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0051.N皇后.md

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第51题. N皇后

力扣题目链接

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

  • 输入：n = 4
  • 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
  • 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

  • 输入：n = 1
  • 输出：[["Q"]]

思路

如果对回溯算法基础还不了解的话，我还特意录制了一期视频：带你学透回溯算法（理论篇） 可以结合题解和视频一起看，希望对大家理解回溯算法有所帮助。

都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二维矩阵还会有点不知所措。

首先来看一下皇后们的约束条件：

  1. 不能同行
  2. 不能同列
  3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面我用一个 3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：

51.N皇后

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

回溯三部曲

按照我总结的如下回溯模板，我们来依次分析：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}
  • 递归函数参数

我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。

参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。

代码如下：

vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
  • 递归终止条件

在如下树形结构中： 51.N皇后

可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。

代码如下：

if (row == n) {
    result.push_back(chessboard);
    return;
}
  • 单层搜索的逻辑

递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。

每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

代码如下：

for (int col = 0; col < n; col++) {
    if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
        chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
        backtracking(n, row + 1, chessboard);
        chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
    }
}
  • 验证棋盘是否合法

按照如下标准去重：

  1. 不能同行
  2. 不能同列
  3. 不能同斜线 （45度和135度角）

代码如下：

bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

在这份代码中，细心的同学可以发现为什么没有在同行进行检查呢？

因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。

那么按照这个模板不难写出如下C++代码：

class Solution {
private:
vector<vector<string>> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
    if (row == n) {
        result.push_back(chessboard);
        return;
    }
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
            chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
            backtracking(n, row + 1, chessboard);
            chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
        }
    }
}
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        result.clear();
        std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    }
};

可以看出，除了验证棋盘合法性的代码，省下来部分就是按照回溯法模板来的。

总结

本题是我们解决棋盘问题的第一道题目。

如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。

这里我明确给出了棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。

大家可以在仔细体会体会！

其他语言补充

Python

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        if not n: return []
        board = [['.'] * n for _ in range(n)]
        res = []
        def isVaild(board,row, col):
            #判断同一列是否冲突
            for i in range(len(board)):
                if board[i][col] == 'Q':
                    return False
            # 判断左上角是否冲突
            i = row -1
            j = col -1
            while i>=0 and j>=0:
                if board[i][j] == 'Q':
                    return False
                i -= 1
                j -= 1
            # 判断右上角是否冲突
            i = row - 1
            j = col + 1
            while i>=0 and j < len(board):
                if board[i][j] == 'Q':
                    return False
                i -= 1
                j += 1
            return True

        def backtracking(board, row, n):
            # 如果走到最后一行，说明已经找到一个解
            if row == n:
                temp_res = []
                for temp in board:
                    temp_str = "".join(temp)
                    temp_res.append(temp_str)
                res.append(temp_res)
            for col in range(n):
                if not isVaild(board, row, col):
                    continue
                board[row][col] = 'Q'
                backtracking(board, row+1, n)
                board[row][col] = '.'
        backtracking(board, 0, n)
        return res

Java

class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        char[][] chessboard = new char[n][n];
        for (char[] c : chessboard) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backTrack(n, 0, chessboard);
        return res;
    }


    public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
        if (row == n) {
            res.add(Array2List(chessboard));
            return;
        }

        for (int col = 0;col < n; ++col) {
            if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
                chessboard[row][col] = 'Q';
                backTrack(n, row+1, chessboard);
                chessboard[row][col] = '.';
            }
        }

    }


    public List Array2List(char[][] chessboard) {
        List<String> list = new ArrayList<>();

        for (char[] c : chessboard) {
            list.add(String.copyValueOf(c));
        }
        return list;
    }


    public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
        // 检查列
        for (int i=0; i<row; ++i) { // 相当于剪枝
            if (chessboard[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查45度对角线
        for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查135度对角线
        for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

