^{L-1}x(n)e^{-j\omega n} $$ 而有 $$ X_L(\omega)=\frac{1}{2\pi}X(\omega) \otimes W(\omega) $$ 逆向得到$W(\omega)=\frac{1-e^{-jL\omega}}{1-e^{-j\omega}}$
对于该频谱，常引起旁瓣泄漏：故定义主瓣宽度为$\Delta\omega_W = 2\pi / L$
1.序列加窗后，频谱中可以分辨的最小频率间隔由数据长度决定，即窗函数的时间长度。该现象为不确定原理
2.序列加窗后，频谱出现高频分量。该现象成为频率泄漏，和窗函数的旁瓣有关系。
对于序列长度为L，求DTFT谱上$[0,2\pi]$区间均匀分布的N个谱值，直接计算$X(k),k=0,1,...,N-1$的过程： $$ X(k)=\sum_{n=0}^{L-1}x(n)W_N^{nk}, k = 0,1,...,N-1 $$ 其中N和L是独立确定的，后者是记录中时域样本的数目，前者是DTFT的频率点的数目
在使用DFT的时刻，为了防止序列补零和回绕之后的后续处理造成冲突，常设L=N。
在N<L的时候，频域点数N比序列的长度要小，定义序列x(n)关于N的回绕序列（长度为N），定义回绕序列中的第n项（如此解释方便理解）为 $$ \widetilde{x}(n) = \sum_{m=0}^{\infty}x(mN+n), n=0,1,...,N-1 $$ 如果后面的不够就补0。
特别的，如果多个完全不同的序列，只要它们的回绕序列相等，那么DFT也就相等。
然而，对于那个相等的DFT，IDFT只能得到唯一的序列，该序列对应所有序列的回绕序列。
这是由于IDFT定义式 $$ IDFT(X(k))=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}W_N^{-nk}X_k $$ 的n取值范围决定的。
(1) L是实际待处理的数据长度，不可更改；而N是数字处理设备中的算法参数，在使用的时候设定。
x的长度为L,通过DFT得到长度为N的X，如果N大于L，则数值计算相当于在序列后面补0，虽然不影响DFT内容的正确性，但是补0的值参与计算，浪费资源。
而让回绕序列等于原序列，需要在N>=L的时候实现。故N=L
离散的，周期的（n为周期）
关于原点共轭对称，而由于exp函数的特征，实际上在N是偶数的时候，其关于$\frac N2$点也是共轭对称。
满足变换的线性性，满足帕斯瓦尔定理
其中帕斯瓦尔定理的公式可以列举如下： $$ \sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2 = \frac 1 N \sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2 ，当L=N $$ 奇偶虚实变换的参照：
奇对称和偶对称序列：奇函数的DFT是奇函数，偶函数的DFT是函数
奇偶不变，实奇变虚奇，再变实奇。实函数DFT实部偶虚部奇，模是偶；相位是奇。
反褶和共轭的参照：
时域反褶频域也反褶；时域共轭频域共轭+反褶。
DFT的频移可以看做是对于x(n)乘上一项之后的频移
DFT重要的是其对称性: $$ DFT[X(n)]=Nx(-k) $$ 这个N，负号和IDFT的式子结构之间如此自恰