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给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为:“对于有根树 T 的两个结点 p、q,最近公共祖先表示为一个结点 x,满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”
例如,给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]
示例 1:
- 输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
- 输出: 6
- 解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。
示例 2:
- 输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
- 输出: 2
- 解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
说明:
- 所有节点的值都是唯一的。
- p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。
做过二叉树:公共祖先问题题目的同学应该知道,利用回溯从底向上搜索,遇到一个节点的左子树里有p,右子树里有q,那么当前节点就是最近公共祖先。
那么本题是二叉搜索树,二叉搜索树是有序的,那得好好利用一下这个特点。
在有序树里,如果判断一个节点的左子树里有p,右子树里有q呢?
因为是有序树,所有 如果 中间节点是 q 和 p 的公共祖先,那么 中节点的数组 一定是在 [p, q]区间的。即 中节点 > p && 中节点 < q 或者 中节点 > q && 中节点 < p。
那么只要从上到下去遍历,遇到 cur节点是数值在[p, q]区间中则一定可以说明该节点cur就是q 和 p的公共祖先。 那问题来了,一定是最近公共祖先吗?
如图,我们从根节点搜索,第一次遇到 cur节点是数值在[p, q]区间中,即 节点5,此时可以说明 p 和 q 一定分别存在于 节点 5的左子树,和右子树中。
此时节点5是不是最近公共祖先? 如果 从节点5继续向左遍历,那么将错过成为q的祖先, 如果从节点5继续向右遍历则错过成为p的祖先。
所以当我们从上向下去递归遍历,第一次遇到 cur节点是数值在[p, q]区间中,那么cur就是 p和q的最近公共祖先。
理解这一点,本题就很好解了。
而递归遍历顺序,本题就不涉及到 前中后序了(这里没有中节点的处理逻辑,遍历顺序无所谓了)。
如图所示:p为节点3,q为节点5
可以看出直接按照指定的方向,就可以找到节点4,为最近公共祖先,而且不需要遍历整棵树,找到结果直接返回!
递归三部曲如下:
- 确定递归函数返回值以及参数
参数就是当前节点,以及两个结点 p、q。
返回值是要返回最近公共祖先,所以是TreeNode * 。
代码如下:
TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q)
- 确定终止条件
遇到空返回就可以了,代码如下:
if (cur == NULL) return cur;
其实都不需要这个终止条件,因为题目中说了p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。也就是说一定会找到公共祖先的,所以并不存在遇到空的情况。
- 确定单层递归的逻辑
在遍历二叉搜索树的时候就是寻找区间[p->val, q->val](注意这里是左闭又闭)
那么如果 cur->val 大于 p->val,同时 cur->val 大于q->val,那么就应该向左遍历(说明目标区间在左子树上)。
需要注意的是此时不知道p和q谁大,所以两个都要判断
代码如下:
if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) {
TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);
if (left != NULL) {
return left;
}
}
细心的同学会发现,在这里调用递归函数的地方,把递归函数的返回值left,直接return。
在二叉树:公共祖先问题中,如果递归函数有返回值,如何区分要搜索一条边,还是搜索整个树。
搜索一条边的写法:
if (递归函数(root->left)) return ;
if (递归函数(root->right)) return ;
搜索整个树写法:
left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
本题就是标准的搜索一条边的写法,遇到递归函数的返回值,如果不为空,立刻返回。
如果 cur->val 小于 p->val,同时 cur->val 小于 q->val,那么就应该向右遍历(目标区间在右子树)。
if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) {
TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q);
if (right != NULL) {
return right;
}
}
剩下的情况,就是cur节点在区间(p->val <= cur->val && cur->val <= q->val)或者 (q->val <= cur->val && cur->val <= p->val)中,那么cur就是最近公共祖先了,直接返回cur。
代码如下:
return cur;
那么整体递归代码如下:
class Solution {
private:
TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q) {
if (cur == NULL) return cur;
// 中
if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) { // 左
TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);
if (left != NULL) {
return left;
}
}
if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) { // 右
TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q);
if (right != NULL) {
return right;
}
}
return cur;
}
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
return traversal(root, p, q);
}
};
精简后代码如下:
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
if (root->val > p->val && root->val > q->val) {
return lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
} else if (root->val < p->val && root->val < q->val) {
return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
} else return root;
}
};
对于二叉搜索树的迭代法,大家应该在二叉树:二叉搜索树登场!就了解了。
利用其有序性,迭代的方式还是比较简单的,解题思路在递归中已经分析了。
迭代代码如下:
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
while(root) {
if (root->val > p->val && root->val > q->val) {
root = root->left;
} else if (root->val < p->val && root->val < q->val) {
root = root->right;
} else return root;
}
return NULL;
}
};
灵魂拷问:是不是又被简单的迭代法感动到痛哭流涕?