Go

func solveNQueens(n int) [][]string {
    var res [][]string
	chessboard := make([][]string, n)
	for i := 0; i < n; i++ {
		chessboard[i] = make([]string, n)
	}
	for i := 0; i < n; i++ {
		for j := 0; j < n; j++ {
			chessboard[i][j] = "."
		}
	}
	var backtrack func(int)
	backtrack = func(row int) {
		if row == n {
			temp := make([]string, n)
			for i, rowStr := range chessboard {
				temp[i] = strings.Join(rowStr, "")
			}
			res = append(res, temp)
			return
		}
		for i := 0; i < n; i++ {
			if isValid(n, row, i, chessboard) {
				chessboard[row][i] = "Q"
				backtrack(row + 1)
				chessboard[row][i] = "."
			}
		}
	}
	backtrack(0)
	return res
}

func isValid(n, row, col int, chessboard [][]string) bool {
	for i := 0; i < row; i++ {
		if chessboard[i][col] == "Q" {
			return false
		}
	}
	for i, j := row-1, col-1; i >= 0 && j >= 0; i, j = i-1, j-1 {
		if chessboard[i][j] == "Q" {
			return false
		}
	}
	for i, j := row-1, col+1; i >= 0 && j < n; i, j = i-1, j+1 {
		if chessboard[i][j] == "Q" {
			return false
		}
	}
	return true
}

Javascript

var solveNQueens = function(n) {
    function isValid(row, col, chessBoard, n) {

        for(let i = 0; i < row; i++) {
            if(chessBoard[i][col] === 'Q') {
                return false
            }
        }

        for(let i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if(chessBoard[i][j] === 'Q') {
                return false
            }
        }

        for(let i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
            if(chessBoard[i][j] === 'Q') {
                return false
            }
        }
        return true
    }

    function transformChessBoard(chessBoard) {
        let chessBoardBack = []
        chessBoard.forEach(row => {
            let rowStr = ''
            row.forEach(value => {
                rowStr += value
            })
            chessBoardBack.push(rowStr)
        })

        return chessBoardBack
    }

    let result = []
    function backtracing(row,chessBoard) {
        if(row === n) {
            result.push(transformChessBoard(chessBoard))
            return
        }
        for(let col = 0; col < n; col++) {
            if(isValid(row, col, chessBoard, n)) {
                chessBoard[row][col] = 'Q'
                backtracing(row + 1,chessBoard)
                chessBoard[row][col] = '.'
            }
        }
    }
    let chessBoard = new Array(n).fill([]).map(() => new Array(n).fill('.'))
    backtracing(0,chessBoard)
    return result
    
};

TypeScript

function solveNQueens(n: number): string[][] {
    const board: string[][] = new Array(n).fill(0).map(_ => new Array(n).fill('.'));
    const resArr: string[][] = [];
    backTracking(n, 0, board);
    return resArr;
    function backTracking(n: number, rowNum: number, board: string[][]): void {
        if (rowNum === n) {
            resArr.push(transformBoard(board));
            return;
        }
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            if (isValid(i, rowNum, board) === true) {
                board[rowNum][i] = 'Q';
                backTracking(n, rowNum + 1, board);
                board[rowNum][i] = '.';
            }
        }
    }
};
function isValid(col: number, row: number, board: string[][]): boolean {
    const n: number = board.length;
    if (col < 0 || col >= n || row < 0 || row >= n) return false;
    // 检查列
    for (let row of board) {
        if (row[col] === 'Q') return false;
    }
    // 检查45度方向
    let x: number = col,
        y: number = row;
    while (y >= 0 && x < n) {
        if (board[y--][x++] === 'Q') return false;
    }
    // 检查135度方向
    x = col;
    y = row;
    while (x >= 0 && y >= 0) {
        if (board[y--][x--] === 'Q') return false;
    }
    return true;
}
function transformBoard(board: string[][]): string[] {
    const resArr = [];
    for (let row of board) {
        resArr.push(row.join(''));
    }
    return resArr;
}

