From cd1025282974a19f0751fd4e6e560cd3184b1ea5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Documenter.jl" Date: Wed, 3 Jan 2024 16:55:27 +0000 Subject: [PATCH] build based on 6dd6357 --- dev/.documenter-siteinfo.json | 2 +- dev/SIOs/index.html | 2 +- dev/index.html | 2 +- dev/makeIFS/{9999c886.svg => 16aa4a2f.svg} | 8804 +++++++++---------- dev/makeIFS/{02c918c7.svg => 6d756cd8.svg} | 8254 +++++++++--------- dev/makeIFS/{d50ca75d.svg => 825b12e5.svg} | 8812 ++++++++++---------- dev/makeIFS/index.html | 16 +- dev/plotting/index.html | 2 +- dev/quadrature/index.html | 2 +- 9 files changed, 12948 insertions(+), 12948 deletions(-) rename dev/makeIFS/{9999c886.svg => 16aa4a2f.svg} (57%) rename dev/makeIFS/{02c918c7.svg => 6d756cd8.svg} (55%) rename dev/makeIFS/{d50ca75d.svg => 825b12e5.svg} (56%) diff --git a/dev/.documenter-siteinfo.json b/dev/.documenter-siteinfo.json index 0c7586b..6501ee6 100644 --- a/dev/.documenter-siteinfo.json +++ b/dev/.documenter-siteinfo.json @@ -1 +1 @@ -{"documenter":{"julia_version":"1.7.2","generation_timestamp":"2024-01-02T21:17:03","documenter_version":"1.2.1"}} \ No newline at end of file +{"documenter":{"julia_version":"1.7.2","generation_timestamp":"2024-01-03T16:55:23","documenter_version":"1.2.1"}} \ No newline at end of file diff --git a/dev/SIOs/index.html b/dev/SIOs/index.html index 980cbed..ddce08b 100644 --- a/dev/SIOs/index.html +++ b/dev/SIOs/index.html @@ -1,2 +1,2 @@ -Integral equations · IFSintegrals.jl
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IFSintegrals.DiscreteSIO — Type
DiscreteSIO(SIO::SIO; h_mesh::Real, h_quad::Real, h_quad_diag::Real)

is the constructor for a discretisation of a singular integral operator, 'SIO'. hmesh is the meshwidth parameter for the discretisation of the underlying fractal hquad denotes the discretisation parameter for the integrals in the stiffness matrix. hquaddiag is the parameter used to compute the diagonal elements of the matrix

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+Integral equations · IFSintegrals.jl
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IFSintegrals.DiscreteSIO — Type
DiscreteSIO(SIO::SIO; h_mesh::Real, h_quad::Real, h_quad_diag::Real)

is the constructor for a discretisation of a singular integral operator, 'SIO'. hmesh is the meshwidth parameter for the discretisation of the underlying fractal hquad denotes the discretisation parameter for the integrals in the stiffness matrix. hquaddiag is the parameter used to compute the diagonal elements of the matrix

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IFSintegrals

This documentation explains basic usage of the Julia package IFSintegrals. This package is designed to approximate integrals and solve integral equations on fractals.

There is no generally accepted definition of the word fractal. Here we consider self-similar sets, which can be described as the attractor of an iterated function system, consisting of a set of affine contraction maps.

+Home · IFSintegrals.jl
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There is no generally accepted definition of the word fractal. Here we consider self-similar sets, which can be described as the attractor of an iterated function system, consisting of a set of affine contraction maps.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 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dev/makeIFS/02c918c7.svg rename to dev/makeIFS/6d756cd8.svg index 83e1117..cc3b3c2 100644 --- a/dev/makeIFS/02c918c7.svg +++ b/dev/makeIFS/6d756cd8.svg @@ -1,4141 +1,4141 @@ - + - + - + - + - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/dev/makeIFS/index.html b/dev/makeIFS/index.html index dbd7e79..6f6dcc6 100644 --- a/dev/makeIFS/index.html +++ b/dev/makeIFS/index.html @@ -6,14 +6,14 @@ rA::M # contraction * rotation/reflection end

Constructs a similarity map. The third input (rotation matrix) is optional, and the fourth is created automatically.

