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AxiomaticaCondicionalEIndependencia.md

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Definição axiomática, probabilidade condicional e independência

Feito com base neste slide e esse.

  • Sobre retrospectiva de espaço amostral:
  • Para cada evento A do espaço amostral Ω, associaremos um número real, representado por P(A) e denominado de probabilidade de A que satisfaça os três axiomas a seguir:
  1. Axioma 1: 0 <= P(A) <= 1.
  2. Axioma 2: P(Ω) = 1.
  3. Axioma 3: Se A1, A2, An... é uma sequência de eventos 2 a 2 mutuamente excludentes(disjuntos), ou seja, A1 ∩ A2 = Ø, para todo i != j, então:
  • P(A1 U A2...) = P(A1) + P(A2)...P(An).

Propriedades

  • P1: Se Ø denota o conjunto vazio, então P(Ø) = 0.

  • P2: Se Ac, então P(Ac) = 1 - P(A).

  • P3: Se A C B ( C é o símbolo de contém), então P(A) <= P(B).

  • P4: Se A e B são 2 eventos quaisquer, P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

  • P5: Se A e B são eventos quaisquer, então:

  • P(A ∩ Bc) = P(A) - P(A ∩ B).

  • P(Ac ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B).

  • P6: Se A, B e C forem 3 eventos quaisquer, então:

  • P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A U B U C).

Observações:

  • Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um certo evento pode ser afetada se tivermos alguma informação sobre a ocorrência ou não do outro evento.

  • P(A / B) --> Probabilidade de A em ocorrência de B. Sendo assim, o espaço amostral diminuiu!

Passo a passo para calcular a probabilidade condicional sem diminuir o espaço amostral.

  • P(B / A) = P(A ∩ B) / P(A), ou
  • P(A / B) = P(A ∩ B) / P(B).

A cada evento A C Ω associamos dois números.

  • P(A), a probabilidade não condionada de A, chamada de probabilidade A PRIORI de A.

  • P(A / B), a probabilidade condicionada de A, desde que algum outro evento B (para qual P(B) > 0) tenha ocorrido, chamando-se de probabilidade A POSTERIORI de A dado B.

  • OBSERVAÇÕES.

  • Propriedades

  • As propriedades condionais satisfazem os axiomas das propriedades comuns.

Regra do produto de probabilidades

  • P(A ∩ B) = P(B) x P(A / B), se P(B) > 0 ou - P(A ∩ B) = P(A) x P(B / A), se P(A) > 0.

Generalização da regra do produto

  • P(A1 ∩ A2 ∩ A3... An) = P(A1) x P(A2 / A1) x P(A3 / A1 ∩ A2) x ... P(An / A1 ∩ A2... An-1).

Eventos independentes

  • **Dois eventos são independentes se, e somente se: P(A / B) = P(A) ou P(B / A) = P(B)

Equivalência

  • **P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
  • **P(Ac ∩ B) = P(Ac) x P(B)
  • **P(A ∩ Bc) = P(A) x p(Bc)

Dizemos que eventos aleatórios A, B e C são( coletivamente) independentes se, e somente se:

  • P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
  • P(A ∩ C) = P(A) x P(C)
  • P(B ∩ C) = P(B) x P(C), se apenas essas condições forem atendidas, são independentes aos pares.
  • P(A ∩ B ∩ C) = P(B) x P(B) x P(C).