NA.md

Numerical Analysis

Ch 1

误差分析

误差的来源

计算前：模型误差，数据误差

计算中：截断误差，舍入误差

误差及其分类

绝对误差 $$ e(\hat{x})=\hat{x}-x $$

相对误差 $$ e_r(\hat{x})=\frac{\hat{x}-x}{x} $$ 定理1.1: 设$\hat x$是$x$的近似值，若$\hat x$的前$p$位有效数字正确，$p\ge1$，则相对误差 $$ |e_r(\hat x)|\lt \frac{1}{d_0}\times 10^{-p+1} $$ 定理1.3:若$\hat x$的相对误差满足 $$ \left|e_{r}(\hat{x})\right| \leq \frac{1}{2\left(d_{0}+1\right)} \times 10^{-p+1} $$ 则$\hat x$的前$p$位有效数字正确，或保留$p$位有效数字后与$x$相同

问题的敏感性

用条件数反映问题敏感性

算法的稳定性

1. 结果对计算过程中的扰动不敏感的算法是稳定的算法

2. 对包含一系列计算的过程，若计算中的小扰动不放大或放大不严重，则该过程对应的算法是稳定的算法

浮点数系统

浮点数的表示

$$ x=\pm\left(d_{0}+\frac{d_{1}}{2}+\frac{d_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{d_{p-1}}{2^{p-1}}\right) \times 2^{E} $$

指数E

精度p（p位有效数字）

机器精度$\varepsilon_{mach}=2^{-p}$

定理1.6: $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，若$|\frac{x_2}{x_1}|\le\frac{1}{2}\varepsilon_{mach}$，则$x_2$的值对浮点运算$x_1+x_2$的结果毫无影响

抵消现象

两个符号相同，值相近的$p$位数相减使结果的有效数字远小于$p$位，称之为抵消

保证计算结果的准确性

1. 采用双精度浮点数
2. 避免中间计算结果出现上（下）溢出
3. 避免“大数吃掉小数”
4. 避免抵消现象
5. 简化步骤，减少运算次数

Ch2 非线性方程求根

二分法

不动点迭代法

牛顿法

迭代函数$\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}$

Ch5 矩阵特征值问题

基本概念

幂法

矩阵的QR分解

Ch6 函数逼近与函数插值

曲线拟合的最小二乘法

多项式插值

Ch7 数值积分与数值微分

基本概念

牛顿-柯特斯公式

Ch8 常微分方程初值问题

基本概念

初值问题的数值解法

欧拉法