Can be treated as a function, for example

    julia> s = Similarity(1/2,0) # creates contraction s(x)=x/2+0
     julia> s(π)
-    1.5707963267948966
source

InvariantMeasure

The iterated function system may be interpreted as a set of these maps, $\{s_m\}_{m=1}^M$. The attractor $\Gamma$ is the unique non-empty compact set which satisfies

\[\Gamma = S(\Gamma):=\bigcup_{m=1}^M s_m(\Gamma).\]

We can construct the map $S$ defined above as follows.

using IFSintegrals
+    1.5707963267948966
source

InvariantMeasure

The iterated function system may be interpreted as a set of these maps, $\{s_m\}_{m=1}^M$. The attractor $\Gamma$ is the unique non-empty compact set which satisfies

\[\Gamma = S(\Gamma):=\bigcup_{m=1}^M s_m(\Gamma).\]

We can construct the map $S$ defined above as follows.

using IFSintegrals
 s₁ = Similarity(1/3,2/3)
 s₂ = Similarity(1/3,2/3)
 S = [s₁,s₂]
 x = rand()
 S(x) # applies the map S to the point x
2-element Vector{Float64}:
- 0.9425241020303798
- 0.9425241020303798

This is the IFS for the Cantor Set, and this can be converted into an InvariantMeasure with the command

 Γ = InvariantMeasure(S)
InvariantMeasure{Float64, Float64}(Similarity{Float64, Float64}[Similarity{Float64, Float64}(0.3333333333333333, 0.6666666666666666, 1.0, 0.3333333333333333), Similarity{Float64, Float64}(0.3333333333333333, 0.6666666666666666, 1.0, 0.3333333333333333)], 1, 0.6309297535714574, true, true, 0.9999999999999999, 0.0, 1.0, [0.5, 0.5], true, Bool[1 0; 0 1], IFSintegrals.AutomorphicMap{Float64, Float64}[IFSintegrals.AutomorphicMap{Float64, Float64}(1.0, 0.0)])

The outer constructor for InvariantMeasure constructs other properties, such as diameter and Hausdorff dimension, which describe this fractal measure.

The full type is described below:

IFSintegrals.InvariantMeasure — Type
struct InvariantMeasure{V,M} <: SelfSimilarFractal{V,M}
+ 0.9625149610757451
+ 0.9625149610757451

This is the IFS for the Cantor Set, and this can be converted into an InvariantMeasure with the command

 Γ = InvariantMeasure(S)
InvariantMeasure{Float64, Float64}(Similarity{Float64, Float64}[Similarity{Float64, Float64}(0.3333333333333333, 0.6666666666666666, 1.0, 0.3333333333333333), Similarity{Float64, Float64}(0.3333333333333333, 0.6666666666666666, 1.0, 0.3333333333333333)], 1, 0.6309297535714574, true, true, 0.9999999999999999, 0.0, 1.0, [0.5, 0.5], true, Bool[1 0; 0 1], IFSintegrals.AutomorphicMap{Float64, Float64}[IFSintegrals.AutomorphicMap{Float64, Float64}(1.0, 0.0)])

The outer constructor for InvariantMeasure constructs other properties, such as diameter and Hausdorff dimension, which describe this fractal measure.

The full type is described below:

IFSintegrals.InvariantMeasure — Type
struct InvariantMeasure{V,M} <: SelfSimilarFractal{V,M}
     IFS::Vector{Similarity{V,M}}
     spatial_dimension::Int64
     Hausdorff_dimension::Float64
@@ -27,7 +27,7 @@
     connectedness::Matrix{Bool}
     symmetry_group::Vector{AutomorphicMap{V,M}}
 end

Representation of a invariant measure, whose support is an iterated function system (IFS). Constructor requires only an IFS, which is of type Array{Similarity}. All other essential properties can be deduced from this, including barycentre, diameter and dimension, which are approximated numerically.

Has the outer constructor, which only requires IFS (a vector of Similarity) as an input.

InvariantMeasure(sims::Vector{Similarity}; measure::Real=1.0) = 
-    InvariantMeasure(sims, get_diameter(sims); measure=measure)

Fields

  • IFS: The iterated function system, a vector of Similarity, describing the fractal
  • spatial_dimension: The integer dimension of the smallest open set containing the fractal
  • Hausdorff_dimension: The Hausdorff dimenson of the fractal
  • homogeneous: A flag, true if all the contractions are of the same size
  • Hausdorff_weights: A flag, true if this is a Hausdorff measure
  • barycentre: The barycentre of the measure
  • diameter: The diemater of the fractal support
  • measure: The measure of the whole fractal, usually set to one
  • weights: The probability weights describing the invariant measure
  • disjoint: Flag for if the fractal support is disjoint
  • connectedness: Matrix describing which subcomponents are connected
  • symmetry_group: Vector of AutomorphicMap, describing symmetries of the measure
source

Now let's try a more complicated example. The second (translation) argument of Similarity can also be a vector. For example:

ρ = 0.41
+    InvariantMeasure(sims, get_diameter(sims); measure=measure)

Fields

  • IFS: The iterated function system, a vector of Similarity, describing the fractal
  • spatial_dimension: The integer dimension of the smallest open set containing the fractal
  • Hausdorff_dimension: The Hausdorff dimenson of the fractal
  • homogeneous: A flag, true if all the contractions are of the same size
  • Hausdorff_weights: A flag, true if this is a Hausdorff measure
  • barycentre: The barycentre of the measure
  • diameter: The diemater of the fractal support
  • measure: The measure of the whole fractal, usually set to one
  • weights: The probability weights describing the invariant measure
  • disjoint: Flag for if the fractal support is disjoint
  • connectedness: Matrix describing which subcomponents are connected
  • symmetry_group: Vector of AutomorphicMap, describing symmetries of the measure
source

Now let's try a more complicated example. The second (translation) argument of Similarity can also be a vector. For example:

ρ = 0.41
 IFS = [
     Similarity(ρ,[0,0])
     Similarity(ρ,[1-ρ,0])
@@ -35,7 +35,7 @@
     Similarity(ρ,[(1-ρ)/2,(1-ρ)/(2*sqrt(3))])
     ]
  Γ = InvariantMeasure(IFS)

We can plot an approximation attractors in $\mathbb{R}$ or $\mathbb{R}^2$, as follows:

using Plots
-plot(Γ,color = "black", markersize=0.75,label="My fractal")
Example block output

Preset fractals

Several preset fractals are available. These may be called with:

CantorSet()
+plot(Γ,color = "black", markersize=0.75,label="My fractal")
Example block output

Preset fractals

Several preset fractals are available. These may be called with:

CantorSet()
 CantorDust()
 Sierpinski() # triangle/gasket
 KochCurve() # Koch curve
@@ -49,18 +49,18 @@
 
 Γ_shift = 1.5*Γ + [-2,0.5]
 plot!(Γ_shift, markersize=0.75,
-    label="Sierpinski Triangle (translated and stretched)",aspect_ratio=1.0)
Example block output

SubInvariantMeasure

Consider an IFS with $M\in\mathbb{N}$ components. For a vector

\[\mathbf{m}=[m_1,\ldots,m_N]\in\{1,\ldots,M\}^N,\]

it is standard to denote a sub-component of the fractal by

\[\Gamma_{\mathbf{m}} := s_{m_1}\circ\ldots \circ s_{m_N}(\Gamma)\]

The following type also describes a measure whose support is a sub-component, in the above sense.

IFSintegrals.SubInvariantMeasure — Type
struct SubInvariantMeasure{V,M} <: SelfSimilarFractal{V,M}
+    label="Sierpinski Triangle (translated and stretched)",aspect_ratio=1.0)
Example block output

SubInvariantMeasure

Consider an IFS with $M\in\mathbb{N}$ components. For a vector

\[\mathbf{m}=[m_1,\ldots,m_N]\in\{1,\ldots,M\}^N,\]

it is standard to denote a sub-component of the fractal by

\[\Gamma_{\mathbf{m}} := s_{m_1}\circ\ldots \circ s_{m_N}(\Gamma)\]

The following type also describes a measure whose support is a sub-component, in the above sense.

IFSintegrals.SubInvariantMeasure — Type
struct SubInvariantMeasure{V,M} <: SelfSimilarFractal{V,M}
     parent_measure::InvariantMeasure
     IFS::Vector{Similarity{V,M}} # could be removed ?
     index::Vector{Int64}
     barycentre::V
     diameter::Float64
     measure::Float64
-end

Represents a fractal measure which has been derived from an InvariantMeasure.

Fields

  • parentmeasure: This measure is supported on a subet of the support of parentmeasure
  • IFS: The vector of similarities describing the fractal support of this measure
  • index: The vector index corresponding to the contractions applied to parent_measure
  • barycentre: The barycentre of this measure
  • diameter: The diameter of the fractal support
  • measure: The measure of the support
source

Using standard vector index syntax, a SubInvariantMeasure can be easily constructed:

Γ = Sierpinski()
+end

Represents a fractal measure which has been derived from an InvariantMeasure.