Swift

func solveNQueens(_ n: Int) -> [[String]] {
    var result = [[String]]()
    // 棋盘，使用Character的二维数组，以便于更新元素
    var chessboard = [[Character]](repeating: [Character](repeating: ".", count: n), count: n)
    // 检查棋盘是否符合N皇后
    func isVaild(row: Int, col: Int) -> Bool {
        // 检查列
        for i in 0 ..< row {
            if chessboard[i][col] == "Q" { return false }
        }

        var i, j: Int
        // 检查45度
        i = row - 1
        j = col - 1
        while i >= 0, j >= 0 {
            if chessboard[i][j] == "Q" { return false }
            i -= 1
            j -= 1
        }
        // 检查135度
        i = row - 1
        j = col + 1
        while i >= 0, j < n {
            if chessboard[i][j] == "Q" { return false }
            i -= 1
            j += 1
        }

        return true
    }
    func backtracking(row: Int) {
        if row == n {
            result.append(chessboard.map { String($0) })
        }

        for col in 0 ..< n {
            guard isVaild(row: row, col: col) else { continue }
            chessboard[row][col] = "Q" // 放置皇后
            backtracking(row: row + 1)
            chessboard[row][col] = "." // 回溯
        }
    }
    backtracking(row: 0)
    return result
}

C

char ***ans;
char **path;
int ansTop, pathTop;
//将path中元素复制到ans中
void copyPath(int n) {
    char **tempPath = (char**)malloc(sizeof(char*) * pathTop);
    int i;
    for(i = 0; i < pathTop; ++i) {
        tempPath[i] = (char*)malloc(sizeof(char) * n + 1);
        int j;
        for(j = 0; j < n; ++j)
            tempPath[i][j] = path[i][j];
        tempPath[i][j] = '\0';

    }
    ans[ansTop++] = tempPath;
}

//判断当前位置是否有效（是否不被其它皇后影响）
int isValid(int x, int y, int n) {
    int i, j;
    //检查同一行以及同一列是否有效
    for(i = 0; i < n; ++i) {
        if(path[y][i] == 'Q' || path[i][x] == 'Q')
            return 0;
    }
    //下面两个for循环检查斜角45度是否有效
    i = y - 1;
    j = x - 1;
    while(i >= 0 && j >= 0) {
        if(path[i][j] == 'Q')
            return 0;
        --i, --j;
    }

    i = y + 1;
    j = x + 1;
    while(i < n && j < n) {
        if(path[i][j] == 'Q')
            return 0;
        ++i, ++j;
    }

    //下面两个for循环检查135度是否有效
    i = y - 1;
    j = x + 1;
    while(i >= 0 && j < n) {
        if(path[i][j] == 'Q')
            return 0;
        --i, ++j;
    }

    i = y + 1;
    j = x -1;
    while(j >= 0 && i < n) {
        if(path[i][j] == 'Q')
            return 0;
        ++i, --j;
    }
    return 1;
}

void backTracking(int n, int depth) {
    //若path中有四个元素，将其拷贝到ans中。从当前层返回
    if(pathTop == n) {
        copyPath(n);
        return;
    }

    //遍历横向棋盘
    int i;
    for(i = 0; i < n; ++i) {
        //若当前位置有效
        if(isValid(i, depth, n)) {
            //在当前位置放置皇后
            path[depth][i] = 'Q';
            //path中元素数量+1
            ++pathTop;

            backTracking(n, depth + 1);
            //进行回溯
            path[depth][i] = '.';
            //path中元素数量-1
            --pathTop;
        }
    }
}

//初始化存储char*数组path，将path中所有元素设为'.'
void initPath(int n) {
    int i, j;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        //为path中每个char*开辟空间
        path[i] = (char*)malloc(sizeof(char) * n + 1);
        //将path中所有字符设为'.'
        for(j = 0; j < n; j++)
            path[i][j] = '.';
        //在每个字符串结尾加入'\0'
        path[i][j] = '\0';
    }
}

char *** solveNQueens(int n, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //初始化辅助变量
    ans = (char***)malloc(sizeof(char**) * 400);
    path = (char**)malloc(sizeof(char*) * n);
    ansTop = pathTop = 0;

    //初始化path数组
    initPath(n);
    backTracking(n, 0);

    //设置返回数组大小
    *returnSize = ansTop;
    int i; 
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    for(i = 0; i < ansTop; ++i) {
        (*returnColumnSizes)[i] = n;
    }
    return ans;
}