对于二叉搜索树的最近祖先问题,其实要比普通二叉树公共祖先问题简单的多。
不用使用回溯,二叉搜索树自带方向性,可以方便的从上向下查找目标区间,遇到目标区间内的节点,直接返回。
最后给出了对应的迭代法,二叉搜索树的迭代法甚至比递归更容易理解,也是因为其有序性(自带方向性),按照目标区间找就行了。
递归法:
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if (root.val > p.val && root.val > q.val) return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
if (root.val < p.val && root.val < q.val) return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
return root;
}
}
迭代法:
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
while (true) {
if (root.val > p.val && root.val > q.val) {
root = root.left;
} else if (root.val < p.val && root.val < q.val) {
root = root.right;
} else {
break;
}
}
return root;
}
}
递归法:
class Solution:
"""二叉搜索树的最近公共祖先 递归法"""
def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
if root.val > p.val and root.val > q.val:
return self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
if root.val < p.val and root.val < q.val:
return self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
return root
迭代法:
class Solution:
"""二叉搜索树的最近公共祖先 迭代法"""
def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
while True:
if root.val > p.val and root.val > q.val:
root = root.left
elif root.val < p.val and root.val < q.val:
root = root.right
else:
return root
递归法:
//利用BSL的性质(前序遍历有序)
func lowestCommonAncestor(root, p, q *TreeNode) *TreeNode {
if root==nil{return nil}
if root.Val>p.Val&&root.Val>q.Val{//当前节点的值大于给定的值,则说明满足条件的在左边
return lowestCommonAncestor(root.Left,p,q)
}else if root.Val<p.Val&&root.Val<q.Val{//当前节点的值小于各点的值,则说明满足条件的在右边
return lowestCommonAncestor(root.Right,p,q)
}else {return root}//当前节点的值在给定值的中间(或者等于),即为最深的祖先
}
递归法:
var lowestCommonAncestor = function(root, p, q) {
// 使用递归的方法
// 1. 使用给定的递归函数lowestCommonAncestor
// 2. 确定递归终止条件
if(root === null) {
return root;
}
if(root.val>p.val&&root.val>q.val) {
// 向左子树查询
let left = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);
return left !== null&&left;
}
if(root.val<p.val&&root.val<q.val) {
// 向右子树查询
let right = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);
return right !== null&&right;
}
return root;
};
迭代法
var lowestCommonAncestor = function(root, p, q) {
// 使用迭代的方法
while(root) {
if(root.val>p.val&&root.val>q.val) {
root = root.left;
}else if(root.val<p.val&&root.val<q.val) {
root = root.right;
}else {
return root;
}
}
return null;
};
递归法:
function lowestCommonAncestor(root: TreeNode | null, p: TreeNode | null, q: TreeNode | null): TreeNode | null {
if (root.val > p.val && root.val > q.val)
return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
if (root.val < p.val && root.val < q.val)
return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
return root;
};
迭代法:
function lowestCommonAncestor(root: TreeNode | null, p: TreeNode | null, q: TreeNode | null): TreeNode | null {
while (root !== null) {
if (root.val > p.val && root.val > q.val) {
root = root.left;
} else if (root.val < p.val && root.val < q.val) {
root = root.right;
} else {
return root;
};
};
return null;
};
递归:
object Solution {
def lowestCommonAncestor(root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode): TreeNode = {
// scala中每个关键字都有其返回值,于是可以不写return
if (root.value > p.value && root.value > q.value) lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
else if (root.value < p.value && root.value < q.value) lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
else root
}
}
迭代:
object Solution {
def lowestCommonAncestor(root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode): TreeNode = {
var curNode = root // 因为root是不可变量,所以要赋值给curNode一个可变量
while(curNode != null){
if(curNode.value > p.value && curNode.value > q.value) curNode = curNode.left
else if(curNode.value < p.value && curNode.value < q.value) curNode = curNode.right
else return curNode
}
null
}
}