Fields

  • parentmeasure: This measure is supported on a subet of the support of parentmeasure
  • IFS: The vector of similarities describing the fractal support of this measure
  • index: The vector index corresponding to the contractions applied to parent_measure
  • barycentre: The barycentre of this measure
  • diameter: The diameter of the fractal support
  • measure: The measure of the support
source

Using standard vector index syntax, a SubInvariantMeasure can be easily constructed:

Γ = Sierpinski()
 m = [1,3,2] # vector index
 Γₘ = Γ[m] # construct SubInvariantMeasure
 
 plot(Γ, markersize=0.75,
     label="Sierpinski Triangle (default)")
 plot!(Γₘ, markersize=0.75,
-    label="Subcomponent",aspect_ratio=1.0)
Example block output + label="Subcomponent",aspect_ratio=1.0)Example block output diff --git a/dev/plotting/index.html b/dev/plotting/index.html index de00eff..7788e62 100644 --- a/dev/plotting/index.html +++ b/dev/plotting/index.html @@ -1,2 +1,2 @@ -Plotting · IFSintegrals.jl
GitHub
+Plotting · IFSintegrals.jl
GitHub
diff --git a/dev/quadrature/index.html b/dev/quadrature/index.html index 90ae692..1902f8d 100644 --- a/dev/quadrature/index.html +++ b/dev/quadrature/index.html @@ -1,2 +1,2 @@ -Approximating integrals · IFSintegrals.jl
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IFSintegrals.barycentre_rule — Function
x,w = barycentre_rule(Γ::Union{InvariantMeasure,SubInvariantMeasure},h::Real)

returns a vector of N weights wⱼ>0 and nodes xⱼ ∈ Rⁿ, for approximation of integrals defined on an IFS Γ⊂Rⁿ.

source
x,y,w = barycentre_rule(Γ₁::Union{InvariantMeasure,SubInvariantMeasure},Γ₂::Union{InvariantMeasure,SubInvariantMeasure},h::Real)

returns N weights wⱼ>0 and nodes x,y ∈ Rⁿ, for approximation of double integrals over Γ₁,Γ₂⊂Rⁿ. Uses Barycentre rule quadrature, the fractal Γ will be subdivided until each subcomponent has a diameter of less than h.

source
IFSintegrals.gauss_quad — Function
x,w = gauss_quad(Γ::SelfSimilarFractal{V,M}, N::Int64) where {V<:Real, M<:Real}

Returns N Gaussian weights w ∈ Rᴺ and nodes x ∈ Rᴺˣᴺ. Here Γ must be an SelfSimilarFractal in one spatial dimension. N is the order of the Gauss rule, i.e. number of weights and nodes.

source
IFSintegrals.chaos_quad — Function
chaos_quad(Γ::SelfSimilarFractal{V,M},N::Int64;x₀=Γ.barycentre:::AbstractVector) where {V<:AbstractVector, M<:Union{Real,AbstractMatrix}}

Returns a vector of N weights w>0 and nodes x ∈ Rⁿ, for approximation of integrals defined on an IFS Γ⊂Rⁿ. Using Chaos game quadrature. Optional third input is the initial guess, which is taken as barycentre by default.

source
+Approximating integrals · IFSintegrals.jl
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IFSintegrals.barycentre_rule — Function
x,w = barycentre_rule(Γ::Union{InvariantMeasure,SubInvariantMeasure},h::Real)

returns a vector of N weights wⱼ>0 and nodes xⱼ ∈ Rⁿ, for approximation of integrals defined on an IFS Γ⊂Rⁿ.

source
x,y,w = barycentre_rule(Γ₁::Union{InvariantMeasure,SubInvariantMeasure},Γ₂::Union{InvariantMeasure,SubInvariantMeasure},h::Real)

returns N weights wⱼ>0 and nodes x,y ∈ Rⁿ, for approximation of double integrals over Γ₁,Γ₂⊂Rⁿ. Uses Barycentre rule quadrature, the fractal Γ will be subdivided until each subcomponent has a diameter of less than h.

source
IFSintegrals.gauss_quad — Function
x,w = gauss_quad(Γ::SelfSimilarFractal{V,M}, N::Int64) where {V<:Real, M<:Real}

Returns N Gaussian weights w ∈ Rᴺ and nodes x ∈ Rᴺˣᴺ. Here Γ must be an SelfSimilarFractal in one spatial dimension. N is the order of the Gauss rule, i.e. number of weights and nodes.

source
IFSintegrals.chaos_quad — Function
chaos_quad(Γ::SelfSimilarFractal{V,M},N::Int64;x₀=Γ.barycentre:::AbstractVector) where {V<:AbstractVector, M<:Union{Real,AbstractMatrix}}

Returns a vector of N weights w>0 and nodes x ∈ Rⁿ, for approximation of integrals defined on an IFS Γ⊂Rⁿ. Using Chaos game quadrature. Optional third input is the initial guess, which is taken as barycentre by default.

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