给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
示例 1： 输入：word1 = "horse", word2 = "ros" 输出：3 解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')
示例 2： 输入：word1 = "intention", word2 = "execution" 输出：5 解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u')
提示：
- 0 <= word1.length, word2.length <= 500
- word1 和 word2 由小写英文字母组成
编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。
编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。
接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
这里在强调一下：为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？
用i来表示也可以！ 但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。
在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
增
删
换
也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？
那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。
在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。
在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
- 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
- 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：
a a d
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
| 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 |
+-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+
a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 |
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
d | 2 | 1 |
+-----+-----+
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
递归公式代码如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}再回顾一下dp[i][j]的定义：
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？
dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。
那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;
所以C++代码如下：
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;从如下四个递推公式：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
代码如下：
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
}
}以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
以上动规五部分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};Java：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length();
int n = word2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 因为dp数组有效位从1开始
// 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}Python：
class Solution:
def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
dp = [[0] * (len(word2)+1) for _ in range(len(word1)+1)]
for i in range(len(word1)+1):
dp[i][0] = i
for j in range(len(word2)+1):
dp[0][j] = j
for i in range(1, len(word1)+1):
for j in range(1, len(word2)+1):
if word1[i-1] == word2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
else:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
return dp[-1][-1]Go：
func minDistance(word1 string, word2 string) int {
m, n := len(word1), len(word2)
dp := make([][]int, m+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, n+1)
}
for i := 0; i < m+1; i++ {
dp[i][0] = i // word1[i] 变成 word2[0], 删掉 word1[i], 需要 i 部操作
}
for j := 0; j < n+1; j++ {
dp[0][j] = j // word1[0] 变成 word2[j], 插入 word1[j]，需要 j 部操作
}
for i := 1; i < m+1; i++ {
for j := 1; j < n+1; j++ {
if word1[i-1] == word2[j-1] {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
} else { // Min(插入，删除，替换)
dp[i][j] = Min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1
}
}
}
return dp[m][n]
}
func Min(args ...int) int {
min := args[0]
for _, item := range args {
if item < min {
min = item
}
}
return min
}Javascript：
const minDistance = (word1, word2) => {
let dp = Array.from(Array(word1.length + 1), () => Array(word2.length+1).fill(0));
for(let i = 1; i <= word1.length; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for(let j = 1; j <= word2.length; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for(let i = 1; i <= word1.length; i++) {
for(let j = 1; j <= word2.length; j++) {
if(word1[i-1] === word2[j-1]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + 1);
}
}
}
return dp[word1.length][word2.length];
};
